Elementos de Multiplicidades Notas para cadeira de Mecânica Aplicada I Ano Lectivo 2004/05

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1 Elementos de Multiplicidades Notas para cadeira de Mecânica Aplicada I Ano Lectivo 2004/05 P. J. S. Gil & F. J. P. Lau 28 de Abril de 2006 Conteúdo 1 Introdução Representação Indicial Índices livres Soma de vectores Múltiplos índices Representação em várias bases Convenção da Soma Soma de produtos Produto Interno Multiplicidades O que é uma multiplicidade? Multiplicidades, produto de matrizes e notação indicial Identidade e delta de Kronecker Operações Básicas Sobre e Com Multiplicidades Soma Congelamento Produto Directo Contracção Transvecção Cálculo de transvecções por produtos matriciais Transvecções entre multiplicidades de ordem Transvecção entre uma multiplicidade de ordem 1 e outra de ordem Caso geral e mnemónicas de cálculo Operações Vectoriais e Multiplicidades Produto interno Multiplicidades simétricas e anti-simétricas Transposição: isómeros pares e ímpares Simetria, anti-simetria e elementos independentes Mistura e alternação Símbolos de permutação Caso geral Símbolos de permutação com 2 e 3 índices

2 4.4 Produto Externo Produto Misto Aplicação: relações vectoriais 29 6 Exercícios propostos 31 2

3 1 Introdução O objectivo destas notas é familiarizar o aluno com a manipulação algébrica de vectores, matrizes e outras estruturas matemáticas na sua representação indicial, que é aquilo a que se chama genericamente Notação Indicial. A notação indicial é utilizada principalmente no contexto da Álgebra e do Cálculo Tensoriais pois pode ser encarada como a representação natural das entidades matemáticas dessas disciplinas. No entanto, ela também pode ser utilizada, com grandes vantagens, em álgebra e no cálculo vectorial usual. Este facto não é de estranhar pois de um certo ponto de vista os vectores são tensores. Para além das vantagens intrínsecas da sua utilização, a notação indicial serve também para o leitor se familiarizar com a linguagem natural dos tensores, que são uma ferramenta poderosa e utilizados com sucesso e proveito em muitas áreas das Ciências e da Engenharia e. g. Electromagnetismo e Relatividade, Ciência dos Materiais, Mecânica dos Fluidos, etc. A notação indicial não é mais que um conjunto reduzido de regras, modos de representação e convenções, com uma coerência interna que faz com que se torne quase intuitiva (e portanto fácil. A sua simplicidade permite detectar e evitar erros permitindo ao praticante dedicar-se ao que é importante os conceitos por detrás da notação. Em suma, a notação indicial, pela sua clareza, não obscurece o significado, antes pelo contrário. O temor que muita gente exibe em relação à notação indicial advém do facto de ser para essas pessoas uma linguagem completamente desconhecida. Depois de alguma prática, o iniciado começa a apreciar a clareza das expressões nesta notação, com o seu aspecto compacto e simples, e a capacidade de efectuar facilmente certos cálculos que de outro modo com a notação clássica seriam muito mais complicados. Neste texto parte-se do princípio que o leitor está familiarizado com a álgebra linear que é ensinada numa primeira cadeira a nível universitário sobre o assunto. 1.1 Representação Indicial A representação geométrica dos vectores como segmentos orientados é normalmente a ideia que as pessoas fazem dessas entidades matemáticas por ser a mais intuitiva. No entanto, a noção de vector só se torna verdadeiramente útil e poderosa para resolver problemas quando este é encarado como sendo um elemento de um espaço vectorial ou espaço linear. A regra geométrica do paralelogramo pode ser importante para compreender a soma de vectores mas não é prática: é normalmente mais simples utilizar uma base (do espaço vectorial e somar algebricamente as componentes dos vectores para obter o resultado. A vantagem da utilização de noções de Álgebra é ainda mais flagrante noutras operações como por exemplo o produto interno. Outros objectos matemáticos vulgarmente utilizados, como por exemplo as matrizes, podem também ser tratados e manipulados de um ponto de vista algébrico e. g. qualquer função (transformação linear é representada numa certa base de um espaço vectorial como uma matriz. Além disso, certos objectos matemáticos que são vectores (no sentido de elementos de um espaço vectorial e que são utilizados em muitas aplicações não são adequadamente descritos como segmentos orientados. Embora seja possível encontrar uma descrição geométrica desses objectos e de operações entre eles (e. g. soma, essa descrição não é adequada para realizar cálculos. No caso dos tensores nem sequer é fácil encontrar uma descrição geométrica. A Álgebra Linear é o campo natural para lidar com estes assuntos de modo conveniente; as noções de espaço vectorial, base, componentes de um vector (numa certa base, etc. estão omnipresentes na representação mais adequada de vectores, matrizes e operações em que estão envolvidos estes conceitos. 3

