Comparação de modelos matemáticos para o traçado de curvas granulométricas

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1 Coparação e oelos ateáticos 363 Coparação e oelos ateáticos para o traçao e curvas grauloétricas Euzebio Merao a Silva (1), Jorge Eoch Furqui Wereck Lia (1), Lieu Neiva Rorigues (1) e Juscelio Atôio e Azeveo (1) (1) Ebrapa Cerraos, BR-020 k 18, Caixa Postal 08223, CEP Plaaltia, DF. E-ail: euzebio@cpac.ebrapa.br, jorge@cpac.ebrapa.br, lieu@cpac.ebrapa.br, jusceli@cpac.ebrapa.br Resuo A istribuição grauloétrica e partículas sólias é essecial para as áreas e aterial e costrução, ecâica os solos, física os solos, hirosseietologia, etre outras. As técicas utilizaas a avaliação a istribuição grauloétrica e aostras resulta e valores potuais, epeeo e posterior iterpolação para o traçao a curva grauloétrica e a obteção e iâetros característicos específicos. A trasforação e valores potuais e fuções cotíuas poe ser realizaa por eio e oelos ateáticos. Etretato, há poucos estuos co a fialiae e eteriar o elhor oelo para o ajuste e curvas grauloétricas. O objetivo este trabalho foi testar e coparar 14 iferetes oelos passíveis e utilização o traçao a curva grauloétrica e partículas sólias co base e quatro potos eios. O parâetro e coparação etre os oelos foi a soa e quarao os erros etre os valores eios e calculaos. Os oelos ais recoeaos o traçao a curva grauloétrica, a partir e quatro potos, são os e Skaggs et al. 3P, Lia & Silva 3P, Weibull 3P e Morga et al. 3P, toos co três parâetros e ajuste. Teros para iexação: textura o solo, grauloetria, regressão ão liear, curva e crescieto. Copariso of atheatical oels for fittig particle-size istributio curves Abstract Particle-size istributio is fuaetal for characterizig costructio aterials, soil echaics, soil physics, seiet-flux i rivers, a others. The techiques use to eterie the particle-size istributio of a saple are poit-wise, eaig posterior iterpolatio to fit the coplete particle-size istributio curve a to obtai values of specific iaeters. The trasforatio of iscrete poits ito cotiuous fuctios ca be ae by atheatical oels. However, there are few stuies to eterie the best oel to fit particle-size istributio curves. The objective of this work was to test a copare 14 ifferet oels with feasibility to fit the cuulative particle-size istributio curve base o four easure poits. The paraeter use to copare the oels was the su of the square errors betwee the easure a calculate values. The ost recoeable oels to fit the particle-size istributio curve, base o four iscrete poits, are Skaggs et al. 3P, Lia & Silva 3P, Weibull 3P, a Morga et al. 3P, all usig three fittig paraeters. Iex ters: soil texture, soil fractios, o-liear regressio, growth curves. Itroução O cohecieto sobre a istribuição grauloétrica e partículas sólias é essecial para várias aplicações. Assi, é por eio a aálise grauloétrica que se eteria a textura os solos, parâetro fuaetal a iferêcia o potecial e copactação, a ispoibiliae e água, a aeração, a coutiviae o solo ao ar, à água e ao calor, a ifiltração e a reistribuição e água (Preveello, 1996). Alé isso, coo os processos e erosão, trasporte e eposição e partículas sólias são epeetes, etre outras graezas, a grauloetria os ateriais expostos e carreaos, o traçao a curva grauloétrica é essecial a hirosseietologia, possibilitao a obteção e eteriaos iâetros característicos as aostras, fuaetais a estiativa o eslocaeto e seietos e bacias hirográficas (Carvalho et al., 2000). E geral, as técicas utilizaas o levataeto e aos grauloétricos resulta e valores potuais, efiio a proporção co que os iferetes taahos e partículas sólias ocorre e eteriaa aostra. Existe iversas classificações para efiir as escalas e taaho essas partículas, tais coo as propostas pelo Departaeto e Agricultura os Estaos Uios (Estaos Uios, 1951) e pela Socieae Brasileira e Ciêcia o Solo (Leos & Satos, 1984). A existêcia e iferetes escalas coplica a orgaização essas Pesq. agropec. bras., Brasília, v.39,.4, p , abr. 2004

