Estatística APOSTILA DE ESTATÍSTICA. Prof. Paulo Noguera 1 RGF

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1 APOSTILA DE ESTATÍSTICA Prof. Paulo Noguera 1

2 ÍNDICE A ESTATÍSTICA Pág 3 POPULAÇÃO, AMOSTRA E AMOSTRAGEM Pág 3 VARIÁVEIS Pág 6 SÉRIES ESTATÍSTICAS Pág 7 TABELAS ESTATÍSTICAS Pág 7 GRÁFICOS Pág 8 GRÁFICO DE COLUNAS Pág 8 GRÁFICO DE BARRAS Pág 8 GRÁFICO DE LINHA (CURVA) Pág 9 GRÁFICO DE SETORES Pág 9 Exercícios: Pág 10 DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS Pág 11 ELEMENTOS DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA Pág 12 Exercícios: Pág 14 Exercícios Extras: Pág 15 MEDIDAS DE POSIÇÃO Pág 17 Média Pág 17 Exercícios: Pág 19 Mediana Pág 20 Exercícios: Mediana Pág 22 Moda Pág 23 Exercícios: Moda Pág 24 Exercícios extras: Pág 25 MEDIDAS SEPARATRIZES Pág 26 QUARTIS Pág 26 DECIS Pág 27 PERCENTIS Pág 27 Exercícios: Pág 28 MEDIDAS DE DISPERSÃO Pág 30 DESVIO MÉDIO Pág 30 DESVIO PADRÃO Pág 31 COEFICIENTE DE VARIAÇÃO Pág 31 Exercícios: Pág 32 Exercícios extras: Pág 34 TRABALHOS Pág 36 Lista de Exercícios nº 01 Pág 37 Lista de Exercícios nº 02 Pág 38 Lista de Exercícios nº 03 Pág 41 Lista de Exercícios nº 04 Pág 43 Prof. Paulo Noguera 2

3 A ESTATÍSTICA Método científico: é um conjunto de meios dispostos convenientemente para se chegar a um fim que se deseja. Método experimental: consiste em manter constantes todas as causas (fatores), menos uma, e variar esta causa de modo que se o pesquisador possa descobrir seus efeitos, caso existam. (É o método preferido no estudo da física, da química etc.). Método estatístico: diante da impossibilidade de manter as causas constantes, admite todas essas causas presentes variando-as, registrando essas vibrações e procurando determinar, no resultado final, que influências cabem a cada uma delas. A Estatística é uma parte da Matemática Aplicada que fornece métodos para a coleta, organização, descrição, análise e interpretação de dados e para a utilização dos mesmos na tomada de decisões. Exprimindo por meio de números as observações que se fazem de elementos com, pelo menos, uma característica comum (por exemplo: os alunos do sexo masculino de uma comunidade), obtemos os chamados dados referentes a esses elementos. A coleta, a organização e a descrição dos dados estão a cargo da Estatística Descritiva, enquanto a análise e a interpretação desses dados ficam a cargo da Estatística Indutiva ou Inferencial. Em geral, as pessoas, quando se referem ao termo estatística, o fazem no sentido da organização e descrição dos dados, desconhecendo que o aspecto essencial da Estatística é o de proporcionar métodos, que permitam conclusões que transcendam os dados obtidos inicialmente. Assim, a análise e a interpretação dos dados estatísticos tornam possível o diagnóstico de uma empresa, o conhecimento de seus problemas e a formulação de soluções para tais problemas. POPULAÇÃO E AMOSTRA População é um conjunto de indivíduos ou objetos que apresentam pelo menos uma característica em comum. Amostra é um subconjunto finito de uma população. Amostragem é uma técnica especial para recolher amostras onde se possa garantir, tanto quanto possível, o ACASO na escolha. Quando se faz a amostragem, cada elemento da população passa a ter a mesma chance de ser selecionado, pois é muito importante garantir que a amostra seja representativa, pois as nossas conclusões relativas à população vãqo estar baseadas nos resultados obtidos nas amostras dessa população. A seguir mostraremos as três principais técnicas de amostragem utilizadas, que são: 1- Amostragem casula ou aleatória simples; 2- Amostragem proporcional estratificada; 3- Amostragem sistemática. Prof. Paulo Noguera 3

