GEOMETRIA GRÁFICA. 01. São figuras que podem representar a planificação de um octaedro regular:

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1 GEOMETRIA GRÁFICA 01. São figuras que podem representar a planificação de um octaedro regular: 1) 2) 3) 4) 5) 0-0) Figura 1 1-1) Figura 2 2-2) Figura 3 3-3) Figura 4 4-4) Figura 5 Resposta: VFVVF 0-0) Verdadeira, deixando conservada a simetria binária de aresta central da figura. 1-1) Falsa, pois um dos vértices já mantém cinco faces na planificação. 2-2) Verdadeira, apesar da planificação não ter mantido nenhuma das simetrias rotacionais do octaedro. 3-3) Verdadeira, e sete das faces mantêm a simetria ternária do poliedro. 4-4) Falsa, pois a simetria binária da planificação apenas disfarça a impossibilidade de fechar o sólido com quatro faces em cada vértice. 02. Uma curva ABCDEF deve ser traçada através de arcos de circunferência centrados nos pontos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, emendados nos pontos B, C, D, E e F. Sobre esta curva podemos afirmar o que segue.

2 0-0) Há concordância entre os arcos no ponto B. 1-1) Há concordância entre os arcos no ponto C. 2-2) Há concordância entre os arcos no ponto D. 3-3) Há concordância entre os arcos no ponto E. 4-4) Há concordância entre os arcos no ponto F. Resposta: VVFFV O princípio básico entre arcos de circunferência permite que o candidato verifique cada ponto de passagem de um arco para o seguinte apenas testando com a régua o alinhamento entre esse ponto e os centros dos arcos que nele concorrem. Se ignorar tal princípio, precisará traçar a compasso toda a curva e dependerá de muita sensibilidade visual para perceber a quebra da curva nos pontos em que não há concordância. 0-0) Verdadeira, pelo alinhamento de B com os centros 1 e ) Verdadeira, pelo alinhamento de C com os centros 2 e ) Falsa, pelo desalinhamento de D com os centros 3 e ) Falsa, pelo desalinhamento de E com os centros 4 e ) Verdadeira, pelo alinhamento de F com os centros 5 e Um triângulo (ABC) tem as seguintes medidas: lado (AB)=6cm, ângulo em (C)=60 o,e altura de (A)=3cm. Sobre esse triângulo, podemos afirmar que: 0-0) seu ortocentro está no seu interior. 1-1) seu circuncentro está no seu exterior. 2-2) seu perímetro mede mais de 15cm. 3-3) sua área mede menos de 11cm ) o raio do círculo inscrito mede menos de 2cm 1,5cm. Resposta: FFVVV Haverá toda a vantagem na resolução gráfica, usando os instrumentos de desenho. Partindo de um segmento com a medida do lado AB, traça-se sobre ele o arco capaz de ângulo oposto. Um arco de circunferência centrado em A, com o raio medindo a altura dada, permite o traçado do lado BC tangente a tal arco, indo localizar o vértice C no arco capaz. Pelo valor do ângulo dado, não é difícil a resolução da questão através da trigonometria. 0-0) Falsa, pois o triângulo é acutângulo. 1-1) Falsa, pois o triângulo é acutângulo. 2-2) Verdadeira, pois o perímetro mede 16,8 cm ) Verdadeira, pois a área mede 12 cm ) Verdadeira, pois o raio do círculo inscrito mede 1,4 cm. O triângulo ABC é retângulo. O seno do ângulo do triângulo com vértice em B é ½ e, portanto, este ângulo mede 30 o (não poderia ser 150 o, uma vez que o triângulo já tem um ângulo interno medindo 60 o ). Segue que o ângulo do triângulo com vértice em A mede 180 o -60 o -30 o = 90 o, e ABC é um triângulo

