Capítulo 01 Progressão Aritmética

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1 Nome: Nº Curso: Integrado Disciplina: Matemática II 2 Ano Prof. Leonardo Data: / /2017 Capítulo 01 Progressão Aritmética Sequências Observe a sequência dos anos em foram realizadas Olimpíadas, a partir de 2004: (2004, 2008, 2012, 2016,... ) Os parênteses sugerem que estamos trabalhando com um conjunto de números colocados numa certa ordem. Esses elementos são chamados de termos da sequência. Costuma-se representar cada termo de uma sequência por uma letra qualquer, normalmente a, acompanhada de um índice que dá a sua posição ou ordem. (a 1, a 2, a 3, a 4, a 5,, a n, ) Por exemplo, na sequência (2004, 2008, 2012, 2016,... ), temos: Primeiro Termo = a 1 = 2004 Segundo Termo = a 2 = 2008 Terceiro Termo = a 3 = 2012 Quarto Termo = a 4 = 2016 e assim sucessivamente. O enésimo termo a n pode representar qualquer termo da sequência. Por exemplo, se n = 50, temos a n = a 50 e estamos nos referindo ao 50 º termo da sequência Definição de sequência Matematicamente, denomina-se sequência qualquer função f cujo domínio é N. Exemplo 1 f: N R definida por f(n) = 2n Substituindo-se n pelos números naturais 1,2,3,... temos: f(1) = 2. 1 = 2 f(2) = 2. 2 = 4 f(3) = 2. 3 = 6 f(n) = 2n Portanto, a sequência pode ser escrita como (2, 4, 6,, 2n, ). Perceba que há uma lei de formação dos termos de uma sequência. A partir de agora, vamos estudar duas formas diferentes de definir uma sequência: pelo termo geral e por recorrência. IFRN Campus Natal Central Professor Leonardo Andrade 1

2 Sequência definida pelo termo geral Cada termo a n é calculado em função de sua posição n na sequência. Exemplo 1 Os três primeiros termos da sequência cujo termo geral é a n = n + 7 são: a 1 = = 8 a 2 = = 9 a 3 = = 10 Assim, a sequência que tem como termo geral a n = n + 7, é (8, 9, 10, ) Sequência definida por recorrência Cada termo da sequência é calculado em função do termo anterior. Exemplo 1 Na sequência definida por a n+1 = a n + 3 em que a 1 = 4, cada termo, exceto o primeiro, é igual ao anterior adicionado a 3. a 1 = 4 n = 1 a 1+1 = a a 2 = a 2 = 7 n = 2 a 2+1 = a a 3 = a 3 = 10 n = 3 a 3+1 = a a 4 = a 4 = 13 Portanto, a sequência pode ser escrita como (4, 7, 10, 13,... ). EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO - Sequências 01. (Fei 1996) Os termos da sequência1,3,6,10,... são definidos por: a 1 = 1 e a n = n + a n 1 para qualquer n > 1. A diferença a 30 a 28 vale: a) 2 b) 5 c) 30 d) 58 e) (Unesp 2002) Os coelhos se reproduzem mais rapidamente que a maioria dos mamíferos. Considere uma colônia de coelhos que se inicia com um único casal de coelhos adultos e denote por an o número de casais adultos desta colônia ao final de n meses. Se a 1 = 1, a 2 = 1 e, para n 2, a n+1 = a n + a n 1, o número de casais de coelhos adultos na colônia ao final do quinto mês será a) 13. b) 8. c) 6. d) 5. e) 4. GABARITO - SEQUÊNCIAS 01 E 02 D IFRN Campus Natal Central Professor Leonardo Andrade 2

3 1.3 - Progressão Aritmética Observe a sequência dos números naturais ímpares: (1, 3, 5, 7,...) Note que cada termo, exceto o primeiro, equivale ao anterior adicionado a um número fixo:2. Sequências como essa são chamadas de progressões aritméticas. Progressão aritmética (PA) é toda sequência numérica em que cada um de seus termos, a partir do segundo, é igual ao anterior somado a uma constante r, denominada razão da progressão aritmética. Exemplos (2,5,8,11,14,...) é uma PA de razão 3; (10,8,6,4,2,...) é uma PA de razão 2. Uma sequência (a 1, a 2, a 3, a 4, a 5,, a n, ) é uma PA quando : a 2 = a 1 + r a 3 = a 2 + r a 4 = a 3 + r a n = a n 1 + r Genericamente: a n = a n 1 + r, n N Note que em uma PA, subtraindo-se de cada termo o seu antecessor, obtemos a razão r: a 2 a 1 = a 1 + r a 1 = r a 3 a 2 = a 2 + r a 2 = r a 4 a 3 = a 3 + r a 3 = r Genericamente: a 2 a 1 = a 3 a 2 = = a n a n 1 = r Assim, para descobrimos qual é a razão de uma PA, basta subtrairmos um termo qualquer de seu antecessor: Exemplo 1 Qual a razão da PA (6, 11 2, 5, 9 2 )? Resolução: A razão da PA é a diferença entre um termo qualquer e seu antecessor. Vamos calcular a diferença entre o 3 º e o 2 º termos: r = = 1 2 Portanto, a razão dessa PA é 1 2. IFRN Campus Natal Central Professor Leonardo Andrade 3

