Estimação do valor em risco usando informação intra diária

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1 FUNDAÇÃO GETULIO VARGAS ESCOLA DE PÓS GRADUAÇÃO EM ECONOMIA CURSO DE MESTRADO EM ECONOMIA TÍTULO Esimação do valor em risco usando informação inra diária DISSERTAÇÃO APRESENTADA À ESCOLA DE PÓS GRADUAÇÃO EM ECONOMIA PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM ECONOMIA JOANA CALDAS SILVA Rio de Janeiro, 8 de fevereiro de 00

2 Capíulo Inrodução Anes dos anos 70 as insiuições financeiras eram duramene reguladas ou carelizadas na maioria dos países indusrializados. Medidas ais como a imposição de eos para as axas de juros sobre os depósios enaram proeger os mercados de movimenos nas próprias axas. As empresas, muias das quais auando principalmene nos mercados domésicos, não se preocupavam ano com fluuações nas axas de câmbio e com crises financeiras em mercados disanes. Com o aumeno de volailidade a parir dos anos 70, quando o mundo volou a um sisema de axas de câmbio (relaivamene) fluuanes, novos produos financeiros foram criados para servir de ferramenas no gerenciameno de risco. O desenvolvimeno desses novos produos, chamados derivaivos, por um lado permiiu a diminuição da exposição aos riscos financeiros, mas por ouro permiiu níveis de alavancagem nunca anes observados. O resulado foi a necessidade de medir riscos. A abordagem RiskMerics (JP Morgan, 994) é amplamene conhecida e aplicada na mensuração do valor em risco (VaR). Uilizando uma écnica de alisameno exponencial para o cálculo da volailidade e correlação, o procedimeno do JP Morgan passou a ser referência na esimação de VaR dada a simplicidade do modelo. Enreano, a esimação do processo de volailidade especificado pelo RiskMerics apresena sérios problemas. O processo de volailidade condicional auoregressivo assumido pela abordagem RiskMerics é um caso paricular da família GARCH (Bollerslev, 986), que se caraceriza pela ausência de esacionaridade. O méodo de esimação proposo pelo RiskMerics ignora compleamene a naureza não esacionária do modelo e, porano, é esaisicamene inconsisene. O objeivo desse rabalho é propor uma alernaiva exremamene simples à abordagem RiskMerics. A idéia é aplicar o conceio de volailidade realizada (Andersen & Bollerslev, 998) para padronizar o reorno diário e, após a consaação de normalidade da série obida uma medida de VaR é calculda a parir dela. Andersen, Bollerslev, Diebold & Labys (00a) mosram que, sob ceras condições, a soma dos quadrados dos reornos inra diários (volailidade realizada) é um esimador não endencioso, consisene e assinoicamene livre de erro da volailidade diária. Andersen, Bollerslev, Diebold & Labys (00c) mosram enão como calcular uma medida de VaR a parir da volailidade realizada.

3 Apesar de recene, a lieraura sobre volailidade realizada já é basane exensa. Andersen & Bollerslev (998) uilizam a volailidade realizada para mosrar que os modelos usuais de heerocedasicidade condicional apresenam bom desempenho em ermos de previsão. Andersen, Bollerslev, Diebold & Labys (00b) mosram que variações cambiais normalizadas pela volailidade realizada são aproximadamene Gaussianas. Andersen, Bollerslev, Diebold & Ebens (00) e Andersen, Bollerslev, Diebold & Labys (00a) aplicam o conceio de volailidade realizada para invesigar a disribuição da volailidade dos mercados de capial e cambial, respecivamene. Andersen, Bollerslev, Diebold & Labys (000) e Oomen (00) analisam os efeios das microesruuras dos mercados financeiros na esimação da volailidade realizada. Para a aplicação dessa meodologia foi escolhido o primeiro conrao fuuro do índice S&P 500 a vencer negociado na Chicago Mercanile Exchange. Foram uilizados reornos a cada 5 minuos para o cálculo da volailidade realizada no período enre de Janeiro e 7 de Agoso de 00 e, porano, a amosra compreende 6 dados. Os resulados obidos refleem exaamene os períodos de ala volailidade observados. O resane do rabalho esá organizado da seguine forma: O capíulo apresena resenhas sobre alguns méodos de exração de volailidade, VaR e Backesing. O capíulo 3 apresena o resulado empírico e o capíulo 4 conclui o rabalho oferecendo algumas considerações finais. Os gráficos e hisogramas esão no Apêndice no final do rabalho.

