A ESTATÍSTICA SÉRIES ESTATÍSTICAS

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1 1 A ESTATÍSTICA A Estatística é uma parte da Matemática Aplicada que fornece métodos para a coleta, organização, descrição, análise e interpretação de dados e para a utilização dos mesmos na tomada de decisões. Exprimindo por meio de números as observações que se fazem de elementos com, pelo menos, uma característica comum (por exemplo: os alunos do sexo masculino de uma comunidade), obtemos os chamados dados referentes a esses elementos. A coleta, a organização e a descrição dos dados estão a cargo da Estatística Descritiva, enquanto a análise e a interpretação desses dados ficam a cargo da Estatística Indutiva ou Inferencial. Em geral, as pessoas, quando se referem ao termo estatística, o fazem no sentido da organização e descrição dos dados, desconhecendo que o aspecto essencial da Estatística é o de proporcionar métodos, que permitam conclusões que transcendam os dados obtidos inicialmente. Assim, a análise e a interpretação dos dados estatísticos tornam possível o diagnóstico de uma empresa, o conhecimento de seus problemas e a formulação de soluções para tais problemas. SÉRIES ESTATÍSTICAS Um dos objetivos da Estatística é sintetizar os valores que uma ou mais variáveis podem assumir, para que tenhamos uma visão global da variação dessa variável. E isso ela consegue inicialmente, apresentando esses valores em tabelas e gráficos, que irão nos fornecer rápidas e seguras informações a respeito das variáveis em estudo. TABELAS ESTATÍSTICAS Uma tabela deve apresentar a seguinte estrutura: - cabeçalho - corpo - rodapé O cabeçalho deve conter o suficiente para que sejam respondidas as questões: - o que está representado? - onde ocorreu? - quando ocorreu? O corpo da tabela é representado por colunas e subcolunas dentro dos quais serão registrados os dados numéricos e informações. O rodapé é reservado para observações pertinentes à tabela, bem como para o registro e identificação da fonte dos dados. Exemplo: Internautas que fazem transações bancárias on-line jan/2003 Países Suécia Austrália EUA Japão Brasil Espanha Quantidade(%) 51,3 39,6 12,5 9,6 36,2 18,6 Fonte: Nielsen/Net Ratings(Revista Época)

2 2 GRÁFICOS A representação gráfica das séries estatísticas (tabelas) tem por finalidade representar os resultados obtidos, permitindo chegar-se a conclusões sobre a evolução do fenômeno ou sobre como se relacionam os valores da série. Não há uma única maneira de representar graficamente uma série estatística. A escolha do gráfico mais apropriado ficará a critério do analista. Contudo, os elementos simplicidade, clareza e veracidade devem ser considerados quando da elaboração de um gráfico. GRÁFICO DE COLUNAS Internautas que fazem transações bancárias on lina Quantidade(%) EUA Brasil Espanha Internautas que fazem transações bancárias on Fonte:Nielsen/Net Ratings(Revista Época) GRÁFICO DE BARRAS É semelhante ao gráfico de colunas, porém os retângulos são dispostos horizontalmente. Internautas que fazem transações bancárias on lina Quantidade(%) Brasil EUA Suécia Internautas que fazem transações bancárias on Fonte:Nielsen/Net Ratings(Revista Época)

3 3 Obs: A distância entre as colunas (ou barras), por questões estéticas, não deverá ser menor que a metade nem maior que os dois terços da largura (ou da altura dos retângulos) GRÁFICO DE LINHA (CURVA) O gráfico de linha constitui uma aplicação do processo de representação das funções num sistema de coordenadas cartesianas. Internautas que fazem transações bancárias on lina Quantidade(%) EUA Brasil Espanha Internautas que fazem transações bancárias on Fonte:Nielsen/Net Ratings(Revista Época) GRÁFICO DE SETORES É a representação gráfica de uma série estatística, em um círculo, por meio de setores. È utilizado principalmente quando se pretende comparar cada valor da série com o total. Para construí-lo, divide-se o círculo em setores, cujas áreas serão proporcionais aos valores da série. Essa divisão poderá ser obtida pela solução da regra de três: total...360º Parte... xº Países Quantidade(%) Graus Graus Acumulados Suécia 51,3 110,06 110,06 Austrália 39,6 84,96 195,02 EUA 12,5 26,82 221,84 Japão 9,6 20,60 242,44 Brasil 36,2 77,66 320,10 Espanha 18,6 39, Total 167,8 360

4 4 Internautas que fazem transações bancárias on lina Quantidade(%) Suécia Austrália EUA Japão Brasil Espanha Fonte: Nielsen/Net Ratings (Revista Época) Exercícios: 1 Represente as séries abaixo usando : - Gráfico de linhas - Gráfico de colunas - Gráfico de setores Tabela 1: Venda mensal de produtos Banco Alfa S.A Jan/2003 Produtos Quantidade Cartão de crédito 57 Seguro de vida 41 Seguro de auto 98 Título de capitalização 61 Título de previdência 12 Fonte: Depto Comercial Banco Alfa SA Tabela 2: Produção Empresa Beta Ltda 1º semestre 2002 Meses Janeiro Fevereiro Março Abril Maio Junho Quantidade Fonte: Depto Vendas Empresa Beta Ltda

5 5 DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS A cada fenômeno corresponde um número de resultados possíveis. Exemplo: Para o fenômeno sexo são dois os resultados possíveis: sexo masculino e sexo feminino. Variável é o conjunto de resultados possíveis de um fenômeno. POPULAÇÃO E AMOSTRA População é um conjunto de indivíduos ou objetos que apresentam pelo menos uma característica em comum. Amostra é um subconjunto finito de uma população. Suponhamos termos feito uma coleta de dados relativos às idades de 30 pessoas, que compõem uma amostra dos alunos de uma faculdade A : A este tipo de tabela, cujos elementos não foram numericamente organizados denominamos tabela primitiva ou dados brutos. Ao arranjo dos dados brutos em ordem crescente ou decrescente chamamos de rol. Logo: Podemos organizar estes dados em uma tabela simples denominada de distribuição de freqüência com variável discreta. Os dados serão organizados com suas freqüências simples. Freqüência simples ou absoluta (Fi) é o número de vezes que o elemento aparece na amostra ou o nº de elementos pertencentes a uma classe. Idades Fi Total 30