4 Exemplo 2 Determine x na PA (x, 3 2, 2 3 ). Resolução: A razão da PA é a diferença entre um termo qualquer e seu antecessor. Sendo assim, fazemos: a 2 a 1 = a 3 a x = x = x = 2 6 = 11 3 Logo, x = EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO Definição de uma Progressão Aritmética 01. (G1 - ifal 2016) Considere que o número de países que passaram a participar dos Jogos Olímpicos em um dado período de tempo obedeça à seguinte sequência (11, a, 29, b, 47) que é uma progressão aritmética, então a soma a + b é igual a a) 49 b) 58 c) 67 d) 76 e) (Pucrj 2015) Os números a 1 = 5x 5, a 2 = x + 14 e a 3 = 6x 3 estão em PA. A soma dos 3 números é igual a: a) 48 b) 54 c) 72 d) 125 e) (Esc. Naval 2014) O quinto termo da progressão aritmética 3 x; x; 9 x, x R é a) 7 b) 10 c) 2 d) 14 e) (Udesc 2009) Sejam x, y, z, números reais tais que a sequência (x, 1, y, 1, z) forma, nesta ordem, uma 4 progressão aritmética, então o valor da soma x + y + z é: a) 3 8 b) 21 8 c) 21 8 d) 2 e) 19 8 IFRN Campus Natal Central Professor Leonardo Andrade 4

5 GABARITO - DEFINIÇÃO DE UMA PROGRESSÃO ARITMÉTICA 01 B 02 B 03 C 04 C EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO DEFINIÇÃO DE UMA PA com GEOMETRIA PLANA e LOGARITMOS 01. (G1 - ifal 2016) As medidas dos lados de certo triângulo são expressas por (x + 2),(2x + 1) e (x 2 10) e nessa ordem formam uma progressão aritmética. O perímetro desse triângulo mede a) 15 b) 21 c) 28 d) 33 e) (G1 - ifsul 2015) As medidas dos lados de um triângulo são expressas por x + 1, 3x e x + 3 estão em PA nessa ordem. O perímetro do triângulo mede a) 4 b) 9 c) 14 d) (Mackenzie 2016) Se log 2, log(2 x 1) e log(2 x + 3) nessa ordem, estão em progressão aritmética crescente, então o valor de x é a) 2 b) log 2 3 c) log 2 5 d) 2 3 e) 2 5 GABARITO - DEFINIÇÃO DE UMA PA com GEOMETRIA PLANA e LOGARITMOS 01 D 02 B 03 C 1.4 Notação Especial de uma Progressão Aritmética Quando uma progressão aritmética possui apenas três ou quatro elementos é possível fazer uma relação com seus elementos e tornar o cálculo dos seus termos e da razão mais simplificados. i) P.A de três termos Uma P.A com três elementos será escrita da seguinte forma: (x r, x, x + r) Exemplo 1 A soma dos três termos de uma P.A é 72 e o produto dos termos extremos é 560. Qual é essa P.A? Resolução: Sabemos que qualquer P.A de três elementos é escrita da seguinte forma: (x r, x, x + r),comparandoa com as informações do enunciado teremos: x r + x + x + r = 72 3x = 72 IFRN Campus Natal Central Professor Leonardo Andrade 5

6 x = 72 3 x = 24. Como o elemento do meio da P.A de três elementos é o x, podemos dizer que será igual a 24. Levando em consideração a segunda informação, teremos: (x r). (x + r) = 560 x 2 r 2 = r 2 = 560 ( 1) r 2 = 560 r 2 = r 2 = 16 r = 4 Portanto, a P.A será formada pelos seguintes elementos: (20, 24, 28). ii) P.A de quatro termos será escrita da seguinte forma: (x 3y, x y, x + y, x + 3y), com r = 2y Exemplo 1 Em uma P.A de quatro termos, a soma dos dois primeiros é zero e a soma dos dois últimos é 80. Qual é a razão da P.A? Resolução: Sabemos que qualquer P.A de quatro elementos é escrita da seguinte forma: (x 3y, x y, x + y, x + 3y), com r = 2y, comparando-a com as informações do enunciado teremos: (x 3y) + (x y) = 0 x + x 3y y = 0 2x 4y = 0 e (x + y) + (x + 3y) = 80 2x + 4y = 80 Montamos um sistema com as duas equações encontradas. 2x 4y = 0 2x + 4y = 80 4x = 80 x = 20 e 2x 4y = y = 0 4y = 40 y = 10 Como a razão é o dobro do valor de y: r = 20. IFRN Campus Natal Central Professor Leonardo Andrade 6