4 Capíulo Exração de Volailidade e Valor em Risco A previsão de volailidade em muias aplicações práicas, como na análise e na omada de decisão de invesimenos, na seleção de porfólios e nos modelos de precificação de derivaivos. Porano, se orna clara a imporância da disinção enre os vários modelos de previsão a fim de se enconrar aquele com maior precisão e mais adequado ao cálculo do valor em risco. O méodo mais simples para se prever a volailidade de uma série é esimar a sua volailidade hisórica segundo uma janela previamene escolhida. É o méodo mais simples pois não impõe nenhuma esruura sobre a evolução da volailidade ao longo do empo e pondera igualmene odas as observações passadas. A única variável de escolha é o período observado. Dessa forma, σˆ = T s= (r+ s r) (T ) onde σˆ = esimaiva da volailidade em P r = ln é o reorno do aivo com composição conínua P T r r =, reorno médio. T = Uma das desvanagens do modelo hisórico é o seu méodo de ponderação. Pelo fao de aribuir pesos iguais às observações, ele não capa uma caracerísica muio observada nas séries dos reornos dos aivos: a concenração de volailidade. As séries dos reornos dos aivos apresenam períodos de ala (baixa) volailidade que são seguidos por ala (baixa) volailidade (Mandelbro, 963). O méodo RiskMerics (JP Morgan, 994) propõe a aplicação da ponderação exponencial para capar esse efeio, pois às observações mais recenes são aribuídos pesos maiores. Nesse méodo, a previsão da variância para o período + em é dada por 3

5 σˆ = λσ + ( λ) r +, 0 < λ < onde λ é o faor de decaimeno exponencial. O Riskmerics escolhe o faor de decaimeno exponencial que minimiza o erro de previsão definido como ε ˆ + = r + σ +. Dese modo, o problema de oimização consise em enconrar o valor de λˆ que minimiza a média dos erros de previsão ao quadrado. Para o cálculo da covariância, pode-se ambém uilizar o esimador com ponderação exponencial σˆ ˆ,+ = λσ, + ( λ)r r. Há dois grandes problemas nessa abordagem. O primeiro reside no fao que o quadrado do reorno diário é um esimador muio voláil da variância do reorno. Inclusive, apesar de ser não endencioso, o quadrado do reorno diário não é um esimador consisene pois não é assinoicamene livre de erro (ver Andersen, Bollerslev, Diebold & Labys, 00 a). O segundo problema esá na esimação do parâmero λ. O processo de volailidade condicional auoregressivo assumido pela abordagem Riskmerics é um caso paricular da família GARCH desenvolvida por Bollerslev (986), a saber um modelo IGARCH (Engle & Bollerslev, 986) sem inercepo como veremos a seguir. Engle (98) apresenou o modelo ARCH (Auoregressive Condiional Heeroskedaciy) para prever a volailidade. Os processos ARCH assumem que a variância condicional não é consane, embora a variância incondicional o seja. No esudo das séries financeiras os resíduos de uma mesma magniude endem a aparecer concenrados, sugerindo que a variância de um resíduo pode depender do amanho do resíduo anerior. Isso é formalizado escrevendo a variância de ε condicional a ε como uma função linear do quadrado de ε. O processo ARCH de ordem p, ARCH (p), é escrio da forma 4

6 ε Ω ~ N 0, ( h ) E [ ε Ω ] = h h = α 0 + αε α p ε p iso é, dado o conjuno de informação disponível aé -, Ω, a variância condicional das inovações é dada por h, uma função dos quadrados das inovações aneriores. Uma generalização do modelo ARCH feia por Bollerslev (986) é o modelo GARCH, onde a variância condicional depende não somene dos quadrados das inovações, mas ambém das variâncias condicionais aneriores. Definindo ainda h como a variância condicional e uilizando as informações aé -, o processo GARCH (p,q) é dado por q i= i h = α + α ε + β h 0 i p i= i i onde p 0,q > 0, α > 0, α > 0, β 0. 0 i i Um modelo muio uilizado no campo das finanças é o GARCH (,), h = α 0 + α ε + β h onde α + ) é o coeficiene de persisência. ( β A esimação dos parâmeros de ambos modelos é feia a parir da maximização de uma função de verossimilhança. Devido a isso, muios auores rabalham com a hipóese de normalidade das inovações. O modelo GARCH pode ser viso como uma represenação de um processo ARMA para ε onde o i-ésimo coeficiene auoregressivo é dado por ( αi + βi) e possuirá uma raiz 5