4 1.1.1 Índices livres Considere-se um espaço linear de dimensão n. Qualquer base deste espaço será constituída por um conjunto ordenado de n vectores linearmente independentes e. g. { e 1, e 2,..., e n }. (1 Uma vez que o nome dos vectores da base se distingue apenas pelo valor do índice i. e. se o índice é igual a 1 tem-se o primeiro vector da base, se o índice é igual a 34 tem-se o 34 o vector da base, outras formas de indicar a base serão { e i }, i = 1, 2,..., n ou { e i }, i {1, 2,..., n} (2 em que o índice i varia de 1 até à dimensão do espaço n que é o valor que faz sentido. O conjunto de todos os valores que um índice pode tomar, tipicamente o conjunto do n primeiros números inteiros, neste caso {1, 2,..., n} (3 denomina-se gama de variação ou campo de variação do índice. Se a base em que se está a trabalhar estiver definida, qualquer vector A deste espaço pode ser representado pelo conjunto das suas n componentes A = {A 1, A 2,..., A n } = {A i }, i = 1, 2,..., n. (na base dada (4 A i representa a i-ésima componente do vector A nesta base. Como i pode ter qualquer valor entre 1 e n, quando se escreve A i sem especificar o valor de i está-se a escrever qualquer componente do vector (na base em que ele está escrito e portanto de algum modo o conjunto de todas as suas componentes. Será então suficiente para representar o vector A na base definida à partida a designação A i desde que se entenda que o índice i pode tomar todos os valores que fazem sentido i. e. que pode tomar todos os valores da sua gama de variação. Estes índices com valor não especificado, que não têm um valor numérico concreto, denominam-se índices livres, desde que não apareçam repetidos numa multiplicação (nesse caso têm outro significado, cf. secção 1.2. Por outro lado, a partir do momento que se considera que qualquer índice livre toma todos os valores da sua gama de variação, designar o vector A por A j é exactamente a mesma coisa que designá-lo por A i. Isto significa que os índices livres podem ter qualquer designação, desde que essa designação não entre em conflito com a designação de outros índices eventualmente existentes na expressão matemática em causa. Na representação de um vector A pela designação A i está-se de algum modo a designar o todo pela parte e parece haver uma certa dose de ambiguidade. Na prática não há dificuldades de interpretação (cf. exemplos abaixo. Pode-se definir então formalmente uma regra de notação: Todos os índices arbitrários que aparecem numa expressão podem ser interpretados como estando implicitamente a tomar qualquer um dos valores da sua gama de variação, representando a expressão na realidade um conjunto de expressões, uma para cada valor concreto possível do índice. Assim, A i não só pode representar a componente i arbitrária do vector A como o conjunto de todas as componentes de A na base definida ou seja o próprio vector. Por exemplo: { e i } ({ e i }, i {1, 2,..., n} { e 1, e 2,..., e n } A i ({A i }, i {1, 2,..., n} {A 1, A 2,..., A n } (5a (5b A adopção desta regra é vantajosa porque em muitos casos de interesse todos os índices têm a mesma gama de variação. Por exemplo, num espaço vectorial de dimensão n, os vectores têm n componentes, as bases são constituídas por n vectores, etc. e raramente será necessário especificar 4

5 explicitamente a gama de variação de um índice. As expressões matemáticas tomam deste modo uma forma mais compacta e simples que facilita a compreensão e poupa trabalho. Com esta notação, uma proposição com um índice livre é na realidade um conjunto de n proposições, uma para cada valor concreto do índice, em que n é o número de elementos da gama de variação do índice livre (a não ser que haja indicação em contrário. Por exemplo, num espaço de dimensão n a proposição A i = 0, (6 é equivalente à colecção (ao conjunto de n proposições A 1 = 0, A 2 = 0,. A n = 0. (7a (7b (7c Soma de vectores A soma de vectores numa determinada base realiza-se somando todas as componentes dos vectores uma a uma. Em notação indicial, a expressão C = A + B escreve-se C i = A i + B i (8 i. e. o vector (de componentes C i resulta da soma (das componentes correspondentes dos vectores A i e B i (para todas as componentes. Repare-se que em (8 o índice i é livre pois não tem um valor concreto e não aparece repetido em nenhuma multiplicação, variando de 1 até à dimensão n do espaço. Para cada valor concreto de i está-se a somar cada uma das componentes de um vector com a componente correspondente do outro vector e a afirmar que o resultado é a componente correspondente do vector que resulta da soma. Fazendo-o para todos os valores que o índice pode tomar resulta na soma dos vectores (na base dada. Repare-se que cada uma das expressões é uma equação puramente algébrica. Por outro lado pode-se mudar o nome do índice, por exemplo de i para k desde que se o faça em todos os sítios onde ele aparece. Assim, a expressão C k = A k + B k tem exactamente o mesmo significado que ( Múltiplos índices Numa expressão matemática não é obrigatório que apareça apenas um índice livre. Apenas é necessário ter presente que cada índice livre pode tomar todos os valores da sua gama de variação. Por exemplo, se A i e B j são vectores numa certa base num espaço de dimensão n, a expressão algo estranha (note-se que não é equivalente à soma de vectores A i + B j = 2, (9 corresponde a um conjunto de n n = n 2 afirmações, uma para cada valor concreto do índice i e do índice j: a expressão (9 afirma que a soma de cada uma das componentes do vector A i com qualquer uma das do vector B j é igual a 2, no caso de todas as componentes. Como em todas as expressões com índices livres, também em (9 se pode mudar o nome dos índices mas se se mantiver o nome de i em A i, não se pode mudar o nome de j para i pois a expressão ficará com um significado diferente. Em (8, se o índice i em A i tiver um valor concreto, o i em B i terá o mesmo valor pois é o mesmo índice. Em (9, se o índice j tomar um certo valor, o índice i pode ainda tomar qualquer valor, igual ou diferente do valor que j tomou. Os índices também podem tomar valores concretos não numéricos funcionando a notação do mesmo modo. Por exemplo em espaços tridimensionais é comum utilizar a designação x, y, z para 5