7 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO Notação Especial de uma Progressão Aritmética - Objetivas 01. (Uff 2011) Ao se fazer um exame histórico da presença africana no desenvolvimento do pensamento matemático, os indícios e os vestígios nos remetem à matemática egípcia, sendo o papiro de Rhind um dos documentos que resgatam essa história. Nesse papiro encontramos o seguinte problema: Divida 100 pães entre 5 homens de modo que as partes recebidas estejam em progressão aritmética e que um sétimo da soma das três partes maiores seja igual à soma das duas menores. Coube ao homem que recebeu a parte maior da divisão acima a quantidade de a) pães. b) 55 6 pães. c) 20 pães. d) 65 6 pães. e) 35 pães. 02. (Ufscar 2002) A soma dos cinco primeiros termos de uma PA vale 15 e o produto desses termos é zero. Sendo a razão da PA um número inteiro e positivo, o segundo termo dessa sequência vale a) 0. b) 1. c) 2. d) 3. e) (Ufpi 2000) Se em uma Progressão Aritmética de razão positiva o produto dos três primeiros termos é 384 e a soma é 24, então o quarto termo é: a) 0 b) 4 c) 8 d) 12 e) 16 GABARITO NOTAÇÃO ESPECIAL DE UMA PROGRESSÃO ARITMÉTICA - OBJETIVAS 01 A 02 A 03 E EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO Notação Especial de uma Progressão Aritmética - Discursivas 01.(G.1) Em uma PA de três elementos, a soma de todos os termos resulta em 54, enquanto o produto do primeiro pelo segundo termo é 180. Determine os três termos que compõem essa PA. 02.(G.1) Em uma PA de cinco termos, a soma dos dois primeiros termos é sete e a soma dos dois últimos é 25. Determine o primeiro e o último termo da PA. IFRN Campus Natal Central Professor Leonardo Andrade 7

8 03.(G.1) Determine três números em P.A, sabendo que o elemento central é 4 e o produto entre eles é 28. GABARITO NOTAÇÃO ESPECIAL DE UMA PROGRESSÃO ARITMÉTICA - DISCURSIVAS 01 10, 18, a 1 = 2 /a 5 = , 4, Propriedades das Progressões Aritméticas 1ª propriedade (Termos Eqüidistantes dos Extremos) Numa P.A. finita, de dois termos eqüidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos. Exemplo: Seja a P. A. (8, 10, 12, 14, 16). Observa-se que: Os termos a 2 = 10 e a 4 = 14 estão eqüidistantes dos extremos a 1 e a 5, respectivamente. Note que: = = 24. 2ª propriedade Numa P.A. com número ímpar de termos, o termo médio é igual à média aritmética entre os extremos. Exemplo: Na P. A. (2, 4, 6, 8, 10), temos: Classificação de uma PA Uma PA pode ser: a 3 = a 1 + a 5 2 a 1 = 2, a 3 = 6, a 5 = 10 a 3 = a 3 = 6 Classificação Razão Exemplo Crescente r > 0 (1, 5, 9, 13, 17,... ) r = 4 Decrescente r < 0 (7, 4, 1, 2, 5,... ) r = 3 Constante r = 0 (5, 5, 5, 5, 5, 5,... ) r = Fórmula do termo geral de uma PA Já sabemos que numa PA: a 2 = a 1 + r a 3 = a 2 + r a 4 = a 3 + r a n = a n 1 + r IFRN Campus Natal Central Professor Leonardo Andrade 8

9 Note que podemos escrever todos os termos de uma PA em função de e r: a 1 a 2 = a 1 + r a 3 = a 2 + r = a 1 + r + r = a 1 + 2r a 4 = a 3 + r = a 1 + r + 2r = a 1 + 3r a n = a 1 + (n 1)r Portanto, o termo geral da PA será dado pela fórmula: a n = a 1 + (n 1)r, n N, a 1 = Primeiro termo, a n = Enésimo termo, r = Razão e n = número de termos Exemplo 1 Determine o termo geral da PA ( 19, 15, 11,... ): Resolução: a 1 = 19 e r = 15 ( 19) = 4 a n = a 1 + (n 1)r a n = 19 + (n 1)4 a n = n 4 a n = 4n 23 O termo geral da PA ( 19, 15, 11,... ) é a n = 4n 23. Exemplo 2 Determine o 16º termo da PA (3, 9, 15,... ): Resolução: a 1 = 19, r = 9 3 = 6 e n = 16 a n = a 16 =? Portanto, o 16º termo da PA (3, 9, 15,... ) é 93. a n = a 1 + (n 1)r a 16 = 3 + (16 1). 6 a 16 = a 16 = 93 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO - Termo Geral de uma PA/Classificação de uma PA/Propriedades de uma PA 01. (G1 - ifce 2016) Numa progressão aritmética de razão 3, o sexto termo vale 54. O septuagésimo sexto termo dessa sequência é o número a) 284 b) 264 c) 318 d) 162 e) (Eear 2016) A progressão aritmética, cuja fórmula do termo geral é dada por a n = 5n 18 tem razão igual a a) 5 b) 8 c) 5 d) 8 IFRN Campus Natal Central Professor Leonardo Andrade 9