3 retângulo. Temos AC = 3/sen 60 o = 2 3 cm e BC = = 4 3 cm. O ortocentro do triângulo coincide com o vértice A, logo não está no interior do triângulo, e 0-0 é falsa. O circuncentro do triângulo é o ponto médio da hipotenusa BC, logo não está no exterior do triângulo, e 1-1 é falsa. O perímetro do triângulo mede = 6(1+ 3 ) 16,392cm que é maior que 15, e 2-2 é verdadeira. Observe que o valor exato do perímetro, 16,392..., é diferente do valor obtido graficamente em pelo menos 0,41cm, um erro de pelo menos 2,5%. A área do triângulo mede 4 3.3/2 = 6 3 cm 2 10,392cm 2, portanto 3-3 é verdadeira. O raio do círculo inscrito mede 6 3 /[3(1+ 3 )] = (3-3 ) cm 1,268cm e 4-4 é verdadeira. 04. Seccionando um hexaedro regular por planos paralelos ao plano (ABC), podemos obter um: B A C 0-0) Triângulo eqüilátero. 1-1) Quadrado. 2-2) Retângulo. 3-3) Hexágono regular. 4-4) Losango. Resposta: VFFVF Percebendo que o plano ABC corta perpendicularmente a diagonal do cubo, que é um eixo de simetria ternária, o candidato concluirá que a figura resultante de cortes paralelos a ABC só poderá ser polígono de número de lados múltiplo de três. 0-0) Verdadeira, pois a própria seção (ABC) é eqüilátera. 1-1) Falsa, uma vez que (ABC) não é paralela às faces do cubo. 2-2) Falsa, pois (ABC) precisaria ser paralelo a uma aresta. 3-3) Verdadeira, desde que o plano de seção passe pelo ponto médio de seis arestas. 4-4) Falsa, pois o losango é polígono de quatro lados. 05. A maior parte das letras maiúsculas do alfabeto latino, em seu desenho mais simples, são figuras simétricas. Sobre este tema é possível afirmar que: 0-0) Apenas as letras H, I, O e X têm centro de simetria. 1-1) Mais da metade tem eixo de simetria. 2-2) As letras H, I, O e X têm dois eixos de simetria. 3-3) Algumas letras têm centro de simetria sem ter eixo de simetria. 4-4) As letras J, G e F não têm eixo de simetria. Resposta: FVVVV Questão de identificação de centro e eixos de simetria, usando formas bem

4 visualizadas por todos os candidatos. 0-0) Falsa, pois o centro de simetria não depende do cruzamento de eixos de simetria ortogonais. 1-1) Verdadeira, incluindo as letras que só têm um eixo e as que têm dois eixos de simetria. 2-2) Verdadeira, pois as letras H, I, O, e X têm um eixo horizontal e outro vertical. 3-3) Verdadeira, pois as letras N, S e Z têm centro de simetria, mas nenhum eixo. 4-4) Verdadeira, pois J, G e F não têm nem eixo horizontal nem vertical. 06. A poltrona representada esquematicamente em isometria na primeira figura pode ser representada em escala reduzida e outras posições nas demais figuras. 0-0) Pode aparecer como na figura ) Pode aparecer como na figura ) Pode aparecer como na figura ) Pode aparecer como na figura ) Pode aparecer como na figura 5. Resposta: VFFVF Não há necessidade de nenhum traçado. O candidato poderá precisar confirmar as medidas de cada figura para verificar a proporcionalidade das arestas, garantida na isometria, mesmo quando a escala é reduzida. O mais importante para o acerto da resposta é a capacidade viso-motriz do candidato. 0-0) Verdadeira, pois representa a poltrona emborcada. 1-1) Falsa, pois a figura 2 representa uma poltrona simétrica, tombada de costas. 2-2) Falsa, pois a figura 3 representa uma poltrona simétrica tombada de lado e vista por baixo. 3-3) Verdadeira, pois representa a mesma poltrona, vista pelo lado direito. 4-4) Falsa, pois a figura 5 representa uma poltrona simétrica, tombada de lado e vista por trás. 07. Sobre qualquer pentágono regular estrelado, podemos afirmar: A B C F D E 0-0) O ângulo no vértice A mede 36 o. 1-1) Existe centro de simetria.