6 representar respectivamente as componentes 1, 2, 3 dos vectores. Assim os índices podem tomar qualquer dos valores x, y, z i. e. este conjunto é a sua gama de variação, o que corresponde a fazer a identificação (x 1, y 2, z 3. Deste modo, quando se pensa em x está-se a pensar no primeiro valor que o índice pode tomar (as gamas de variação de um índice são conjuntos ordenados. Quando se pensa na componente y de um vector está implícito que se sabe qual é o número dessa componente (neste caso a segunda i. e. está subjacente o conjunto dos n primeiros números inteiros (neste caso n = Representação em várias bases A utilização de várias bases de um espaço vectorial é comum na manipulação de vectores e surge a necessidade de saber como as representar, bem como aos vectores nelas escritos. É desejável encontrar uma notação adequada que seja coerente com a apresentada acima. Uma forma de representar outra base diferente de e i será denominar os seus vectores com outros nomes e. g. f i ; surge no entanto um problema quando se pretende representar um vector A: o nome das componentes (e. g. A i em e i dá uma indicação de qual é o vector pois elas têm o mesmo nome o que é diferente é que a designação das componentes tem um índice enquanto que a designação do vector, nas notações mais comuns, tem uma seta por cima ou aparece escrito em negrito. Para não se perder a notação intuitiva de que as componentes de um vector têm o mesmo nome que a sua designação, pode-se utilizar uma plica para distinguir as componentes em várias bases i. e. A i. Repare-se que é no índice que está a informação sobre a base: se o índice tem, por exemplo, o valor 2 então a componente é respeitante ao 2 o vector da base. Será então mais intuitivo colocar a plica no índice da componente e não no nome i. e. A i. (10 Pode-se aumentar a informação sobre a nova base, em vez de se lhe dar um novo nome, designando-a também com a ajuda de uma plica colocando-se esta também no índice i. e. { e i }. (11 Deste modo todas as bases podem ter o mesmo nome sendo a plica utilizada para indicar qual das bases se está a utilizar. As componentes do mesmo vector em bases diferentes têm o mesmo nome, sendo a plica utilizada para designar a base a que essas componentes dizem respeito. Para designar uma terceira base pode-se utilizar duas plicas e assim por diante. Como é muito raro utilizar mais do que três bases ao mesmo tempo, a notação raramente fica muito complicada. Os índices concretos com plica funcionam como números sendo a plica apenas indicação da base em que se está a trabalhar. Por exemplo dois vectores A e B em duas bases e i e e i de um espaço de dimensão 2 escrevem-se 2 2 A = A i e i = A i e i = A 1 e 1 + A 2 e 2, (12a i=1 B = B i e i = i=x,y i =1 i =x,y B i e i = A x e x + A y e y, em que no caso do vector B se utilizou bases com índices concretos literais. 1.2 Convenção da Soma Soma de produtos (12b Como se pode ver na última equação da secção anterior, nem sempre é conveniente representar um vector apenas pelas suas componentes. Às vezes é preferível representar um vector em conjunto com a base em que está escrito. Por exemplo, num espaço de dimensão n n A = A 1 e 1 + A 2 e A n e n = A i e i. (13 6 i=1

7 A expressão anterior é constituída por uma soma de termos em que cada termo é constituído por um produto, neste caso a componente i do vector multiplicada pelo i-ésimo vector da base. A expressão não tem índices livres pois ela não representa um conjunto de n expressões mas sim uma expressão que é a soma de n termos. Quando se escreve a expressão na última forma em (13 verifica-se que cada termo do somatório é um produto com um índice que aparece duas vezes (repetido e que a soma se faz sobre todos os valores que o índice pode tomar i. e. sobre a sua gama de variação. Esta situação é muito comum e é possível e desejável definir uma notação que poupe trabalho a escrever as expressões. É a regra da convenção da soma de Einstein: A não ser que explicitado em contrário, quando num produto de termos com índices arbitrários (i. e. que não têm um valor determinado estes aparecem repetidos, então entende-se implicitamente que a expressão está a ser somada sobre a gama de variação desses índices. É uma forma económica e sucinta de escrever estas expressões e significa simplesmente que quando num produto se tem índices repetidos, o símbolo de somatório sobre a gama de variação do índice está implícito. Esta notação permite evitar que sistematicamente se escreva o símbolo de somatório com os mesmos limites de variação (tipicamente de 1 até à dimensão do espaço. Se se sabe que todos os somatórios têm os mesmos limites de variação, porquê escrevê-los explicitamente? A repetição do índice indica que ele existe. No caso da equação (13 tem-se n A i e i A i e i. (14 i=1 Com esta notação, só se torna necessário escrever explicitamente o símbolo de somatório nos casos (pouco frequentes em que a soma não se faz sobre a gama de variação do índice. Os índices que são utilizados num somatório são mudos i. e. mesmo que o seu nome mude eles estão sempre a ser somados da forma determinada pelos limites do somatório. O nome do índice de um somatório é irrelevante, desde que não colida com o nome de outros índices existentes na mesma expressão ou seja n n A i e i A i e i A j e j A j e j. (15 i=1 A convenção da soma torna necessária a existência de uma notação especial para o caso em que se tem índices repetidos numa multiplicidade mas em que não existe soma. Para indicar que não há soma, sublinha-se um dos índices. Por exemplo, sublinhando um índice na expressão do lado direito de (15 A i e i A i e i, (16 a nova expressão (16 passa a ter o significado de uma única componente i multiplicada pelo respectivo vector da base em vez de soma de todos os termos desse conjunto, válido qualquer que seja o valor de i, ou seja um conjunto de expressões (o índice passou a ser livre Produto Interno A regra da convenção da soma também permite, por exemplo, simplificar a notação do cálculo do produto interno de dois vectores numa base ortonormada. O produto interno de dois vectores A e B numa base ortonormada de um espaço de dimensão n é dado pela soma do produto das componentes correspondentes dos vectores, ou seja j=1 A B = n A i B i A i B i (17 i=1 7

8 pois índices repetidos significam que existe um somatório implícito nesses índices sobre a sua gama de variação. Tal como na notação clássica, quando se tem vários somatórios tem que se ter índices diferentes para cada um deles. Por exemplo o produto interno de dois vectores elevado ao quadrado ( ( n ( n A B 2 = A i B i A i B i = i=1 n i=1 j=1 i=1 n A i B i A j B j = n i=1 j=1 n A i A j B i B j = A 2 1B1 2 + A 1 B 1 A 2 B A 1 B 1 A n B n + A 2 B 2 A 1 B 1 + A 2 2B n n A i A i B i B i = A 2 i Bi 2 i=1 i=1 = A 2 1B A 2 2B A 2 nb 2 n, ou seja, só em notação indicial, ( A B 2 = Ai B i A j B j = A i A j B i B j = (A i B i 2 A 2 i B 2 i. (19 (18 Repare-se que cada termo do somatório é constituído por multiplicações de números e portanto a ordem dos factores é arbitrária. 2 Multiplicidades 2.1 O que é uma multiplicidade? Multiplicidade é, por definição, um conjunto de números organizados de tal modo a que cada um desses números possa ser identificado pelos valores concretos que um ou mais índices possam tomar. No caso mais geral tem-se A i1 i 2...i p, i 1 = 1, 2,..., n 1 ; i 2 = 1, 2,..., n 2 ;... ; i p = 1, 2,..., n p (20 em que as gamas de variação do índices podem ser todas diferentes. A multiplicidade (20 diz-se de tipo n 1 n 2... n p e será quadrada se as gamas de variação dos seus índices forem todas iguais. Cada número que é especificado quando são atribuídos valores concretos a todos os índices denomina-se componente da multiplicidade. Existem muitos conceitos matemáticos que podem ser considerados multiplicidades. Deve-se no entanto notar que se certo objecto matemático é uma multiplicidade de um certo tipo, uma multiplicidade do mesmo tipo não representa esse objecto matemático na sua totalidade. Por exemplo, um vector escrito numa certa base é uma multiplicidade mas tem muito mais estrutura do que ela: é elemento de um espaço vectorial, obedece a certas propriedades, etc. i. e. tem mais estrutura que a descrita pela multiplicidade que o representa na base considerada. Mas desde que as propriedades que não são descritas pela multiplicidade não interessem, pode-se dizer que essa multiplicidade é o vector. O número de índices necessário para descrever a multiplicidade é, por definição, a ordem dessa multiplicidade. Não é necessário que todos os índices tenham todos a mesma gama de variação mas esse é o caso mais comum (e o que tira mais vantagens da notação indicial. O exemplo mais típico, embora não o mais simples, de uma multiplicidade é o conceito de matriz. Uma matriz é simplesmente um quadro de números organizados de modo a se ter várias linhas e colunas. Cada elemento da matriz pode ser identificado pelo número da linha e pelo número da 8

