MATEMÁTICA FINANCEIRA COM HP-12C

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1 MATEMÁTICA FINANCEIRA COM HP-12C Prof. Msc. Osorio Moreira Couto Junior

2 ÍNDICE 1. FUNÇÕES BÁSICAS DA HP-12C TECLA [ON] TECLA [. ] TESTES DE FUNCIONAMENTO TESTE Nº 1 (USANDO AS TECLA [ON] E [X]) TESTE Nº 2 (USANDO AS TECLA [ON] E [+]) TESTE Nº 3 (USANDO AS TECLAS [ON] E [:]) TECLADO A TECLA [F] TECLA [G], TECLADO BRANCO LIMPEZA DE REGISTRO LIMPEZA TOTAL ( USANDO AS TECLAS [ON] E [-] LIMPEZA DO VISOR LIMPEZA DOS REGISTROS ESTATÍSTICOS ( 0 A 6 ) LIMPEZA DE PROGRAM LIMPEZA DOS REGISTROS FINANCEIROS LIMPEZA DE TODOS OS REGISTROS TECLA [CHS] OU CHANGE SIGNAL TECLA [STO] OU (STORE) TECLA [RCL] OU (RECOLL) TECLA [Y X ] POTENCIAÇÃO RADICIAÇÃO : TECLA [1/X] TECLA [%T] E [X><Y] TECLA [%] TECLA [%] CÁLCULO EM CADEIA, FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA FINANCEIRA CONCEITOS BÁSICOS DEFINIÇÕES E TERMINOLOGIAS BÁSICAS DIAGRAMA DE FLUXO DE CAIXA APRESENTAÇÃO DAS TAXAS REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO JUROS SIMPLES OPERAÇÕES DE JUROS SIMPLES JUROS EXATO E JURO COMERCIAL EXERCÍCIOS SOBRE JUROS SIMPLES EXERCÍCIOS DE REFORÇOS JUROS COMPOSTOS CONCEITOS DE JUROS COMPOSTOS VALOR FUTURO (FV) OU MONTANTE (M) DIFERENÇA ENTRE OS JUROS SIMPLES E JUROS COMPOSTOS FUNÇÃO C NA HP 12C, TECLAS [STO] E [EEX] VALOR PRESENTE (PV) OU CAPITAL (C) PRAZO (N) FUNÇÃO [FRAC] E [INTG] TAXAS EQUIVALENTES A JUROS COMPOSTOS EXERCÍCIOS SOBRE JUROS COMPOSTOS EXERCÍCIOS DE REFORÇOS OPERAÇÕES COM TAXAS DE JUROS TAXAS EQUIVALENTES PROGRAMA PARA TAXA EQUIVALENTE COM HP 12C TAXA OVER EQUIVALENTE... 2

3 5.3 TAXA ACUMULADA DE JUROS (COM TAXAS VARIÁVEIS) TAXA MÉDIA DE JUROS TAXA REAL DE JUROS EXERCÍCIOS SOBRE TAXAS JUROS DESCONTOS DESCONTO RACIONAL SIMPLES OU POR DENTRO DESCONTO BANCÁRIO, OU COMERCIAL OU POR FORA OPERAÇÕES COM UM CONJUNTO DE TÍTULOS: PRAZO MÉDIO DE UM CONJUNTO DE TÍTULOS DESCONTO COMPOSTO RELAÇÃO EM TAXAS DE DESCONTO SIMPLES E COMPOSTO EXERCÍCIOS SOBRE DESCONTO SÉRIES UNIFORMES DE PAGAMENTOS VALOR PRESENTE DE UMA SÉRIE DE PAGAMENTO POSTECIPADA VALOR D PRESTAÇÃO DE UMA SÉRIE POSTECIPADA NÚMERO DE PRESTAÇÕES DE UMA SÉRIE UNIFORME DE PAGAMENTO POSTECIPADA CÁLCULO DA TAXA DE UMA SÉRIE DE PAGAMENTO UNIFORME POSTECIPADA SÉRIE UNIFORME DE PAGAMENTOS ANTECIPADOS FÓRMULAS PARA SÉRIE DE PAGAMENTOS ANTECIPADOS FÓRMULA DO VALOR PRESENTE FÓRMULA DA PRESTAÇÃO VALOR FUTURO DE UMA SÉRIE UNIFORME EXERCÍCIO SOBRE SÉRIES DE UNIFORME DE PAGAMENTOS SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS E FINANCIAMENTOS SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC) SISTEMA PRICE (OU FRANCÊS) DE AMORTIZAÇÃO APLICABILIDADE DA MATEMÁTICA FINANCEIRA TAXA INTERNA DE RETORNO (IRR) E VALOR PRESENTE LÍQUIDO (NPV) VALOR DA PRESTAÇÃO DE LEASING FORMAÇÃO DO PREÇO DE VENDA PELO CONCEITO DO VALOR ATUAL... BIBLIOGRAFIA... 3

4 1. FUNÇÕES BÁSICAS DA HP-12C Neste capítulo serão abordadas as principais funções da calculadora HP-12C, ou seja, estaremos mostrando os conceitos básicos relevantes ao desenvolvimento da matemática financeira. 1.1 TECLA [ON] Tem a função de ligar e desligar a calculadora, porém, se a calculadora permanecer ligada sem uso, será desligada automaticamente entre 7 e 8 minutos aproximadamente. 1.2 TECLA [. ] Esta tecla permite que a calculadora opere em dois padrões de moeda, o brasileiro e padrão dólar. Vamos considerar o seguinte exemplo: R$ 1.425,56 (padrão brasileiro) US$ 1, (padrão dólar) Esta conversão será feita da seguinte forma: a) mantenha a calculadora desligada; b) pressione a tecla [.] e segure; c) pressione a tecla [ON] e solte. Se a calculadora estiver no padrão brasileiro passara para o padrão do dólar e vice-versa. 1.3 TESTES DE FUNCIONAMENTO A calculadora HP-12C possui três testes de verificação quanto ao seu funcionamento, uma espécie de controle de qualidade, que permite ao usuário uma maior confiabilidade do produto TESTE Nº 1 (usando as tecla [ON] e [x]) Procedimentos: 1) mantenha calculadora desligada; 2) pressione a tecla [ON] e segure; 3) pressione a tecla [x] e segure; 4) solte a tecla [ON]; 5) solte a tecla [x]. Ao final do procedimento aparecerá no visor a palavra running piscando, significando que a calculadora está executando o TESTE Nº 1. E em alguns segundos aparecerá no visor o seguinte: - 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, USER f g BEGIN GRAND D.MY C PRGM 4

5 Se aparecer a mensagem ERRO 9 significa que a calculadora precisa de reparos, mas se o resultado for exatamente o resultado do TESTE Nº 1, a calculadora estará pronta para o uso TESTE Nº 2 (usando as tecla [ON] e [+]). Procedimento: 1) mantenha a calculadora desligada; 2) pressione a tecla [ON] e segure; 3) pressione a tecla [+] e segure; 4) solte a tecla [ON]; 5) solte a tecla [+]; 6) pressione e solte qualquer tecla, exceto a tecla [ON]. Na verdade o TESTE Nº 2 é muito semelhante ao TESTE Nº 1, diverge na duração de execução, que é indeterminado, portanto, para completar o teste é necessário cumprir o procedimento nº 6, logo após aparecerá o seguinte: - 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, USER f g BEGIN GRAND D.MY C PRGM Se você pressionar a tecla [ON] o teste será interrompido TESTE Nº 3 (usando as teclas [ON] e [:]) Procedimento: 1) mantenha a calculadora desligada; 2) pressione a tecla [ON] e segure; 3) pressione a tecla [:] e segure; 4) solte a tecla [ON]; 5) solte a tecla [:]. 6) Pressione todas as teclas da esquerda para direita, de cima para baixo, ou seja, a 1ª tecla a ser pressionada será a tecla [n] e a última será a tecla [+]. Lembre-se, deve-se pressionar todas as teclas inclusive a tecla [ON] e a tecla [enter] será pressionada duas vezes, tanto na linha 3, bem como na linha 4. Após o procedimento concluído, aparecerá no visor o nº 12, assim como nos testes anteriores, a calculadora estará pronta para o uso. Mas se procedimento não for realizado corretamente, aparece à expressão ERRO 9. Neste caso a calculadora necessita de conserto. 5