5 2-2) São cinco os eixos de simetria. 3-3) ( AB )/( BC )=( AC )/( AB ). 4-4) A área do núcleo (BCDEF) mede 1/3 da área total do estrelado. Resposta: VFVVF Os conhecimentos de geometria plana obtidos pelo candidato na matemática do ensino fundamental e do ensino médio dificilmente chegam ao nível desta questão, mas a obtenção das medidas sobre a figura, executada com toda a precisão, permite que ele obtenha as respostas certas. 0-0) Verdadeira, pois o ângulo em A está inscrito na circunferência circunscrita ao pentágono, determinando nesta um arco de 72º. 1-1) Falsa, pois não há equinversão que transforme cada ponto da figura em um ponto simétrico na mesma figura. 2-2) Verdadeira, pois AD e as quatro outras retas que partem das outras pontas para os vértices B, C, E e F dividem a estrela em duas metades simétricas. 3-3) Verdadeira, pois AB é o segmento áureo de AC. 4-4) Falsa, pois o apótema do pentágono BCDEF é menor que a metade da altura de cada triângulo isósceles que constitui uma ponta da estrela. Assim, a soma das áreas dos cinco triângulos que o centro do polígono determina com os lados BC, CD, DE, EF e FB é menor que a metade da soma das áreas das cinco pontas. Todo o núcleo BCDEF terá então área inferior a 1/3 da área total do pentágono estrelado. 08. Dado um quadrilátero convexo (ABCD) qualquer, localize os pontos I, J, K e L, médios respectivos de AB, BC, CD e DA. Sobre este quadrilátero, podemos afirmar que: 0-0) a área de (IJKL) é metade da área de (ABCD). 1-1) (IJKL) é um quadrado se e somente se (ABCD) é um quadrado. 2-2) (IJKL) é um paralelogramo para qualquer quadrilátero (ABCD). 3-3) (IJKL) e (ABCD) são semelhantes. 4-4) (IJKL) é um retângulo se e somente se as diagonais de (ABCD) são perpendiculares. Resposta: VFVFV Traçando as diagonais do quadrilátero inicial, podemos observar, pela propriedade de Tales, que, no triângulo (ABD), o segmento (IL) é paralelo a (BD) e mede metade do seu comprimento. No triângulo (CBD), o segmento (JK) também é paralelo (BD) e mede metade do seu comprimento. Logo, podemos deduzir que (IL) e (JK) são paralelos e de mesmo comprimento; ou seja, (IJKL) é um paralelogramo. O mesmo raciocínio mostra que (IJ) e (LK) são paralelos a (AC) e medem metade do seu comprimento. 0-0) Verdadeira: Considerando os pontos (M) e (N) de interseção dos lados (IJ) e (LK) do paralelogramo (IJKL) com (BD), (MNKJ) e (MNLI) são paralelogramos. A área de (MNKJ) é a metade da área de (BCD), uma