10 03. (Ueg 2016) No primeiro semestre de 2015, a empresa Aço Firme fabricou chapas metálicas em janeiro; em fevereiro sua produção começou a cair como uma progressão aritmética decrescente, de forma que em julho a sua produção foi de 8000 chapas. Nessas condições, a produção da empresa nos meses de maio e junho totalizou a) chapas b) chapas c) chapas d) chapas e) chapas 04. (Fac. Albert Einstein - Medicin 2016) Suponha que, em certo país, observou-se que o número de exames por imagem, em milhões por ano, havia crescido segundo os termos de uma progressão aritmética de razão 6, chegando a 94 milhões/ano ao final de 10 anos. Nessas condições, o aumento percentual do número de tais exames, desde o ano da observação até ao final do período considerado, foi de a) 130% b) 135% c) 136% d) 138% 05. (Ufrgs 2014) Nas malhas de pontos da figura abaixo, dois pontos adjacentes, na horizontal ou vertical, encontram-se a distância de 1 centímetro. Considerando a sucessão de quadriláteros desenhados em cada etapa da figura, a área do quadrilátero da vigésima etapa, em cm 2 é a) 100. b) 200. c) 400. d) (Uftm 2012) Os valores das prestações mensais de certo financiamento constituem uma P.A. crescente de 12 termos. Sabendo que o valor da 1ª prestação é R$ 500,00 e o da 12ª é R$ 2.150,00, pode-se concluir que o valor da 10ª prestação será igual a a) R$ 1.750,00. b) R$ 1.800,00. c) R$ 1.850,00. d) R$ 1.900,00. e) R$ 1.950, (Acafe 2012) Em janeiro de 2010, certa indústria deu férias coletivas a seus funcionários, e a partir de fevereiro recomeçou sua produção. Considere que a cada mês essa produção cresceu em progressão aritmética, que a diferença de produção dos meses de abril e outubro de 2010 foi de 420 itens, e que em outubro a produção foi de itens. Desta forma, pode-se concluir que o número de itens produzidos em agosto de 2010 foi: a) b) 910 c) 820 d) 980 IFRN Campus Natal Central Professor Leonardo Andrade 10

11 08. (Unicamp 2011) No centro de um mosaico formado apenas por pequenos ladrilhos, um artista colocou 4 ladrilhos cinza. Em torno dos ladrilhos centrais, o artista colocou uma camada de ladrilhos brancos, seguida por uma camada de ladrilhos cinza, e assim sucessivamente, alternando camadas de ladrilhos brancos e cinza, como ilustra a figura a seguir, que mostra apenas a parte central do mosaico. Observando a figura, podemos concluir que a 10ª camada de ladrilhos cinza contém a) 76 ladrilhos. b) 156 ladrilhos. c) 112 ladrilhos. d) 148 ladrilhos. 09. (Unemat 2010) Dado uma PA cujo a 1 é o quádruplo de sua razão e a 20 é igual a 69, sua razão será: a) 2 b) 6 c) 4 d) 5 e) 3 GABARITO TERMO GERAL DE UMA PA/CLASSIFICAÇÃO DE UMA PA/PROPRIEDADES DE UMA PA 01 B 02 C 03 C 04 B 05 D 06 C 07 D 08 D 09 E 1.8 Interpolação Aritmética Interpolar ou inserir meios aritméticos significa estabelecer uma P.A. que possui determinado o 1º termo (a 1 ) e o último termo (a n ). Para interpolar os termos precisamos estabelecer a razão da P.A., para que assim possamos construí-la. Observe: Exemplo 1 Interpolar 6 meios aritméticos entre 7 e 42 de modo que a 1 = 7 e a 8 = 42. Resolução: Precisamos estabelecer a razão da P.A., veja: a n = a 1 + (n 1). r a 8 = 7 + (8 1). r 42 = 7 + 7r 42 7 = 7r 35 = 7r r = 35 7 r = 5 A progressão aritmética será (7, 12, 17, 22, 27, 32, 37, 42). IFRN Campus Natal Central Professor Leonardo Andrade 11