9 coluna em que está situado i. e. por dois índices. Por exemplo, a matriz A (4 3 A 11 A 12 A 13 A A ij = A 21 A 22 A 23 A 24 = (21 A 31 A 32 A 33 A tem elementos identificados por dois índices, i e j, o primeiro indicando o número da linha em que se encontra e o segundo o número da coluna. Valores concretos destes dois índices são suficientes para identificar cada elemento. Por exemplo, na expressão (21 tem-se A 23 = 7. A matriz em (21 é então uma multiplicidade de ordem 2 em que os índices têm gamas de variação diferentes (4 e 3 respectivamente. É fácil descrever multiplicidades de todas as ordens, incluindo ordem zero. Uma multiplicidade de ordem zero será um conjunto de números que não necessita de nenhum índice para ser representada; é portanto apenas um único número i. e. um escalar. Uma multiplicidade de ordem 1 será um conjunto ordenado de números que podem ser escritos ao longo de uma linha ou de uma coluna e pode representar um vector escrito numa certa base. Pode-se imaginar uma multiplicidade de ordem 3 como um cubo de números. Para ordens superiores a 3 é mais complicado representar todas as Número de índices ordem Representação Exemplo 0 A escalar 1 A i vector 2 A ij matriz n 3 A i1 i 2...i n multiplicidade de ordem n Tabela 1: Classificação das multiplicidades entradas das multiplicidades em conjunto mas é sempre possível especificá-las através da listagem de todos os valores. Por exemplo B 11 = 1, B 12 = 2, B 21 = 3, B 22 = 4, (22 especifica completamente uma multiplicidade B ij de ordem 2 em que os índices têm a mesma gama de variação 1, 2 i. e. uma matriz quadrada 2 2. Até ordem 2 é mais fácil representar todas as entradas em conjunto: no caso dos escalares não há diferenças; um vector, por uma linha ou coluna de números uma matriz linha 1 n ou uma matriz coluna n 1; uma multiplicidade de ordem 2 por um quadro de números (matriz. Neste ponto é necessário definir uma convenção. Repare-se que o elemento B 12 não é o mesmo que o elemento B 21. Se se pretende representar B ij num quadro com linhas e colunas, tem que se saber que índice corresponde a número de linha e número de coluna, ao contrário da representação elemento a elemento de (22 que é unívoca mas mais trabalhosa. Convenciona-se que nas multiplicidades com 2 índices, o primeiro índice representa número de linha e o segundo número de coluna. Embora não seja absolutamente necessário, é também conveniente representar os vectores sempre que possível por matrizes coluna. Esta opção tornar-se-á mais clara quando se estudar as operações com e entre multiplicidades (secção 3. No caso de multiplicidades de ordem 3, ainda é parcialmente possível representar todas as entradas em conjunto. Basta cortar o cubo em fatias. No entanto, é necessário saber como o cubo é cortado e não existe uma convenção absoluta para este caso. Por exemplo na multiplicidade C ijk de ordem 3, definida univocamente por C 111 = 1, C 112 = 2, C 121 = 3, C 122 = 4, C 211 = 5, C 212 = 6, C 221 = 7, C 222 = 8, (23 convencionou-se que o primeiro índice corresponde a profundidade, o segundo a horizontalidade (linha e o terceiro a altura (coluna. Pode-se cortar o cubo em profundidade e representar C ijk em 9

10 duas camadas verticais: Outra possibilidade será C 1ij = C i1j = ( 1 2, C 3 4 2ij = ( 1 2, C 5 6 i2j = ( 5 6. ( ( em que se usou a convenção de que, nos dois índices que não estão fixados, o primeiro que aparece representa linha e o segundo coluna, embora sejam neste caso fatias horizontais do cubo. Como já se disse não há neste caso uma convenção fixa e o melhor é confirmar explicitamente qual é a convenção utilizada. Para multiplicidades de ordem superior a 3 tudo se complica ainda mais e é geralmente preferível listar os valores das entradas como em (23. A ordem por que aparecem os índices numa multiplicidade também pode fornecer outro tipo de informações. Por exemplo dada uma multiplicidade D ij, pode-se dizer que D ji representa a mesma multiplicidade pois difere apenas no nome dos índices não especificados i. e. mudou-se o nome fazendo i j, j i. No entanto, se na mesma expressão aparecem ambas as representações, uma representará a transposta da outra pois o índice que representa linha numa delas passa a representar coluna na outra e vice-versa. Por exemplo a equação (25 D ij = D ji (26 indica que cada elemento da linha i coluna j é igual ao elemento da linha j coluna i e que portanto D = D ou seja que D ij é uma matriz simétrica. Em suma, D ij e D ji significam a mesma coisa quando estão isolados pois os índices podem tomar quaisquer valores mas especificam coisas diferentes em conjunto pois especificar um índice num deles implica especificar o mesmo índice no outro e esse mesmo índice pode não estar no mesmo lugar. O facto de o mesmo índice aparecer em vários termos de uma expressão implica que os termos em questão estão relacionados e podem apenas ser encarados como livres em conjunto mas não independentes entre si. 2.2 Multiplicidades, produto de matrizes e notação indicial Se uma multiplicidade de ordem 2 é uma matriz, e se a notação indicial é a linguagem natural das multiplicidades, pode-se perguntar como se poderá representar o produto de matrizes. Cada elemento da matriz C ik que resulta do produto matricial de duas matrizes A ij e B jk, é determinado pela soma do produto dos elementos correspondentes das duas matrizes que se encontram ao longo da linha i da primeira matriz e da coluna k da segunda. Em notação indicial, como se convencionou que numa multiplicidade de ordem 2 o primeiro índice representa número de linha e o segundo número de coluna, escreve-se simplesmente C ik = A ij B jk. (27 Repare-se que o índice j está repetido na expressão e portanto está somado sobre a sua gama de variação. Repare-se também que com esta notação fica claro que para multiplicar duas matrizes é necessário que o número de colunas da primeira seja igual ao número de linhas da segunda. Como as linhas da primeira e as colunas da segunda são representadas pelo mesmo índice, com uma certa gama de variação, então o seu número é igual. Os outros índices presentes na expressão podem ter gamas de variação diferentes, correspondendo nesse caso a um produto entre matrizes não quadradas. O modo como, em notação indicial, se toma implicitamente o todo pela parte, leva a notar uma característica importante das expressões escritas com índices. A expressão (27 representa o conjunto das entradas da matriz C i. e. para cada valor de i e k, tem-se uma componente C ik da matriz, que é um número. Quando se pensa em todos os valores que i e k podem tomar, tem-se todos os elementos da matriz, ou seja a própria matriz. 10