2 364 E.M. a Silva et al. iforações e ua base e aos úica. Para solucioar esse problea, Nees et al. (1999) testara iferetes proceietos para copatibilizar os valores potuais a istribuição grauloétrica e várias bases e aos e solos europeus. A trasforação e valores potuais e fuções cotíuas te sio objeto e vários estuos, cofore revisão e Hwag II et al. (2002), a qual se estaca as fuções log-orais e as o tipo curvas e crescieto, coo as freqüeteete utilizaas para represetar curvas grauloétricas e partículas e solo. Os oelos ais aequaos à represetação a curva grauloétrica eve ser capazes e traçar ua fução cotíua e fora e S, a exeplo os oelos e curvas e crescieto escritos por Haverkap & Parlage (1986), Frelu et al. (2000), Naie et al. (2001) e Lia & Silva (2002). Hwag II et al. (2002) coparara sete oelos: cico log-orais, co u, ois e três parâetros (Bucha et al., 1993); Gopertz, co quatro parâetros (Nees et al., 1999); e Frelu, co quatro parâetros (Frelu et al., 2000), utilizao aostras e solos coreaos. Esses autores cocluíra que o oelo e Frelu apresetou o elhor esepeho a aioria os solos estuaos, auetao sua perforace co o icreeto o teor e argila e que o oelo e Gopertz, eso co quatro parâetros, foi apeas u pouco elhor o que os eais, co ois e três parâetros. Observara, aia, variações o esepeho e ajuste os oelos e fução a classe e solo aalisaa. O trabalho e Hwag II et al. (2002) represeta iportate cotribuição a coparação e oelos o traçao a curva grauloétrica. No etato, seu estuo é relativaete icopleto, pois outros oelos, potecialete aaptáveis a essa fialiae, ão fora coteplaos. Alé isso, a coparação ireta e oelos co iferetes úeros e parâetros poe favorecer àqueles que os tê e aior quatiae, torao uviosas suas coclusões e relação à perforace os oelos testaos. O objetivo este trabalho foi testar e coparar 14 iferetes oelos passíveis e utilização o traçao a curva grauloétrica e partículas sólias co base e quatro potos eios. (Brasil, ), co aostras istribuías equitativaete as 13 classes texturais escritas por Leos & Satos (1984) (Figura 1). Para caa ua as treze classes texturais, 10 tipos e solos co suas respectivas frações grauloétricas argila (partículas co iâetro eor o que 0,002 ); silte (iâetro e partículas etre 0,002 e 0,05 ); areia fia (partículas etre 0,05 e 0,2 ); e areia grossa (partículas etre 0,2 e 2 ) ecotra-se iicaas o triâgulo textural (Figura 2). Esses aos fora utilizaos o ajuste e 14 oelos ateáticos o tipo curva e crescieto, selecioaos e iversas fotes, co potecial para escrição o traçao a curva grauloétrica (Tabela 1). A coparação etre os oelos foi baseaa a soa e quarao os erros verificaos etre os valores observaos e ajustaos. Coo a base e aos utilizaa era coposta e apeas quatro frações grauloétricas, o úero áxio e parâetros o ajuste os oelos foi restrito a três. A eteriação os parâetros e ajuste os oelos aos potos cohecios a curva foi efetuaa por eio a rotia Solver o prograa Microsoft Excel. A fuçãoobjetivo o processo e otiização foi escrita e fora a iiizar o valor a soa e quaraos os erros (SQ erro ) etre os valores observaos e calculaos as frações acuulaas. Tratao-se e ua otiização e oelos ão-lieares, a escolha os valores iiciais os parâetros a sere ajustaos foi fuaetal a covergêcia o processo e otiização o íio global. Material e Métoos Fora utilizaos resultaos e aálises rauloétricas e 130 perfis e solos escritos o Projeto RaaBrasil Figura 1. Triâgulo e classificação textural e solos (Leos & Satos, 1984). Pesq. agropec. bras., Brasília, v.39,.4, p , abr. 2004