4 Amostragem Casual ou Aleatória Simples Este tipo de amostragem é equivalente a um sorteio lotérico.para esse tipo de amostragem podemos proceder da seguinte forma: Enumerar os elementos da população, e através de um dispositivo aleatório qualquer, realizar um sorteio e escolher os número que farão parte da amostra. Exemplo: Vamos retirar uma amostra para uma pesquisa de estatura de cinqüenta alunos da nossa sala de aula. a) Numeramos os alunos de 01 a 50. b) Escrevemos os números, de 01 a 50, em pedaços de papel, colocandoos dentro de uma urna. Mexemos a urna para misturar bem os papéis, e retiramos, um a um, cinco números que farão parte da amostra. Neste exemplo o tamanho da amostra é igual a 10% da população mas este percentual pode variar dependendo do tamanho da população que está sendo estudada Quando o número de elementos da amostra é grande, esse tipo de sorteio torna-se muito trabalho. A fim de facilitar a escolha da amostra nesses casos, podemos utilizar uma Tabela de Números Aleatórios e nos dias de hoje utilizar softwares que permitem a imparcialidade da escolha. Amostragem Proporcional Estratificada Muitas vezes a população estudada (elementos que tem pelo menos uma mesma característica comum) se divide em subpopulações chamadas ESTRATOS. É por causa da existência dos estratos que devemos fazer uma amostragem proporcional estratificada e levar em consideração a quantidade de elementos de cada estrato e escolher a amostra proporcionalmente a cada um deles. Exemplo: Considerando o exemplo anterior (usado na amostragem aleatória), digamos que dos cinqüenta alunos, 30 sejam homens e 20 sejam mulheres, vamos obter uma amostra de 10% da população, utilizando a amostragem proporcional estratificada, portanto SEXO POPULAÇÃO 10% AMOSTRA Masculino X 30 = Feminino X 20 = TOTAL X 50 = Prof. Paulo Noguera 4

5 Amostragem Sistemática Para esse tipo de amostragem, os elementos da população a ser estudada já se encontram ordenados. São exemplos, prédios de uma rua, produtos dentro de uma linha de produção, prontuários médicos, os alunos inscritos em uma faculdade, etc. Para a seleção dos elementos que farão parte da amostra, será elaborado um sistema pelo pesquisador. Exemplo: Numa rua existem 900 prédios, dos quais vamos coletar uma amostra de 50 prédios através da amostragem sistemática: a. - A população é de 900 prédios que já estão numerados (ordenados); b. - A amostra é de 50 elementos. c. Vamos criar um sistema para a retirada da amostra onde dividiremos os 900 prédios pelos 50 elementos determinando o intervalo entre os elementos escolhidos. 900 = 18 (entre cada prédio escolhido devem haver 18 prédios entre eles). 50 Então devemos escolher o primeiro prédio da amostra para podermos utilizar a sistemática criada. Este primeiro prédio pode ser escolhido aleatoriamente, por se trata de apenas um ( o primeiro) elemento da amostra. Este primeiro elemento deve estar entre o 1º e o 18º para que a nossa sistemática funcione corretamente e os dados dos demais elementos serão retirados periodicamente de 18 em 18. Então, se escolhermos o 4º prédio como o primeiro elemento da amostra, o segundo elemento será o prédio que está na posição 22ª, o terceiro elemento será o 40º, assim por diante até termos a amostra completa (50 elementos). Prof. Paulo Noguera 5

6 Variáveis Variável é, convencionalmente, o conjunto de resultados possíveis de um fenômeno. Uma variável pode ser: a. Qualitativa - quando seus são expressos por atributos: sexo ( masculino feminino), cor da pele (branca, preta, amarela, vermelha, parda) etc.; b. Quantitativa quando seus valores são expressos em números (salário dos funcionários, idade dos alunos etc.) Uma variável quantitativa que pode assumir, teoricamente, qualquer valor entre dois limites recebe o nome de variável contínua; uma variável que só pode assumir valores pertencentes a um conjunto enumerável recebe o nome de variável discreta. Exemplo: O número de chamada dos alunos dae uma faculdade, podem ter um dos valores do conjunto dos números naturais N={1,2,3,4,...,53,...81,..}, e esses valores nunca poderão ser 1,5 ou 4,35 ou 53,2 etc. Então o número de chamada é uma variável discreta. Mas se fizermos um cadastro da altura desses mesmos alunos é uma variável contínua. Então podemos dizer que as variáveis contínuas são medições e as variáveis discretas são contagens, listagens ou enumerações. Prof. Paulo Noguera 6