11 Cada elemento C ik da matriz que resulta do produto matricial em (27 resulta da soma de produtos de números. Mas a multiplicação usual entre números reais ou complexos é comutativa e portanto (27 pode escrever-se C ik = B jk A ij. (28 A expressão anterior não representa o produto matricial de B por A (o produto matricial não é comutativo; continua a representar o produto AB. Olhando com cuidado para a expressão, e lembrando que em multiplicidades de ordem 2 o primeiro índice representa número de linha e o segundo número de coluna, nota-se que para i e k fixos, o lado direito da expressão (28 representa a soma de produtos constituída por elementos correspondentes da linha i de A e da coluna k de B ou seja, por definição, um elemento que resulta do produto matricial AB. É necessário algum cuidado e atenção para não cometer erros e interpretar correctamente o produto matricial representado por (27 ou (28 que têm exactamente o mesmo significado. A diferença entre as expressões (27 e (28 significa apenas que a ordem dos factores não altera o produto (de números. Não é obrigatório utilizar uma representação matricial para as multiplicidades. Elas podem ser definidas apenas pela listagem das suas componentes. Para certos fins é conveniente definir uma notação para a representação matricial de multiplicidades de ordens 1 e 2. Assim ( Aij (29 define-se como sendo a matriz que representa a multiplicidade A ij. Deste modo ( Cik = ( Aij ( Bjk (30 significa que a matriz que representa C é o resultado do produto matricial da matriz que representa A pela matriz que representa B. Embora neste exemplo os índices que aparecem dentro das matrizes sejam os certos para a multiplicação matricial, não tem que ser necessariamente assim. Os índices podem ser só indicativos da ordem das multiplicidades. Voltar-se-á a esta questão na secção 3.6. Lembrando a convenção de que um vector é representado por uma matriz coluna, pode-se também representar uma transformação linear ou uma mudança de base pela multiplicação matricial de uma matriz M ij por uma matriz coluna (vector A j M ij A j. (31 Neste caso, como o segundo elemento da multiplicação só tem um índice, é necessário saber de antemão que este representa número de linha (i. e. é uma matriz coluna para interpretar a expressão como um produto matricial. É importante notar que se o índice que está a ser somado não for o segundo da primeira matriz e o primeiro da segunda, a operação matemática representada por (27 não corresponde à multiplicação das matrizes (cf. secção 3.6. Exemplo. O elemento C 21 do produto C ik = A ij B jk das matrizes ( ( A ij =, B 3 4 ij =, ( é determinado por C 21 = A 2j B j1 = A 21 B 11 + A 22 B 21 = = 57 (33 Como o produto normal entre números reais é comutativo C 21 = B j1 A 2j = B 11 A 21 + B 21 A 22 = = 57 = A 2j B j1 (34 e de modo similar para todos os outros elementos. 11

12 Por outro lado, é fácil verificar que A 2j B 1j = = 53, (35 embora seja uma operação possível, não corresponde a nenhuma entrada da matriz resultante do produto pois ( ( ( AB = = = C. ( Identidade e delta de Kronecker Uma multiplicidade de ordem 2 muito importante é a que corresponde à matriz identidade n n pois é o elemento neutro da multiplicação de matrizes e de certas operações com multiplicidades. É conveniente ter uma designação genérica para os elementos desta multiplicidade (e portanto da própria multiplicidade em notação indicial. O símbolo de Kronecker δ ij tem exactamente as propriedades pretendidas. Por definição { 1 se i = j, δ ij = δ ji = (37 0 se i j. É imediato verificar que qualquer que seja a matriz quadrada M ij e o vector A i se tem δ ij A j = A i δ ij M jk = M ik = M ij δ jk, δ ik δ kj = δ ij, δ ij = δ ji, (38a (38b (38c (38d sendo a última expressão indicativa de que o símbolo de Kronecker é uma multiplicidade simétrica. 3 Operações Básicas Sobre e Com Multiplicidades É possível definir uma série de operações com e sobre multiplicidades. Já foi visto que muitas estruturas matemáticas conhecidas, como por exemplo vectores e matrizes, podem ser vistas como sendo multiplicidades. As operações que vão ser definidas vão emular e generalizar operações conhecidas, nomeadamente as operações vectoriais. 3.1 Soma Tal como a soma de vectores e matrizes, define-se soma de multiplicidades como a multiplicidade que resulta da soma das componentes correspondentes de duas multiplicidades 1 : C i = A i + B i C ij = A ij + B ij C ijk = A ijk + B ijk... (39a (39b (39c Só é possível definir soma entre multiplicidades do mesmo tipo (mesmo número de índices, cada um deles com a mesma gama de variação e o resultado é ainda uma multiplicidade do mesmo 1 Nos exemplos ilustrativos serão em geral utilizadas multiplicidades de ordem não superior a 3 para não sobrecarregar a notação e ajudar à compreensão. Naturalmente que, a não ser que indicado em contrário, as afirmações que se fazem são válidas para multiplicidades de qualquer ordem. 12