3 Coparação e oelos ateáticos 365 Figura 2. Triâgulo textural co a respectiva base e aos utilizaa este trabalho. Assi, os valores iiciais os parâetros a otiização fora estiaos co o auxílio gráfico, observao a proxiiae etre a curva geraa e os potos eios. Para garatir que o resultao obtio era realete o íio global, o proceieto e otiização foi repetio até a estabilização o resultao a SQ erro. Nos casos e que a curva ajustaa ivergia substacialete os potos observaos, a otiização foi refeita co outras estiativas iiciais a expectativa e elhoria o resultao. Na coparação os oelos, buscou-se prieiraete efiir o tipo e istribuição estatística que elhor represetasse a freqüêcia os 130 valores e SQ erro resultates a otiização e caa oelo. Para isso, fora elaboraos histograas e freqüêcia os valores e SQ erro obtios, iviios e oito classes, seguo étoo escrito por Ia & Coover (1983). Aalisao a fora os histograas, verificou-se que a istribuição que elhor os represetava foi a expoecial, fato estatisticaete coprovao por eio a eia e correlação etre os valores observaos a freqüêcia acuulaa e os calculaos pelo oelo e istribuição. A sigificâcia essa correlação foi obtia por eio o teste e sigificâcia r e Pearso (Levi, 1987). Esse tipo e istribuição é próprio para estabelecer o valor a variável SQ erro, a partir o qual o oelo ajustao é cosierao falho e eteriao ível e probabiliae. Ua vez efiio o parâetro estatístico λ que represeta o iverso a éia os SQ erro (Ia & Coover, 1983), a istribuição expoecial correspoete a caa oelo ficou estabelecia. Assi, para caa oelo, foi eteriao o valor e SQ erro correspoete ao ível crítico e 5% e probabiliae (SQ erro crítico), possibilitao, essa aeira, a coparação etre eles sob a esa base. Por esse critério, quato eor o SQ erro crítico, elhor o oelo. Alé isso, verificou-se, para caa oelo, o úero e casos e que os valores e SQ erro fora iferiores ao SQ erro crítico, ou seja, quatas vezes o oelo represetou aequaaete os potos observaos co ua probabiliae e erro eor o que a o ível crítico estabelecio. Resultaos e Discussão As freqüêcias acuulaas os valores e SQ erro obtios o ajuste os 14 oelos aalisaos ecotra-se ilustraas a Figura 3. Os potos ao logo e caa curva represeta os valores calculaos pela istribuição expoecial os 130 valores e SQ erro. Quato ais a curva geraa se aproxia o eixo as oreaas, tato elhor o oelo. Para estacar a ifereça etre os oelos, a 5% e probabiliae, são apresetas as Figuras 3b e 3, respectivas apliações as Figuras 3a e 3c. E relação aos oelos co ois parâetros (Figuras 3a e 3b), o Skaggs et al. (oificao) foi o que apresetou o elhor esepeho o ajuste as curvas grauloétricas, resultao os eores valores e SQ erro. E seguia, restou u cojuto e quatro oelos (Morga et al. 2P, Weibull 2P, Lia & Silva 2P e Skaggs et al. 2P), que ebora apresetasse esepeho iferior ao e Skaggs et al. 2P (o), eostrou resultaos satisfatórios. Fialete, estacara-se os oelos Haverkap & Parlage 2P e Gopertz 2P, coo os eos aequaos para os objetivos propostos. No que se refere aos oelos co três parâetros (Figuras 3c e 3), efatizou-se a existêcia e u cojuto e quatro oelos co elhor esepeho (Skaggs et al. 3P, Lia & Silva 3P, Weibull 3P e Morga et al. 3P) e, e seguia, os oelos Richars 3P e Harverkap & Parlage 3P. O oelo Frelu et al. 3P foi o que apresetou o pior resultao etre os oelos e três parâetros. Essa classificação iverge os resultaos e Hwag II et al. (2002), o qual o oelo e Pesq. agropec. bras., Brasília, v.39,.4, p , abr. 2004