7 SÉRIES ESTATÍSTICAS Um dos objetivos da Estatística é sintetizar os valores que uma ou mais variáveis podem assumir, para que tenhamos uma visão global da variação dessa variável. E isso ela consegue inicialmente, apresentando esses valores em tabelas e gráficos, que irão nos fornecer rápidas e seguras informações a respeito das variáveis em estudo. TABELAS ESTATÍSTICAS Uma tabela deve apresentar a seguinte estrutura: - cabeçalho - corpo - rodapé O cabeçalho deve conter o suficiente para que sejam respondidas as questões: - o que está representado? - onde ocorreu? - quando ocorreu? O corpo da tabela é representado por colunas e subcolunas dentro dos quais serão registrados os dados numéricos e informações. O rodapé é reservado para observações pertinentes à tabela, bem como para o registro e identificação da fonte dos dados. Exemplo: Internautas que fazem transações bancárias on-line jan/2003 Países Quantidade(%) Suécia 51,3 Austrália 39,6 EUA 12,5 Japão 9,6 Brasil 36,2 Espanha 18,6 Fonte: Nielsen/Net Ratings(Revista Época) Prof. Paulo Noguera 7

8 GRÁFICOS A representação gráfica das séries estatísticas (tabelas) tem por finalidade representar os resultados obtidos, permitindo chegar-se a conclusões sobre a evolução do fenômeno ou sobre como se relacionam os valores da série. Não há uma única maneira de representar graficamente uma série estatística. A escolha do gráfico mais apropriado ficará a critério do analista. Contudo, os elementos simplicidade, clareza e veracidade devem ser considerados quando da elaboração de um gráfico. GRÁFICO DE COLUNAS Internautas que fazem transações bancárias on lina Quantidade(%) EUA Brasil Espanha Internautas que fazem transações bancárias on Fonte:Nielsen/Net Ratings(Revista Época) GRÁFICO DE BARRAS É semelhante ao gráfico de colunas, porém os retângulos são dispostos horizontalmente. Internautas que fazem transações bancárias on lina Quantidade(%) Brasil EUA Suécia Internautas que fazem transações bancárias on Fonte:Nielsen/Net Ratings(Revista Época) Obs: A distância entre as colunas (ou barras), por questões estéticas, não deverá ser menor que a metade nem maior que os dois terços da largura (ou da altura dos retângulos) Prof. Paulo Noguera 8

9 GRÁFICO DE LINHA (CURVA) O gráfico de linha constitui uma aplicação do processo de representação das funções num sistema de coordenadas cartesianas. Internautas que fazem transações bancárias on lina Quantidade(%) EUA Brasil Espanha Internautas que fazem transações bancárias on Fonte:Nielsen/Net Ratings(Revista Época) GRÁFICO DE SETORES É a representação gráfica de uma série estatística, em um círculo, por meio de setores. È utilizado principalmente quando se pretende comparar cada valor da série com o total. Para construí-lo, divide-se o círculo em setores, cujas áreas serão proporcionais aos valores da série. Essa divisão poderá ser obtida pela solução da regra de três: total...360º Parte... xº Países Quantidade(%) Graus Graus Acumulados Suécia 51,3 110,06 110,06 Austrália 39,6 84,96 195,02 EUA 12,5 26,82 221,84 Japão 9,6 20,60 242,44 Brasil 36,2 77,66 320,10 Espanha 18,6 39, Total 167,8 360 Internautas que fazem transações bancárias on lina Quantidade(%) Suécia Austrália EUA Japão Brasil Espanha Fonte: Nielsen/Net Ratings (Revista Época) Prof. Paulo Noguera 9

10 Exercícios: 1 Represente as séries abaixo usando : - Gráfico de linhas - Gráfico de colunas - Gráfico de barras - Gráfico de setores Tabela 1: Venda mensal de produtos Banco Alfa S.A Jan/2003 Produtos Quantidade Cartão de crédito 57 Seguro de vida 41 Seguro de auto 98 Título de capitalização 61 Título de previdência 12 Fonte: Depto Comercial Banco Alfa SA Tabela 2: Produção Empresa Beta Ltda 1º semestre 2002 Meses Janeiro Fevereiro Março Abril Maio Junho Quantidade Fonte: Depto Vendas Empresa Beta Ltda Prof. Paulo Noguera 10