6 1.4 TECLADO O teclado da calculadora HP-12C, é multiuso, ou seja, uma mesma tecla poderá ser utilizada de três maneiras. Em branco (face superior da tecla) Em azul (abaixo da tecla) Em dourado (acima da tecla) A TECLA [f] A tecla [f] (amarelo) possui duas funções básicas: 1ª função: pressionado a tecla ou prefixo [f] poderemos acessar todas as funções em amarelo da calculadora; 2ª função: pressionado a tecla ou prefixo [f] seguida de um número, será apresentado à quantidade casas decimais a ser mostrada no visor. Veja o exemplo: Digite o número 2, e siga os procedimentos: TECLA [g] Procedimento Visor (teclas) [f] e [9] 2, [f] e [8] 2, [f] e [7] 2, [f] e [6] 2, [f] e [5] 2,42857 [f] e [4] 2,4286 [f] e [3] 2,429 [f] e [2] 2,43 [f] e [1] 2,4 [f] e [0] 2, [f] e [9] 2, Através da tecla ou prefixo [g] é possível acessar todas as funções em AZUL TECLADO BRANCO Todas as teclas possuem em sua superfície informações em branco, na verdade tudo o que é mostrado em branco nas teclas, não necessita de função auxiliar, como vimos para funções em amarelo e azul. 6

7 1.5 LIMPEZA DE REGISTRO Apresentaremos as principais formas de executar a limpeza dos registros ou informações, que são armazenadas no teclado ou memórias da calculadora LIMPEZA TOTAL ( usando as teclas [on] e [-] ) Procedimento: 1) mantenha a calculadora desligada; 2) pressione a tecla [ON] e segure; 3) pressione a tecla [-] e segure; 4) solte a tecla [ON]; 5) solte a tecla [-]. Após a execução desta seqüência de procedimentos, deve aparecer a expressão PR ERROR indicado que todos os dados armazenados nos registros inclusive os programas foram apagados, ou seja, a calculadora ficará zerada. Portanto, devemos tomar muito cuidado ao executar este procedimento LIMPEZA DO VISOR A utilização desta função é muito simples, basta pressionar a tecla [CLx] e o visor será limpo LIMPEZA DOS REGISTROS ESTATÍSTICOS ( 0 a 6 ) Com a seqüência de teclas [f] [] estaremos processando a limpeza dos registros estatísticos, ou seja, estaremos limpando os registros armazenados nas teclas [1], [2], [3], [4], [5] e [6] LIMPEZA DE PROGRAM Procedimento: 1) pressionar [f] [P/R] para entrar no modo de programação; 2) pressionar [f] [PRGM] para limpar o programa; 3) pressionar [f] [P/R] ou [ON] para sair do modo de programação. Este procedimento se faz necessário, devido a grande dificuldade de elaboração de um programa, ou seja, um programa não pode ser destruído sem a menor proteção LIMPEZA DOS REGISTROS FINANCEIROS Registros Financeiros: a) [n] prazo; b) [ i ] taxa; c) [PV] Present Value ou Valor Presente; d) [PMT] Periodic Payment ou Prestação; e) [FV] Future Value ou Valor Futuro. A limpeza dos registros é feita através da seqüência de teclas [f] [FIN]. 7

8 1.5.6 LIMPEZA DE TODOS OS REGISTROS Com seqüência de teclas [f] [REG] é possível apagar todos os registros, ou seja, de 0 a 9, e.0 a.9 e os registros financeiros, ficando apenas os programas sem serem apagados. 1.6 TECLA [CHS] ou CHANGE SIGNAL Esta tecla serve basicamente para trocar o sinal de um número, ou seja, trocar o sinal negativo para o positivo e vice-versa. 1.7 TECLA [STO] ou (STORE) Esta serve para guardamos valores nas memórias. A HP possui 20 memórias diretas; 0 a 9 = 10 e.0 a.9 = 10. Para introduzir um número na memória é muito simples. Vamos considerar que o numero 145 deve ser guardado na memória, e que decidimos guardar na memória 5. Como fazer?. Procedimento: 1) digite o número 145; 2) digite [STO]; 3) digite [5]. 1.8 TECLA [RCL] ou (RECOLL) Esta tecla serve para recuperar os números guardados nas memórias. Vamos verificar sua aplicação com base nos dados do item 1.7. Procedimento: (a) digitar [RCL]; (b) digitar [5]. 1.9 TECLA [Y X ] Esta tecla pode ser utilizada tanto pra efetuarmos operações de potenciação e como de radiciação Potenciação: a) [ENTER] 3 [y x ] 8 b) 1,05 6 1,05 [ENTER] 6 [y x ] 1, c) 1, /360 1,045 [ENTER] 270 [ENTER] 360 [:] [y x ] 1,

9 1.9.2 Radiciação : a) 9 = [ENTER] 1 [ENTER] 2 [:] [y x ] 3 5 b) 27 3 = [ENTER] 3 [ENTER] 5 [:] [y x ] 7, c) 30 ( 1 0, 6) 360 = 1, ,6 [ENTER] 360 [ENTER] 30 [:] [y x ] 281, TECLA [1/x] Esta tecla é normalmente utilizada para demonstrar o inverso de um número. a) 1/8 8 [1/x] 0,125 b) 1, ,05 [ENTER] 12 [1/x] [y x ] 1, TECLA [%T] e [x><y] A tecla [%T] é usada para calcular o percentual de um total, e a tecla [x><y] recupera o valor base de cálculo. a) Uma pessoa possui os seguintes gastos mensais: moradia R$ 450,00 educação R$ 500,00 combustível R$ 150,00 alimentação R$ 200,00 lazer R$ 250,00 Total R$ 1.550,00 Determinar quanto representa percentualmente cada valor em relação ao total dos gastos. Solução: [ENTER] 450 [%T] 29,03% [x><y] 500 [%T] 32,26% [x><y] 150 [%T] 9,68% [x><y] 200 [%T] 12,90% [x><y] 250 [%T] 16,13% 100,00% 9

10 1.12 TECLA [%] Esta tecla nos ajuda a calculamos a diferença percentual entre dois números. a) Considere que um produto possui um preço de R$ 132,75 em jan/xx, em fev/xx o preço desse produto passou para R$ 155,71. Qual foi o percentual de aumento desse produto? Preço em jan/xx: R$ 132,75 Preço em fev/xx: R$ 155,71 Solução: 132,75 [ENTER] 155,71 [%] 17,30% b) No mês de março/xx o preço do produto passou para R$ 141,00. Qual foi o percentual de desconto? 1.13 TECLA [%] Preço fev/xx: R$ 155,71 Preço mar/xx: R$ 141,00 Solução 155,71 [ENTER] 141,00 [%] -9,45% Esta tecla serve exclusivamente para o calculo de percentagem. a) Calcular 5% de R$ ,00 Solução: [ENTER] 5 [%] R$ 522, CÁLCULO EM CADEIA a) soma 25, , ,68 = 2.034,75 25,82 [ENTER] 1852,25 [+] 156,68 [+] 2.034,75 [STO] 1 b) subtração ,82 5,81 = 152, [ENTER] 91,82 [-] 5,81 [-] 152,37 [STO] 2 10