6 vez que a altura e a base de (MNKJ) correspondem á metade da altura e da base do triângulo (BCD). Do mesmo modo, a área de (MNLI) é a metade da área de (ABD). Logo, a área de (IJKL) é a metade da área de (ABCD). 1-1) Falsa: Qualquer que seja o quadrilátero (ABCD), (IJKL) é um paralelogramo de lados paralelos às diagonais de (ABCD) e de comprimentos medindo a metade das respectivas diagonais. Para que (IJKL) seja um quadrado, o quadrilátero (ABCD) deve ter suas diagonais de mesmo comprimento e perpendiculares entre si; no entanto, existem quadriláteros que têm diagonais perpendiculares e de mesmo comprimento, e que não são quadrados. 2-2) Verdadeira: Ver justificativa. 3-3) Falsa: Já que (IJKL) é um paralelogramo para qualquer quadrilátero (ABCD), não existe sempre semelhança entre (ABCD) e (IJKL). 4-4) Verdadeira: O paralelogramo (IJKL) tem seus lados paralelos às diagonais de (ABCD). (IJKL) é um retângulo quando seus lados consecutivos são perpendiculares; ou seja, quando as diagonais de (ABCD) são perpendiculares entre si. 09. Considerando quatro pontos fixos A, B, C e D e um ponto móvel M e construindo o ponto M 1 simétrico de M em relação com A; o ponto M 2 simétrico de M 1 em relação a B; o ponto M 3 simétrico de M 2 em relação a C; e o ponto M 4 simétrico de M 3 em relação com D, podemos afirmar que: 0-0) o segmento MM 4 varia em comprimento, direção e orientação, dependendo da posição do ponto M. 1-1) M e M 4 são confundidos para qualquer posição de M quando os pontos ABCD formam um paralelogramo. 2-2) M e M 4 são confundidos somente quando M fica na interseção das diagonais do quadrilátero ABCD. 3-3) para qualquer posição de M, o segmento MM 4 é constante em comprimento, orientação e direção. 4-4) o comprimento de MM 4 é constante e igual à diferença entre os comprimentos de AB e CD. Resposta: FVFVF Temos diversas possibilidades para resolver essa questão: a) Geometricamente: Podemos observar no triângulo (MM 1M 2) que (A) e (B) são pontos médios respectivos de (MM 1) e (M 1M 2), pela propriedade de simetria, e que, no triângulo (M 2M 3M 4), (C) e (D) são pontos médios respectivos de (M 2M 3) e (M 3M 4); logo, (MM 2) é paralelo, mede o dobro de sua medita e tem mesmo sentido que (AB); (M 2M 4) é paralelo, mede o dobro de sua medida e tem o mesmo sentido que (CD). (A), (B), (C) e (D) são pontos fixos; logo, (MM 2) e (M 2M 3) são fixos em direção e comprimento e, por sua vez, (MM 4) é fixo em comprimento e direção. b) Por vetores: Temos (MM 4) = (MM 1) + (M 1M 2) + (M 2M 3) + (M 3M 4) = 2(AM 1) +2(M 1B) +2(CM 3) +2(M 3D) = (AB) + (CD). c) Pelas transformações: O ponto (M 4) é a imagem de (M) depois de 4 simetrias centrais; ou seja, depois de 4 rotações de 180º. O produto dessas transformações é uma translação, ou seja, (MM 4) é constante em direção, comprimento e sentido.

7 M 1 B A M 2 C M 3 M D M 4 0-0) Falsa: Ver justificativa: (MM 4) é constante em comprimento, direção e sentido. 1-1) Verdadeira: Segundo a justificativa, (MM 2) é paralelo e mede o dobro de (AB), e (M 2M 4) é paralelo e mede o dobro de (CD). Se (ABCD) forma um paralelogramo, (MM 2) e (M 2M 4) são de mesmo comprimento, paralelos e de sentido oposto; logo (M) e (M 4) são coincidentes. 2-2) Falsa: (MM 4) sendo constante em comprimento, direção e sentido para (A), (B), (C) e (D) dados. O fato de (M) e (M 4) coincidirem não depende da posição do ponto (M). De fato, (M) e (M 4) são coincidentes somente quando (ABCD) é um paralelogramo. 3-3) Verdadeira: Ver justificativa. 4-4) Falsa: Isso somente acontece quando (M) e (M 4) são coincidentes. 10. Um terreno tem o formato do quadrilátero ABCD, representado na escala 1/500. Dessa forma, podemos afirmar que: B A D C 0-0) existe um ponto eqüidistante dos quatro vértices. 1-1) é possível construir um prédio cilíndrico tangente aos quatro lados do terreno. 2-2) a área do terreno mede mais de 300m ) o perímetro do quadrilátero é menor que 90m. 4-4) o quadrilátero cujos vértices são os pontos médios dos lados de (ABCD) é um paralelogramo cuja área mede a metade da área do terreno. Resposta: VFFVV A percepção de dois ângulos retos opostos identifica o quadrilátero dado como inscritível no círculo. Se tais ângulos não forem identificados pelo candidato, ele poderá responder corretamente a questão, mas terá um pouco mais de trabalho. 0-0) Verdadeira, pois o centro da circunferência circunscrita ao quadrilátero será o ponto eqüidistante dos quatro vértices.