11 DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS Suponhamos termos feito uma coleta de dados relativos às idades de 30 pessoas, que compõem uma amostra dos alunos de uma faculdade A : A este tipo de tabela, cujos elementos não foram numericamente organizados denominamos tabela primitiva ou dados brutos. Ao arranjo dos dados brutos em ordem crescente ou decrescente chamamos de rol. Logo: Podemos organizar estes dados em uma tabela simples denominada de distribuição de freqüência com variável discreta. Os dados serão organizados com suas freqüências simples. Freqüência simples ou absoluta (Fi) é o número de vezes que o elemento aparece na amostra ou o nº de elementos pertencentes a uma classe. Idades Fi Total 30 Prof. Paulo Noguera 11

12 Podemos ainda agrupar os valores da variável em intervalos, sendo que, chamamos esses intervalos de classes. Logo a tabela abaixo denominados de distribuição de freqüência com intervalos de classe. Idades de 30 alunos da Faculdade A Classes Idade Freqüência I I I I I I Σ 30 Obs: Quando os dados estão organizados em uma distribuição de freqüência, são comumente denominados dados agrupados. ELEMENTOS DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA A construção de uma tabela com dados agrupados em intervalos ou variável contínua requer o conhecimento de alguns conceitos que vamos fazer em seguida e usaremos a tabela anterior para exemplificar cada item. Classes de freqüência são os intervalos de variação da variável. As classes são representadas simbolicamente por i, sendo i = 1, 2, 3,... K (onde k é o nº total de classes da distribuição). No nosso exemplo: o intervalo 30 I define a quarta classe (i=4). Como a distribuição é formada de seis classes, temos K = 6. Limites de classes são os extremos de cada classe (li I---- Li) li limite inferior da classe (onde começa o intervalo) Li limite superior da classe (onde termina o intervalo) Ex: intervalo 30 I li 30 Li 33 Intervalo de classe ou amplitude do intervalo(h) é a medida do intervalo que define a classe. - h = Li li Ex: intervalo 30 I , logo h = = 3 Número de classes(k) Não há uma fórmula exata para o cálculo do nº de classes. As mais usadas são:1ª)k = 5 para n 25 ou K n para n > 25 2ª)Fórmula de Sturges K 1 + 3,22. log n Prof. Paulo Noguera 12

13 Range, amplitude total ou amplitude amostral é a diferença entre o maior e o menor valor da amostra. No exemplo dado: R = = 15 Para montar a tabela de distribuição de freqüência com intervalos devemos seguir os itens abaixo: 1º) Calcular o range (como na definição anterior: = 15) 2º) Saber quantas classes ou quantos intervalos terá a tabela. No exemplo acima, temos n=30, portanto n>25. Logo o cálculo será K= 30 = 5,48, ou seja K = 6 3º) Calcular qual será a amplitude do intervalo ou qual a diferença entre o li e o Li. Logo h R : K ou seja h = 15 : 6 = 2,5 ou h = 3 Obs: Quando os resultados acima não são exatos, devemos arredondá-los para o maior. Outros elementos de uma distribuição de freqüência: Pontos médios das classes (Xi) é a média aritmética entre o limite superior e o limite inferior da classe. Ex: Xi = = 34,5 2 Freqüência relativa (Fri) é dada por Fri = Fi/n, ou seja é a porcentagem daquele valor da amostra. Freqüência acumulada (Fac) é a soma das freqüências dos valores inferiores ou iguais ao valor dado. Histograma é a representação gráfica de uma distribuição de freqüência por meio de retângulos justapostos. Polígono de freqüência é um gráfico em linha, sendo as freqüências marcadas sobre perpendiculares ao eixo horizontal, levantadas pelos pontos médios dos intervalos de classe. Polígono de freqüência acumulada é traçado marcando-se as freqüências acumuladas sobre perpendiculares ao eixo horizontal, levantadas nos pontos correspondentes aos limites superiores dos intervalos de classe. Prof. Paulo Noguera 13