11 c) multiplicação 21 x 18,41 x 1,0562 = 408,34 21 [ENTER] 18,41 [x] 1,0562 [x] 408,34 [STO] 3 d) divisão 1.750,25 : 1,08 = 1.620, ,25 [ENTER] 1,08 [:] 1.620,60 [STO].5 e) adição, subtração, multiplicação e divisão (memória 1) (memória 2) x (memória 3) : (memória.5) [RCL] 1 [RCL] 2 [-] [RCL] 3 [x] [RCL].5 [:] 474, Sistema brasileiro e sistema americano. A HP 12 C, apresenta duas formas de representação das casas decimais, a forma brasileira e a forma americana. Para verificar, digite qualquer valor igual ou superior de $ 1.000,00, agora observe o visor, se aparecer nas formas abaixo: 1.000,00 (sistema brasileiro vírgula separando as casas decimais). 1, (Sistema americano ponto separando as casas decimais). Para realizarmos a troca do ponto pela vírgula e vice-versa, devemos proceder da seguinte forma: desligue a calculadora; com a calculadora desligada, pressione ao mesmo tempo as teclas ON e. (ponto); solte a tecla ON e em seguida a tecla. (ponto). Para encerrar essa introdução vamos dividir o teclado em setores, antes porém, transformaremos-o numa situação matricial. 11

12 Começando da esquerda para a direita, a primeira tecla da linha superior recebe o nome de t 11 (primeira linha e primeira coluna), a segunda t 12, (primeira linha e segunda coluna), terceira t 13, (terceira primeira linha e terceira coluna) e assim por diante, sendo assim a última tecla denomina-se t As funções de Calendário As teclas D.MY, M.DY, DYS e DATE Prepare a calculadora para operar no sistema brasileiro, pressionando g D.MY (dia, mês e ano), em seguida pressione f 6 para 6 casas decimais. a) Número de dias entre duas datas (função DYS) Exemplo: Data de referência: 30/06/97 Data futura: 25/10/99 Lembrete: Antes limpe a máquina: f REG Cálculo: Digite a data de referência na forma DD.MMAAAA, ou seja ; Pressione Enter; Digite a data futura, ; Pressione a seqüência de teclas g e DYS. Aparecerá no visor:- 847 b) Dia do mês e da Semana ( A função DATE) Auxilia determinar uma data passada ou futura, a partir de uma data conhecida e do número de dias entre essas datas. Obs: Limpe a máquina antes: f REG. Exemplo 1: Hoje é 23/10/2004. Que data e dia da semana será daqui a 93 dias? Cálculo: Digite g D.MY; Digite a data ; Pressione a tecla Enter; Digite o número de dias (93); Pressione as teclas g e depois Date Aparecerá no visor D.MY 1 O número que aparece do lado direito do visor, indica o dia da semana e deve ser interpretado conforme abaixo: 12

13 NÚMERO DIA/SEMANA 1 Segunda-feira 2 Terça-feira 3 Quarta-feira 4 Quinta-feira 5 Sexta-feira 6 Sábado 7 Domingo Exemplo 2: Uma aplicação financeira por 60 dias está venceu em 13/03/2000. Qual a data em que foi efetuado o negócio? Digite g D.MY; Digite a data do vencimento: ; Pressione a tecla Enter; Digite o número de dias (60) e a tecla CHS (tempo passado é negativo); Pressione a tecla g e DATE. Aparecerá no visor D.MY 5, ou seja, o negócio foi efetivado no dia 12/05/2000, numa Quinta feira. Exemplo 3: Que dia da semana foi 24/10/91. Digite g e D.MY; Digite a data ; Pressione ENTER; Digite 0 (zero), quando não existir o número de dias; Digite g e DATE. Aparecerá no visor D.MY 4, o que significa que 24/10/1991 foi numa Quartafeira Usando Percentuais. Exemplo 1: Na compra com cartão de crédito, uma loja oferece 10% de desconto sobre o preço de etiqueta de suas mercadorias. Qual o valor do desconto a ser obtido sobre a compra de uma camisa que custa $ 22,50? Primeiro limpando com f REG; Digite 22,5; Pressione ENTER; Digite 10; Pressione a tecla %, aparecerá no visor o valor do desconto 2,25; Para saber quanto pagaremos pela camisa, basta digitar a tecla (menos), aparecerá no visor 20,25. 13

14 Exemplo 2: Faça sozinho. Um cliente quitou no Banco Fartura 3 duplicatas na apresentação, tendo feito jus aos seguintes percentuais de desconto: VALORES (EM R$) DESCONTO (EM %) 242, , ,00 4 Resposta: Exemplo 3: O valor de um título em setembro de 1997 era R$ 401,67 e em setembro de 1998, R$ 2.392,06. Qual foi a variação percentual no período? Primeiro limpando com f REG; Digite ; Digite ENTER; Digite 2392,06; Pressione %. Aparecerá no visor 495,53%. Exemplo 4: Um investidor comprou um lote ações por R$ 1350,00 e as vendeu por R$ 1230,00. Qual o percentual do prejuízo? Primeiro limpando com f REG; Digite 1350; Pressione ENTER; Digite 1230; Pressione %. Aparecerá no visor 8, ,89% OBS:- O sinal negativo refere-se ao decréscimo ocorrido na operação. Exemplo 5: Dois amigos montam uma empresa com capitais diferentes: o primeiro entra com R$ ,00, e o segundo com R$ ,00.Qual o percentual de participação dois sócios no lucro da empresa? Digite (capital do sócio 1); Digite ENTER; Digite (capital do sócio 2); Digite + (soma); Aparecerá no visor ,00. Continuando: Digite ; Pressione %T (aparece no visor 44,17 participação percentual do sócio 1); Pressione CLX ( Zeramos o X para continuar em em Y); Digite (Capital do sócio 2); 14

15 Pressione %T (aparece no visor 55,83 participação percentual do sócio 2). Curiosidade: Adicione os percentuais. Quanto encontrou? Está Correto? Agora é com você. O saldo de captação de agência do Banco Fana-Tudo em 30/06/98 tinha a seguinte composição: Depósito à vista $ 1.800,00; poupança CHIC $ 3.500,00; Depósito à prazo $ 650,00; Aplicações a curto prazo $ 500,00. Qual a participação de cada rubrica? 1.18 Valor Presente Líquido Situação problema: A partir do próximo segundo ano, desejo aplicar anualmente, de forma crescente, um valor múltiplo de $ ,00, multiplicando-se o primeiro valor por um, o segundo por 2, e assim por diante. Quanto terei no final de 7 aplicações, considerando-se uma taxa anual de juros igual a 25%? FV Cálculo do valor presente líquido = NPV Digite f REG; Digite 0 em seguida g e CF 0 ; Digite 0 em seguida g e CF j ; g CF j ; g CF j ; g CF j ; g CF j ; g CF j ; g CF j ; g CF j ; 25 i Digite f NPV Aparecerá no visor $ ,36 Valor obtido no ano 8? 15

16 Digite f REG 79469,36 CHS PV; 25 i 8 n FV Aparecerá no visor $ , Cálculo do valor atual de fluxos de caixa com periodicidade irregular. Exemplo: Consideramos que um produto industrializado é vendido a vista pelo seu fabricante no dia 1.º de julho de 199x por R$ 1.100,00. Admitamos os seguintes desembolsos decorrentes dessa venda: a) no dia 11 do mesmo mês, o fabricante recolhe 100,00 referentes ao valor do IPI; b) no dia 5 do mês seguinte ele recolhe R$ 180,00 referentes ao ICMS; e c) no dia 15 também do mês de agosto ele recolhe R$ 26,50 referentes a 2% de Cofins e 0,65% de PIS. Resolução: Fluxo de Caixa: R$ 1.100,00 (Valor da Fatura) 1.217,55 (Valor da Fatura) 11/07 5/08 15/08 1/07 R$ 26,50 26/08 R$ 110,69 (IPI) (Cofins/PIS) R$ 180,00 (ICMS) 0 g CF 0 ; 10 g N j ; 110,69 g CF j ; 0 g CF j ; 24 g N j 199,23 g CF j ; 0 g CF j ; 9 g N j ; 29,33 g CF j ; 0 g CF j ; 10 g N j ; 1217,55 g CF j ; 4 ENTER 30 ENTER 1 R/S i f NPV Aparecerá no visor da calculadora o valor R$ 804,37. N j é a freqüência do CF 0 ou CF j. Observamos que do dia 1/07/9x ao 10/07/9x, temos 10 fluxos de caixa de valor zero. O valor zero armazenado no CF j refere-se ao fluxo de caixa do dia 12/07/9x. Do dia 12/07/9x ao dia 04/08/9x, temos 24 dias com fluxos de caixa com valor zero. Execução de programa para o cálculo de taxa equivalente a juros compostos para 1 dia, a partir da taxa mensal. 16