13 tipo (e portanto com o mesmo número de componentes. Repare-se que os índices são iguais na mesma posição em todas as multiplicidades pois são as componentes na mesma posição em cada multiplicidade que estão a ser somadas. A notação indicial permite imediatamente observar que a soma de multiplicidades é comutativa, associativa, etc. i. e. goza das mesmas propriedades que a soma de números, com as diferenças óbvias por exemplo, o elemento neutro da soma é a multiplicidade com todas as componentes nulas e não o número zero. Devido à facilidade em concluir sobre este tipo de propriedades em relação às operações sobre e com multiplicidades, a sua discussão vai ser omitida a não ser em casos particularmente relevantes. 3.2 Congelamento A operação congelamento de um índice (ou mais de uma multiplicidade corresponde a fixar esse índice nos seus valores concretos. O congelamento de índices numa multiplicidade de ordem p dá origem a multiplicidades de ordem p q em que q é o número de índices congelados. Por exemplo, numa multiplicidade de ordem 3 em que o primeiro índice tem gama de variação de 1 a n A 1jk = B jk, A ijk congelamento de i A 2jk = C jk, A 3jk = D jk,. O congelamento do primeiro índice dá origem a três multiplicidades, uma para cada valor concreto do índice congelado. Quando se congela um índice i. e. quando se atribui um valor concreto, o resultado é ainda um objecto matemático descrito por índices ou seja uma multiplicidade, uma para cada valor concreto do índice congelado. No caso de congelamento de um índice numa multiplicidade de ordem 1 obtém-se n escalares i. e. n multiplicidades de ordem zero. Encarando o resultado do congelamento como multiplicidades, o índice congelado para cada uma delas já não é índice, no sentido dado até agora, pois não pode variar, faz parte do nome. Por exemplo, em (40 A 1jk = B jk é a multiplicidade de ordem 2 que se obtém da multiplicidade A fixando o primeiro índice no valor 1 e pode ser designada por (40 A 1 jk (41 para frisar que o índice que foi fixado em A faz agora parte do nome e já não é índice. Pode-se assim designar o conjunto das n multiplicidades que se obtêm do congelamento do primeiro índice de A ijk sem confusão possível com A. A i jk (42 é o conjunto de n multiplicidades, uma para cada valor concreto de i. Numa multiplicidade de ordem p o número de congelamentos distintos de q índices é dado por ( p p! = (43 q q!(p q! e o número total N de congelamentos possíveis por p ( p N = 2 p 1 = 1 + = q q=0 p q=1 ( p. (44 q Exemplo. O congelamento de um índice de um vector de dimensão n dá origem a n escalares (multiplicidades de ordem zero No caso de uma multiplicidade de ordem 2 há 3 congelamentos distintos possíveis A ij congelamentos possíveis A i j, A j i, A i,j, (45 13

14 3.3 Produto Directo O produto directo de duas multiplicidades é uma multiplicidade cujas componentes se obtêm multiplicando cada uma das componentes da primeira multiplicidade com qualquer das componentes das segunda. Por exemplo C ijkl = A ij B kl. (46 As multiplicidades envolvidas no produto directo podem ser de qualquer tipo e o número de componentes do resultado é o produto do número de componentes das multiplicidades. Como para se obter cada uma das componentes do resultado se escolhem duas componentes, uma de cada multiplicidade, fixando os respectivos índices, o resultado é um objecto matemático caracterizado pelo número total de índices das duas multiplicidades (repare-se que os índices são todos diferentes. A multiplicidade resultante do produto directo é então de ordem p + q em que p e q são as ordens das multiplicidades implicadas na operação. Exemplo. O produto directo entre as multiplicidades A ij e B k, respectivamente de ordens 2 e 1 e número de componentes 4 e 3, definidas por ( A ij =, B 3 4 j = 6 (47 7 dão origem à multiplicidade C ijk = A ij B k de ordem 3 = 2 + 1, com 12 componentes: ou seja C 111 = A 11 B 1 C 112 = A 11 B 2 C 113 = A 11 B 3 = 1 5 = 5, = 1 6 = 6, = 1 7 = 7, (48a C 121 = A 12 B 1 = 10, C 122 = A 12 B 2 = 12, C 123 = A 12 B 3 = 14, (48b C 211 = 15, C 212 = 18, C 213 = 21, (48c C 221 = 20, C 222 = 24, C 223 = 28, (48d C 1ij = ( 5 6 7, C ij = ( , ( com a usual convenção de o primeiro índice não especificado representar número de linha e o segundo número de coluna. 3.4 Contracção A contracção de dois índices (com a mesma gama de variação de uma multiplicidade de ordem p 2, é uma multiplicidade de ordem p 2 cujas componentes resultam da soma de todas as componentes com o mesmo valor nesses dois índices. Por exemplo, a contracção da multiplicidade A ijkml de ordem 5 do segundo com o quarto índices A ijkjl = A i1k1l + A i2k2l +... = B ikl. (50 O resultado da contracção é um objecto matemático caracterizado por 3 índices, logo é uma multiplicidade de ordem 3: para cada conjunto de valores concretos de i, k e l tem-se um número (uma componente. Repare-se que nesta operação há componentes que não contribuem para o resultado todas as da multiplicidade original caracterizadas por valores concretos diferentes dos índices que vão ser somados. O número de componentes da contracção de uma multiplicidade A é dado por n o de componentes da contracção de A = no de componentes de A n 2 (51 14