14 Exercícios: 1 Considere os salários quinzenais de 100 funcionários da Empresa Yasmim Ltda (em US$): Pede-se determinar: a) A amplitude amostral b) O número de classes c) A amplitude das classes d) Construir a tabela de distribuição de freqüência com as classes, frequências absolutas, freqüências relativas, pontos médios e freqüência acumulada. e) Qual a porcentagem de funcionários que ganham salários com valor igual ou superior a US$179. f) Qual a porcentagem de funcionários que ganham salários com valores inferiores a US$163. g) O histograma h) O polígono de freqüência i) Qual o ponto médio da 3ª classe j) Qual o fri da 2ª classe. 2 - O controle de qualidade de uma indústria selecionou 48 caixas na linha de produção e anotou em cada caixa o número de peças defeituosas, obtendo os seguintes dados: Determinar: a) o rol b) a tabela de distribuição de freqüência sem intervalos c) qual a porcentagem de caixas que apresentam 2 ou mais peças defeituosas? 3 Uma empresa automobilística selecionou ao acaso, uma amostra de 40 revendedores autorizados em todo o Brasil e anotou em determinado mês o número de unidades adquiridas por estes revendedores. Obteve os seguintes dados: a)monte a tabela de distribuição de freqüência com intervalos. Prof. Paulo Noguera 14

15 Exercícios Extras: 1-Conhecidas as notas de 55 alunos: Obtenha a tabela de distribuição de freqüência com intervalos, a freqüência absoluta, a freqüência relativa, o ponto médio e a freqüência acumulada. 2 Os resultados do lançamento de um dado 50 vezes foram os seguintes: Forme uma distribuição de freqüência sem intervalos e complete com as colunas do fri e fac. 3 Considerando as notas de um teste de inteligência aplicado a 55 alunos: Forme uma tabela de distribuição de freqüência com intervalos e complete com as colunas do Xi, Fri e Fac. a)qual a porcentagem de alunos que obtiveram nota inferior a 79? b)qual a porcentagem de alunos que obtiveram nota igual ou superior a 94? 4 A amostra abaixo apresenta as vendas diárias de um determinado aparelho elétrico, durante um mês, por uma firma comercial: Forme uma distribuição de freqüência sem intervalos com as colunas do fri e fac. Respostas: 1 - classes Notas fi xi fri fac 1 33 I ,5 12, I ,5 10, I ,5 14, I ,5 18, I ,5 16, I ,5 10, I ,5 9, I ,5 7,27 55 Prof. Paulo Noguera 15

16 2 - faces do dado fi fri fac classe amostra fi xi fri fac 1 64 I ,5 9, I ,5 10, I ,5 16, I ,5 12, I ,5 25, I ,50 10, I ,50 3, I ,5 10,91 55 a)36,36% b)14,55% 4 amostra fi fri fac , , , , , , , ,17 24 Prof. Paulo Noguera 16

17 MEDIDAS DE POSIÇÃO Foi visto no item anterior a sintetização dos dados sob a forma de tabelas, gráficos e distribuições de freqüências. Dessa forma podemos localizar a maio concentração de valores de uma dada distribuição. Agora, vamos ressaltar as tendências características de cada distribuição. Inicialmente estudaremos as medidas de posição que são estatísticas que representam uma série de dados orientando-nos quanto à posição da distribuição no eixo X (eixo dos nº reais). - Medidas de tendência central representam os fenômenos pelos seus valores médios, em torno dos quais tendem a concentrar-se os dados. (média, moda e mediana) 1º CASO: Dados não agrupados Média x = x n (onde n é o nº de elementos do conjunto) Ex1: Determinar a média aritmética simples dos valores: 3, 7, 8, 10 e 11 X = x = = 7, 8 n 5 2º CASO: Dados agrupados sem intervalos Dada a amostra: 2, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 8, 8 Xi Fi XiFi Total Então a média será : = XiFi X n 56 = = 10 5,6 Prof. Paulo Noguera 17

18 3º CAS0: Dados agrupados com intervalos Classe Amostra Fi Xi XiFi 1 2 I ,5 3,5 2 5 I , I , I ,5 12,5 Total Portanto = XiFi X = = 7, 85 n 20 Interpretação: O valor médio desta série é 7,85, isto é, 7,85 é o valor em torno do qual os elementos desta série se concentram. Prof. Paulo Noguera 18