17 1.19 Taxa Interna de Retorno TIR (IRR) Definimos taxa interna de retorno como a taxa que permite equalizar o valor presente dos fluxos de entrada e de saída de caixa, em uma data qualquer (geralmente a data zero). Portanto, se calcularmos o VPL (NPV) de um projeto de investimento utilizando sua taxa interna de retorno, obteremos um resultado nulo. Consideremos o seguinte fluxo de caixa: Exemplo: Um produto é vendido a vista por R$ 7.696,40 ou em três parcelas mensais, de R$ 2.000,00, R$ 3.000,00 e R$ 4.000,00, vencendo a primeira a 60 dias da venda. Qual é a taxa mensal de juros cobrada no financiamento? 2000, , , , ,40 CHS g CF 0 ; 0 g CF 0 ; 2000 g CF 0 ; 3000 g CF 0 ; 4000 g CF 0 ; f IRR Aparecerá no visor 5,00 (% a.m). Para você resolver: Um financiamento no valor de R$ ,00 é pago em 12 prestações mensais e postecipadas de R$ ,00 mais quatro parcelas trimestrais de R$ ,82, vencendo a primeira a 90 dias da liberação do financiamento. Qual é a taxa mensal de juros do financiamento? Resposta: 4,5%. Observação: As demais funções e teclas da calculadora HP-12C, serão demonstradas com aplicações práticas dos conceitos de matemática financeira. 17

18 2. FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA FINANCEIRA 2.1 CONCEITOS BÁSICOS A matemática financeira tem como objetivo básico estudar a evolução do valor do dinheiro no tempo. (prof. Carlos Shinoda). A matemática financeira visa estudar as formas de evolução do dinheiro com tempo nas aplicações e pagamentos de empréstimo (prof. Samuel Hazzan e Prof. José Nicolau Pompeu). A matemática financeira tem como objetivo principal à transformação e manuseio de fluxos de caixa, com a aplicação das taxas de juros de cada período, para se levar em conta o valor do dinheiro no tempo (prof. Abelardo de Lima Puccini). A matemática financeira tem como objetivo principal, estudar o valor do dinheiro em função do tempo. (prof. Anísio Costa Castelo Branco). 2.2 DEFINIÇÕES E TERMINOLOGIAS BÁSICAS CAPITAL ( C ) ou VALOR PRESENTE ( VP ) ou Presente Value ( PV ) ou PRINCIPAL (P ) é o recurso financeiro transacionado na data focal zero de uma determinada operação financeira. Algumas palavras ou expressões, também podem ser associadas a este conjunto de definições apresentadas, como por exemplo: investimento inicial, valor aplicado, etc. JURO ( J ): é a remuneração obtida a partir do capital de terceiros. Esta remuneração pode ocorrer a partir de dois pontos de vista: a) de quem pagar: neste caso, o juro pode ser chamado de despesa financeira, custo, prejuízo, etc. b) de quem recebe: podemos entender como sendo; rendimento, receita financeira, ganho, etc. TAXA ( i ): é o coeficiente obtido da relação dos juros ( J ) com o capital ( C ), que pode ser representado em forma percentual ou unitária. A terminologia i vem do inglês interest, que significa juro. PRAZO ou TEMPO ou PERÍODOS ( n ): é o tempo necessário que um certo capital ( C ) aplicado a uma taxa ( i ) necessita para produzir um montante ( M ). Neste caso, o período pode ser inteiro ou fracionário, vejamos um exemplo: a) período inteiro : 1 dia; 1 mês comercial ( 30 dias ), 1 ano comercial ( 360 dias ), etc. b) período fracionário: 3,5 meses, 15,8 dias, 5 anos e dois meses, etc. 18

19 Podemos também considerar como período inteiro, quando usamos a expressão do tipo: 1 período de 15 dias, 1 período de 30 dias, etc. MONTANTE ( M ) ou VALOR FUTURO ( VF ) ou Future Value ( FV ) ou SOMA ( S ): é a quantidade monetária acumulada resultante de uma transação financeira após um determinado período de tempo. 2.3 DIAGRAMA DE FLUXO DE CAIXA Definimos fluxo de caixa como movimentação de recursos monetários (entradas e saídas de caixa) de uma empresa ou de uma transação financeira em especial, dentro de um período de tempo. (+) entradas (-) saídas tempo (n) 2.4 APRESENTAÇÃO DAS TAXAS As taxas podem ser apresentadas de duas formas, a forma percentual e decimal ou unitária, veja um exemplo. EXEMPLO Nº 1 : Faça a transformação das seguintes taxas: Taxa percentual 25% 5% 1,5% 0,5% Taxas decimal ou Unitária 0,025 0,02 0, Na HP-12C, poderemos usar as taxas na forma percentual. - Nas fórmulas, somente poderemos usar as taxas na forma decimal ou unitária. 19

20 2.5 REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO Podemos definir como regime de capitalização os métodos pelos quais os capitais são remunerados. Os regimes de capitalização podem ser SIMPLES e COMPOSTO ou método de capitalização linear e exponencial, respectivamente. Vejamos um exemplo; EXEMPLO Nº 2 : Seja um capital de R$ 1.000,00 aplicado a uma taxa de 10% a.m. durante 3 meses. Qual o valor acumulado no final de cada período pelos regimes de capitalização simples e composta? Regime de Capitalização Simples n Capital Aplicado Juros de cada período Valor Acumulado 1 R$ 1.000,00 R$ 1.000,00 x 10% = R$ 100,00 R$ 1.000,00 + R$ 100,00 = R$ 1.100,00 2 R$ 1.000,00 R$ 1.000,00 x 10% = R$ 100,00 R$ 1.100,00 + R$ 100,00 = R$ 1.200,00 3 R$ 1.000,00 R$ 1.000,00 x 10% = R$ 100,00 R$ 1.200,00 + R$ 100,00 = R$ 1.300,00 DIAGRAMA DE FLUXO DE CAIXA PARA O REGIME DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES M = R$ 1.300,00 C. i = R$ 100,00 C. i = R$ 100,00 C. i = R$ 100,00 C = R$ 1.000,00 Regime de Capitalização Composta n Capital Juros de cada período Valor Aplicado Acumulado 1 R$ 1.000,00 R$ 1.000,00 x 10% = R$ 100,00 R$ 1.000,00 + R$ 100,00 = R$ 1.100,00 2 R$ 1.100,00 R$ 1.100,00 x 10% = R$ 110,00 R$ 1.100,00 + R$ 110,00 = R$ 1.210,00 3 R$ 1.210,00 R$ 1.210,00 x 10% = R$ 121,00 R$ 1.210,00 + R$ 121,00 = R$ 1.331,00 DIAGRAMA DE FLUXO DE CAIXA PARA O REGIME DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA M = R$ 1.331,00 C. i = R$ 100,00 M 1. i = R$ 110,00 M 2. i = R$ 121,00 C = R$ 1.000,00 20

21 3. JUROS SIMPLES Podemos entender como juros simples, o sistema de capitalização linear, conforme foi demonstrado no item 2.3 (regimes de capitalização). No Brasil, a aplicabilidade dos sistemas de capitalização simples ocorre basicamente nas situações em que os períodos não são inteiros. 3.1 OPERAÇÕES DE JUROS SIMPLES Faremos várias operações envolvendo juros simples, ou seja, efetuaremos cálculos de juros, capital, taxa e montante. Para melhor facilitar a compreensão, dividimos as fórmulas em três grupos. Nº 1º Grupo de Fórmulas Significado 1 J = FV PV Fórmula de juros 2 FV = PV + J Fórmula do montante ou valor futuro 3 PV = FV J Fórmula do capital ou valor presente EXEMPLO Nº 3 : Qual o valor dos juros resultante de uma operação onde foi investido um capital de R$ 1.250,18, e que gerou um montante de R$ 1.380,75? PV = R$ 1.250,18 FV = R$ 1.380,75 J =? Solução 1: J = 1.380, ,18 J = R$ 130,57 Solução 2: HP-12C 1380,75 [ENTER] 1250,18 [-] R$ 130,57 EXEMPLO Nº 4 : Uma aplicação obteve um rendimento líquido de R$ 78,25 durante um determinado tempo, qual foi o valor resgatado, sabendo-se que a importância aplicada foi de R$ 1.568,78? J = R$ 78,25 PV = R$ 1.568,78 FV =? Solução 1: FV = 1.568, ,25 FV = R$ 1.647,03 Solução 2: HP-12C 1568,78 [ENTER] 78,25 [+] R$ 1.647,03 21