4 366 E.M. a Silva et al. Tabela 1. Moelos e ois (2P) e três (3P) parâetros para o traçao a curva grauloétrica os quais P represeta o porcetual e partículas co iâetro eor ou igual a () (1). Noe Moelo Restrições Gopertz (1825) 2P aaptao e Nees et al. (1999) - k ( - u) P -e = e - P = - - P e Weibull (1951) 2P ( ) Weibull (1951) 3P P = - o ( - P ) o k - k e k>0; u>0 P o =P 0,002 ; k>0; >0 P o >0; k>0; >0 1 -k -u 1- Richars (1959) 3P P = ( ) >0; 1; k>0; u>0-1 e Morga et al. (1975) 2P ( ) - Po P = - k P o =P 0,002 ; k>0; >0 Morga et al. (1975) 3P ( ) - Po P = - k P o >0; k>0; >0 Haverkap & Parlage (1986) 2P P = g >0; >0; =1-1/ g Haverkap & Parlage (1986) 3P P = g >0; >0; >0 g 7 LN 1 + i Frelu et al. (2000) 3P P = 1 g g g a >0; g >0; g >0; i =0,002 + i g LN 1 LN e + a 0,00001 Skaggs et al. (2001) 2P P = P o =P 0,002 ; k>0; >0 -k -1 e P o Skaggs et al. (2001) 3P P = P o >0; k>0; >0 -k -1 e P o Lia & Silva (2002) 2P - P P = Po + 1 o δ>0; >0; =1-1/ - Po Lia & Silva (2002) 3P P = Po + δ>0; >0; >0 1 Skaggs et al. (2001) 2P (o) P = P o =P 0,002 ; k>0; >0 -k( -0,002 ) -1 e P o (1) K, u,, g,, g a, g, g e δ são os parâetros e ajuste os oelos; P o represeta o porcetual e partículas co iâetro eor ou igual a 0,002, e algus casos fixo e, e outros, u os parâetros e ajuste. Pesq. agropec. bras., Brasília, v.39,.4, p , abr. 2004

5 Coparação e oelos ateáticos 367 Frelu et al. (2000) co quatro parâetros foi cosierao o elhor quao coparao a cico oelos log-orais, propostos por Bucha et al. (1993) e a ois oelos (log-liear e Gopertz), usaos por Nees et al. (1999), utilizao a base e aos e solos coreaos. É provável que a escolha o cojuto e oelos testaos por Hwag II et al. (2002) ão teha sio aequaa, eixao e cosierar oelos potecialete elhores. Alé isso, ao coparar oelos co iferetes úeros e parâetros e ajuste, Hwag II et al. (2002) beeficiou os oelos que os tê e aior quatiae. Na Tabela 2, apreseta-se, e ore crescete, a éia as SQ erro e o valor correspoete ao SQ erro crítico obtios e caa oelo. A éia SQ erro represeta o iverso o parâetro estatístico eteriate a istribuição expoecial e caa oelo, servio tabé e critério a coparação etre eles. O ite Figura 3. Faílias e curvas a istribuição estatística expoecial, costruías co os valores e SQ erro obtios o ajuste e caa oelo (2P e 3P) às curvas grauloétricas aalisaas, ilustrao ao lao e caa caso a visão expaia a porção as curvas até o ível crítico e 5% e probabiliae. Pesq. agropec. bras., Brasília, v.39,.4, p , abr. 2004

6 368 E.M. a Silva et al. casos aceitos iica o úero e vezes e que o valor e SQ erro foi eor o que o SQ erro crítico. Os elevaos valores e correlação obtios e seus respectivos íveis e sigificâcia (NS%) iicara que os valores observaos e freqüêcia acuulaa fora explicaos pela istribuição estatística expoecial. Esperava-se que os oelos co três parâetros (3P) apresetasse elhor esepeho o que aqueles co ois parâetros (2P). Etretato, coo se poe observar, o oelo Skaggs et al. 2P (oificao) foi o que alcaçou elhor esepeho o ajuste as curvas aalisaas (Tabela 2). Alé isso, algus oelos e três parâetros (Richars 3P, Haverkap & Parlage 3P e Frelu et al. 3P) apresetara esepeho iferior a oelos co ois parâetros (Morga et al. 2P, Weibull 2P, Lia & Silva 2P e Skaggs et al. 2P). Hwag II et al. (2002) tabé costatara que o aior úero e parâetros o oelo ão é garatia e sucesso o ajuste e curvas grauloétricas e cocluíra que