19 Exercícios: 1ª PARTE MÉDIA 1-Calcule a média aritmética das séries abaixo: a)1, 2, 8, 10, 12, 16, 21, 30 b)5, 6, 6, 10, 11, 11, 20 2 Calcule a média para as tabelas abaixo: xi fi Total xi fi Total 3-O salário de 39 funcionários de um escritório está distribuído segundo o quadro abaixo. Calcule o salário médio destes funcionários. classe salários(r$) nº func I I I I I Uma imobiliária gerencia o aluguel de residências particulares, segundo o quadro abaixo.calcule a média: classe aluguel(r$) nº casa 1 0 I I I I I Total 5-Em uma empresa temos 4 operários com salário de R$850,00, 2 supervisores com salário de R$1.200,00, 1 gerente com salário de R$2.000,00 e 6 vendedores com salário de R$1.100,00. Qual a média salarial dessa empresa? Respostas: 1)a)12,5 b)9,86 2)a)3,6 b)18,84 3)562,82 4)335 5)R$1.107,69 Prof. Paulo Noguera 19

20 Mediana ( X ~ ) 1º Caso: Dados não agrupados Os valores têm que ser colocados em ordem crescente. A mediana é o nº que se encontra no centro de uma série de números, ou seja, divide a amostra em duas partes iguais. Exemplo: 5, 13, 10, 2, 18, 15, 6, 16 e 9 Colocar os valores em ordem crescente: 2, 5, 6, 9, 10, 13, 15, 16, 18 n Se n=9 logo = = = 5º elemento, logo X ~ = º exemplo: 2, 6, 7, 10, 12, 13, 18 e 21 ( já está em ordem) n Se n=8 logo = = 4, 5 º elemento (está entre o 4º e o 5º elemento) 2 2 ~ Logo X = = = º Caso: Dados agrupados sem intervalos Dada a amostra: 12, 14, 14, 15, 16, 16, 17, 20 e 20 Xi Fi Fac Total 9 Construindo a coluna da frequência acumulada podemos localizar com facilidade o valor mediano. ~ n x = = = = 5º elemento, portanto a mediana será o º Caso: Dados agrupados com intervalos Dada a tabela: Classe Amostra fi Fac 1 3 I I I I I Total 19 Prof. Paulo Noguera 20

21 1º Passo: Calcula-se a ordem 2 n. 2º Passo: Pela Fac identifica-se a classe que contém a mediana (classe da Md). 3º Passo: Utiliza-se a fórmula: n fac ~ x = li + 2 fi ant classe h Onde: l i = limite inferior da classe da mediana n = tamanho da amostra facanterior= freqüência acumulada anterior à classe da mediana( ou soma dos valores de fi anteriores à classe da mediana) h = amplitude da classe da mediana ficlasse = freqüência da classe da mediana No exemplo da tabela anterior: 1º Passo: Calcula-se 2 n. Com n=19, temos 19/2=9,5º elemento 2º Passo: Identifica-se a classe da mediana pela Fac. Neste caso, a classe da mediana é a 3ª. 3º Passo: Aplica-se a fórmula: n fac x~ = li + 2 fi ant classe ~ 9,5 7 x = = 9,93 8 h Interpretação: 50% dos valores da série são valores menores ou iguais a 9,93 e 50% dos valores da série são valores maiores ou iguais a 9,93. Prof. Paulo Noguera 21

22 Exercícios: MEDIANA 1-Calcule a mediana das seqüências abaixo: a)2, 5, 8, 10, 12, 15, 18, 20 b)3, 4, 5, 7, 7, 8, 10, 15 2 Calcule a mediana das distribuições abaixo: xi fi Total xi fi Total 3-Determine o valor mediano da distribuição a seguir que representa os salários de 23 funcionários selecionados em uma empresa: classe salários (R$) nº funcionários I I I I Uma loja de departamentos selecionou um grupo de 53 notas fiscais, durante um dia e obteve o seguinte quadro: classe consumo nº notas 1 0 I I I I I total Respostas: 1)a)11 b)7 2)a)4 b)18 3)670 4)79,46 Prof. Paulo Noguera 22