6 6 Podemos ainda agrupar os valores da variável em intervalos, sendo que, chamamos esses intervalos de classes. Logo a tabela abaixo denominados de distribuição de freqüência com intervalos de classe. Idades de 30 alunos da Faculdade A Classes Idade Freqüência I I I I I I Σ 30 Obs: Quando os dados estão organizados em uma distribuição de freqüência, são comumente denominados dados agrupados. ELEMENTOS DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA A construção de uma tabela com dados agrupados em intervalos ou variável contínua requer o conhecimento de alguns conceitos que vamos fazer em seguida e usaremos a tabela anterior para exemplificar cada item. Classes de freqüência são os intervalos de variação da variável. As classes são representadas simbolicamente por i, sendo i = 1, 2, 3,... K (onde k é o nº total de classes da distribuição). No nosso exemplo: o intervalo 30 I define a quarta classe (i=4). Como a distribuição é formada de seis classes, temos K = 6. Limites de classes são os extremos de cada classe (li I---- Li) li limite inferior da classe (onde começa o intervalo) Li limite superior da classe (onde termina o intervalo) Ex: intervalo 30 I li 30 Li 33 Intervalo de classe ou amplitude do intervalo(h) é a medida do intervalo que define a classe. - h = Li li Ex: intervalo 30 I , logo h = = 3 Número de classes(k) Não há uma fórmula exata para o cálculo do nº de classes. As mais usadas são:1ª)k = 5 para n 25 ou K n para n > 25 2ª)Fórmula de Sturges K 1 + 3,22. log n Range, amplitude total ou amplitude amostral é a diferença entre o maior e o menor valor da amostra. No exemplo dado: R = = 15 Para montar a tabela de distribuição de freqüência com intervalos devemos seguir os itens abaixo: 1º) Calcular o range (como na definição anterior: = 15) 2º) Saber quantas classes ou quantos intervalos terá a tabela. No exemplo acima, temos n=30,

7 7 portanto n>25. Logo o cálculo será K= 30 = 5,48, ou seja K = 6 3º) Calcular qual será a amplitude do intervalo ou qual a diferença entre o li e o Li. Logo h R : K ou seja h = 15 : 6 = 2,5 ou h = 3 Obs: Quando os resultados acima não são exatos, devemos arredondá-los para o maior. Outros elementos de uma distribuição de freqüência: Pontos médios das classes (Xi) é a média aritmética entre o limite superior e o limite inferior da classe. Ex: Xi = = 34,5 2 Freqüência relativa (Fri) é dada por Fri = Fi/n, ou seja é a porcentagem daquele valor da amostra. Freqüência acumulada (Fac) é a soma das freqüências dos valores inferiores ou iguais ao valor dado. Histograma é a representação gráfica de uma distribuição de freqüência por meio de retângulos justapostos. Polígono de freqüência é um gráfico em linha, sendo as freqüências marcadas sobre perpendiculares ao eixo horizontal, levantadas pelos pontos médios dos intervalos de classe. Polígono de freqüência acumulada é traçado marcando-se as freqüências acumuladas sobre perpendiculares ao eixo horizontal, levantadas nos pontos correspondentes aos limites superiores dos intervalos de classe. Exercícios: 1 Considere os salários quinzenais de 100 funcionários da Empresa Yasmim Ltda (em US$): Pede-se determinar: a) A amplitude amostral b) O número de classes c) A amplitude das classes d) Construir a tabela de distribuição de freqüência com as classes, frequências absolutas, freqüências relativas, pontos médios e freqüência acumulada. e) Qual a porcentagem de funcionários que ganham salários com valor igual ou superior a US$179. f) Qual a porcentagem de funcionários que ganham salários com valores inferiores a US$163. g) O histograma h) O polígono de freqüência i) Qual o ponto médio da 3ª classe j) Qual o fri da 2ª classe.

8 8 2 - O controle de qualidade de uma indústria selecionou 48 caixas na linha de produção e anotou em cada caixa o número de peças defeituosas, obtendo os seguintes dados: Determinar: a) o rol b) a tabela de distribuição de freqüência sem intervalos c) qual a porcentagem de caixas que apresentam 2 ou mais peças defeituosas? 3 Uma empresa automobilística selecionou ao acaso, uma amostra de 40 revendedores autorizados em todo o Brasil e anotou em determinado mês o número de unidades adquiridas por estes revendedores. Obteve os seguintes dados: a)monte a tabela de distribuição de freqüência com intervalos. Exercícios Extras: 1-Conhecidas as notas de 55 alunos: Obtenha a tabela de distribuição de freqüência com intervalos, a freqüência absoluta, a freqüência relativa, o ponto médio e a freqüência acumulada. 2 Os resultados do lançamento de um dado 50 vezes foram os seguintes: Forme uma distribuição de freqüência sem intervalos e complete com as colunas do fri e fac. 3 Considerando as notas de um teste de inteligência aplicado a 55 alunos: Forme uma tabela de distribuição de freqüência com intervalos e complete com as colunas do Xi, Fri e Fac. a)qual a porcentagem de alunos que obtiveram nota inferior a 79? b)qual a porcentagem de alunos que obtiveram nota igual ou superior a 94? 4 A amostra abaixo apresenta as vendas diárias de um determinado aparelho elétrico, durante um mês, por uma firma comercial: Forme uma distribuição de freqüência sem intervalos com as colunas do fri e fac.

9 9 Respostas: 1 - classes notas fi xi fri fac 1 33 I ,5 12, I ,5 10, I ,5 14, I ,5 18, I ,5 16, I ,5 10, I ,5 9, I ,5 7, faces do dado fi fri fac classe amostra fi xi fri fac 1 64 I ,5 9, I ,5 10, I ,5 16, I ,5 12, I ,5 25, I ,50 10, I ,50 3, I ,5 10,91 55 a)36,36% b)14,55% 4 amostra fi fri fac , , , , , , , ,17 24

10 10 MEDIDAS DE POSIÇÃO Foi visto no item anterior a sintetização dos dados sob a forma de tabelas, gráficos e distribuições de freqüências. Dessa forma podemos localizar a maio concentração de valores de uma dada distribuição. Agora, vamos ressaltar as tendências características de cada distribuição. Inicialmente estudaremos as medidas de posição que são estatísticas que representam uma série de dados orientando-nos quanto à posição da distribuição no eixo X (eixo dos nº reais). - Medidas de tendência central representam os fenômenos pelos seus valores médios, em torno dos quais tendem a concentrar-se os dados. (média, moda e mediana) 1º CASO: Dados não agrupados Média x = x n (onde n é o nº de elementos do conjunto) Ex1: Determinar a média aritmética simples dos valores: 3, 7, 8, 10 e 11 x X = = = 7, 8 n 5 X 2º CASO: Dados agrupados sem intervalos Dada a amostra: 2, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 8, 8 Xi Fi XiFi Total Então a média será : X = XiFi n 56 = = 10 5,6 3º CAS0: Dados agrupados com intervalos Classe Amostra Fi Xi XiFi 1 2 I ,5 3,5 2 5 I , I , I ,5 12,5 Total