12 Exemplo 2 Quantos múltiplos de 4 existem entre 101 e 401? Resolução: Sabemos que a sequência dos múltiplos de 4 é uma P.A. de razão 4, (4, 8, 12, 16, 20, 24, 28,... ). O que vamos analisar é essa sequência entre 101 e 401. O primeiro múltiplo de 4 maior que 101 é o 104, então consideraremos a 1 = 104. O último múltiplo de 4 pertencente ao intervalo é o 400, portanto a n = 400. De acordo com a expressão do termo geral de uma P.A., temos: a n = 400 a 1 = 104 r = 4 a n = a 1 + (n 1). r 400 = (n 1) = n = 4n 300 = 4n n = n = 75 Podemos concluir que entre 101 e 401, existem 75 números múltiplos de 4. EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO Interpolação Aritmética - Objetivas 01. (Uefs 2016) A soma de todos os números inteiros de 1 a 1000 que não são múltiplos de 9 é igual a a) b) c) d) e) (Unisc 2015) A quantidade de números pares existentes entre 18 e 272 é a)124 a)125 a)126 a)127 a) (Pucrj 2015) A soma dos números inteiros compreendidos entre 100 e 400, que possuem o algarismo das unidades igual a 4, é: a) 1200 b) 2560 c) 4980 d) 6420 e) 7470 IFRN Campus Natal Central Professor Leonardo Andrade 12

13 04. (Pucrj 2014) A soma de todos os números naturais pares de três algarismos é: a) b) c) d) e) (G1 - utfpr 2013) A quantidade de números inteiros entre 50 e 100 que sejam múltiplos dos números 3 e 4 ao mesmo tempo é: a) 3. b) 4. c) 5. d) 13. e) (Unioeste 2012) Quantos múltiplos de 13 existem entre 100 e 1000? a) 65. b) 80. c) 69. d) 49. e) 67. GABARITO INTERPOLAÇÃO ARITMÉTICA - OBJETIVAS 01 A 02 C 03 E 04 C 05 B 06 C EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO Interpolação Aritmética - Discursivas 01. (Pucrj 2015) a) Quantos múltiplos de 13 há entre 100 e 200? b) Quantos múltiplos de 17 há entre 1000 e 2000? GABARITO INTERPOLAÇÃO ARITMÉTICA - DISCURSIVAS 01 a) 8 e b) Soma dos Termos de uma P.A finita Dada a PA (a 1, a 2, a 3,, a n 2, a n 1, a n ), que possui n termos, observe que o primeiro termo é a 1, o segundo é a 2,, o penúltimo é a n 1 e o último é a n. Representando a soma desses termos por S n, teremos a seguinte expressão: S n = a 1 + a 2 + a a n 2 + a n 1 + a n Em vez de somar os termos do mesmo modo que Gauss, reescreveremos a soma como outra soma de termos de PA logo abaixo dessa, de modo que o último termo fique abaixo do primeiro, o penúltimo fique abaixo do segundo e assim por diante. S n = a 1 + a 2 + a a n 2 + a n 1 + a n S n = a n + a n 1 + a n a 3 + a 2 + a 1 IFRN Campus Natal Central Professor Leonardo Andrade 13

14 Observe que, se somarmos as duas expressões, teremos o dobro da mesma soma que Gauss fez. S n = a 1 + a 2 + a a n 2 + a n 1 + a n + S n = a n + a n 1 + a n a 3 + a 2 + a 1 2S n = (a 1 + a n ) + (a 2 + a n 1 ) + (a 3 + a n 2 ) + + (a n 2 + a 3 ) + (a n 1 + a 2 ) + (a n + a 1 ) Mantendo o mesmo pensamento de Gauss, os resultados dessas somas entre parênteses serão iguais aos do primeiro termo somado ao último. Podemos substituir, portanto, todos os termos por (a1 + an). Observe: 2S n = (a 1 + a n ) + (a 1 + a n ) + (a 1 + a n ) (a 1 + a n ) + (a 1 + a n ) + (a 1 + a n ) Para finalizar, observe que a soma que obtivemos aqui é diferente da soma que Gauss obteve, pois possui exatamente os n termos que a PA possui. A de Gauss possuía apenas metade, pois ele somou os termos de uma mesma PA. A soma que desenvolvemos, contudo, possui todos, pois nós duplicamos cada termo antes de somá-los. Desse modo, podemos trocar toda a soma acima pela multiplicação por n, que é o número inicial de termos. Assim, resolvendo a equação, teremos a fórmula pretendida: 2S n = (a 1 + a n ) + (a 1 + a n ) + (a 1 + a n ) (a 1 + a n ) + (a 1 + a n ) + (a 1 + a n ) 2S n = n(a 1 + a n ) S n = (a 1 + a n ). n 2 Exemplo 1 Qual a soma dos 10 primeiros termos da PA (1, 4, 7,... )? Resolução: a 1 = 1, r = 3 e n = 10 a n = a 10 =? Primeiramente, temos de descobrir qual é o 10º termo dessa PA: a n = a 1 + (n 1)r a 10 = 1 + (10 1). 3 a 10 = a 10 = 28 Conhecendo o valor do 10º termo, podemos calcular a soma dos 10 primeiros termos dessa PA: S n = (a 1 + a n ). n (1 + 28). 10 S 2 10 = S 2 10 = 145 Portanto, a soma dos 10 primeiros termos da PA (1, 4, 7,... ) é 145. EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO Soma do termos de uma Progressão Aritmética 01. (Fatec 2016) Em 2015, um arranha-céu de 204 metros de altura foi construído na China em somente 19 dias, utilizando um modelo de arquitetura modular pré-fabricada. Suponha que o total de metros de altura construídos desse prédio varie diariamente, de acordo com uma Progressão Aritmética (PA), de primeiro termo igual a 12,5 metros (altura construída durante o primeiro dia), e o último termo da PA igual a x metros (altura construída durante o último dia). Com base nessas informações, o valor de x é, aproximadamente, a) 7,5 b) 8,0 c) 8,5 d) 9,0 e) 9,5 IFRN Campus Natal Central Professor Leonardo Andrade 14