23 Moda 1º Caso: Dados não agrupados: É o valor de maior frequência em um conjunto de dados ou que aparece mais vezes. Ex: 7, 8, 8, 9, 10, 10, 10, 12, 15. O elemento de maior frequência é o 10, portanto Mo=10 (unimodal) Ex: 3, 5, 8, 10, 12 e 13 Todos os elementos da série apresentam a mesma frequência, logo a série é amodal. Ex: 2, 2, 5, 5, 8, 9 Temos Mo=2 e Mo=5 (bimodal) 2º Caso: Dados agrupados sem intervalo Basta identificar o elemento de maior freqüência. Xi Fi Portanto Mo=3 3º Caso: Dados agrupados com intervalos Dada a tabela: classe amostra fi 1 0 I I I I º Passo: Identifica-se a classe modal (aquela que possui maior freqüência) 2º Passo: Aplica-se a fórmula: 1 Mo = l i + h Onde l i = limite inferior da classe modal 1 = diferença entre a freqüência (fi) da classe modal e a imediatamente anterior 2 = diferença entre a freqüência (fi) da classe modal e a imediatamente posterior. h = amplitude da classe No exemplo da tabela anterior: 1º Passo: Indica-se a classe modal. No caso, trata-se da 3ª classe (maior fi=6) 2º Passo: Aplica-se a fórmula em que 3 Mo = 20 + x 10 = 24, Prof. Paulo Noguera 23

24 Exercícios: MODA 1 Calcule a moda para as séries abaixo: a)2, 2, 3, 4, 5, 5, 5, 7 b)3, 4, 4, 5, 9, 12, 12 2-Calcule a moda das distribuições abaixo: xi fi xi fi Total 3-A distribuição abaixo representa o consumo em Kg de um produto colocado em oferta em um supermercado. Calcule a moda: classe consumo nº de clientes 1 0 I I I I I A distribuição abaixo representa o número de acidentes de trabalho por dia em uma indústria Petroquímica, verificados durante um mês. Calcule a moda: classe nº de nº de dias acidentes 1 0 I I I I Respostas: 1)a)5 b)4 e 12 2)a)3 b)18 3)3,48 4)1,18 Prof. Paulo Noguera 24

25 Exercícios extras: 1 Calcule a média aritmética das distribuições abaixo: notas fi salários fi vendas fi Total Total Total tabela a tabela b tabela c 2 Calcule a moda para as tabelas acima. 3 Calcule a mediana para as tabelas acima. 4 Calcule a média aritmética para as tabelas abaixo: tabela a tabela b Salários(R$) nº funcionários Estaturas(cm) fi 200 I I I I I I I I I I total total Notas nº alunos pesos (Kg) Fi 0 I I I I I I I I I I total Total tabela c tabela d 5 Calcule a mediana para as tabelas acima. 6 Calcule a moda para as tabelas acima. Respostas: 1- a) 5,77 b) 778,68 c) 159,09 2 a) 5 b) 780 c) a) 5 b) 780 c) a) 500 b) 172,40 c) 5,27 d)156,91 5 a) 466,67 b) 174 c) 5,29 d) a) 366,67 b) 176,57 c) 5,20 d)150,45 Prof. Paulo Noguera 25

26 MEDIDAS SEPARATRIZES Dado o problema: Na empresa Mercury Ltda foi observada a distribuição de funcionários do setor de vendas com relação ao salário semestral (baseado em comissões sobre vendas): salário semestral(r$) n de funcionários 1000 I I I I Se a empresa divide os funcionários em quatro categorias, com relação ao salário temos: - 0s 25 % menos produtivos = categoria C; - Os 25% seguintes = categoria B; - Os 25% seguintes mais produtivos = categoria A - Os 25% restantes = categoria especial. Quais são os salários limites das categorias acima? QUARTIS Divide a amostra em quatro partes iguais. Q1 Q2 Q3 I I I I I 0% 25% 50% 75% 100% Para determinar Q1: 1 Passo: Calcula-se 4 n 2 Passo: Identifica-se a classe Q1 pela Fac 3 Passo: Aplica-se a fórmula: n facant h Qi li 4 = + fi classe Para determinar Q2: igual à mediana Para determinar Q3: 3n 1 Passo: Calcula-se 4 2 Passo: Identifica-se a classe Q3 pela Fac 3 Passo: Aplica-se a mesma fórmula anterior, apenas substituindo n 4 3n por. 4 Prof. Paulo Noguera 26

