BC-0005 Bases Computacionais da Ciência. Modelagem e simulação

Transcrição

1 BC-0005 Bases Computacionais da Ciência Aula 8 Modelagem e simulação Santo André, julho de 2010

2 Roteiro da Aula Modelagem O que é um modelo? Tipos de modelos Simulação O que é? Como pode ser feita? Exercício: construção de um modelo

3 O que é um Modelo? É a representação de um objeto, um sistema ou uma idéia, em alguma forma que não seja a própria entidade. (Shannon)

4 Tipos de modelos Físicos modelos em escala, protótipos, Fluxos de idéia Cascata de eventos, de reações químicas ou biológicas Matemáticos Modelos analíticos (equações), programas lineares, computacionais Animais Experimentos c/ animais entendimento da fisiologia humana Lesões em animais que simulam uma doença humana Outros

5 O que é simulação? Simulação de um sistema é a operação ou manipulação de um Modelo, que é a representação de um sistema. O modelo é passível de manipulações que seriam impossíveis, muito caras, impráticas, anti-éticas de realizar no sistema real que ele descreve A operação do modelo pode ser estudada e propriedades do sistema real podem ser deduzidas.

6 Aplicações Operação de usinas de energia (quanto será gerado?) Verificar se estruturas como pontes são estáveis à perturbações (ventos fortes, terremotos, etc) Projetos de protocolos de sistemas de comunicação. Reconhecimento de faces, padrões. Funcionamento do cérebro ou funções cognitivas Operação de sistemas de transportes, como metrô, aeroportos, etc Teste de funcionamento de hospitais, correios (logística) Análise de sistemas financeiros e econômicos

7 Modelos Computacionais Diversos modelos não precisam do computador (fluxo de idéias, modelos analíticos, etc) Então, onde o computador se torna essencial? Sistemas que não têm soluções analíticas; Equações complexas, com soluções analíticas muito difíceis, ou intratáveis; Sistemas com muitas equações ou parâmetros (cérebro, química, etc); Sistemas auto-organizáveis: regras de interação locais simples, que geram comportamento complexos.

8 Modelos tempo contínuo e de tempo discreto Tempo Contínuo as variáveis ( estado ) do sistema podem ser obtidas para qualquer valor real do tempo Ex.: Movimento de um pêndulo, velocidade de um projétil, etc. Tempo Discreto o estado do sistema somente pode ser determinado em instantes específicos Ex.: autômatos celulares, cotação diária da bolsa de valores, população de uma determinada cidade a cada ano, etc.

9 Simulação de um pêndulo simples modelo de tempo contínuo A evolução do sistema é dada pelas equações de movimento. É possível determinar a posição e a velocidade do pêndulo para qualquer instante. No gráfico acima (espaço de fases) o eixo x representa a posição angular do pêndulo, e o eixo y a velocidade angular.

10 Modelo discreto autômatos celulares Regras para a evolução do sistema: - Uma célula viva com menos do que 2 vizinhos vivos, morre; - Uma célula viva com mais do que 3 vizinhos vivos, morre; - Uma célula viva com 2 ou 3 vizinhos vivos, vive; - Uma célula morta com extamente 3 vizinhos vivos se torna viva ; Aplicações: s_game_of_life Simulação do comportamento de gases, estudo de magnetismo; simulação da propagação de incêndios, simulação e estudo de desenvolvimento urbano, simulação do processo de cristalização; etc.

11 Modelos determinísticos e estocásticos Determinísticos Dada uma condição inicial, o futuro está completamente determinado Variáveis determinísticas leis físicas Movimento de partículas, dinâmica de fluidos, (sistemas dinâmicos), etc Estocásticos Modelos têm uma componente imprevisível, mas é possível determinar um comportamento médio Variáveis aleatórias probabilidades Moeda, movimento browniano, teoria cinética dos gases Utilizados por seguradoras, fundos de mercado financeiro

12 Movimento de projéteis: determinismo

13 Sinal recebido por um celular: modelo estocástico x(t) s(t) = + Modelo: x(t)=s(t) + r(t) Componente Estocástico r(t) (ruído)

14 Exemplo de Modelagem Problema: Estudar o crescimento de uma cultura de levedura Modelo a ser adotado: Modelo de tempo discreto Modelo deve descrever o tamanho da população para uma dada hora representada pelo índice n;

15 Modelos de tempo-discreto Suponha que x n represente uma variável de interesse após n passos. O modelo será uma regra, ou um conjunto de regras, que descreverá como x n varia de acordo com a evolução do índice temporal n. Em particular, o modelo pode descrever como x n+1 depende dos valores anteriores x n Em geral: x n+1 = f(x n, x n-1, x n-2, )

16 Modelos de tempo-discreto Iremos considerar x n+1 = f(x n ) A relação acima também é chamada de relação de recursão ou um mapa. Note que, dada a equação de recursão e uma condição inicial x 0, podemos calcular os valores de x 1, x 2, da seguinte maneira: x 1 = f(x 0 ); x 2 = f(x 1 ); x 3 = f(x 2 );

17 Modelo Escolhido Valor Futuro = Valor Atual + Incremento x n+1 =x n + x n Objetivo final é obter uma aproximação razoável para x n tal que o modelo reproduza um certo conjunto de dados ou um fenômeno observado.