15 em que n é o número de valores que os índices contraídos podem tomar. O traço de uma matriz (quadrada é o caso mais conhecido de uma contracção, Por exemplo o traço da matriz identidade n n Exemplo. A multiplicidade A ijk definida por A 1jk = Tr A = A ii. (52 δ ii = n. (53 ( 1 2, A 3 4 2jk = pode ser contraída nos seus dois primeiros índices Existe mais duas contracções possíveis: 3.5 Transvecção A ii1 = A A 221 = = 8 A ii2 = A A 222 = = 10 A iji = } ( 5 6, ( A iik = ( 8. (55 10 ( ( 7 5, A 11 kii =. (56 13 A transvecção é um produto directo seguido de uma contracção. Por exemplo, o produto de duas multiplicidades de ordem 3 A ijk B lmn = C ijklmn (57 seguido da contracção de dois índices C ijkimn = A ijk B imn = D jkmn. (58 A transvecção de duas multiplicidades de ordem p e q resulta numa multiplicidade de ordem p+q 2. O produto interno numa base ortonormada A B = A i B i pode ser encarado como uma transvecção A i, B j 3.6 Cálculo de transvecções por produtos matriciais produto contracção A i B j A i B i (59 Foi já referido (secção 2.1 que é possível representar multiplicidades até ordem 2 de uma só vez através de quadros de números i. e. de matrizes, em vez da listagem de todas as suas componentes, com a vantagem óbvia de ser uma representação muito mais expedita. A transvecção é uma das operações mais frequentes e relativamente complicada de realizar na prática. Torna-se por isso importante que se encontre um modo de a calcular de forma simples e sistemática para poupar trabalho e evitar enganos. É imediato verificar que o produto de matrizes referido na secção 2.2 é uma transvecção. No entanto, nem todas as transvecções entre multiplicidades de ordem 2 são directamente produtos matriciais entre as matrizes que representam as multiplicidades. Surge então a pergunta se, apesar de tudo, não será possível de algum modo realizar transvecções em que as multiplicidades envolvidas são de até ordem 2, utilizando o produto matricial (no caso das multiplicidades de ordem zero o resultado é trivial e não será referido. A resposta é positiva: a utilização do produto matricial para calcular transvecções permite, como se vai ver, resultados muito mais expeditos que o cálculo componente a componente do resultado. Para o cálculo de transvecções com matrizes é necessário 15

16 que o leitor esteja bem familiarizado com a forma como se multiplicam matrizes. É sabido que o produto matricial não é comutativo e que cada elemento do resultado se obtém através da soma de produtos de elementos correspondentes de uma linha da primeira matriz e de uma coluna da segunda. Repare-se que neste cálculo estão envolvidas (as componentes de uma linha da primeira matriz e (as componentes de uma coluna da segunda matriz. Esta é a ideia central do produto matricial e é importante mantê-la presente para se compreender como ele pode emular uma transvecção. Esta possibilidade existe porque uma transvecção também é uma soma de produtos de elementos de algum modo correspondentes de duas multiplicidades. Se se conseguir fazer corresponder os elementos envolvidos na transvecção às linhas e colunas certas nas matrizes que representam as multiplicidades, o objectivo terá sido conseguido Transvecções entre multiplicidades de ordem 1 O caso mais simples de transvecção é o que envolve duas multiplicidades de ordem 1, A i B i. Lembrando o algoritmo de cálculo de matrizes, a notação ( A i para matriz que representa Ai e a convenção de que, sempre que possível, as multiplicidades de ordem 1 são representadas por matrizes coluna, é fácil ver que B 1 B 2 A i B i = ( ( ( A i Bi = A1 A 2... = ( ( ( B i Ai = B1 B (60.. A multiplicação de matrizes utiliza, para determinar cada elemento do resultado, uma linha da primeira matriz e uma coluna da segunda. Para obter a transvecção pretendida é necessário substituir a matriz coluna, que representa a multiplicidade que aparece em primeiro lugar no produto matricial, pela sua transposta. Repare-se que neste caso seria impossível multiplicar simplesmente as matrizes coluna que representam as duas multiplicidades o produto matricial entre matrizes coluna é impossível. No entanto, pode-se multiplicar matricialmente, por esta ordem, a matriz coluna que representa uma das multiplicidades com a matriz linha que é a transposta da matriz que representa a outra multiplicidade. Por exemplo A A 1 1 B 1 A 1 B 2... A 1 B n A 2 ( B 1 B 2... = A 2 B 1 A 2 B 2... A 2 B n (61. A n B A n B n Este resultado não é a transvecção pretendida (que é a soma dos produtos das componentes correspondentes de A i e B i. A multiplicação (61 resulta no produto directo das duas multiplicidades A 1 B 1 A 1 B 2... A 1 B n A 2 B 1 A 2 B 2... A 2 B n = A i B j = C ij. (62 A n B A n B n explicitado do lado esquerdo da equação 2. Uma questão fundamental que o exemplo anterior demonstra é a necessidade de ter cuidado com o produto matricial que se utiliza para representar a transvecção. De modo a que o produto matricial 2 O asterisco por cima do sinal de igual serve para frisar que só num certo sentido se tem o mesmo dos dois lados da equação: do lado esquerdo tem-se uma matriz com todas as suas componentes enquanto que do lado direito se tem a componente ij do resultado que, quando i e j tomam todos os valores possíveis, representa a colecção de todas as componentes; de um lado está uma matriz enquanto que do outro está implicitamente um conjunto de componentes. A igualdade refere-se às componentes que existem dos dois lados o que significa que não é necessariamente válida noutros sistemas de coordenadas que não o utilizado. A 1 A 2 16