o oelo e Gopertz, utilizao co quatro parâetros aquele trabalho, apresetou esepeho iferior a outros co ois e três parâetros. Para avaliar o traçao as curvas quato à sua fora, selecioara-se, para fis ilustrativos, quatro casos represetativos e qualiaes e aoalias ecotraas o ajuste as curvas grauloétricas (Figura 4). As classes texturais e coposições grauloétricas as aostras selecioaas fora as seguites: areosa (6% argila, 4% silte, 44% areia fia, 46% areia grossa); fraca (19% argila, 41% silte, 31% areia fia, 9% areia grossa); argilosa (51% argila, 21% silte, 20% areia fia, 8% areia grossa); e argilo-siltosa (49% argila, 42% silte, 6% areia fia, 3% areia grossa). Co vistas a elhorar a visualização as curvas, caa classe textural foi represetaa por ois gráficos ispostos lao a lao: o a esquera, co os sete oelos e ois parâetros, e o a ireita, co os sete e três parâetros. Os oelos (2P e 3P) fora hábeis o ajuste as curvas aos potos observaos (Figura 4). Etretato, o caso a aostra e textura areosa, os oelos Haverkap & Parlage 2P e 3P, Gopertz 2P e Frelu et al. 3P ivergira a parte iicial a curva. Na textura fraca, Gopertz 2P e Richars 3P ão apresetara a flexibiliae ecessária para icluir o poto e areia fia e seu ajuste. Na textura argilosa, Gopertz 2P, Haverkap & Parlage 2P e Frelu et al. 3P fora os que apresetara aior ificulae e ajuste. A liitação o oelo Frelu et al. (2000), o traçao e curvas grauloétricas e solos argilosos, cotrariou os resultaos e Hwag II et al. (2002), os quais, co o aueto o teor e argila as aostras, o referio oelo apresetou ua perforace elhoraa e relação aos eais. No caso o solo co aior teor e silte (textura argilo- Tabela 2. Iicaores e aerêcia etre os valores a istribuição estatística expoecial e a freqüêcia acuulaa observaa, relativos a oito classes e SQ erro aalisaas e iicaores estatísticos correspoetes aos 130 valores iiviuais e SQ erro calculaos co base e caa oelo. Moelos Iicaores e aerêcia Iicaores estatísticos Skaggs et al. (2001) 2P (o) Skaggs et al. (2001) 3P Lia & Silva (2002) 3P Weibull (1951) 3P Morga et al. (1975) 3P Morga et al. (1975) 2P Weibull (1951) 2P Lia & Silva (2002) 2P Skaggs et al. (2001) 2P Richars (1959) 3P Haverkap & Parlage (1986) 3P Frelu et al. (2000) 3P Haverkap & Parlage (1986) 2P Gopertz (1825) 2P Correlação 0,97 0,95 0,94 0,97 0,94 0,92 0,96 0,97 0,97 Teste t (1) 10,02 7,33 6,83 6,04 6,34 10,16 6,42 6,03 6,89 5,61 6,45 8,68 10,31 9,43 (1) r (Nc-2) t=, e que Nc-2 é o grau e liberae (6) e r é o valor a correlação ecotraa. (2) NS% = [1-DistT(t,6,1)], e que DistT(t,6,1) é o 2 1-r valor a istribuição uicaual t co 6 graus e liberae. (3) Correspoe ao úero e casos os quais o valor a SQ erro é iferior ao valor crítico eteriao a 5% e probabiliae. NS% (2),00 99,98 99,98 99,95 99,96,00 99,97 99,95 99,98 99,93 99,97 99,99,00,00 Méia SQ erro 2,38 5,43 6,73 7,32 9,61 14,97 17,97 18,21 20,53 38,05 40,87 56,81 65,30 123,01 SQ erro crítico 0,122 0,279 0,345 0,375 0,493 0,768 0, ,053 1,952 2,096 2,914 3,349 6,309 Casos aceitos (3) Pesq. agropec. bras., Brasília, v.39,.4, p , abr. 2004

7 Coparação e oelos ateáticos 369 Figura 4. Cojuto e curvas geraas e quatro classes texturais co a aplicação os iferetes oelos e ua aa aostra e solo. Pesq. agropec. bras., Brasília, v.39,.4, p , abr. 2004