15 02. (G1 - ifal 2016) Em uma apresentação circense, forma-se uma pirâmide humana com uma pessoa no topo sustentada por duas outras que são sustentadas por mais três e assim sucessivamente. Quantas pessoas são necessárias para formar uma pirâmide com oito filas de pessoas, da base ao topo? a) 8 b) 16 c) 28 d) 36 e) (Puccamp 2016) Um jogo de boliche é jogado com 10 pinos dispostos em quatro linhas, como mostra a figura abaixo. fosse inventado um outro jogo, semelhante ao boliche, no qual houvesse um número maior de pinos, dispostos da mesma forma, e ao todo com 50 linhas, o número de pinos necessários seria igual a a) 1125 b) 2525 c) 2550 d) 1625 e) (G1 - ifsul 2016) A sequência ( 30, 27, 24, 21, ) mantém esse padrão de comportamento para um determinado número de termos n. A soma destes n termos vale zero. Qual é esse número de termos? a) 19 b) 20 c) 21 d) (Imed 2016) Em uma determinada Universidade, o cronograma de matrícula aos estudantes calouros é organizado de acordo com a classificação no curso da graduação. No primeiro dia, são matriculados oito estudantes calouros, no segundo dia, 11, no terceiro, 14 e assim sucessivamente, formando uma progressão aritmética. Nessa situação, ao final do sétimo dia, o número total de novos estudantes matriculados até o momento é igual a: a) 119 b) 164 c) 225 d) 239 e) (Upe-ssa ) Brincando de construir sequências numéricas, Marta descobriu que em uma determinada progressão aritmética, a soma dos cinquenta primeiros termos é S 50 = Se o primeiro termo dessa progressão é a 1 = 2, qual o valor que ela irá encontrar fazendo a soma S 27 + S 12? a) 312 b) 356 c) 410 d) 756 e) 912 IFRN Campus Natal Central Professor Leonardo Andrade 15

16 07. (G1 - ifpe 2016) Na fabricação de mesas de reunião, uma fábrica trabalha com vários modelos e tamanhos. As mesas redondas são todas acompanhadas com uma certa quantidade de poltronas a depender do tamanho da mesa, conforme a figura abaixo: O primeiro modelo acompanha 3 poltronas, o segundo modelo acompanha 6 poltronas, o terceiro, 9 poltronas e assim sucessivamente, isto é, sempre um modelo de mesa acompanha 3 poltronas a mais em relação ao modelo anterior. Um cliente adquiriu uma unidade de cada um dos 10 primeiros modelos de mesa circular. Como todo patrimônio da sua empresa é identificado a partir de uma etiqueta adesiva, quantos adesivos devem ser confeccionados para que cada uma das mesas e poltronas adquiridas seja devidamente etiquetada? a) 165 b) 175 c) 30 d) 40 e) (G1 - ifsul 2016) A soma dos doze primeiros termos de uma Progressão Aritmética formada por números reais é 243.Considerando que o sétimo termo é 22 a razão r,com r R será a) 1 < r < 2 b) 2 < r < 3 c) 3 < r < 4 d) 4 < r < (Pucpr 2015) Um consumidor, ao adquirir um automóvel, assumiu um empréstimo no valor total de R$ 42000,00 (já somados juros e encargos). Esse valor foi pago em 20 parcelas, formando uma progressão aritmética decrescente. Dado que na segunda prestação foi pago o valor de R$ 3800,00, a razão desta progressão aritmética é: a) 300 b) 200 c) 150 d) 100 e) (Unesp 2013) A soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética é dada por 3n 2 2n, onde n é um número natural. Para essa progressão, o primeiro termo e a razão são, respectivamente, a) 7 e 1. b) 1 e 6. c) 6 e 1. d) 1 e 7. e) 6 e 7. IFRN Campus Natal Central Professor Leonardo Andrade 16