7 uniária se q i= α i + p i= β i =. Engle & Bollerslev (986) relacionam os modelos que saisfazem essa condição como um modelo GARCH inegrado - IGARCH. Um processo IGARCH assume que o processo de volailidade é inegrado, de modo que choques na volailidade possuem persisência infinia. Em conrase com o caso da raiz uniária (inegração na média), Nelson (990) mosra que o modelo IGARCH é esriamene esacionário desde que o inercepo seja esriamene posiivo. Como dio aneriormene, sendo a abordagem Riskmerics uma represenação IGARCH sem inercepo, a fala de esacionariedade do modelo de volailidade condicional dessa represenação dificula a esimação dos parâmeros. Em paricular, o méodo de esimação proposo por essa abordagem não leva em consideração a não esacionariedade do modelo e, porano, é esaisicamene inconsisene. Para incorporar o efeio assimeria foram desenvolvidos dois modelos: o EGARCH (GARCH exponencial) por Nelson (99) e o GJR-Glosen, Jaganahan & Runkle (993) (ese úlimo modelo ambém é conhecido como TARCH-Threshold ARCH). Para Nelson, o modelo GARCH possuía vanagens e desvanagens. Uma vanagem é que ele consegue capar uma grande caracerísica das séries financeiras, que é a concenração de volailidade ( volailiy clusering ). Mas o modelo possuía mais desvanagens do que vanagens. Como desvanagem, Nelson aponou o grande número de resrições sobre os parâmeros necessários para garanir uma variância posiiva. Além disso, o modelo não capava o efeio assimérico das inovações sobre a volailidade. Nas séries financeiras é evidene o efeio maior das quedas sobre a volailidade; ou melhor, a volailidade é muio maior nos períodos de queda do que de ala nos mercados financeiros (é o conhecido leverage effec ). Para capar esses efeios e acabar com o problema das resrições sobre os parâmeros, Nelson desenvolveu uma versão exponencial para o modelo GARCH (EGARCH). A especificação da variância condicional do modelo EGARCH é dada por log ( h ) = ω + βlog( h ) + α ε h + γ π ε h 6

8 onde a hipóese de assimeria é verificada quando γ 0 e o leverage effec é observado quando γ < 0. Para o modelo GJR, a fórmula da variância condicional é dada por h = ω + αε + βh + γε d onde d = se ε < 0 e d = 0 caso conrário. Nese modelo, inovações posiivas êm o efeio α enquano que as inovações negaivas êm o impaco α + γ. Se γ > 0, as inovações negaivas êm um efeio menor do que as inovações posiivas. Esse é o conhecido leverage effec. Se γ 0, o efeio das inovações é assimérico. Uma alernaiva à esimação de volailidade para o cálculo do VaR é a esimação da volailidade realizada. Andersen & Bollerslev (998) argumenam que a modelagem da volailidade ex-pos simplesmene pelos quadrados dos reornos esá desinada a gerar resulados não acurados afeando, assim, a qualidade das previsões. Muio embora os quadrados dos reornos consiuírem um esimador não viesado para a volailidade, ese por sua vez possui um grande componene idiossincráico que é não relacionado à volailidade real durane o período observado. Assim, os auores propõem um refinameno no conceio de volailidade relevane e desenvolvem uma medida de volailidade realizada baseada na acumulação dos quadrados dos reornos obidos a parir de dados de ala frequência. Essa volailidade inegrada esá relacionada à noção de processo de variação quadráica de uma difusão em empo conínuo. A parir daí os auores mosram que para previsões diárias de volailidade de axas de câmbio, o modelo GARCH (,) uilizando a volailidade inegrada gera resulados significaivamene superiores aos dos modelos que uilizam volailidade não condicional hisórica. Andersen, Bollerslev & Lange (999) usam o conceio de volailidade inegrada, sendo esa aproximada pela soma dos quadrados dos reornos inra diários e o aplicam ambém ao mercado de câmbio, não somene para previsões diárias mas ambém para horizones mais longos. O uso de reornos de dados de ala freqüência fornece resulados mais consisenes na previsão de volailidade de um ou mais dias. 7