18 Exemplo: Cultura de Levedura Os seguintes dados foram colhidos de um experimento de medição do crescimento de uma cultura de levedura: Tempo (h) Biomassa Variação da Biomassa n p n Δp n =p n+1 -p n

19 Modelo para crescimento da população de Levedura Variação da Biomassa x Biomassa p n Variação da Biomassa 100 p n 50 p n = p n+1 - p n ~ 0.5p n p n Biomassa p n

20 Modelo Inicial Podemos observar no gráfico que p n = p n+1 - p n ~ 0.5p n Assim, considerando nosso modelo, obtemos p n+1 = p n + p n = p n + 0.5p n = 1.5p n Vejamos o que o nosso modelo indica que ocorrerá com a biomassa para n >7

21 Crescimento Exponencial p n+1 = 1.5(1.5p n-1 ) = 1.5[1.5(1.5p n-2 )] = =(1.5) n+1 p 0 p n n = (1.5) p 0 Dessa forma, o modelo prevê que a população aumentará indefinidamente, o que sabemos que não é verdade! Conclusão: é preciso re-examinar os dados a fim de obter um modelo mais adequado

22 Novos dados sobre a cultura de Tempo (h) Biomassa Variação da Biomassa Levedura n p n Δp n Biomassa tende a um limite próximo de 665.

23 Refinando o Modelo Modelo original : p n = 0.5p n p n+1 = 1.5p n Observando o conjunto de dados podemos concluir que a variação da biomassa torna-se cada vez menor com o passar do tempo, em particular quando pn se aproxima de 665. Novo modelo: p n = k (665- p n ) p n p n+1 = p n + k (665- p n ) p n

24 Novo Modelo Segundo nosso novo modelo p n = k(665-p n ) p n ou seja, a variação da Biomassa é proporcional ao produto (665-p n )p n Indica uma relação linear entre a variação da biomassa ( p n ) e o produto (665-p n ) p n Podemos averiguar isso gerando um gráfico de ( p n ) x (665-p n ) p n, e caso a relação seja linear, podemos estimar o valor de k (regressão linear)

25 Novo Modelo A hipótese de que as duas quantidades são linearmente relacionadas é plausível, e a constante de proporcionalidade encontrada foi k ~

26 Validação do Modelo p n+1 = p n (665- p n ) p n

27 Mapa Logístico x n+1 = x n + k(n-x n )x n O Mapa Logístico pode ser utilizado para modelar diferentes cenários, como Crescimento populacional em um ambiente com recursos limitados x n = Número de indivíduos depois de n intervalos de tempo (por exemplo, anos, meses, etc) N = número máximo de indivíduos que o ambiente suporta Evolução de uma doença infecciosa, como a gripe, em uma população limitada x n = número de indivíduos afetados depois de n intervalos de tempo (por exemplo, dias) N = tamanho da população Caso particular do modelo predador-presa

28 Exercícios sala de aula Clique aqui para abrir o editor do Scilab Com o editor podemos criar scripts sequência de comandos a serem executados pelo Scilab

29 Criando Scripts no Scilab Para executar o script, salve o arquivo e selecione esta opção no menu. Também é possível executar o script a partir da janela de comando. Para isso basta digitar exec( nome_script.sce )

30 Criando Scripts no Scilab Conteúdo atual da variável x (um vetor)

31 Criando Scripts no Scilab Para i=3, execute os seguintes comandos Para i=4, execute os seguintes comandos Para i=5, execute os seguintes comandos... Para i=n, execute os seguintes comandos

32 Criando Scripts no Scilab O que o script calcula?

33 Modelo: Cultura de Levedura p n+1 = p n + k(665- p n ) p n p i = p i-1 + k(665- p i-1 ) p i-1 Definindo as variáveis de meu script: N: número máximo de iterações i: índice temporal p: vetor cujos elementos correspondem à biomassa

34 Modelo: Cultura de Levedura p i = p i-1 + k(665- p i-1 ) p i-1

35 Exercício - Casa Implemente no scilab um script para um caso do mapa logístico dado por x n+1 = k (1 -x n )x n onde x n é um valor entre 0 e 1. O valor de x n pode ser interpretado como o tamanho de uma população no instante n, e k um fator ligado à taxa de natalidade e mortalidade da população

36 Exercício - Casa Para um valor máximo de iterações N=200, e um valor arbritário para a população inicial (por exemplo x(1) =.1), avalie o que ocorre com o tamanho da população quando variamos o valor de k. Para isso, execute a simulação e comente os gráficos da evolução da população (que pode ser gerado, por exemplo, com o comando plot(x, o- )) para cada um dos casos abaixo: k é um valor entre 0 e 1 (por exemplo, k = 0.5) k é um valor entre 1 e 2 (por exemplo, k = 1.3) k é um valor entre 2 e 3 (por exemplo, k = 2.9)

37 Exercício - Casa Avalie agora o que ocorre para k=3.7. Simule o que ocorre para a população com diferentes valores iniciais x(1). Apresente os gráficos e comente o que foi observado (dica: procure na internet o que é o mapa logístico e os possíveis comportamentos observados em função do parâmetro k).