17 11. (Espcex (Aman) 2013) Em uma progressão aritmética, a soma S n de seus n primeiros termos é dada pela expressão S n = 5n 2 12n, com n N. A razão dessa progressão é a) 2 b) 4 c) 8 d) 10 e) (Udesc 2012) Se a soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética é dada pela expressão S n = 93n 4n 2, então a sua razão e o seu terceiro termo são iguais, respectivamente, a: a) 8 e 73 b) 8 e 105 c) 8 e 243 d) 8 e 81 e) 81 e 251 GABARITO SOMA DOS TERMOS DE UMA PROGRESSÃO ARITMÉTICA 01 D 02 D 03 E 04 C 05 A 06 E 07 B 08 C 09 B 10 B 11 D 12 A 1.10 Progressão Aritmética de 2ª Ordem Uma progressão aritmética de segunda ordem é uma sequência na qual as diferenças entre cada par de termos a n = a n+1 a n formam, entre si, uma progressão aritmética não estacionária. EXEMPLO 1 A sequência (a n ) = (1,3,6,10,15,21, ) é uma progressão aritmética de segunda ordem porque a sequência das diferenças entre seus termos a n = (2,3,4,5,6, ) é uma progressão aritmética não estacionária. EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO Progressão Aritmética de 2ª Ordem - Objetivas 01.(G.1) Números triangulares são números que podem ser representados por pontos arranjados na forma de triângulos equiláteros. E conveniente definir 1 como o primeiro numero triangular. Apresentamos a seguir os primeiros números triangulares. Se Tn representa o n-ésimo número triangular, então T 1 = 1, T 2 = 3, T 3 = 6, T 4 = 10, e assim por diante. O valor de T 100 é igual a: a) 5050 b) 4950 c) 2181 d) 1458 GABARITO PROGRESSÃO ARITMÉTICA DE 2ª ORDEM - OBJETIVAS 01 A IFRN Campus Natal Central Professor Leonardo Andrade 17

18 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO Progressão Aritmética de 2ª Ordem - Discursivas 01.(G.1) Dada a sequência 1, 5, 13, 25, determine o valor do termo geral a n em função de n. GABARITO PROGRESSÃO ARITMÉTICA DE 2ª ORDEM - DISCURSIVAS 01 a n = 2n 2 2n + 1 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO - PROGRESSÃO ARITMÉTICA - ENEM 01. (Enem 2ª aplicação 2016) Com o objetivo de trabalhar a concentração e a sincronia de movimentos dos alunos de uma de suas turmas, um professor de educação física dividiu essa turma em três grupos (A, B e C) e estipulou a seguinte atividade: os alunos do grupo A deveriam bater palmas a cada 2s os alunos do grupo B deveriam bater palmas a cada 3s e os alunos do grupo C deveriam bater palmas a cada 4s. O professor zerou o cronômetro e os três grupos começaram a bater palmas quando ele registrou 1s. Os movimentos prosseguiram até o cronômetro registrar 60s.Um estagiário anotou no papel a sequência formada pelos instantes em que os três grupos bateram palmas simultaneamente. Qual é o termo geral da sequência anotada? a) 12n, com n um número natural, tal que 1 n 5. b) 24n, com n um número natural, tal que 1 n 2. c) 12(n 1), com n um número natural, tal que 1 n 6. d) 12(n 1) + 1, com n um número natural, tal que 1 n 5. e) 24(n 1) + 1, com n um número natural, tal que 1 n (Enem 2016) Sob a orientação de um mestre de obras, João e Pedro trabalharam na reforma de um edifício. João efetuou reparos na parte hidráulica nos andares 1,3,5,7 e assim sucessivamente, de dois em dois andares. Pedro trabalhou na parte elétrica nos andares 1,4,7,10 e assim sucessivamente, de três em três andares. Coincidentemente, terminaram seus trabalhos no último andar. Na conclusão da reforma, o mestre de obras informou, em seu relatório, o número de andares do edifício. Sabe-se que, ao longo da execução da obra, em exatamente 20 andares, foram realizados reparos nas partes hidráulica e elétrica por João e Pedro.Qual é o número de andares desse edifício? a) 40 b) 60 c) 100 d) 115 e) (Enem 2ª aplicação 2016) Em um trabalho escolar, João foi convidado a calcular as áreas de vários quadrados diferentes, dispostos em sequência, da esquerda para a direita, como mostra a figura. O primeiro quadrado da sequência tem lado medindo 1 cm o segundo quadrado tem lado medindo 2 cm o terceiro 3 cm e assim por diante. O objetivo do trabalho é identificar em quanto a área de cada quadrado da sequência excede a área do quadrado anterior. A área do quadrado que ocupa a posição n, na sequência, foi representada por A n. Para n 2, o valor da diferença A n A n 1, em centímetro quadrado, é igual a a) 2n 1 b) 2n + 1 c) 2n + 1 d) (n 1) 2 e) n 2 1 IFRN Campus Natal Central Professor Leonardo Andrade 18