9 Andersen, Bollerslev, Diebold & Labys (000) esimam volailidades e correlações realizadas diárias uilizando dados de ala frequência dos reornos das axas de câmbio DM/USD e JPY/USD durane uma década. Os auores deixam de raar volailidade como uma variável laene e passam a raá-la como observável. Andersen, Bollerslev, Diebold & Labys (00 a) demonsram que a Teoria da Variação Quadráica revela que, sob ceras condições, a volailidade realizada não é somene um esimador ex-pos não viesado da volailidade do reorno diário, mas é ambém um esimador assinoicamene livre de erro. Oomen (00) além de calcular, modelar e prever a volailidade realizada do índice de ações FTSE-00 mosra ainda que o decaimeno da dependência serial dos reornos de ala frequência com a frequência amosral é consisene com um processo ARMA sob agregação emporal. Esse resulado êm implicações imporanes para a modelagem de reornos de ala frequência e para a escolha da frequência amosral óima no cálculo da volailidade realizada. Ainda sobre volailidade realizada dos reornos no mercado de ações, Andersen, Bollerslev, Diebold & Ebens (000) invesigam as disribuições não condicionais das variâncias e correlações das rina ações componenes do índice Dow Jones Indusrial. Os riscos financeiros esão classificados em seis ipos: riscos de mercado, de crédio, de liquidez, operacional, legal e sisêmico. Os riscos de mercado são advindos das variações dos aivos e passivos financeiros (ou volailidade) e são medidos aravés das variações no valor das posições em abero ou nos ganhos. Nos riscos de mercado esão incluídos o risco de base (que ocorre quando a relação enre os produos usados para proeger um ao ouro muda ou é quebrada) e o risco gama (devido às relações não-lineares). Os riscos de mercado podem omar duas formas: risco absoluo, medido pela perda poencial em ermos moneários e o risco relaivo, comparado a um índice (benchmark). Enquano que o primeiro rabalha com a volailidade dos reornos oais, o úlimo mede o risco em ermos de desvios do índice. O risco de crédio é aquele quando há a impossibilidade das conrapares honrarem suas obrigações conrauais. O seu efeio é medido aravés do cuso de se realocar o fluxo de caixa quando um devedor não cumpre a sua obrigação. 8

10 Risco de liquidez é o risco associado `a probabilidade de fala da aividade do próprio mercado (por exemplo, por fala de compradores e/ou vendedores de uma cera ação negociada em uma bolsa de valores). O risco operacional ocorre devido à falha humana, fraude, falha de gerenciameno e sisemas inadequados. A melhor forma de se eviar esse ipo de risco é efeuando uma clara separação das responsabilidades denro da insiuição com um fore sisema de conrole inerno. Por risco legal enende-se o risco que se incorre pela manipulação de mercado, informação privilegiada e odas as aividades que esão sob regulação governamenal. Uma oura forma de risco legal é aquela que ocorre quando um acionisa não saisfeio com a grandes perdas incorridas pela empresa em uma operação de mercado, por exemplo, e enra com uma ação legal conra a mesma. O risco sisêmico é o risco resulane do efeio de um resulado adverso em uma insiuição (ou aé em um país) em oura insiuição (e enão em ouro país). Aualmene é um ipo de risco muio comenado, dada a globalização dos mercados financeiros. A proposa da abordagem do valor em risco é quanificar o risco de mercado. A vanagem dessa meodologia é que ela sumariza em um único número a perda máxima esperada durane um período de empo dado um inervalo de confiança. Esse período, ambém chamado de holding period é geralmene considerado como o empo necessário para a liquidação do porfólio. A escolha desses dois faores de alguma forma é arbirária. Enquano que o "holding period" deve ser escolhido de acordo com a liquidez do aivo no mercado em que ele é ransacionado, a escolha do inervalo de confiança dependerá do objeivo do cálculo do valor em risco. No caso em que o valor em risco é calculado com a finalidade de se deerminar o capial mínimo exigido, quano maior a aversão ao risco, maior o inervalo de confiança uilizado. Se o valor em risco é calculado para a comparação dos riscos em diferenes mercados, a escolha do inervalo de confiança não é ão imporane, mas se o objeivo é a validação do modelo, o inervalo de confiança deve ser o maior possível, pois ele fornecerá uma medida de risco que raramene será excedida. Embora haja uma grande discussão sobre a uilidade dessa medida de risco, é imporane deixar claro os objeivos dessa meodologia. Anes de udo, o objeivo do VaR 9