11 Portanto = XiFi X = = 7, 85 n 20 Interpretação: O valor médio desta série é 7,85, isto é, 7,85 é o valor em torno do qual os elementos desta série se concentram. Exercícios: 1ª PARTE MÉDIA 1-Calcule a média aritmética das séries abaixo: a)1, 2, 8, 10, 12, 16, 21, 30 b)5, 6, 6, 10, 11, 11, 20 2 Calcule a média para as tabelas abaixo: xi fi Total xi fi Total 3-O salário de 39 funcionários de um escritório está distribuído segundo o quadro abaixo. Calcule o salário médio destes funcionários. classe salários(r$) nº func I I I I I Uma imobiliária gerencia o aluguel de residências particulares, segundo o quadro abaixo.calcule a média: classe aluguel(r$) nº casa 1 0 I I I I I Total 5-Em uma empresa temos 4 operários com salário de R$850,00, 2 supervisores com salário de R$1.200,00, 1 gerente com salário de R$2.000,00 e 6 vendedores com salário de R$1.100,00. Qual a média salarial dessa empresa?

12 12 Respostas: 1)a)12,5 b)9,86 2)a)3,6 b)18,84 3)562,82 4)335 5)R$1.107,69

13 13 Mediana ( X ~ ) 1º Caso: Dados não agrupados Os valores têm que ser colocados em ordem crescente. A mediana é o nº que se encontra no centro de uma série de números, ou seja, divide a amostra em duas partes iguais. Exemplo: 5, 13, 10, 2, 18, 15, 6, 16 e 9 Colocar os valores em ordem crescente: 2, 5, 6, 9, 10, 13, 15, 16, 18 n Se n=9 logo = = = 5º elemento, logo X ~ = º exemplo: 2, 6, 7, 10, 12, 13, 18 e 21 ( já está em ordem) n Se n=8 logo = = 4, 5 º elemento (está entre o 4º e o 5º elemento) 2 2 ~ Logo X = = = º Caso: Dados agrupados sem intervalos Dada a amostra: 12, 14, 14, 15, 16, 16, 17, 20 e 20 Xi Fi Fac Total 9 Construindo a coluna da frequência acumulada podemos localizar com facilidade o valor mediano. ~ n x = = = = 5º elemento, portanto a mediana será o º Caso: Dados agrupados com intervalos Dada a tabela: Classe Amostra fi Fac 1 3 I I I I I Total 19

14 14 1º Passo: Calcula-se a ordem 2 n. 2º Passo: Pela Fac identifica-se a classe que contém a mediana (classe da Md). 3º Passo: Utiliza-se a fórmula: n fac ~ x = li + 2 fi ant classe h Onde: l i = limite inferior da classe da mediana n = tamanho da amostra fac anterior = freqüência acumulada anterior à classe da mediana( ou soma dos valores de fi anteriores à classe da mediana) h = amplitude da classe da mediana fi classe = freqüência da classe da mediana No exemplo da tabela anterior: 1º Passo: Calcula-se 2 n. Com n=19, temos 19/2=9,5º elemento 2º Passo: Identifica-se a classe da mediana pela Fac. Neste caso, a classe da mediana é a 3ª. 3º Passo: Aplica-se a fórmula: n fac x~ = li + 2 fi ant classe ~ 9,5 7 x = = 9,93 8 h Interpretação: 50% dos valores da série são valores menores ou iguais a 9,93 e 50% dos valores da série são valores maiores ou iguais a 9,93. Exercícios: MEDIANA 1-Calcule a mediana das seqüências abaixo: a)2, 5, 8, 10, 12, 15, 18, 20 b)3, 4, 5, 7, 7, 8, 10, 15 2 Calcule a mediana das distribuições abaixo: xi fi Total

15 15 xi fi Total 3-Determine o valor mediano da distribuição a seguir que representa os salários de 23 funcionários selecionados em uma empresa: classe salários (R$) nº funcionários I I I I Uma loja de departamentos selecionou um grupo de 53 notas fiscais, durante um dia e obteve o quadro abaixo. Pede-se que determine o valor que representa a mediana. classe consumo nº notas 1 0 I I I I I total Respostas: 1)a)11 b)7 2)a)4 b)18 3)670 4)79,46 1º Caso: Dados não agrupados: Moda É o valor de maior frequência em um conjunto de dados ou que aparece mais vezes. Ex: 7, 8, 8, 9, 10, 10, 10, 12, 15. O elemento de maior frequência é o 10, portanto Mo=10 (unimodal) Ex: 3, 5, 8, 10, 12 e 13 Todos os elementos da série apresentam a mesma frequência, logo a série é amodal. Ex: 2, 2, 5, 5, 8, 9 Temos Mo=2 e Mo=5 (bimodal)

16 16 2º Caso: Dados agrupados sem intervalo Basta identificar o elemento de maior freqüência. Xi Fi Portanto Mo=3 3º Caso: Dados agrupados com intervalos Dada a tabela: classe amostra fi 1 0 I I I I º Passo: Identifica-se a classe modal (aquela que possui maior freqüência) 2º Passo: Aplica-se a fórmula: 1 Mo = l i + h Onde l = limite inferior da classe modal i 1= diferença entre a freqüência (fi) da classe modal e a imediatamente anterior 2 = diferença entre a freqüência (fi) da classe modal e a imediatamente posterior. h = amplitude da classe No exemplo da tabela anterior: 1º Passo: Indica-se a classe modal. No caso, trata-se da 3ª classe (maior fi=6) 2º Passo: Aplica-se a fórmula em que 3 Mo = 20 + x10 = 24, Exercícios: MODA 1 Calcule a moda para as séries abaixo: a)2, 2, 3, 4, 5, 5, 5, 7 b)3, 4, 4, 5, 9, 12, 12

17 17 2-Calcule a moda das distribuições abaixo: xi fi xi fi Total 3-A distribuição abaixo representa o consumo em Kg de um produto colocado em oferta em um supermercado. Calcule a moda: classe consumo nº de clientes 1 0 I I I I I A distribuição abaixo representa o número de acidentes de trabalho por dia em uma indústria Petroquímica, verificados durante um mês. Calcule a moda: classe nº de acidentes nº de dias 1 0 I I I I Respostas: 1)a)5 b)4 e 12 2)a)3 b)18 3)3,48 4)1,18 Exercícios Extras 1-Calcule a média aritmética das distribuições abaixo: Notas fi salários(r$) fi Vendas(R$) fi Total Total Total a) b) c) 2 Calcule a moda para as tabelas acima.