19 04. (Enem PPL 2014) Um ciclista participará de uma competição e treinará alguns dias da seguinte maneira: no primeiro dia, pedalará 60 km no segundo dia, a mesma distância do primeiro mais r km no terceiro dia, a mesma distância do segundo mais r km; e, assim, sucessivamente, sempre pedalando a mesma distância do dia anterior mais r km. No último dia, ele deverá percorrer 180km completando o treinamento com um total de 1560km. A distância r que o ciclista deverá pedalar a mais a cada dia, em km é a) 3 b) 7 c) 10 d) 13 e) (Enem PPL 2013) Para um principiante em corrida, foi estipulado o seguinte plano de treinamento diário: correr 300 metros no primeiro dia e aumentar 200 metros por dia, a partir do segundo. Para contabilizar seu rendimento, ele utilizará um chip, preso ao seu tênis, para medir a distância percorrida nos treinos. Considere que esse chip armazene, em sua memória, no máximo 9,5 km de corrida/caminhada, devendo ser colocado no momento do início do treino e descartado após esgotar o espaço para reserva de dados. Se esse atleta utilizar o chip desde o primeiro dia de treinamento, por quantos dias consecutivos esse chip poderá armazenar a quilometragem desse plano de treino diário? a) 7 b) 8 c) 9 d) 12 e) (Enem 2013) As projeções para a produção de arroz no período de , em uma determinada região produtora, apontam para uma perspectiva de crescimento constante da produção anual. O quadro apresenta a quantidade de arroz, em toneladas, que será produzida nos primeiros anos desse período, de acordo com essa projeção. Ano Projeção da produção (t) , , , ,00 A quantidade total de arroz, em toneladas, que deverá ser produzida no período de 2012 a 2021 será de a) 497,25. b) 500,85. c) 502,87. d) 558,75. e) 563, (Enem 2012) Jogar baralho é uma atividade que estimula o raciocínio. Um jogo tradicional é a Paciência, que utiliza 52 cartas. Inicialmente são formadas sete colunas com as cartas. A primeira coluna tem uma carta, a segunda tem duas cartas, a terceira tem três cartas, a quarta tem quatro cartas, e assim sucessivamente até a sétima coluna, a qual tem sete cartas, e o que sobra forma o monte, que são as cartas não utilizadas nas colunas. A quantidade de cartas que forma o monte é a) 21. IFRN Campus Natal Central Professor Leonardo Andrade 19

20 b) 24. c) 26. d) 28. e) (Enem 2011) O número mensal de passagens de uma determinada empresa aérea aumentou no ano passado nas seguintes condições: em janeiro foram vendidas passagens; em fevereiro, ; em março, Esse padrão de crescimento se mantém para os meses subsequentes. Quantas passagens foram vendidas por essa empresa em julho do ano passado? a) b) c) d) e) (Enem 2010) Uma professora realizou uma atividade com seus alunos utilizando canudos de refrigerante para montar figuras, onde cada lado foi representado por um canudo. A quantidade de canudos (C) de cada figura depende da quantidade de quadrados (Q) que formam cada figura. A estrutura de formação das figuras está representada a seguir. Que expressão fornece a quantidade de canudos em função da quantidade de quadrados de cada figura? a) C = 4Q b) C = 3Q + 1 c) C = 4Q 1 d) C = Q + 3 e) C = 4Q (Enem 2ª aplicação 2010) O trabalho em empresas de exige dos profissionais conhecimentos de diferentes áreas. Na semana passada, todos os funcionários de uma dessas empresas estavam envolvidos na tarefa de determinar a quantidade de estrelas que seriam utilizadas na confecção de um painel de Natal. Um dos funcionários apresentou um esboço das primeiras cinco linhas do painel, que terá, no total, 150 linhas. Após avaliar o esboço, cada um dos funcionários esboçou sua resposta: Funcionário I: aproximadamente 200 estrelas. Funcionário II: aproximadamente estrelas. Funcionário III: aproximadamente estrelas. Funcionário IV: aproximadamente estrelas. Funcionário V: aproximadamente estrelas. IFRN Campus Natal Central Professor Leonardo Andrade 20

21 Qual funcionário apresentou um resultado mais próximo da quantidade de estrelas necessária? a) I b) II c) III d) IV e) V 11. (Enem 2ª aplicação 2010) Nos últimos anos, a corrida de rua cresce no Brasil. Nunca se falou tanto no assunto como hoje, e a quantidade de adeptos aumenta progressivamente, afinal, correr traz inúmeros benefícios para a saúde física e mental, além de ser um esporte que não exige um alto investimento financeiro. Disponível em: Acesso em: 28 abr Um corredor estipulou um plano de treinamento diário, correndo 3 quilômetros no primeiro dia e aumentando 500 metros por dia, a partir do segundo. Contudo, seu médico cardiologista autorizou essa atividade até que o corredor atingisse, no máximo, 10 km de corrida em um mesmo dia de treino. Se o atleta cumprir a recomendação médica e praticar o treinamento estipulado corretamente em dias consecutivos, pode-se afirmar que esse planejamento de treino só poderá ser executado em, exatamente, a) 12 dias. b) 13 dias. c) 14 dias. d) 15 dias. e) 16 dias. GABARITO - ENEM 01 D 02 D 03 A 04 C 05 B 06 D 07 B 08 D 09 B 10 B 11 C 12 D IFRN Campus Natal Central Professor Leonardo Andrade 21