11 não é descrever (ou aé mesmo prever) os piores resulados possíveis, mas sim fornecer uma esimaiva de um domínio de possíveis perdas. Além disso, ao reporar o valor em risco de um porfólio em uma medida quaniaiva que qualquer pessoa possa enender (em unidades moneárias), os invesidores podem decidir por permanecer ou não em uma financeira, pois caso algum dos seus fundos de invesimeno incorra em grandes perdas não haverá razão para os invesidores enrarem com alguma ação legal conra a insiuição alegando desconhecimeno do risco a que esavam se submeendo. Sendo assim, o fao de reporar o valor em risco aumenaria a ransparência e a esabilidade nos mercados financeiros. Além de promover uma maior ransparência nas aividades financeiras e uma maior esabilidade nos mercados, o valor em risco pode ser usado como uma ferramena da insiuição financeira para penalizar os raders que omam riscos maiores, ou seja, haveria uma políica de incenivos para se correr riscos menores. Mas, nesse caso deve-se omar cuidado para não se criar uma visão oimisa do risco, como por exemplo em 994 os operadores de câmbio poderiam omar grandes posições em peso mexicano que possuía uma volailidade hisórica baixa mas um grande risco de desvalorização. Essa deve ser encarada como uma limiação da abordagem valor em risco que só pode ser adminisrada por um gerene de risco aeno às adapações do modelo. Porano, ela possui as suas limiações, mas mesmo assim não deve ser encarada como dispensável; a ciência deve rabalhar para aperfeiçoar o modelo e, nesse caso específico, as esimaivas de volailidade. Há rês méodos clássicos para se calcular o valor em risco, a saber: Méodo Dela- Normal, Simulação Hisórica e Simulação de Mone Carlo (ver Jorion, 995). Méodo Dela-Normal - Assume que os reornos de odos os aivos são normalmene disribuídos. Como o reorno do porfólio é uma combinação linear de variáveis normalmene disribuídas, logo ele ambém é normalmene disribuído. Ese méodo consise em volar no empo e compuar as variâncias e as correlações para odos os faores de risco. O risco do porfólio é enão gerado pela combinação das exposições lineares aos vários faores (que ambém são omados como normalmene disribuídos) e pela previsão da mariz de covariância. Considere R i, + como o reorno do aivo i no 0

12 próximo período e ω como sendo o peso do aivo i na daa. Enão, o reorno do porfólio i, um período à frene é dado por N p,+ = ωi, i= R R. i,+ Usando noação maricial, a variância é dada por V ' ( + ) = ω Σ + ω R p, onde Σ + é a mariz de covariância dos reornos. Uma das deerminanes do risco é, porano, prevendo Σ +. Denro desse méodo há duas maneiras de se esimar essa mariz. Uma delas é usando somene dados hisóricos e a oura é uilizando a volailidade implícia das opções obida aravés do modelo Black-Scholes (Black & Scholes, 973). O úlimo méodo é superior ao primeiro, mas nem odas as variáveis financeiras possuem dados disponíveis de opções. O Méodo Dela-Normal esá sujeio a várias críicas. Uma delas é que as disribuições dos reornos possuem caudas pesadas. Como esse méodo pressupõe normalidade dos reornos, o excesso de curose subesima o número de ouliers e dessa forma, o valor em risco. Por fim, o Méodo Dela-Normal não mensura correamene o risco de insrumenos não-lineares, como as opções. Simulação Hisórica O porfólio é reavaliado sob disribuições de reornos hisóricas. Simulação de Mone Carlo Gera cenários aleaoriamene baseado em uma disribuição de probabilidade conjuna para os faores de risco associados aos aivos. Os dados hisóricos de mercado são uilizados para se inferir sobre caracerísicas esaísicas ais como a variância e a correlação da disribuição assumida. Ese méodo é uilizado para variáveis não lineares nos faores de risco, ais como opções. Além disso, o processo esocásico deve ser modelado correamene, caso conrário oda a análise esará incorrea. A grande quesão que as insiuições se defronam ao adoarem a meodologia do valor em risco é conseguir uma écnica de previsão que seja ao mesmo empo capaz de não