18 18 3 Calcule a mediana para as tabelas acima. 4 Calcule a média aritmética para as tabelas abaixo: tabela a tabela b Salários(R$) nº funcionários Estaturas(cm) fi 200 I I I I I I I I I I total total Notas nº alunos pesos (Kg) Fi 0 I I I I I I I I I I total Total tabela c tabela d 5 Calcule a mediana para as tabelas acima. 6 Calcule a moda para as tabelas acima. Respostas: 1- a) 5,77 b) 778,68 c) 159,09 2 a) 5 b) 780 c) a) 5 b) 780 c) a) 500 b) 172,40 c) 5,27 d)156,91 5 a) 466,67 b) 174 c) 5,29 d) a) 366,67 b) 176,57 c) 5,20 d)150,45

19 19 MEDIDAS SEPARATRIZES Dado o problema: Na empresa Mercury Ltda foi observada a distribuição de funcionários do setor de vendas com relação ao salário semestral (baseado em comissões sobre vendas): salário semestral(r$) n de funcionários 1000 I I I I Se a empresa divide os funcionários em quatro categorias, com relação ao salário temos: - 0s 25 % menos produtivos = categoria C; - Os 25% seguintes = categoria B; - Os 25% seguintes mais produtivos = categoria A - Os 25% restantes = categoria especial. Quais são os salários limites das categorias acima? QUARTIS Divide a amostra em quatro partes iguais. Q1 Q2 Q3 I I I I I 0% 25% 50% 75% 100% Para determinar Q1: 1 Passo: Calcula-se 4 n 2 Passo: Identifica-se a classe Q1 pela Fac 3 Passo: Aplica-se a fórmula: n facant h Qi li 4 = + fi classe Para determinar Q2: 2n 1º Passo: Calcular 4 2º Passo: Identifica-se a classe Q2 pela coluna do Fac. 3º Passo: Aplica-se a mesma fórmula anterior, substituindo Para determinar Q3: 3n 1 Passo: Calcula-se 4 n 4 2n por 4 2 Passo: Identifica-se a classe Q3 pela Fac 3 Passo: Aplica-se a mesma fórmula anterior, apenas substituindo n 4 3n por. 4

20 20 DECIS A amostra é dividida em 10 partes iguais. I I I I I I I I I I I 0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100% D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 in 1 Passo: Calcula-se onde i representa o decil que se quer calcular.(ex. D4 então 4n) 10 2 Passo: Identifica-se a classe Di pela coluna do FAC 3 Passo: Aplica-se a fórmula: Di = li + i. n fac 10 fi ant classe Divide a amostra em 100 partes iguais: h PERCENTIS I I I I I... I I I 0% 1% 2% 3% 4% 98% 99% 100% P1 P2 P3 P4 P98 P99 in! Passo: Calcula-se onde i representa o percentil que se quer calcular (Ex:P58 então 58n) Passo: Aplica-se a fórmula: i. n fac Pi = li fi classe ant h

21 21 Exercícios: 1 A tabela abaixo refere-se às notas de 500 alunos do colégio x : Notas Fi 0 I I I I I Se a escola dividir os alunos em quatro grupos conf. suas notas,quais as notas limites de cada grupo? 2-A distribuição abaixo representa o número de acidentes de trabalho por dia em uma indústria: nº de acidentes nº de dias 0 I I I I I Calcule: a)q1 b)q3 c)p92 d)p48 e)d3 f)d7 3-a tabela abaixo representa o nº de faltas anuais dos funcionários de uma empresa: nº faltas nº empregados 0 I I I I I Se a empresa decidir fornecer no final do ano uma cesta básica para 15% dos funcionários que menos faltas tiveram, qual a quantidade máxima de faltas para não perder a cesta básica? 4-A tabela abaixo representa a venda de livros didáticos em uma editora: Preço(R$) nº livros comercializados 0 I I I I I I a)se a editora fizer uma promoção com 25% dos livros de menor preço, qual o preço máximo do livro que entrará na promoção?

22 22 b)no mês seguinte a editora fez uma promoção com 45% dos livros de preço mais baixo. Qual é o preço máximo do livro para entrar na promoção? c)para fechar o mês, na última semana, a gerência da editora fez uma promoção com 20% dos livros de maior valor. A partir de qual valor os livros entraram na promoção? 3-A tabela abaixo representa os salários dos vendedores de uma empresa baseado em comissões: salários(r$) nº funcionários 200 I I I I I I a)a empresa colocou uma meta extra para 5% dos vendedores que pior desempenho tiveram. Até que valor de vendas o funcionário receberá a meta de vendas? b)para premiar os melhores vendedores, a empresa resolveu conceder uma abono para 3% dos funcionários que tiveram melhor desempenho. A partir de que salário o funcionário receberá o abono? Respostas: 1)Q1=2,88 Q2=4,46 Q3=6,45 2)a)1,63 b)6,35 c)8,7 d)3,49 e)1,95 f)5,75 3)os funcionários que tiveram até 2,28 faltas (aproximadamente 3) receberão a cesta básica. 4)a)Os livros que custam até R$24,38 entrarão na promoção. b)os livros que custam até R$31,99 entrarão na promoção c)os livros que custam a partir de R$42,08 entrarão na promoção. 5)a)Os vendedores que tiveram o valor de vendas até R$353,33 receberão a meta extra. b)os vendedores que tiveram o valor de vendas a partir de R$1.262,00 receberão o abono.

23 23 MEDIDAS DE DISPERSÃO São medidas estatísticas utilizadas para avaliar o grau de variabilidade de dispersão dos valores em torno da média. Servem para medir a representatividade da média I x Ex: a)10, 1, 18, 20, 35, 3, 7, 15, 11, 10 b)12, 13, 13, 14, 12, 14, 12, 14, 13, 13 c)13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13 concluiremos que todas possuem a mesma média 13. No entanto, são seqüências completamente distintas do ponto de vista da variabilidade de dados. DESVIO MÉDIO É a análise dos desvios em torno da média. Calculamos inicialmente a média da amostra. Em seguida identificamos a distância de cada elemento da amostra para sua média. Finalmente, calculamos o desvio médio, di Fi Xi x Fi di = Ixi - x I, logo o desvio médio será ou n n Exemplo: Dada a amostra: Xi(amostra) Fi XiFi IdiI=Ixi-xI difi ,83 3, ,83 8, ,17 10, ,17 4, ,83 3, x XiFi 75 = = = 4, n difi 31 Dm = = = 1,72 n 18