22 EXEMPLO Nº 5 : Qual o valor do investimento de gerou um resgate de R$ 1.500,00, sabendo-se que o rendimento deste investimento foi de R$ 378,25? FV = R$ 1.500,00 J = R$ 378,25? PV =? Solução 1: PV = 1.500,00 378,25 PV = R$ 1.121,75 Solução 2: HP 12C 1500 [ENTER] 378,25 [-] R$ 1.121,75 Nº 2º Grupo de Fórmulas Significado 4 J = PV x i x n Fórmula de juros simples 5 PV = J / i x n Fórmula do capital ou valor presente 6 i = J / PV x n Fórmula da Taxa 7 n = J / PV x i Fórmula do prazo EXEMPLO Nº 6 : Determine o juro obtido com um capital de R$ 1.250,23 durante 5 meses com a taxa de 5,5% ao mês. PV = R$ 1.250,23 n = 5 meses ou 150 dias i = 5,5% a.m. Solução1: J = 1.250,23 x,055 x 5 J = R$ 343,81 Solução 2: HP-12C 1250,23 [ENTER] 0,055 [x] 5 [x] R$ 343,81 Solução 4: HP-12C [f] FIN 1250,23 [CHS] [PV] 150 [n] 66 [i] [f] INT R$ 343,81 Solução 3: HP-12C 1250,23 [ENTER] 5,5 [%] 5 [x] R$ 343,81 22

23 EXEMPLO 7: Qual foi o capital que gerou rendimentos de R$ 342,96 durante 11 meses, a uma taxa de 2,5% a.m? PV =? i = 2,5% ao mês n = 11 meses J = R$ 342,96 Solução 1: PV = 342,96 / 0,025 x 11 PV = 342,96 / 0,275 PV = R$ 1.247,13 Solução 2: HP-12C 342,96 [ENTER] 0,025 [ENTER] 11 [x] [:] R$ 1.247,13 EXEMPLO Nº 8 : Pedro pagou ao Banco Panamericano S/A a importância de R$ 2,14 de juros por um dia de atraso sobre uma prestação de 537,17. Qual foi a taxa mensal de juro aplicado pelo banco? J = R$ 2,14 n = 1 dia PV = R$ 537,17 i =? Solução 1: i = 2,14 / 537,17 x 1 i = 2,14 / 537,17 i = 0, x 100 i = 0,3984% ao dia i mensal = 0,3984 x 30 i mensal = 11,95% ao mês Solução 2: HP -12C 2,14 [ENTER] 537,17 [ENTER] 1 [x] [:] 100 [x] 30 [x] 11,95% a.m. EXEMPLO Nº 9 : Durante quanto tempo foi aplicado um capital de R$ 1.500,00 que gerou rendimentos de R$ 351,00 com uma taxa de 1,8% ao mês? n =? PV = R$ 1.500,00 i = 1,8% ao mês J = R$ 351,00 Solução 1: n = 351 / x 0,018 n = 351 / 27 n = 13 meses Solução 2: HP-12C 351,00 [ENTER] 1500 [ENTER] 0,018 [x] [:] 13 meses 23

24 Nº 3º Grupo de Fórmulas Significado 8 FV = PV ( 1 + i x n ) Fórmula do montante ou valor futuro 9 PV = FV / ( 1 + i x n ) Fórmula do capital ou valor presente 10 i (ac) = { ( FV / PV ) 1} x 100 Fórmula da taxa acumulada EXEMPLO Nº 10 : Qual o valor de resgate de uma aplicação de R$ ,00 aplicados em um CDB de 90 dias, a uma taxa de 1,92% ao mês. FV =? PV = R$ ,00 i = 1,92% ao mês n = 90 dias ou (3 meses) Solução 1: FV = ( 1 + 0,0192 x 3 ) FV = ( 1 + 0,0576) FV = ( 1,0576 ) FV = R$ ,00 Solução 2: HP-12C [ENTER] 1 [ENTER] 0,0192 [ENTER] 3 [x] [+] [x] R$ ,00 Solução 4: HP-12C [ENTER] 1,92 [%] 3 [x] [+] R$ ,00 Solução 3: HP-12C [f] FIN [CHS] [PV] 90 [n] 1,92 [ENTER] 12 [x] [ i ] [f] INT [+] R$ ,00 EXEMPLO Nº 11 : Determine o valor da aplicação em um Título de Renda Fixa, cujo valor de resgate bruto foi de R$ ,00 por um período de 3 meses, sabendo-se que a taxa da aplicação foi de 1,77% ao mês. PV =? FV = R$ ,00 i = 1,77% ao mês. n = 3 meses Solução 1: Solução 2: HP-12C [ENTER] 1 [ENTER] 0,0177 [ENTER] 3 [x] [+] [:] R$ ,00 PV = / ( 1 + 0,0177 x 3 ) PV = / ( 1 + 0,0531 ) PV = / ( 1,0531 ) PV = R$ ,00 24

25 EXEMPLO Nº 12 : Joaquim emprestou R$ 15,00 de Salim. Após 6 meses, Salim resolveu cobrar sua dívida. Joaquim efetuou um pagamento de R$ 23,75 a Salim. Qual foi a taxa de juros acumulados nesta operação? Qual foi a taxa mensal de juros? PV = R$ 15,00 FV = R$ 23,75 n = 6 meses i (ac) =? i mensal =? Solução 2: HP-12C 23,75 [ENTER] 15 [:] 1 [-] 100 [x] 58,33% a.p. Solução 1: i (ac) = {(23,75/15) 1} x [:] i (ac) = {1,5833 1} x 100 9,72% a.m. i (ac) = 0,5833 x 100 i (ac) = 58,33% a.p. ou (ao semestre) Solução 3: HP-12C 15 [ENTER] 23,75 [%] 58,33% a.p. 6 [:] 9,72% a.m. i mensal = 58,33 : 6 i mensal = 9,72% a.m. 3.2 JUROS EXATO E JURO COMERCIAL Quando falamos em juro exato, estamos na verdade nos referindo aos dias do calendário, ou seja, devemos considerar a quantidade de dias existente em cada mês. Como por exemplo: janeiro (31 dias), fevereiro (28 ou 29 dias), desta forma, um ano pode ter 365 ou 366 dias. No caso do juro comercial devemos considerar sempre um mês de 30 dias, e sendo assim, um ano comercial vai ter sempre ter sempre 360 dias. EXEMPLO Nº 13 : Uma prestação no valor de R$ 1.500,00 venceu em 01/02/01 sendo quitada em 15/03/01, com a taxa de 60% ao ano. Determine os juros exato e comercial pago nesta operação. PV = R$ 1.500,00 i = 60% ao ano Vencimento da Prestação: 01/02/01 Data do Pagamento: 15/03/01 Solução 2: HP-12C 1500 [ENTER] 0,6 [x] 42 [x] [365] [:] R$ 103,56 Solução: [f] [ENTER] [g] [DYS] 42 dias 1500 [ENTER] 0,6 [x] 42 [x] [360] [:] R$ 105,00 a) J.E. = ( x 0,6 x 42 )/ 365 = R$ 103,56 b) J.C. = ( x 0,6 x 42 )/360 = R$ 105,00 25