13 deixar as suas operações descoberas e que ambém faça com que o capial exigido seja realmene mínimo: as suas operações devem esar coberas por moivos óbvios, e o capial exigido deve ser o mínimo possível pois há um cuso na não uilização desse capial. Logo, as insiuições esão perane um dilema: como quano maior a volailidade, maior a segurança em relação ao valor em risco porém maior o capial exigido. Dadas as funções ano como ferramenas de gerenciameno de conroles inernos quano meas regulaórias a serem respeiadas, se orna imporane quanificar o quão acurado é o modelo uilizado por uma insiuição e porano, a mensuração de exposição ao risco. Com o objeivo de verificar acurácia das esimaivas de valor em risco, o Comiê da Basiléia recomenda o backesing, iso é, a comparação das esimaivas de valor em risco com a subsequene perda ou ganho do porfólio. Apesar da recomendação, o Comiê não fornece nenhum dealhe do ese de verificação proposo. Kupiec (995) aborda écnicas para analisar os resulados do modelos de valor em risco.

14 Capíulo 3 Exercício Empírico A análise empírica do rabalho consise no cálculo da volailidade realizada para padronizar o reorno diário e a parir dese ober o valor em risco do primeiro conrao a vencer do fuuro do índice S&P 500 negociado na Chicago Mercanile Exchange e sua comparação com a abordagem RiskMerics. Para o cálculo da volailidade realizada foram agrupados os dados inra diários a cada 5 minuos. Porano, a cada dia foram usados 8 dados (a parir das 8:30 da manhã aé às 5:30) no período enre de Janeiro de 00 e 7 de Agoso de 00. O s meses de vencimeno do conrao fuuro uilizados foram Fevereiro, Abril, Junho e Agoso. Porano, os conraos foram considerados como um conínuo, sendo cada um incorporado na série imediaamene após o vencimeno do anerior. Os auocorrelogramas dos reornos inra diários esão no Apêndice. Como não há indício de auocorrelação nas séries, basa somar os reornos inra diários ao quadrado para ober a volailidade realizada de cada dia. Uma vez obida, a volailidade realizada é uilizada para padronizar o reorno diário, dado pelo logarímo neperiano da razão dos preços de fechameno do aivo. A figura 3. apresena o gráfico da volailidade realizada. Figura 3. Volailidade Realizada /0/0 6/0/0 30/0/0 3/0/0 7/0/0 3/03/0 7/03/0 0/04/0 4/04/0 08/05/0 /05/0 05/06/0 9/06/0 03/07/0 7/07/0 3/07/0 4/08/0 3

15 O primeiro pico na volailidade ocorreu devido à diminuição da axa de juros Americana pelo FED. O erceiro pico na volailidade realizada ocorreu no dia 4 de Março devido aos resulados de empresas componenes do índice S&P divulgados durane o dia. No dia 0 de Março o Federal Reserve baixou a axa de juros Americana de 5,5% para 5%. O quino pico de volailidade em 4 de Abril ocorreu em conseqüência do esemunho do presidene do FED, Alan Greenspan, no Senado americano. O mercado financeiro inerpreou o discurso de Greenspan como uma indicação de queda da axa de juros na reunião do FED. Em 8 de Abril uma nova redução em 0,5% na axa de juros americana gerou um aumeno na expecaiva de aceleração da economia. Por fim, a queda nos juros em 7 de Junho em 0,5% ilusra um novo período de ala volailidade. Na esimação de um modelo ARMA (,) para a volailidade realizada, foram obidos os seguines resulados: Dependen Variable: Volailidade_Realizada Mehod: Leas Squares Dae: 06/03/0 Time: 6: Sample(adjused): 6 Included observaions: 60 afer adjusing endpoins Convergence achieved afer 3 ieraions Variable Coefficien Sd. Error -Saisic Prob. C AR() MA() R-squared Mean dependen var Adjused R-squared S.D. dependen var S.E. of regression Akaike info crierion Sum squared resid Schwarz crierion.6737 Log likelihood F-saisic Durbin-Wason sa Prob(F-saisic) O resulado acima mosra um bom ajuse da variável se comparado com a lieraura sobre modelagem ARMA da volailidade. Andersen & Bollerslev (998) mencionam que um R baixo é consisene ao se modelar volailidade das séries financeiras. Além disso, os auores mosram que o R é exremamene sensível à frequência da amosra uilizada. A figura 3. apresena o gráfico dos reornos diários padronizados pela volailidade realizada. 4