24 24 DESVIO PADRÃO Xi Fi XiFi IdiI=Ixi-xI di 2 di 2.fi ,83 0,69 2, ,83 8,01 24, ,17 4,71 23, ,17 1,37 5, ,83 3,35 6, ,52 Desvio padrão amostral S = 2 di fi n 1 = 62, = 62,52 17 = 3,68 = 1,92 2 exemplo: classes Fi Xi XiFi di difi 2 di 2 I I I I I di 2 fi COEFICIENTE DE VARIAÇÃO Trata-se de uma medida relativa de dispersão útil para a comparação em termos relativos do grau de concentração em torno da média (expresso em porcentagens) CV = X S X 100 Temos: Baixa dispersão: CV < 10% Média dispersão: 10% < CV < 20% Alta dispersão: CV > 20%

25 25 Exercícios: 1-Calcule o desvio médio das séries abaixo: a) xi Fi b) salários nº de vendedores 70 I I I I I I total 2 Calcule o desvio padrão para as tabelas abaixo: a) Idade nº de alunos Total b) Xi Fi Total 3-Calcule o desvio padrão para a distribuição de valores de 54 notas fiscais emitidas na mesma data, selecionadas em uma loja de departamentos. Vl. notas nº de notas 0 I I I I

26 I I total 4-Calcule o desvio padrão para a tabela abaixo: Alturas (cm) nº de alunos 150 I I I I I I Total 5-Qual das disciplinas abaixo apresentou maior dispersão? a)matemática: média 8,5 e desvio padrão 2 Estatística: média 9 e desvio padrão 5 b)cálculo: média 5 e desvio padrão 2 Álgebra: média 8 e desvio padrão 3 Respostas: 1)a)1,13 b)45,20 2)a)1,04 b)0,93 3)49,46 4)11,89 5)a)Estatística b)cálculo Exercícios extras: 1 Determine a média, moda e mediana nos casos abaixo: a) amostra Fi 7 I I I I I Total

27 27 b) amostra Fi 1 I I I I I I Total c) Idade nº pessoas 10 I I I I I Total d) amostra fi 30 I I I I I Total e) amostra fi 45 I I I I I Total 2 Calcule o desvio médio,o desvio padrão e o coeficiente de variação para as tabelas acima.

28 28 Respostas: Exercício 1: a)média: 14,37 moda:14,5 mediana:14,40 b)média:6,83 moda:6,20 mediana:6,63 c)média:20,36 moda:20,18 mediana:20,35 d)média:55,5 moda:56 mediana:55,71 e)média:66,5 moda:67 mediana:66,43 Exercício 2: a)desvio médio:2,78 desvio padrão: 3,58 CV:24,91 b)desvio médio:2,43 desvio padrão: 2,95 CV:43,19 c)desvio médio:3,94 desvio padrão:4,89 CV:24,02 d)desvio médio:8,65 desvio padrão:11,23 CV:20,23 e)desvio médio:8,85 desvio padrão:10,67 CV:16,05

29 29 CALCULO DAS PROBABILIDADES As decisões nos negócios são freqüentemente baseadas na análise de incertezas tais como as seguintes: a)quais são as chances das vendas decrescerem se aumentarmos os preços? b)qual a chance de um novo método de montagem aumentar a produtividade? c)qual a probabilidade do projeto terminar no prazo? A probabilidade é uma medida numérica da possibilidade de que um evento ocorra. Assim, as probabilidades podem ser usadas como medidas do grau de incerteza. EXPERIMENTO ALEATÓRIO Em uma afirmação do tipo: é provável que meu time ganhe a partida de hoje pode resultar: a) que o time perca; b) que o time ganhe; c) que ele empate. Como vimos, o resultado é imprevisível e depende do acaso. Fenômenos como esse são chamados fenômenos aleatórios ou experimentos aleatórios. Experimentos aleatórios são aqueles que, mesmo repetidos várias vezes sob condições semelhantes, apresentam resultados imprevisíveis. ESPAÇO AMOSTRAL A cada experimento aleatório (E) correspondem em geral a vários resultados possíveis a que chamamos de Espaço Amostral (S). Ex: E = jogar um dado e observar o nº da face de cima S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} E = Jogar uma moeda e observar o resultado S = {cara, coroa} EVENTO È qualquer subconjunto do espaço amostral S de um experimento aleatório. Exemplo: No lançamento de um dado, onde S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, seja B o evento obter um nº par na face superior temos: B = {2, 4, 6} PROBABILIDADE Dado um experimento aleatório, sendo S o seu espaço amostral, vamos admitir que todos os elementos de S tenham a mesma chance de acontecer, chamamos de probabilidade de um evento A o nº real P(A) tal que P(A) = n(a)/n(s) onde: n(a) = nº de elementos de A ou nº de vezes que o avento A pode ocorrer n(s) = nº de elementos de S ou nº de vezes em que o Espaço Amostral ocorre. Exemplos: Considerando o lançamento de um dado: - qual a probabilidade do evento A obter um número par na face superior.

30 30 Temos: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, logo n(s) = 6 A = {2, 4, 6}, logo n(a) = Então: P(A) = = qual a probabilidade do evento B obter um nº menor ou igual a 6 na face superior Temos: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, n(s) = 6 B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, n(b) = 6 6 Então : P(B) = = qual a probabilidade do evento C obter um número 4 na face superior Temos: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, n(s) = 6 C = {4}, n( C ) = 1 Então : P ( C) = qual a probabilidade do evento D obter um número maior que 6 na face superior Temos: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, n(s) = 6 D = vazio, n(d) = 0 0 Então: P(D) = = 0 6 Pelos exemplos acima temos: a) A probabilidade do evento certo é igual a 1: P(S) = 1 ou 100% b) A probabilidade do evento impossível é 0 c) A probabilidade de um evento E qualquer é um nº real P(E) tal que: 0 P( E) 1 EVENTOS COMPLEMENTARES Sabemos que um evento pode ocorrer ou não. Sendo p a probabilidade de que ele ocorra (sucesso) e q a probabilidade de que ele não ocorra (insucesso). Então: p + q = 1 ou q = 1 p Ex: lançamento de um dado: P(4) = 1/6 Logo a probabilidade de não tirar 4 no lançamento é 1 1/6 = 5/6(q) EVENTOS INDEPENDENTES Dizemos que dois eventos são independentes quando a realização (não realização) de um dos eventos não afeta a probabilidade da realização do outro e vice-versa. Ex: lançamento de dois dados. - Probabilidade de obtermos 1 no primeiro dado = 1/6 - Probabilidade de obtermos 5 no segundo dado = 1/6