26 Obs: espaço livre para o docente trabalhar com as funções de datas 3.3 EXERCÍCIOS SOBRE JUROS SIMPLES Considerar o ano comercial ( 360 dias) 1) Qual o valor dos juros correspondentes a um empréstimo de R$ 5.000,00, pelo prazo de 5 meses, sabendo-se que a taxa cobrada é de 3,5% ao mês? Resposta: R$ 875,00 2) Um capital de R$ ,25, aplicado durante 9 meses, rende juros de R$ 2756,31. Determine a taxa correspondente. Resposta: 0,025 ou 2,5% ao mês 3) Uma aplicação de R$ ,00 pelo prazo de 180 dias obteve um rendimento de R$ 1.147,25. Pergunte-se: Qual a taxa anual correspondente a essa aplicação? Resposta: 0,049028% ao dia ou 17,65% ao ano 4) Sabendo-se que os juros de R$ 7.800,00 foram obtidos com uma aplicação de R$ 9.750, à taxa de 8% ao trimestre, pede-se que calcule o prazo. Resposta: 10 trimestres ou 2,5 anos 5) Qual o capital que, à taxa de 2,8% ao mês, rende juros de R$ 950,00 em um ano? Resposta: R$ 2.827,38 6) Um empréstimo de R$ ,41 é liquidado por R$ ,29 no final de 152 dias. Calcular a taxa mensal de juros. Resposta: 5,32% ao mês 7) Calcular o valor dos juros e do montante de uma aplicação de R$ ,00, feita de 3,64% ao mês, pelo prazo de 72 dias. Resposta: J = R$ 1.847,66 e FV = R$ ,66 8) Calcular o valor futuro da aplicação de um capital de R$ 7.565,01, pelo prazo de 12 meses, à taxa de 2,5% ao mês. Resposta: R$ 9.834,51 9) Determinar o valor presente de um título cujo valor de resgate é de R$ ,59, sabendo-se que a taxa de juros é 2,8% ao mês e que faltam 3 meses para o seu vencimento. Resposta: R$ ,95 10) Em quanto tempo um capital aplicado a 2,95% ao mês dobra o seu valor? Resposta: 33 meses e 27 dias 26

27 3.4 EXERCÍCIOS DE REFORÇOS OS EXERCÍCIOS DE REFORÇOS TÊM COMO OBJETIVO PRINCIPAL, COMPLEMENTAR OS EXEMPLOS APRESENTANDOS EM SALA DE AULA E OS EXERCÍCIOS PRATICADOS PELOS ALUNOS. 1) Determinar quanto renderá um capital de R$ ,00 aplicado à taxa de 24% ao ano, durante sete meses. Resposta: R$ 8.400,00 2) Um capital de R$ ,00, aplicado durante 8 meses, rendeu juros de R$ ,00. Determinar a taxa anual. Resposta: 60% ao ano. 3) Durante 155 dias, certo capital gerou um montante de R$ ,00. Sabendo-se que a taxa de juros é de 4% ao mês, determinar o valor do capital aplicado. Resposta: R$ ,42 4) Qual o valor dos juros contidos no montante de R$ ,00, resultantes da aplicação de certo capital à taxa de 42% ao ano., durante 13 meses? Resposta: R$ ,48 5) Qual o valor a ser pago, no final de cinco meses e 18 dias, correspondente a um empréstimo de R$ ,00, sabendo-se que a taxa de juros é de 27% ao semestre? Resposta: R$ ,00 6) Em quanto tempo um capital de R$ 800,00, aplicado à taxa de 0,1% ao dia, gera um montante de R$ 1.000,00? Resposta: R$ 250 dias ou 8,333 meses 7) Um capital de R$ ,00 foi aplicado do dia 19/06/X1 e resgatado em 20/01/X2. Sabendo-se que a taxa de juros da aplicação foi de 56% ao ano, calcular o valor dos juros, considerando-se o número de dias efetivos entre as duas datas. Resposta: R$ ,22 8) Uma empresa aplicou R$ 2.000,00 no dia 15/07/XX e resgatou essa aplicação no dia 21/07/XX por R$ 2.018,00. Qual foi a taxa mensal de rendimento proporcionada por essa operação? Resposta: 4,5% ao mês. 9) Calcular o valor do capital que, aplicado à taxa de 50,4% ao ano, durante dois anos e três meses, produz um montante de R$ ,00. Resposta: R$ ,14 10) Ao fim de quanto tempo o capital de R$ ,00, aplicado à taxa de 5% ao mês, produz R$ ,00 de juros? Resposta: 9,3 meses, ou 279 dias 27

28 11) Obteve-se um empréstimo de R$ ,00, para ser liquidado por R$ ,00 no final de 8 meses e meio. Qual a taxa de juros anual cobrada nessa operação? Resposta: 66% ao ano. 12) Em quanto tempo um capital aplicado a 48% ao ano dobra o seu valor? Resposta:2,0833 anos ou 25 meses. 13) A que taxa de juros um capital aplicado durante 10 meses rende juros igual à ¼ do seu valor? Resposta: 2,5% ao mês. 14) Um capital emprestado gerou R$ ,00 de juros. Sabendo-se que o prazo da aplicação foi de 13 meses e a taxa de juros de 6% ao mês, calcular o valor do montante. Resposta: R$ ,00 15) Em quantos dias um capital de R$ ,00 produzirá juros de R$ ,77 a uma taxa de 5,4% ao mês? Resposta: 128 dias. 16) Determinar o capital necessário para produzir um montante de R$ ,00 no final de um ano e meio, aplicado a uma taxa de 15% ao trimestre. Resposta: R$ ,00 17) A aplicação de R$ ,00 gerou um montante de R$ ,00 no final de nove meses. Calcular a taxa anual. Resposta: 84% ao ano. 18) Certo capital aplicado gerou um montante de R$ 1.000,00. Sabendo-se que a taxa de juros é de 5% ao mês e o prazo de oito meses, calcular o valor dos juros. Resposta: R$ 285,71 19) Determinar o montante correspondente a uma aplicação de R$ ,00, por 225 dias, à taxa de 5,6% ao mês. Resposta: R$ ,00 20) Calcular o valor do capital, que aplicado a uma taxa de 6,2% ao mês, por 174 dias, produziu um montante de R$ ,00. Resposta: R$ ,00 21) Um título de renda prefixada foi adquirido por R$ ,00 e resgatado por R$ ,00 no final de oito meses. Calcular a taxa mensal de juros. Resposta: 5,9% ao mês. 22) Em que prazo uma aplicação de R$ ,00 possibilita o resgate de R$ ,00 à taxa de 7,2% ao mês? Resposta: 3,167 meses ou 95 dias. 28

29 23) A que taxa anual devo aplicar um capital de R$ ,00 para obter juros de ,00 no final de 186 dias? Resposta: R$ 124,8% ao ano. A lista de exercícios de reforço, foi extraída do livro do professor José Dutra Vieira Sobrinho (MATEMÁTICA FINANCEIRA, 5ª edição, Editora Atlas). 29

30 4. JUROS COMPOSTOS 4.1 CONCEITOS DE JUROS COMPOSTOS Podemos entender os juros compostos, como sendo o que popularmente chamamos de juros sobre juros. Mas na verdade os juros são calculados tomando como base o montante, conforme estamos demostrando no diagrama de fluxo de caixa abaixo. Observe novamente a demonstração do regime de capitalização composta. Matematicamente, o cálculo a juros compostos é conhecido por cálculo exponencial de juros. Regime de Capitalização Composta N Capital Juros de cada período Valor Aplicado Acumulado ou Montante 1 R$ 1.000,00 R$ 1.000,00 x 10% = R$ 100,00 R$ 1.000,00 + R$ 100,00 = R$ 1.100,00 2 R$ 1.100,00 R$ 1.100,00 x 10% = R$ 110,00 R$ 1.100,00 + R$ 110,00 = R$ 1.210,00 3 R$ 1.210,00 R$ 1.210,00 x 10% = R$ 121,00 R$ 1.210,00 + R$ 121,00 = R$ 1.331,00 DIAGRAMA DE FLUXO DE CAIXA PARA O REGIME DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA M = R$ 1.331,00 C. i = R$ 100,00 M 1. i = R$ 110,00 M 2. i = R$ 121,00 C = R$ 1.000, VALOR FUTURO (FV) ou MONTANTE (M) FV = PV ( 1 + i ) n EXEMPLO Nº 14: Calcular o montante de um capital de R$ 5.000,00, aplicado à taxa de 4% ao mês, durante 5 meses. FV =? PV = R$ 5.000,00 i = 4% ao mês n = 5 meses Solução 1 FV = ( 1 + 0,04) 5 FV = ( 1,04 ) 5 FV = (1, ) FV = R$ 6.083,26 Solução 2 : HP 12C 5000 [ENTER] 1 [ENTER] 0,04 [+] 5 [y x ] [x] R$ 6.083,26 Solução 3 : HP 12C [f] FIN 5000 [CHS] [PV] 4 [i] 5 [n] [FV] R$ 6.083,26 30