8 1-1) Falsa, pois o quadrilátero dado não é circunscritível ao círculo, o que pode ser constatado pela desigualdade das somas das medidas de lados opostos. Sem conhecer tal propriedade, o candidato terá que traçar uma circunferência tangente a três lados do quadrilátero e verificar que ela não tangencia o quarto lado. 2-2) Falsa, pois a divisão do terreno em dois triângulos retângulos facilita o cálculo de suas áreas, de 125m 2 e 147 m 2, levando a uma área total bem menor que 400m 2 3-3) Verdadeira, pois a simples conversão de escala determina o perímetro do terreno, medindo 71m. 4-4) Verdadeira, pois tal propriedade é geral para os quadriláteros, e pode ser demonstrada fácilmente através do teorema de Tales. Se desconhecida pelo candidato, ele ainda poderá constatá-la graficamente, apesar de perder bastante tempo no cálculo das áreas. 11. A figura abaixo é o perfil de uma chapa metálica em forma de meia coroa circular, que pode ser dobrada e soldada para a construção de um funil em forma de tronco de cone. A respeito da chapa e do funil, podemos afirmar que: 0-0) o raio da boca do funil mede a metade do raio externo da coroa circular. 1-1) a área da chapa é inferior a 25cm². 2-2) o volume do funil é maior que 15ml. 3-3) a altura do tronco de cone é 75% da altura total do cone que o gerou. 4-4) a geratirz do tronco de cone é inferior a 3,5cm Resposta: VVFVV 0-0) Verdadeira, pois o perímetro da base do cone mede a metade da circunferência externa da coroa inteira, sendo 0,5 a razão entre os raios. 1-1) Verdadeira, pois a área da meia coroa, calculada com os raios de 4 cm e 1 cm, fica em torno de 23,55 cm². 2-2) Falsa, já que o volume do funil mede em torno de 14,23ml. 3-3) Verdadeira, pois as alturas são proporcionais aos raios, medidos como 4 cm e 1 cm. 4-4) Verdadeira, pois a medida da geratiriz do troco de cone, obtida na figura, é de 3cm. 12. Um cubo representado em linha tracejada na cavaleira da figura, com aresta medindo 4 cm, foi transformado no sólido composto de parte poliédrica e parte cônica. A respeito deste sólido, podemos afirmar o que segue.

9 0-0) A parte poliédrica tem volume menor que 31cm³. 1-1) A porção eliminada da metade posterior do cubo pelo plano que secionou seu vértice superior direito tem volume que não chega a 1cm³. 2-2) A representação do sólido não permite garantir que a parte cônica seja a quarta parte de um cone de revolução. 3-3) A área da face mistilínea do sólido prismático na metade posterior do cubo mede menos de 10 cm² 4-4) O volume total do sólido composto é inferior a 33,5 cm³. Resposta: VFVFV 0-0) Verdadeira, pois o volume total do prisma, antes de ser cortado no canto superior direito, mede 32 cm³, e mesmo que nada seja cortado na parte posterior, não mostrada na perspectiva, o corte mostrado na figura já reduz mais de 1 cm³ no seu volume. 1-1) Falsa, já que o volume da pirâmide subtraída ao prisma mede 1,3 cm³. 2-2) Verdadeira, pois a cavaleira da figura não está mostrando as faces lateral e inferior da parte cônica, e estas podem não pertencer às faces do cubo original. 3-3) Falsa, pois esta face está em verdadeira grandeza na cavaleira e, subtraindo do quadrado um triângulo e um quarto de círculo, a área obtida fica com 10,86 cm². 4-4) Verdadeira, pois, com as medidas tomadas na figura, o volume total do sólido fica em torno de 32,8 cm³. 13. Uma caixa d água, em forma de tronco de pirâmide octogonal, está representada na figura em vistas ortogonais, na escala de 1/100, onde se despreza a espessura de suas paredes. Sobre essa caixa d água, podemos afirmar: Falta uma vista.