31 31 Logo, a probabilidade de obtermos simultaneamente, 1 no primeiro dado e 5 no segundo dado é p = 1/6 x 1/6 = 1/36 EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS Dizemos que dois ou mais eventos são mutuamente exclusivos quando a realização de um exclui a realização do outro. Ex: lançamento de um dado; a probabilidade de se tirar 3 ou 5 em uma jogada é: p(3) = 1/6 p(5) = 1/6 logo p(3 ou 5) = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3 EXERCÍCIOS: 1-Uma urna contém 15 bolas numeradas de 1 a 15. Uma bola é extraída ao acaso da urna. Qual a probabilidade de ser sorteada uma bola com número maior ou igual a 11?(Resp: 33,33%) 2-Um dado é lançado e observa-se o número da face voltada para cima. Qual a probabilidade desse número ser: a)menor que 3?(33,33%) b)maior ou igual a 3?(66,67%) 3-Uma moeda é lançada três vezes sucessivamente. Qual a probabilidade de observarmos: a)exatamente uma cara?(37,5%) b)no máximo duas caras?(87,5%) 4-Um experimento consiste em sortear um aluno em uma classe pela lista de chamada(1 a 20): Determine a probabilidade dos eventos abaixo: a)ser sorteado um número par.(50%) b)não ser sorteado múltiplo de 5.(80%) c)ser sorteado um número maior de 12.(40%) d)ser sorteado um múltiplo do 8.(10%) e)ser sorteado um número maior que 12 e múltiplo de 3.(10%) f)ser sorteado um número par ou número maior que 15.(60%) 5-Em um lote de 12 peças, 4 são defeituosas. Sendo retirada uma peça do lote, calcule: a)a probabilidade de essa peça ser defeituosa (33,33%) b)a probabilidade dessa peça não ser defeituosa.(66,67%) 6-Serão sorteados dois alunos de uma classe pela lista de chamada.(nº 1 ao nº 25) Determine a probabilidade de: a)serem sorteados dois números pares.(22%) b)serem sorteados dois múltiplos do 7.(1%)

32 32 7-Em um lote de 12 peças, 4 são defeituosas, sendo retiradas 2 peças do lote, calcule:a)probabilidade de ambas serem defeituosas.(9,09%) b)probabilidade de ambas não serem defeituosas.(r:42,42%) 8-Uma classe tem 20 meninos e 25 meninas. Deseja-se formar uma comissão de cinco alunos para representantes de classe. Qual a probabilidade dessa comissão vir a ser formada exclusivamente por meninos?(1,26%) 9-Numa comunidade residem 100 pessoas. Uma pesquisa sobre os hábitos alimentares dessa comunidade revelou que: 25 pessoas consomem carnes e verduras; 83 pessoas consomem verduras; 39 pessoas consomem carnes. Uma pessoa da comunidade é escolhida ao acaso. Qual a probabilidade da pessoa: a)consumir exclusivamente carnes?(14%) b)ter o hábito de não consumir nem carne nem verdura?(3%) 10-Uma urna contém 25 bolas numeradas de 1 a 25. Uma bola é extraída ao acaso dessa urna. a)qual a probabilidade do número sorteado ser múltiplo do 2 ou do 3?(64%) b)qual a probabilidade do número da bola sorteada ser múltiplo do 5 ou do 7?(32%) Exercícios: 1-Um dado honesto é lançado e observa-se o número da face voltada para cima. Qual a probabilidade desse número ser maior que 4?(33,33%) 2-Uma urna contém 10 bolas identificadas pelas letras A, B,...,J. Uma bola é extraída ao acaso da urna e sua letra é observada. Qual a probabilidade da bola sorteada ser: a)a?(10%) b)f?(10%) c)vogal? (30%) d)consoante?(70%) 3-Paulo quer telefonar para convidar uma colega para sair. Ele sabe que o telefone dela é , mas não consegue se lembrar do último algarismo. Se Paulo só possui uma ficha telefônica e decide chutar o último algarismo, qual a probabilidade dele acertar o telefone da colega?(10%) 4-Numa quermesse, há uma barraca onde funciona o jogo do coelho. O coelho é solto no centro de um círculo, onde se distribuem 12 casinhas, numeradas de 1 a 12. Qual a probabilidade do coelho escolher uma casinha com um número múltiplo de 3?(33,33%) 5-Uma moeda é lançada três vezes sucessivamente. Qual a probabilidade de observarmos pelo menos duas caras?(50%) 6-Uma loja dispõe de 12 geladeiras do mesmo tipo, das quais 4 apresentam defeitos.

33 33 a)se um freguês vai comprar uma geladeira, qual a probabilidade de levar uma defeituosa?(33,33%) b)se comprar duas geladeiras, qual a probabilidade de levar duas defeituosas?(9,09%) 7-Dois dados são lançados simultaneamente. Qual a probabilidade de: a)a soma ser menor que 4;(8,33%) b)a soma ser nove;(11,11%) c)o primeiro resultado ser maior que o segundo.(41,67%) 8 Um lote é formado por 10 peças boas, 4 com defeitos e 2 com defeitos graves. Uma peça é escolhida ao acaso. Calcule a probabilidade de que: a)ela não tenha defeitos graves;(87,5%) b)ela seja boa ou tenha defeitos graves.(75%) 9 Considere o mesmo lote do problema anterior. Retiram-se 2 peças ao acaso. Qual a probabilidade de que ambas sejam perfeitas?(37,5%) 10 Uma urna contém 5 bolas brancas e 6 pretas. Três bolas são retiradas, sem reposição. Calcular a probabilidade de: a)todas as bolas retiradas sejam pretas.(12,12%) b)todas as bolas retiradas sejam brancas(6,06%) c)as duas primeiras bolas sejam brancas e a terceira preta.(12,12%) d)duas pretas e uma branca.(45,45%) 11-Numa classe de 55 alunos, 21 praticam vôlei e basquete, 39 praticam vôlei e 33 praticam basquete. Um aluno da classe é escolhido ao acaso. a)qual a probabilidade do aluno escolhido praticar somente um desses esportes?(54,54%) b)qual a probabilidade do aluno sorteado não praticar nenhum esporte?(7,27%) 12-Um dado é lançado e observa-se o número da face voltada para cima. Determine a probabilidade de observarmos um número par ou múltiplo de 3.(66,67%) 13-Dois dados são lançados simultaneamente. Qual a probabilidade de se obter soma dos pontos igual a 8 ou dois números iguais?(27,78%) Exercícios extras: 1-Um nº é escolhido ao acaso entre os 20 inteiros, de 1 a 20. Qual a probabilidade do nº escolhido ser: a)par?(50%) b)ímpar?(50%) 2-Uma urna contém 3 bolas brancas, 2 vermelhas e 5 azuis. Uma bola é escolhida ao acaso. Qual a probabilidade da bola escolhida ser: a)branca?(30%) b)vermelha?(20%) c)azul?(50%) d)vermelha ou azul?(70%) e)não ser azul?(50%) 3-Uma urna contém 6 bolas pretas, 2 bolas brancas e 10 bolas amarelas. Retiram-se duas bolas da urna, com reposição. Qual a probabilidade das bolas retiradas serem: a)pretas(11,11%) b)amarelas(30,86%)