31 4.3 DIFERENÇA ENTRE OS JUROS SIMPLES E JUROS COMPOSTOS EXEMPLO Nº 15: Calcular o montante de um capital de R$ ,00, aplicado à taxa de 15% ao mês, para 29 dias, 30 dias e 31 dias, pelos regimes de juros simples e juros compostos. Juros Simples a. n = 29 dias; FV = (1 + 0,15 x 29 ) = R$ ,00 ( J. Simples > J. Compostos ) 30 b. n = 30 dias; FV = (1 + 0,15 x 30 ) = R$ ,00 ( J. Simples = J. Compostos ) 30 c. n = 31 dias; FV = (1 + 0,15 x 31 ) = R$ ,00 ( J. Simples < J. Compostos ) 30 Juros Compostos a) n = 29 dias; FV = (1,15) 29/30 = R$ ,75 b) n = 30 dias; FV = (1,15) 30/30 = R$ ,00 c) n = 31 dias; FV = (1,15) 31/30 = R$ , FUNÇÃO C na HP 12C, teclas [STO] e [EEX] Com a seqüência de teclas [STO] [EEX] aparecerá no visor da calculadora HP 12C a letra C. Se a letra C não estiver aparecendo no visor, a HP-12C faz esse cálculo com base na chamada convenção linear, em que os juros são calculados de acordo com o regime de capitalização composta para períodos inteiros e de acordo com o regime de capitalização simples para períodos fracionários. Vamos comprovar: EXEMPLO Nº 16: Calcular o valor futuro de uma aplicação de R$ ,00, aplicado à taxa de 15% ao ano, durante 3,5 anos. PV = R$ ,00 i = 15% ao ano n = 3,5 anos. Solução 1: FV = (1 + 0,15) 3,5 R$ ,56 Usando a HP 12C com C no visor. [f] FIN [CHS] [PV] 15 [i] 3,5 [n] FV R$ ,56 Usando a HP 12C sem C no visor. [f] FIN [CHS] [PV] 15 [i] 3,5 [n] FV R$ ,39 Observe que existe uma diferença de R$ 5.777,83, vejamos o por quê? 31

32 1º PASSO: determinar o valor futuro para o período de 3 anos (período inteiro) pelo regime de juros compostos. FV (3 anos) = (1,15) 3 = R$ ,01 2º PASSO: determinar o valor dos juros correspondentes a meio ano (período fracionário) pelo regime de juros simples. J (meio ano) = ( ,01 x 0,15 x 180 ) / 360 = R$ ,38 3º PASSO: determinar o valor futuro total (3,5 anos) FV (3,5 anos) = R$ ,01 + R$ ,38 = R$ , VALOR PRESENTE (PV) OU CAPITAL (C) PV = FV / ( 1 + i ) n EXEMPLO Nº 17: No final de dois anos, o Sr. Carlos deverá efetuar um pagamento de R$ 2.000,00 referente ao valor de um empréstimo contratado na data de hoje, mais os juros devidos, correspondentes a uma taxa de 4% ao mês. Pergunta-se: Qual o valor emprestado? FV = R$ 2.000,00 i = 4% ao mês n = 24 meses PV =? Solução 1: PV = / (1 + 0,04) 24 PV = / (1,04) 24 PV = / 2, PV = R$ 780,24 Solução 2: PV = x 1 / (1 + 0,04) 24 PV = x 1 / (1,04) 24 PV = x 1 / 2, PV = x 0, PV = R$ 780,24 Solução 3: HP-12C 2000 [ENTER] 1 [ENTER] 0,04 [+] 24 [y x ] [:] R$ 780,24 Solução 4: HP-12C [f] FIN 2000 [CHS] [FV] 4 [i] 24 [n] PV R$ 780,24 32

33 4.6 PRAZO (n) ou n = LN(FV) LN(PV) LN(1 i) ou n = FV LN( PV ) LN(1 i) EXEMPLO Nº 18: Em que prazo um empréstimo de R$ ,43 pode ser liquidado em um único pagamento de R$ ,33, sabendo-se que a taxa contratada é de 3% ao mês. n =? PV = R$ ,43 FV = R$ ,33 i = 3% ao mês Solução 1: n = LN(41.524,33) LN(24.278,43) LN (1,03) n = 10, , , n = 0, , n = 18, meses Solução 2: n = {LN(41.524,33) / LN(24.278,43)} LN (1,03) n = LN (1,710338) LN (1,03) n = 0, , n = 18, meses Solução 3: HP 12C ,33 [g] LN ,43 [g] LN [-] 1,03 [g] LN [:] n = 18, Solução 4: HP 12C ,33 [ENTER] ,43 [:] [g] LN 1,03 [g] LN [:] n = 18, Solução 5: HP-12C [f] FIN 41524,33 [CHS] [FV] 24278,43 [PV] 3 [i] [n] 19 meses 4.7 FUNÇÃO [FRAC] e [INTG] Através da função [FRAC] é possível eliminar a parte inteira de um número e manter a parte a parte fracionária. Através da função [INTG] é possível eliminar a parte fracionária de um número e manter a parte inteira. 33

34 Vamos comprovar: Tomando como base o EXEMPLO Nº 18, temos que o prazo foi de 18, meses, observe que existe uma parte fracionária, que neste caso representa a quantidade de dias. Para calculamos a quantidade de dias, basta multiplicar a parte fracionária por 30 (mês comercial). Solução Única. Estando com o número 18, no visor da calculadora HP 12C, observar o procedimento a seguir: [g] FRAC 30 [x] 4, dias no caso de dias, poderemos arredondar o número para maior, então poderemos dizer que a resposta do EXEMPLO Nº 18, seja 18 meses e 5 dias. Para o mesmo EXEMPLO Nº 18, poderemos eliminar a parte fracionária e ficar com a parte inteira, fazendo a seqüência teclas: [g] INTG. 4.8 TAXAS EQUIVALENTES A JUROS COMPOSTOS FV i ={ ( PV ) QQ/QT 1} x 100 Onde: QQ = Quanto eu Quero QT = Quanto eu Tenho EXEMPLO Nº 19: A loja Arrisca tudo financia a venda de uma mercadoria no valor de R$ ,72, sem entrada, para pagamento em uma única prestação de R$ ,68 no final de 210 dias. Qual a taxa mensal cobrada pela loja? i =? PV = R$ ,72 FV = R$ ,68 n = 210 dias Solução 1: i = {(14.520,68 / ,72 ) 30/210 1} x 100 i = {(1, ) 0, } x 100 i = {1, } x 100 i = {0,051592} x 100 i = 5,16% ao mês. Solução 2: HP-12C 14520,68 [ENTER] 10210,72 [:] 30 [ENTER] 210 [:] [y x ] 1 [-] 100 [x] 5,16% ao mês Solução 3: HP-12C 10210,72 [CHS] [PV] 14520,68 [FV] 7 [n] [i] 5,16% ao mês. 34