8 370 E.M. a Silva et al. siltosa), os oelos apresetara a aior varieae e traçaos o ajuste aos potos observaos, haveo aior ivergêcia os oelos co ois parâetros (Figura 4). Nesse tipo e solo, o oelo e Gopertz, apesar o forato aequao, ão foi capaz e ajustar o poto correspoete ao teor e silte. Não obstate o elhor ajuste aos potos observaos, o oelo Skaggs et al. 2P (o) apresetou forato ivergete o traçao sigoial esperao. Essa aoraliae tabé foi verificaa por Skaggs et al. (2001) ao aplicar seu oelo e solos co teor e silte acia e 70%, o que tora seu eprego o ajuste e curvas grauloétricas co quatro potos uvioso. Coclusões 1. Apesar e ter obtio a elhor classificação, o oelo Skaggs et al. 2P (oificao), e algus casos, ão reprouz o traçao sigoial esperao, seo seu eprego recoeao co ressalvas. 2. Os oelos ais recoeaos o traçao a curva grauloétrica, a partir e quatro potos, são Skaggs et al. 3P, Lia & Silva 3P, Weibull 3P e Morga et al. 3P. 3. Etre os oelos e ois parâetros, os ais recoeáveis são os e Morga et al. 2P, Weibull 2P, Lia & Silva 2P e Skaggs et al. 2P. 4. O oelo e Gopertz 2P, por seu pior esepeho, ão é recoeável o traçao e curvas grauloétricas a partir e quatro potos. Agraecietos Ao CNPq pela cocessão a bolsa PROFIX ao terceiro autor; aos epregaos a Ebrapa Cerraos, que cotribuíra co sugestões para a elhoria este trabalho. Referêcias BRASIL. Miistério as Mias e Eergia. Departaeto Nacioal e Proução Mieral. Projeto RADAMBRASIL. Rio e Jaeiro, (Levataeto e Recursos Naturais, v.1-34). BUCHAN, G.D.; GREWAL, K.S.; ROBSON, A.B. Iprove oels of particle-size istributio: a illustratio of oel copariso techiques. Soil Sciece Society of Aerica Joural, v.57, p , CARVALHO, N.O.; FILIZOLA JÚNIOR, N.P.; SANTOS, P.M.C.; LIMA, J.E.F.W. Guia e práticas seietoétricas. Brasília: ANEEL, p. ESTADOS UNIDOS. Departet of Agriculture. Soil Survey Staff. Soil survey aual. Washigto, p. (Habook, 18). FREDLUND, M.D.; FREDLUND, D.G.; WILSON, G.W. A equatio to represet grai-size istributio. Caaia Geotechical Joural, v.37, p , HAVERKAMP, R.; PARLANGE, J.Y. Preictig the water-retetio curve fro particle-size istributio I: say soils without orgaic atter. Soil Sciece Society of Aerica Joural, v.142, p , HWANG II, S.; LEE, K.P.; LEE, D.S.; POWERS, S.E. Moels for estiatig soil particle-size istributios. Soil Sciece Society of Aerica Joural, v.66, p , IMAN, R.L.; CONOVER, W.J. A oer approach to statistics. New York: J. Wiley, p. LEMOS, R.C.; SANTOS, R.D. Maual e escrição e coleta e solo o capo. 2.e. Capias: Socieae Brasileira e Ciêcia o Solo; Ebrapa-SNLCS, p. LEVIN, J. Estatística aplicaa a ciêcias huaas. 2.e. São Paulo: Harbra, p. LIMA, J.E.F.W.; SILVA, E.M. Utilização o oelo oificao e Geuchte para o traçao a curva grauloétrica. I: ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE SEDIMENTOS, 5., 2002, São Paulo. Aais. São Paulo: Associação Brasileira e Recursos Híricos, p MORGAN, P.H.; MERCER, L.P.; FLODIN, N.W. Geeral oel for utritioal resposes of higher orgaiss. Proceeigs of the Natioal Acaey of Scieces, v.42, p , NAIME, J.M.; VAZ, C.M.P.; MACEDO, A. Autoate soil particle size aalizer base o gaa-ray atteuatio. Coputer a Electroics i Agriculture, v.31, p , NEMES, A.; WÖSTEN, J.H.M.; LILLY, A.; VOUSHAAR, J.H.O. Evaluatio of ifferet proceures to iterpolate particle-size istribuitios to achieve copatibility withi soil atabases. Geoera, v.90, p , PREVEDELLO, C.L. Física o solo co probleas resolvios. Curitiba: Saleswar-iscovery, p. RICHARDS, F.J. A flexible growth fuctio for epirical use. Joural of Experietal Botay, v.10, p , SKAGGS, T.H.; ARYA, L.M.; SHOUSE, P.J.; MOHANTY, B.P. Estiatig particle-size istributio fro liite soil texture ata. Soil Sciece Society of Aerica Joural, v.65, p , WEIBULL, W. A statistical istributio fuctio of wie applicability. Joural of Applie Mechaics, v.73, p , Recebio e 26 e setebro e 2003 e aprovao e 12 e jaeiro e 2004 Pesq. agropec. bras., Brasília, v.39,.4, p , abr. 2004