34 34 c)uma branca e uma amarela.(12,34%) 4-Uma moeda é lançada três vezes. Ache a probabilidade de se obterem: a)três caras;(12,5%) b)nenhuma cara.(12,5%) c)duas coroas.(37,5%) 5-São lançados dois dados. Qual a probabilidade de: a)obter-se um par de pontos iguais.(16,67%) b)a soma dos pontos ser par.(50%) c)a soma dos pontos ser igual a 6.(13,89%) 6-De um lote de 14 peças, das quais 5 são defeituosas, escolhemos 2 peças aleatoriamente. Determine: a)a probabilidade de que ambas sejam defeituosas.(10,99%) b)a probabilidade de que ambas não sejam defeituosas.(39,56%) c)a probabilidade de que uma seja defeituosa.(49,44%) 7-Qual a probabilidade de um casal ter 4 filhos e todos do sexo feminino?(6,25%) 8-Numa caixa estão 8 peças com pequenos defeitos, 12 com grandes defeitos e 15 perfeitas. a)uma peça é retirada ao acaso. Qual a probabilidade de que esta peça seja perfeita ou tenha pequenos defeitos.(65,71%) b)quatro peças são retiradas ao acaso, sem reposição. Qual a probabilidade de que as quatro tenham grandes defeitos.(0,95%) c)cinco peças são retiradas ao acaso, com reposição. Qual a probabilidade de que as cinco sejam perfeitas.(1,45%) 9-Em um grupo de 500 estudantes, 80 estudam Engenharia, 150 Matemática e 10 estudam Engenharia e Matemática. Se um aluno é escolhido ao acaso, qual a probabilidade de que: a)ele estude Engenharia e Matemática.(2%) b)ele estude somente Engenharia(14%) c)ele estude somente Matemática(28%) d)ele não estude Engenharia nem Matemática(56%) e)ele estude Engenharia ou Matemática(44%) 10-De um grupo de 200 pessoas, 160 têm fator RH positivo, 100 têm sangue tipo O e 80 têm fator RH positivo e sangue tipo º Se uma dessas pessoas for selecionada ao acaso, qual a probabilidade de: a)seu sangue ter fator RH positivo?(80%) b)seu sangue não ser do tipo O?(50%) c)seu sangue ter fator RH positivo ou ser tipo O?(90%) 11-Dispõe-se de duas urnas, sendo que na 1ª temos 5 bolas azuis, 3 pretas e 4 brancas. Na 2ª urna temos 6 azuis, 4 pretas e 10 brancas. a)se uma bola é retirada de cada urna, qual a probabilidade de termos a 1ª bola preta e a 2ª bola azul. b)formar um par de bolas azuis. c)qual a probabilidade de que ambas sejam da mesma cor? d)formar um par de bolas brancas. 12-Um número inteiro é escolhido ao acaso entre os números de 1 a 30.Qual a probabilidade de que:

35 35 a)o número seja divisível por 3.(33,33%) b)o número seja divisível por 5 ou por 3.(46,67%) c)o número seja divisível por 5 e por 3.(6,67%) 13-Uma urna contém 5 bolas verdes, 8 azuis, 4 pretas e 2 brancas. Calcular a probabilidade de: a)sair 3 bolas verdes.(1,03%) b)sair 4 bolas azuis(1,81%) c)sair 2 bolas pretas.(3,51%) 1 Distribuição Binomial Vamos imaginar fenômenos cujos resultados só podem ser de dois tipos, um dos quais é considerado como sucesso e o outro insucesso. Este fenômeno pode ser repetido tantas vezes quanto se queira (n vezes), nas mesmas condições. As provas repetidas devem ser independentes, isto é, o resultado de uma não deve afetar os resultados das sucessivas. No decorrer do experimento, a probabilidade p do sucesso e a probabilidade de q (q=1- p) do insucesso, manter-se-ão constantes. Resolveremos problemas do tipo: determinar a probabilidade de se obter x sucessos em n tentativas. Nessas condições X é uma variável aleatória discreta que segue uma distribuição binomial. Fórmula: P(x) = n.p x.q n x x P(x) = é a probabilidade de que o evento se realize x vezes em n provas. n = nº de vezes que o experimento aleatório é repetido x = nº de sucessos em n tentativas p = é a probabilidade de que o evento se realize em uma só prova = sucesso. q = é a probabilidade de que o evento não se realize no decurso dessa prova = insucesso. n x é o coeficiente binomial de n sobre x, igual a n! x!( n x)! OBS: O nome binomial é devido à fórmula, pois representa o termo geral do desenvolvimento do binômio de Newton. Exemplo: 1- Uma moeda é lançada 5 vezes seguidas e independentes. Calcule a probabilidade de serem obtidas 3 caras nessas 5 provas. 1 Profa.Roseli Nunes

36 36 n=5 x=3 p=50%(0,5) q=50%(0,5) 5! 3 5 P( x = 3) = x0,5 x0,5 3!(5 3)! 3 = 10x0,125x0,25 = 31,25% EXERCÍCIOS 1- Dois times de futebol, A e B, jogam entre si 6 vezes. Encontre a probabilidade de o time A ganhar 4 jogos.(8,23%) 2- Um exame do tipo teste é constituído de 10 questões do tipo certo e errado. Se um estudante responde as questões ao acaso, qual a probabilidade de que ele acerte 5 questões?(24,61%) 3- Dois times de futebol, A e B, jogam entre si 6 vezes. Encontre a probabilidade do time A: a- ganhar dois ou três jogos;(54,87%) b- ganhar pelo menos um jogo;(91,22%) 4- A probabilidade de um atirador acertar o alvo é 2/3. Se ele atirar 5 vezes, qual a probabilidade de acertar exatamente 2 tiros?(16,46%) 5- Seis parafusos são escolhidos ao acaso da produção de certa máquina, que apresenta 10% de peças defeituosas. Qual a probabilidade de serem defeituosos dois deles?(9,84%) 6- Num hospital 5(cinco) pacientes devem submeter-se a um tipo de operação, da qual 80% sobrevivem. Qual a probabilidade de que todos os pacientes sobrevivam?(32,77%) 7- Se 30% das canetas de certa marca são defeituosas, achar a probabilidade de que numa amostra de 10 canetas, escolhidas ao acaso, desta mesma marca tenhamos nenhuma caneta defeituosa.(2,82%) 8- Sabe-se que a probabilidade de um estudante que entra na Universidade de se formar é 0,3. Determine a probabilidade de que entre 6 estudantes escolhidos aleatoriamente, 1(um) se forme.(30,25%) 9 Uma moeda é jogada 10 vezes. Calcular as seguintes probabilidades: a) de ocorrer 6 caras.(20,51%) b) de dar pelo menos 2 caras(98,92%) c) de não dar nenhuma coroa.(0,098%) 10 Se 3% das calculadoras de certa marca são defeituosas, achar a probabilidade de que numa amostra de 10 calculadoras escolhidas ao acaso seja encontrada: a)nenhuma defeituosa.(73,74%) b)5 canetas defeituosas.(0,0005%) c)pelo menos 2 defeituosas.(3,45%) d)no máximo 3 defeituosas.(99,95%) 11 Uma moeda não viciada é lançada 8 vezes. Encontre a probabilidade de: a) dar 5 caras;(21,88%) b) pelo menos 1 cara;(99,6%) c) no máximo 2 caras.(14,46%)

