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1 Capítulo 7 Decomposição em valores singulares ALGA 2007/2008 Mest. Int. Eng. Electrotécnica e de Computadores Decomposição por valores singulares 1 / 14

2 Motivação A determinação da característica de uma matriz é um problema comum em problemas envolvendo circuitos elétricos. Teoricamente, podemos utilizar a eliminação de Gauss para reduzir uma matriz a uma matriz em escada por linhas e contar o número de linhas não todas nulas. Contudo, este método não é prático quando trabalhamos com problemas de grande precisão aritmética, devido aos arredondamentos que envolvem naturalmente erros na matriz dos coeficientes, cuja origem tanto pode residir nos dados fornecidos, como no sistema numérico necessariamente finito. O cálculo da característica de uma matriz pode ser um enorme desafio numérico. Pequenos erros numéricos nas entradas podem ter um efeito imprevisível. ALGA 2007/2008 Mest. Int. Eng. Electrotécnica e de Computadores Decomposição por valores singulares 2 / 14

3 Exemplos Os seguintes exemplos ilustram como pequenas perturbações nos dados podem influenciar as soluções. { x + y = 2 x + y = 2 { x + y = 2 x y = 2 { x + y = 2 x y = ALGA 2007/2008 Mest. Int. Eng. Electrotécnica e de Computadores Decomposição por valores singulares 3 / 14

4 Definições Os valores singulares σ 1,σ 2,...,σ r de uma matriz A, do tipo m n, são as raízes quadradas positivas dos valores próprios λ l da matriz de Gram K = A T A, isto é, σ l = λ l > 0. Dada uma matrix A do tipo m n, com m n, se A = UΣV T, em que U e V, m r e n r, resp., são matrizes cujas colunas são ortonormais e onde Σ é a matriz diagonal r r σ 1 σ 2 Σ =,... σ r então diremos que UΣV T é a factorização em valores singulares de A. ALGA 2007/2008 Mest. Int. Eng. Electrotécnica e de Computadores Decomposição por valores singulares 4 / 14

5 Teorema Qualquer matriz admite uma factorização em valores singulares. Demonstração: A m n A T A: n n; simétrica; valores próprios reais não negativos. Os valores próprios não nulos de A T A são (ordenados de modo decrescente): λ 1 λ 2 λ r > 0 = λ r+1 = = λ n. σ l = λ l > 0, para l = 1,...,r. ALGA 2007/2008 Mest. Int. Eng. Electrotécnica e de Computadores Decomposição por valores singulares 5 / 14

6 Σ = σ 1 σ 2... σ r. v 1,v 2,...,v r vectores próprios ortonormais de A T A associados aos valores próprios λ 1,λ 2,...,λ r, respectivamente. V = [ v 1 v 2 v r ]. u l = 1 σ l Av l, para l = 1,...,r, são ortonormais. U = [ u 1 u 2 u r ]. ALGA 2007/2008 Mest. Int. Eng. Electrotécnica e de Computadores Decomposição por valores singulares 6 / 14

7 Exemplo A T A = [ ] A = λ 1 = 40, λ 2 = 10 σ 1 = 2 10, σ 2 = 10 Σ = 10 [ ], V = 2 2 [ ], U = ALGA 2007/2008 Mest. Int. Eng. Electrotécnica e de Computadores Decomposição por valores singulares 7 / 14

8 Observações 1) Os valores singulares de uma matriz são únicos; contudo, as matrizes U e V não são únicas. 2) U diagonaliza A T A. 3) v 1,v 2,...,v k base ortonormal para C (A). 4) u 1,u 2,...,u k base ortonormal para C (A T ). 5) car(a) = número de valores singulares. ALGA 2007/2008 Mest. Int. Eng. Electrotécnica e de Computadores Decomposição por valores singulares 8 / 14

9 6) σ σ 2 σ ALGA 2007/2008 Mest. Int. Eng. Electrotécnica e de Computadores Decomposição por valores singulares 9 / 14

10 A Pseudo-inversa Suponhamos que UΣV T é a factorização em valores singulares de A. Definição A pseudo-inversa ou a inversa de Moore-Penrose de A é a matriz n m A + = V Σ 1 U T. Condições de Penrose 1. AXA = A 2. XAX = X 3. (AX) T = AX 4. (XA) T = XA Se A é do tipo m n, então existe uma única matriz X, n m, que satifaz estas condições. Se é (quadrada) não singular, então A + = A 1. ALGA 2007/2008 Mest. Int. Eng. Electrotécnica e de Computadores Decomposição por valores singulares 10 / 14

11 Teorema Seja A uma matriz do tipo m n de característica n. Então, A + = (A T A) 1 A T. Teorema x = A + b é solução no sentido dos mínimos quadrados do sistema Ax = b. ALGA 2007/2008 Mest. Int. Eng. Electrotécnica e de Computadores Decomposição por valores singulares 11 / 14

12 Exemplo Usando a pseudo-inversa, resolva o sistema Ax = b no sentido dos mínimos quadrados, com A = , b = Resolução K = λ 1 = , λ 2 = , λ 3 = 0 ALGA 2007/2008 Mest. Int. Eng. Electrotécnica e de Computadores Decomposição por valores singulares 12 / 14

13 σ 1 = λ , σ 2 = λ Σ = [ ] V = (recorde que A = UΣV T ) U = A + = V Σ 1 U T = ALGA 2007/2008 Mest. Int. Eng. Electrotécnica e de Computadores Decomposição por valores singulares 13 / 14

14 A solução (no sentido dos mínimos quadrados) do sistema Ax = b é x = A + b = ALGA 2007/2008 Mest. Int. Eng. Electrotécnica e de Computadores Decomposição por valores singulares 14 / 14