35 4.9 EXERCÍCIOS SOBRE JUROS COMPOSTOS 1) Determinar o montante, no final de 10 meses, resultante da aplicação de um capital de R$ ,00 à taxa de 3,75% ao mês. Resposta: R$ ,39 2) Uma pessoa empresta R$ ,00 hoje para receber R$ ,46 no final de dois anos. Calcular as taxas mensal e anual desse empréstimo. Resposta: 8% ao mês, ou 151,817% ao ano. 3) Sabendo-se que a taxa trimestral de juros cobrada por uma instituição financeira é de 12,486%, determinar qual o prazo em que um empréstimo de R$ ,00 será resgatado por R$ ,23. Resposta: 5 trimestres (ou 15 meses). 4) Quanto devo aplicar hoje, à taxa de 18,00% ao ano, para ter R$ ,00 ao final de 19 meses? Resposta: R$ , EXERCÍCIOS DE REFORÇOS 1) Uma empresa obtém um empréstimo de R$ ,00 que será liquidado, de uma só vez, no final de dois anos. Sabendo-se que a taxa de juros é de 25% ao semestre, calcular o valor pelo qual esse empréstimo deverá ser quitado. Resposta: R$ ,38 2) Em que prazo uma aplicação de ,00, à taxa de 3,25% ao mês, gera um resgate de R$ ,00. Resposta: 9 meses 3) Um terreno está sendo oferecido por R$ 4.500,00 à vista ou R$ 1.500,00 de entrada e mais uma parcela de R$ 3.500,00, no final de 6 meses. Sabendo-se que no mercado a taxa média para aplicação em títulos de renda prefixada gira em torno de 3,5% ao mês (taxa líquida, isto é, com o Imposto de Renda já computado), determinar a melhor opção para um interessado que possua recursos disponíveis para comprá-lo. Resposta: A melhor opção é comprá-lo a prazo 4) A que taxa de juros um capital aplicado pose ser resgatado, no final de 17 meses, pelo dobro do seu valor? Resposta: 4,162% ao mês. 5) Em quanto tempo um capital pode produzir juros iguais a 50% do seu valor, se aplicado a 3,755% ao mês. Resposta: 11 meses. 35

36 6) A aplicação de certo capital, à taxa de 69,588% ao ano, gerou um montante de R$ ,00 no final de 1 ano e 3 meses. Calcular o valor dos juros. Resposta: R$ ,79 7) Qual é mais vantajoso: aplicar R$ ,00 por 3 anos, a juros compostos de 3% ao mês, ou aplicar esse mesmo valor, pelo mesmo prazo, a juros simples de 5% ao mês? Resposta: Aplicar a juros compostos de 3% ao mês. 8) No fim quanto tempo um capital, aplicado à taxa de 4% ao mês, quadruplica o seu valor: a) no regime de capitalização composta; (Resposta: 35,35 meses) b) no regime de capitalização simples. (Resposta: 75 meses) 9) Qual o montante produzido pela aplicação de R$ 580,00, à taxa de 17,5% ao ano, pelo prazo de 213 dias? Resposta: 638,07 10) Qual o valor do capital, que aplicado à taxa de 18% ao trimestre durante 181 dias, produziu um montante de R$ 5.000,00? Resposta: R$ 3.584,32 11) A aplicação de R$ ,90 proporcionou um resgate de R$ ,58 no final de seis meses. Determinar as taxas mensal e anual dessa operação. Resposta: 7,3% ao mês e 132,91% ao ano. 12) Certa aplicação rende 0,225% ao dias. Em que prazo um investidor poderá receber o dobro da sua aplicação? Resposta: 308,41dias ou 309 dias 13) A aplicação de R$ 280,00 proporcionou um rendimento de R$ 240,00 no final de 208 dias. Determinar a taxa diária, mensal, trimestral e anual de juros. Resposta: 0,2981% a.d; 9,3392% a.m; 30,7156% a.t. e 191,9505% a.a. 14) Em 154 dias uma aplicação rendeu 21,43%. Calcular as taxas mensal e anual equivalente. Resposta: 3,85% a.m. e 57,44% a.a. 15) Um banco cobra 20% a.a. de juros (além da correção monetária) numa operação de capital de giro. Quanto cobrará para uma operação em 182 dias? (considerar o ano como sendo 360 dias). Resposta: 9,66% a.p. 16) Quanto uma pessoa resgatará no final de 93 dias se aplicar R$ 2.000,00 à taxa de 15% ao ano? E qual a taxa mensal equivalente? Resposta: R$ 2.073,53 e 1,17% a.m. 36

37 17) Um certificado de Depósito Bancário (CDB) equivalente a 500 dólares rende juros de 15% ao ano. Sendo o seu prazo de 243 dias, calcular o valor de resgate (em dólar), antes do Imposto de Renda. Resposta: US$ 549,47 18) Qual foi a taxa mensal de juros apurada por um investidor, para uma aplicação de R$ ,00 efetuada no dia 13 de março de 2001, cujo valor de resgate em 08 de junho de 2001 foi de R$ ,42? Resposta: 3,24% a.m. 19) Qual é o número de dias necessário para que uma aplicação de R$ 1.000,00 produza um valor de resgate de R$ 3.000,00, se a taxa de juros contratual for de 4,8% ao mês? Resposta: 703 dias 20) Um título de renda fixa é emitido com um prazo de dois meses e valor de resgate de R$ ,00. Determinar seu valor de emissão para que seja garantida ao investidor uma rentabilidade de 10% ao ano, no regime de juros compostos. Resposta: R$ 9.842,40 Os exercícios dos itens 4.9 e 4.10 foram parcialmente extraídos e adaptados, do livro do professor José Dutra Vieira Sobrinho, Matemática Financeira, 5ª edição, Editora Atlas e dos Professores Samuel Hazzan e José Nicolau Pompeu, Matemática Financeira métodos quantitativos, 4ª edição, Editora Atual. 37

38 5. OPERAÇÕES COM TAXAS DE JUROS No mercado financeiro e nas operações bancárias e comerciais, a palavra taxa é empregada de várias formas, ou seja, vários conceitos são abordados em várias situações. Mostraremos as aplicabilidades das taxas de juros do pondo vista da matemática financeira. 5.1 TAXAS EQUIVALENTES : As taxas são equivalentes se, quando aplicadas a um mesmo capital, por um mesmo período, geram o mesmo rendimento. i (eq) ={ ( 1 + i c ) QQ/QT 1} x 100 Onde: i (EQ) = Taxa Equivalente; i c = Taxa Conhecida; QQ = Quanto eu Quero; QT = Quanto eu Tenho. EXEMPLO Nº 20: Calcular a equivalência entre as taxas. Taxa Conhecida Taxa Equivalente para: a) 79,5856% ao ano 1 mês b) 28,59% ao trimestre 1 semestre c) 2,5% ao mês 105 dias d) 0,5% ao dia 1 ano e) 25% (ano comercial) 1 ano exato (base 365 dias) Solução 1: a) i (EQ) = { ( 1 + 0,7958) 30/360 1} x 100 = 5% ao mês b) i (EQ) = { ( 1 + 0,2859) 180/90 1} x 100 = 65,35% ao semestre c) i (EQ) = { ( 1 + 0,025) 105/30 1} x 100 = 9,03% ao período d) i (EQ) = { ( 1 + 0,005) 360/1 1} x 100 = 502,26% ao ano e) i (EQ) = { ( 1 + 0,25) 365/360 1} x 100 = 25,39% ao ano (exato) Solução 2 (HP 12C) a) 1,7958 [ENTER] 30 [ENTER] 360 [:] [Y X ] 1 [-] 100 [X] 5% ao mês b) 1,2859 [ENTER] 180 [ENTER] 90 [:] [Y X ] 1 [-] 100 [X] 65,35% ao trimestre c) 1,025 [ENTER] 105 [ENTER] 30 [:] [Y X ] 1 [-] 100 [X] 9,03% ao período d) 1,005 [ENTER] 360 [ENTER] 1 [:] [Y X ] 1 [-] 100 [X] 502,26% ao ano e) 1,25 [ENTER] 365 [ENTER] 360 [:] [Y X ] 1 [-] 100 [X] 25,39% ao ano (exato) 38