37 37 Exercícios extras: 1-Um estudante tem probabilidade p = 0,8 de acertar cada problema que tenha que resolver. Numa prova de 8 problemas, qual a probabilidade de que ele acerte exatamente 6.(R:29,36%) 2-Uma pessoa tem probabilidade 0,2 de acertar num alvo toda vez que atira, Supondo que as vezes que ele atira, são ensaios independentes, qual a probabilidade dele acertar no alvo exatamente 4 vezes, se ele dá 8 tiros? (R:4,6%) 3-A probabilidade de que um homem de 45 anos sobreviva mais 20 anos é 0,6. De um grupo de 5 homens, com 45 anos qual a probabilidade de que exatamente 4 cheguem aos 65 anos? (R:25,9%) 4-Um exame consta de 20 questões tipo certo ou errado. Se o aluno chutar todas as respostas, qual a probabilidade dele acertar exatamente 10 questões?(r:17,6%) 5-Na manufatura de certo artigo, é sabido que um entre dez dos artigos é defeituoso. Qual a probabilidade de que uma amostra casual de tamanho quatro contenha: a)nenhum defeituoso? (65,61%) c)no máximo um defeituoso?(94,77%) b)exatamente um defeituoso?(29,16%) 6-Uma universidade descobriu que 20% de seus estudantes retiram-se sem completar o primeiro ano. Considere que 20 estudantes tenham se matriculado este semestre. a)qual a probabilidade de que pelo menos 2 se retirem?(93,08%) b)qual a probabilidade de que no máximo 5 se retirem?(80,42%) 7-Os registros de uma empresa indicam que 30% das faturas expedidas são pagas após o vencimento. De 10 faturas emitidas, qual a probabilidade de: a)exatamente 3 serem pagas com atraso?(r:26,68%) b)no máximo 2 serem pagas com atraso?(38,28%) c)pelo menos 3 serem pagas com atraso?(61,72%) 8-Uma pequena loja aceita cheques para pagamento de compras e sabe que 12% dos cheques apresentam algum tipo de problema (falta de fundos, roubado, etc).se numa determinada semana ela recebeu 15 cheques, qual a probabilidade de que todos os cheques sejam bons?(14,70%) 9-Um exame do tipo teste é constituído de 20 questões, cada uma delas com 5 respostas alternativas, das quais apenas uma é correta. Se um estudante responde as questões ao acaso, qual a probabilidade de que: a)acerte pelo menos 1 questão.(98,84%) b)erre pelo menos 19 questões.(6,92%) DISTRIBUIÇÃO NORMAL Entre as distribuições teóricas de variável aleatória contínua, uma das mais empregadas é a distribuição Normal. Muitas das variáveis analisadas na pesquisa sócio-econômica correspondem à distribuição normal ou dela se aproximam. Fórmula: Z = X X S Propriedades da distribuição normal:

38 38 1ª - A variável aleatória X pode assumir todo e qualquer valor real. 2ª - A representação gráfica da distribuição normal é uma curva em forma de sino, simétrica em torno da média, que recebe o nome de curva normal ou de Gauss. 3ª - A área total limitada pela curva e pelo eixo das abscissas é igual a 1, já que essa área corresponde à probabilidade de a variável aleatória X assumir qualquer valor real. 4ª - A curva normal é assintótica em relação ao eixo das abscissas, isto é, aproxima-se indefinidamente do eixo das abscissas sem, contudo, alcançá-lo. 5ª - Como a curva é simétrica em torno da média, a probabilidade de ocorrer valor maior que a média é igual à probabilidade de ocorrer valor menor do que a média, isto é, ambas as probabilidades são iguais a 0,5 ou 50%. Cada metade da curva representa 50% de probabilidade. Quando temos em mãos uma variável aleatória com distribuição normal, nosso principal interesse é obter a probabilidade de essa variável aleatória assumir um valor em um determinado intervalo. Vejamos com proceder, por meio de um exemplo concreto. Exemplo: Seja X a variável aleatória que representa os diâmetros dos parafusos produzidos por certa máquina. Vamos supor que essa variável tenha distribuição normal com média = 2 cm e desvio padrão = 0,04 cm. Qual a probabilidade de um parafuso ter o diâmetro com valor entre 2 e 2,05 cm? P ( 2 < X < 2,05) =? Com o auxílio de uma distribuição normal reduzida, isto é, uma distribuição normal de média = 0 e desvio padrão = 1. Resolveremos o problema através da variável z, onde z = (X -µ ) / σ Utilizaremos também uma tabela normal reduzida, que nos dá a probabilidade de z tomar qualquer valor entre a média 0 e um dado valor z, isto é: P ( 0 < Z < z) No nosso problema queremos calcular P(2 < X < 2,05). Para obter essa probabilidade, precisamos, em primeiro lugar, calcular o valor de z que corresponde a x = 2,05. z = (2,05-2) / 0,04 = 1,25 Utilização da Tabela Z Procuremos, agora, na tabela Z o valor de z = 1,25. Na primeira coluna encontramos o valor até uma casa decimal = 1,2. Em seguida, encontramos, na primeira linha, o valor 5, que corresponde ao último algarismo do número 1,25. Na intersecção da linha e coluna correspondentes encontramos o valor 0,3944, o que nos permite escrever: P (0 < Z < 1,25 ) = 0,3944 ou 39,44 %, assim a probabilidade de um certo parafuso apresentar um diâmetro entre a média = 2cm e x = 2,05 cm é de 39,44 %.