10 0-0) A altura da pirâmide que gerou o tronco mede 3m. 1-1) A área da base inferior é 1/3 da área da base superior. 2-2) A aresta lateral mede mais que 2,3m. 3-3) A área lateral total do tronco de cone mede mais que 20m². 4-4) O volume total da caixa d água mede mais que 9,5 m³. Resposta: VFVFV 0-0) Verdadeira, pois, prolongando as arestas laterais na vista de frente ou medido a altura do tronco e usando as propriedades da homotetia, o candidato concluirá pela veracidade da proposição. 1-1) Falsa, desde que a razão entre as médidas lineares das duas bases é que vale 1/3, o que acarreta 1/9 como a razão entre as áreas. 2-2) Verdadeira, pois a altura das faces está em verdadeira grandeza no contorno da vista de frente, e mede 2,3 cm. Então, a aresta da caixa d água será necessariamente maior que 2,3m. 3-3) Falsa, pois, a partir da medida 2,3m para a altura das faces laterais, que são trapézios de base medindo 1,5m e 0,5m, a área lateral das oito faces fica com 18,4 m². 4-4) Verdadeira, pois, calculando as áreas das bases octogonais e usando as alturas medidas na vista de frente, o candidato obterá em torno de 10,4 m³ o volume total da caixa d água. 14. A figura é a planta de uma propriedade rural na escala 1/ Sobre ela podemos afirmar o que segue. 0-0) A área da propriedade é superior a 10 hectares. 1-1) O quadrilátero da planta é inscritível no círculo. 2-2) Usando estacas de cerca espaçadas de 3m, o proprietário necessita de mais que 460 estacas para cercar todo o terreno. 3-3) O proprietário quer construir a casa eqüidistante dos quatro lados do terreno. Isto é possível. 4-4) O maior triângulo eqüilátero inscrito no quadrilátero terá área inferior a m². Resposta: VFVFV 0-0) Verdadeira, pois uma diagonal traçada permite facilmente chegar à área total como soma das áreas de dois triângulos, um deles retângulo. Fica em torno de m², ou 10,87 hectares. 1-1) Falsa, pois o candidato, mesmo que desconheça a propriedade dos quadriláteros inscritíveis, da suplementaridade de ângulos opostos ou não perceba que o ângulo reto tem seu oposto obtuso, poderá tentar com o compasso encontrar um circuncentro. 2-2) Verdadeira, pois o perímetro de 27,9 cm na figura acarreta 1.395m na propriedade. Serão então necessárias 465 estacas espaçadas de 3 em 3 metros. 3-3) Falsa, pois o quadrilátero não é circunscritível ao círculo, não possuindo

11 incentro. 4-4) Verdadeira, pois, construindo o maior triângulo eqüilátero inscrito no terreno, sua área tem em torno de m².

12 15. No mapa de uma metrópole estão representadas as avenidas (a) e (b) e uma linha de metrô (c). Nesta, deve ser projetada uma estação, eqüidistante das avenidas (a) e (b). Localize a posição desta estação, justificando o raciocínio adotado. c a b Resposta: O lugar geométrico dos pontos eqüidistantes das duas avenidas é uma linha composta de três porções distintas, mas concordantes. A primeira é uma reta paralela às avenidas, entre os seus trechos paralelos, que termina no ponto (A), na perpendicular tirada do ponto (C). Segue-se um arco de parábola, que é o lugar geométrico dos pontos eqüidistantes de C e da reta (b), que são respectivamente seu foco e sua diretriz. Tal arco termina no ponto (B), onde a perpendicular em (C) ao segundo trecho da avenida encontra a parábola e a bissetriz do ângulo formado entre as avenidas (a) e (b). De (B) em diante, tal bissetriz dá continuidade ao lugar geométrico de eqüidistância, concordando também com a parábola em (B). O ponto (D) em que a linha (c) atravessa o lugar geométrico, o que se dá no seu trecho parabólico, é a solução da questão. c a C A D B b

13 16. Um cubo deve ser cortado pelo plano diagonal (ABC) e pelo plano DEFG, retirando-se suas porções acima desses dois planos. Represente em duas vistas ortogonais o poliedro resultante dessas transformações, justificando o traçado. A D E B G F C Resposta: O corte pelo plano ABC deixará o cubo com as duas vistas da figura abaixo. O plano DEFG atinge a vista frontal com a metade do segmento GF, e a vista superior com o aparecimento da reta de interseção dos dois planos, que vai do ponto D ao ponto médio de GF, deixando os vistas com o aspecto final abaixo.