Exercícios Temas atuais de Física Relatividade e Física de partículas

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1 Exercícios Temas atuais de Física Relatividade e Física de partículas Marco Sampaio Departamento de Física 2º piso msampaio@ua.pt 11 de Janeiro de Pré-relatividade 1. Considere duas massas atraídas de acordo com a lei da gravitação de Newton (a) Escreva as suas equações do movimento no plano xy. (b) Escreva explicitamente uma rotação do sistema coordenado no plano xy por um angulo θ constante em torno da origem. (c) Exprima a Força entre as duas massas no novo sistema de coordenadas explicitamente, usando a transformação determinada no ponto anterior. (d) Escreva a lei de Newton no novo sistema e mostre que toma a mesma forma. (e) Assuma o ângulo é dependente do tempo θ = ωt. O que falha nesse caso? Assumindo que uma das massas está em repouso na origem tente interpretar o termo extra devido à dependência do ângulo com o tempo. 2. Considere uma transformação do sistema de coordenadas obtida de uma translação constante com uma transformação de galileu. Mostre que a composição de duas transformações deste tipo, é ainda uma transformação do mesmo tipo e identique a translação e velocidade da operação composta. 3. Considere as equações de Maxwell no vazio. (a) Usando os potencias escalar e vetor φ e A para expandir os campos eletromagnéticos, e a condição de gauge de Lorentz, mostre que os potenciais obedecem ambos equações de onda (Use a condição A = ( A) A). (b) Mostre que as equações de onda obtidas no ponto anterior admitem soluções do tipo onda plana e obtenha a relação de dispersão. 1

2 4. Considere a experiência de Michelson Morley. Assuma que o vento etério não está na alinhado na direcção de um dos braços mas sim num ângulo arbitrário θ constante. (a) Dentro da teoria do éter, determine a velocidade da luz em cada um dos braços, nos dois sentidos de propagação da luz. (b) Determine o tempo de propagação dos raios em cada um dos braços até se recombinarem e calcule a diferença de tempos entre o braço 1 e 2. (c) Escreva a variação da diferença de tempos, quando o dispositivo é rodado por um ângulo α xo e determine a translação nas franjas de interferência. (d) Especialise o resultado da alínea anterior para α = π/2. Analise a função resultante de θ e comente sobre a importância de ir rodando a orientação inicial do dispositivo ao longo do decorrer da experiência. 2 A teoria da Relatividade restrita 1. Considere o grupo das rotações. (a) Mostre que o produto de duas matrizes de rotação é ainda uma matriz de rotação utilizando as duas condições na sua denição (b) Escreva uma rotação em torno do eixo z e identique o âgulo de rotação (c) Calcule a rotação composta de duas rotações da alínea anterior com ângulos diferentes e mostre explicitamente qual é o ângulo correspondente à rotação composta. 2. Considere o grupo das transformações de Lorentz. (a) Mostre que a composição de duas transformações de Lorentz é ainda uma transformação de Lorentz. (b) Usando a parametrização de uma transformação no plano xt (designado boost de Lorentz), escreva uma transformação com um pseudo-angulo φ (c) Calcule a composição de duas transformações da alínea anterior para dois pseudo-angulos diferentes e identique: i. O pseudo-ângulo de cada transformação e da transformação composta ii. a velocidade de cada transformação e a velocidade da transformação composta como função das velocidades das transformações individuais. iii. Compare e comente com a composição de duas transformações de Galileu. iv. Tire o limite de baixas velocidades da alínea anterior e recupere a transformações das velocidades de Galileu. 2

3 (d) Escreva a matriz para a transformação de Lorentz correspondente a uma rotação pura em torno no eixo z. i. Calcule a composição da rotação com um boost de Lorentz no plano xt. ii. Calcule a composição da rotação com um boost de Lorentz no plano xt em ordem inversa. iii. Comente os resultados das duas alíneas anteriores (e) Considere uma transformação de Lorentz em x, t: i. Calcule a inversa. ii. Mostre que ainda é uma transformação de Lorentz e identique a velocidade respetiva iii. Considere uma matriz de Lorentz geral e a sua inversa denida formalmente. Mostre que a inversa é ainda uma transformação de Lorentz (i.e. que obedece ainda a condição de ortogonalidade em relação a η e a condição do determinante). 3. Mostre que a soma de dois vetores do tipo tempo dirigidos para o futuro é ainda um vetor do tipo tempo dirigido para o futuro. 4. Considere um diagrama espaço-tempo t x num referêncial inercial O. Represente nesse diagrama: (a) A trajetória de um observador em repouso em x = 1m (b) a trajetória de uma partícula que se move com velocidade v = 0.1c e que em ct = 0m está em x = 5m (c) os eixos t x de um observador O que se move com velocidade v = 0.5c ao longo do eixo x relativamente a O e com origem coincidente. (d) Considere um vetor genérico r nesse diagrama que liga a origem a um acontecimento P : i. Represente os pontos no diagrama que correspondem a um acontecimento separados por um tempo próprio r T η r = 1m ii. Represente os pontos no diagrama que correspondem a acontecimento separados por uma distância própria r T η r = 1m (e) o local dos acontecimentos que ocorrem simultâneamente para O no instante ct = 2m (f) o local dos acontecimentos que ocorrem simultâneamente para O no instante ct = 2m (g) a trajetória de um fotão que é emitido no instante ct = 1m e x = 0m, viaja no sentido negativo do eixo x, é reetido num espelho quando chega a x = 1m passando a viajar no sentido positivo, e é absorvido quando chega a x = 0.75m. 3

4 3 Relatividade em Física de partículas 1. Considere um muão que é formado através de uma colisão de um raio cósmico no topo da atmosfera. Sabendo que a massa do muão é Kg, que tem uma energia total de cerca de 5GeV, e que o seu tempo de decaimento em repouso é T 0 = 2µs calcule: (a) o modulo do seu 3-momento (b) a sua velocidade v/c e a distância percorrida se em movimento sobreviver o mesmo tempo que T 0 (c) o tempo medido T por um observador no referêncial em que o muão está em movimento até ao seu decaimento no referêncial próprio. (d) A distância percorrida no tempo T à velocidade v/c. (e) Comente as duas distâncias calculadas através de T 0 e T, e com isso explica que se observe uma grande fração de muões cósmicos na superfície da Terra. 2. Considere o processo de aniquilação de um eletrão e um positrão com momento espacial ao longo do eixo x, P = (±p, 0, 0), (igual e oposto) numa colisão no referêncial do laboratório (a) Escreva o 4-momento de cada partícula (b) Escreva o 4-momento conservado no sistema (c) Considerando o 4-momento da última alínea, calcule a sua norma invariante (P T totalη P ). (d) Usando o resultado da alínea anterior explique porque é que a aniquilação não pode ser apenas para 1 fotão e + + e γ (e) Assumindo a aniquilação se processa da seguinte forma e + + e γ + γ calcule o 4-momento de cada fotão, assumindo que são emitidos em direções opostas 3. Considere o decaimento π + µ + + ν µ (a) Calcule o número bariónico e os números leptónicos do estado inicial e nal e compare 4

5 (b) Assumindo que o π + está em repouso calcule usando a conservação do momento o 4-momento do muão e neutrino assumindo que são emitidos em direções opostas. 4. Considere a seguinte possibilidade para a reação de produção de anti-protão p + p p + p + p + e + explique porque é que esta reação não é possivel apesar de conservar carga elétrica. 5