16 Figura Reornos Diários Padronizados 03/0/0 7/0/0 3/0/0 4/0/0 8/0/0 4/03/0 8/03/0 /04/0 5/04/0 09/05/0 3/05/0 06/06/0 0/06/0 04/07/0 8/07/0 0/08/0 5/08/0 O hisograma da série com as esaísicas descriivas esá na Figura 3.3. Figura Series: RET_PADRONZ Sample 6 Observaions 6 Mean Median Maximum.8748 Minimum Sd. Dev..58 Skewness Kurosis Jarque-Bera.8969 Probabiliy De acordo com a esaísica do ese Jarque-Bera obida, a hipóese de normalidade da série não pode ser rejeiada. Com esse resulado, a parir dese pono o rabalho será desenvolvido assumindo normalidade da série dos reornos diários.padronizados. 5

17 A volailidade uilizada pela abordagem RiskMerics esá apresenada na Figura 3.4. O faor de alisameno exponencial uilizado foi de 0.84, calculado de acordo com a écnica ambém uilizada pelo RiskMerics mencionada no Capíulo. Figura 3.4 Volailidade Riskmerics /0/00 7/0/00 3/0/00 4/0/00 8/0/00 4/03/00 8/03/00 /04/00 5/04/00 09/05/00 3/05/00 06/06/00 0/06/00 04/07/00 8/07/00 0/08/00 5/08/00 Na esimação VaR unicaudal com os reornos padronizados - com um inervalo de confiança de 95% - o modelo exrapola o VaR vezes em 6 dias (3%) apesar de, como viso aneriormene, a série da volailidade realizada capurar perfeiamene odos os efeios dos evenos de ala volailidade ocorridos no período. O resulado obido com um VaR bicaudal uilizando o valor absoluo dos reornos padronizados o modelo é exrapolado 69 vezes em 6 dias (43%). Ambos os gráficos esão apresenados nas figuras 3.5 e 3.6, respecivamene. Pelo modelo Riskmerics com o mesmo inervalo de confiança, o VaR,usando o reorno padronizado pela raiz quadrada da volailidade calculada por esse méodo, é excedido 0 vezes em 6 dias (6,%), e seu gráfico esá apresenado na figura 3.7. No modelo bicaudal o modelo é exrapolado 48 vezes (9%). O resulado esá apresenado na Figura 3.8. No enano, o resulado do RiskMerics não é robuso a variações no faor de decaimeno λ do processo de volailidade. Como o período de ala volailidade ocorre com mais frequência no início da série, quano menor o faor de decaimeno, menor o 6

18 peso dado às observações mais recenes, e menos vezes o VaR é exrapolado. Dessa forma, o resulado do procedimeno de RiskMerics depende excessivamene do faor λ de decaimeno, que infelizmene não pode ser esimado de forma consisene (ver Nelson, 990). Figura 3.5 Aderência Unicaudal -95% /0/00 7/0/00 3/0/00 4/0/00 8/0/00 4/03/00 8/03/00 /04/00 5/04/00 09/05/00 3/05/00 06/06/00 0/06/00 04/07/00 8/07/00 0/08/00 5/08/00-4 Reornos Diários Padronizados -.65 Figura 3.6 Aderência Bicaudal -68% /0/0 7/0/0 3/0/0 4/0/0 8/0/0 4/03/0 8/03/0 /04/0 5/04/0 09/05/0 3/05/0 06/06/0 0/06/0 04/07/0 8/07/0 0/08/0 5/08/0 Reornos Diários Realizados Absoluos 7

19 Figura 3.7 Aderência - Unicaudal -95% Reornos Diários Figura 3.8 Aderência - Bicaudal Reornos Diários Uma das propriedades assinóicas desejáveis de um esimador é que ele seja a respresenação mais próxima do verdadeiro valor do parâmero a medida que a amosra aumena. Um esimador é consisene se a disribuição de probabilidade do esimador colapsa para um único pono nesse caso o verdadeiro valor do parâmero. A 8