17 coincida com a transvecção que se pretende calcular, é necessário que as matrizes que representam as multiplicidades figurem na equação por uma certa ordem e eventualmente transformar algumas delas nas suas transpostas. Se a ordenação escolhida das matrizes na equação for diferente, as matrizes que têm que aparecer transpostas serão eventualmente outras Transvecção entre uma multiplicidade de ordem 1 e outra de ordem 2 No caso de transvecção entre uma multiplicidade de ordem 1 e outra de ordem 2 é necessário mais algum cuidado. Como o produto de números é comutativo, existem duas possibilidades diferentes de transvecção: C i = A ij B j B j A ij, D j = A ij B i B i A ij. (63a (63b Repare-se na multiplicidade de ordem 2 em (63a: quando se realiza a transvecção, o índice i, que representa número de linha, está fixo i. e. para cada valor de i há uma soma de produtos de números que vai corresponder ao cálculo de cada uma das componentes da matriz ( C i. Então para cada valor de i a transvecção envolve uma linha, a linha número i. De modo a que a transvecção (63a seja calculada através do produto de matrizes, que envolve sempre uma linha da primeira matriz e uma coluna da segunda, é necessário dispor as matrizes que representam as duas multiplicidades do modo correcto. Os lados esquerdo e direito de A ij B j = Ci = ( A ij ( Bj = ( Ci (64 dão o mesmo resultado 3. Obtém-se o mesmo resultado de (64 através de A ij B j = ( Bj ( Aij (65 mas neste caso o resultado é uma matriz linha. Este facto não é importante porque, como só há uma fila de números numa multiplicidade de ordem 1, esta fica definida sem ambiguidade por uma matriz linha ou por uma matriz coluna. Uma vez que em (65 se colocaram as matrizes numa ordem diferente, para o produto matricial (que utiliza linha da primeira matriz e coluna da segunda dar o resultado pretendido é necessário utilizar as matrizes transpostas das matrizes que representam as multiplicidades. Como o índice i (fixo durante cada soma de produtos representa número de linha e ( A ij é a segunda matriz do produto, para o produto matricial coincidir com a transvecção o índice i tem que passar a representar número de coluna, o que acontece no caso de se utilizar a transposta de ( A ij. De modo similar, a primeira matriz tem que ser uma matriz linha e portanto tem que se utilizar a transposta de ( B j. Repare-se que o índice livre i foi transformado (porque se passou ( A ij à sua transposta num índice que representa número de coluna. Isto está de acordo com o resultado obtido: uma matriz linha em que índice representa número de coluna. Este facto é muito importante pois indica que o que o índice livre representa no resultado, número de linha ou de coluna, é determinado pelo que ele representa na expressão matricial na forma final (depois de determinada a ordem das matrizes e quais delas foram passadas à sua transposta. De modo inverso, se o que o índice representa no resultado, linha ou coluna, for determinado à partida, é possível construir um produto matricial que o calcule (este facto é a expressão do bem conhecido resultado de que o transposto do produto de matrizes é produto das matrizes transpostas por ordem inversa; cf. (64 e (65. Se nos exemplos anteriores nunca há dúvidas sobre o resultado, quando este for uma multiplicidade de ordem 2 será 3 Vale a pena frisar que os elementos da transvecção não têm que ter a mesma ordem o produto de números é comutativo e nem sequer uma representação matricial pois podem ser definidos pela listagem das suas componentes. Só quando se pretende emular a transvecção utilizando matrizes e o produto de matrizes é que se torna necessário colocar estas numa certa ordem para se obter o resultado pretendido. 17

18 necessário identificar que índices representam linha e coluna pois corre-se o risco de se estar a calcular o transposto do resultado pretendido (cf. secção seguinte. Exemplo. A transvecção (63b é correctamente calculada por ( Aij ( Bi = Bi A ij = ( Bi ( Aij (66 embora mais uma vez o resultado das duas expressões matriciais, à esquerda e à direita na equação, seja respectivamente uma matriz coluna e uma matriz linha. Para verificar o resultado, por exemplo com a expressão matricial da direita, basta reparar que quando se realiza a transvecção se está a utilizar componentes de uma coluna de A ij pois o índice j, que representa número de coluna, está fixo. Para o produto matricial igualar a transvecção indicada, é necessário utilizar a matriz transposta da matriz coluna que representa B i e colocá-la antes da matriz que representa A ij Caso geral e mnemónicas de cálculo As secções anteriores mostraram, para além de como se pode realizar transvecções nos casos mais simples através do produto de matrizes, que é necessário estar alerta para um certo número de questões e. g. que o produto matricial não é comutativo, que o resultado obtido pode ser o transposto do pretendido e que para se obter o resultado pretendido pode ser necessário utilizar a transposta de algumas matrizes que representam multiplicidades. A explicação foi no entanto longa e é conveniente sistematizar e generalizar o processo de cálculo. O raciocínio necessário para compreender e efectuar o cálculo de modo sistemático é descrito de seguida recorrendo à utilização de um exemplo paradigmático. Explicação detalhada do cálculo de transvecções por produtos de matrizes no caso geral 1. Em primeiro lugar é necessário ter presente as convenções de que numa multiplicidade de ordem 2, o primeiro índice representa número de linha e o segundo número de coluna da matriz que a representa; nas multiplicidades de ordem 1 o único índice existente representa número de linha (o que é consistente com o anterior porque sendo único também é o primeiro e portanto a matriz que a representa é uma matriz coluna. 2. Para iniciar o cálculo é necessário dispor as matrizes que representam as multiplicidades numa certa ordem (nunca é de mais lembrar que nas expressões indiciais a ordem não é importante pois está-se na presença de somas de produtos de números enquanto que com matrizes a ordem é fundamental por o seu produto não ser comutativo. Cada transvecção vai ser representada por um produto entre matrizes portanto as matrizes que as representam têm que estar em lugares adjacentes (num produto de três matrizes não se pode multiplicar a primeira com a terceira. Por exemplo na transvecção dupla (dois conjuntos de índices a serem somados A ij B kl C ik a matriz que representa C ik tem que ficar no meio pois envolve transvecções com as outras duas e tem que ficar adjacente a ambas. Arbitrariamente decide-se em que posição ficam as outras duas. Uma possibilidade é que a matriz que representa B kl fica colocada em primeiro lugar ficando nesse caso as matrizes ordenadas na forma ( B kl ( Cik ( Aij. 3. Decidida a ordem por que aparecem as matrizes na expressão, tem agora que se fazer com que as transvecções coincidam com o produto matricial. Uma transvecção, tal como o cálculo do produto de matrizes, consiste numa soma de produtos de números. Para as duas operações coincidirem, tem que se assegurar que os elementos envolvidos são os mesmos e do mesmo modo. Para tal acontecer, em cada produto entre duas matrizes os elementos de cada linha da primeira matriz e os elementos de cada coluna da segunda matriz têm que ser os elementos das multiplicidades correspondentes envolvidos na transvecção e isso consegue-se utilizando, se necessário, as matrizes transpostas em vez das próprias. No exemplo considerado, pense-se em 18