20 propriedade de consisência é mais desejável do que a ausência de viés. Um esimador viesado mas consisene pode não ser igual ao verdadeiro valor do parâmero em media, mas se aproxima dele na medida que a amosra aumena. Mas um esimador viesado e inconsisene vai coninuar a se desviar subsancialmene do verdadeiro parâmero na medida que a amosra aumena. 9

21 Capíulo 4 Conclusão O rabalho apresenado compara, no que ange a esimação do valor em risco, o méodo de exração de volailidade pregado pelo RiskMerics e a volailidade realizada calculada a parir de reornos inra diários. Apesar da esimação da volailidade realiazada er apresenado resulados consisenes com a evidência empírica, o cálculo do VaR uilizando a série dos reornos diários padronizados pela volailidade realizada não originou resulados saisfaórios. Dado o amanho da série, uma modelagem mais sofisicada não é possível devido a fala de suficienes graus de liberdade. Uma alernaiva seria o aumeno ano da frequência de agragação dos dados inra diários quano do amanho da série. Todos os rabalhos ciados aneriormene como referência de aplicações de volailidade realizada uilizaram não menos que um ano de dados diários com uma agregação de no mínimo 5 minuos de dados inra diários. Apesar da esimação via Riskmerics apresenar um melhor resulado para um faor λ = 0,84 os resulados são exremamene sensíveis ao valor de λ. Em paricular, o desempenho empobrece consideravalmene quando aplicamos um faor levemene inferior. Como a não esacionaridade do processo de volailidade assumido pelo RiskMerics impede uma esimação desse parâmero, concluímos que essa abordagem não incorpora o grau de confiabilidade necessário para uma gesão adequada do risco. 0

22 Referências Andersen, T.G., & T. Bollerslev (998), "Answering he skepics: Yes, sandard volailiy models do provide accurae forecass," Inernaional Economic Review, 39, Andersen, T.G., T. Bollerslev, F.X. Diebold & H. Ebens (00), "The disribuion of sock reurn volailiy," Journal of Financial Economics, no prelo. Andersen, T.G., T. Bollerslev, F.X. Diebold & P. Labys (000), "Marke microsrucure effecs and he esimaion of inegraed volailiy," Norhwesern Universiy, Duke Universiy, e Universiy of Pennsylvania. Andersen, T.G., T. Bollerslev, F.X. Diebold & P. Labys (00a), "The disribuion of realized exchange rae volailiy," Journal of he American Saisical Associaion, no prelo. Andersen, T.G., T. Bollerslev, F.X. Diebold & P. Labys (00b), "Exchange rae reurns sandardized by realized volailiy are (nearly) Gaussian," Mulinaional Finance Journal, no prelo. Andersen, T.G., T. Bollerslev, F.X. Diebold & P. Labys (00c), "Modeling and forecasing realized volailiy," Norhwesern Universiy, Duke Universiy, e Universiy of Pennsylvania. Andersen, T.G., T. Bollerslev & S. Lange (999), "Forecasing financial marke volailiy: Sample frequency vis-a-vis forecas horizon," Journal of Empirical Finance, 6, Bollerslev, T. (986), Generalized Auoregressive Condiional Heeroskedasiciy, Journal of Economerics, 3, Engle, Rober F. & T. Bollerslev (986), Modelling he Persisence of Condiional Variances, Economeric Reviews, 5, (), -50. Kupiec, Paul H. (995), Techniques for Verifying he Accuracy of Risk Measuremen Models, Journal of Derivaives, 3, (Winer), Jorion, P. (997), Value-a-Risk: The New Benchmark for Conrolling Marke Risk. McGraw- Hill. JP Morgan (994), RiskMerics Technical Documens, s ediion, New York. Nelson, Daniel F. (990), Saionary and Persisence in he GARCH(,) Model, Economeric Theory 6,

23 Oomen, Roel (00) Using high frequency sock marke index daa o calculae, model, and forecas realized reurn volailiy, Working Paper ECO 00/6, European Universiy Insiue.

24 Apêndice - Correlograma dos reornos inra diários 4 de Março de 00 AC PAC Q-Sa Prob de Abril de 00 AC PAC Q-Sa Prob de Maio de 00 AC PAC Q-Sa Prob

25 4 de Junho de 00 AC PAC Q-Sa Prob