27 DECIS A amostra é dividida em 10 partes iguais. I I I I I I I I I I I 0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100% D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 in 1 Passo: Calcula-se 10 2 Passo: Identifica-se a classe Di pela FAC 3 Passo: Aplica-se a fórmula: i. n facant h Di = li + 10 fi classe Divide a amostra em 100 partes iguais: PERCENTIS I I I I I... I I I 0% 1% 2% 3% 4% 98% 99% 100% P1 P2 P3 P4 P98 P99 in! Passo: Calcula-se Passo: Aplica-se a fórmula: i. n fac Pi = li fi classe ant h Prof. Paulo Noguera 27

28 Exercícios: 1 A tabela abaixo refere-se às notas de 500 alunos do colégio x : Notas Fi 0 I I I I I Se a escola dividir os alunos em quatro grupos conf. suas notas,quais as notas limites de cada grupo? 2-A distribuição abaixo representa o número de acidentes de trabalho por dia em uma indústria: nº de acidentes nº de dias 0 I I I I I Calcule: a)q1 b)q3 c)p92 d)p48 e)d3 f)d7 3-a tabela abaixo representa o nº de faltas anuais dos funcionários de uma empresa: nº faltas nº empregados 0 I I I I I Se a empresa decidir fornecer no final do ano uma cesta básica para 15% dos funcionários que menos faltas tiveram, qual a quantidade máxima de faltas para não perder a cesta básica? 4-A tabela abaixo representa a venda de livros didáticos em uma editora: Preço(R$) nº livros comercializados 0 I I I I I I Prof. Paulo Noguera 28

29 a)se a editora fizer uma promoção com 25% dos livros de menor preço, qual o preço máximo do livro que entrará na promoção? b)no mês seguinte a editora fez uma promoção com 45% dos livros de preço mais baixo. Qual é o preço máximo do livro para entrar na promoção? c)para fechar o mês, na última semana, a gerência da editora fez uma promoção com 20% dos livros de maior valor. A partir de qual valor os livros entraram na promoção? 5-A tabela abaixo representa os salários dos vendedores de uma empresa baseado em comissões: salários(r$) nº funcionários 200 I I I I I I a)a empresa colocou uma meta extra para 5% dos vendedores que pior desempenho tiveram. Até que valor de vendas o funcionário receberá a meta de vendas? b)para premiar os melhores vendedores, a empresa resolveu conceder uma abono para 3% dos funcionários que tiveram melhor desempenho. A partir de que salário o funcionário receberá o abono? Respostas: 1)Q1=2,88 Q2=4,46 Q3=6,45 2)a)1,63 b)6,35 c)8,7 d)3,49 e)1,95 f)5,75 3)os funcionários que tiveram até 2,28 faltas (aproximadamente 3) receberão a cesta básica. 4)a)Os livros que custam até R$24,38 entrarão na promoção. b)os livros que custam até R$31,99 entrarão na promoção c)os livros que custam a partir de R$42,08 entrarão na promoção. 5)a)Os vendedores que tiveram o valor de vendas até R$353,33 receberão a meta extra. b)os vendedores que tiveram o valor de vendas a partir de R$1.262,00 receberão o abono. Prof. Paulo Noguera 29

30 MEDIDAS DE DISPERSÃO São medidas estatísticas utilizadas para avaliar o grau de variabilidade de dispersão dos valores em torno da média. Servem para medir a representatividade da média I x Ex: a)10, 1, 18, 20, 35, 3, 7, 15, 11, 10 b)12, 13, 13, 14, 12, 14, 12, 14, 13, 13 c)13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13 concluiremos que todas possuem a mesma média 13. No entanto, são seqüências completamente distintas do ponto de vista da variabilidade de dados. DESVIO MÉDIO É a análise dos desvios em torno da média. Calculamos inicialmente a média da amostra. Em seguida identificamos a distância de cada elemento da amostra para sua média. Finalmente, calculamos o desvio médio, di Fi Xi x Fi di = Ixi - x I, logo o desvio médio será ou n n Exemplo: Dada a amostra: Xi Fi XiFi IdiI=Ixi-xI difi 2 di di 2 Fi ,83 3,32 0,69 2, ,83 8,49 8,01 24, ,17 10,85 4,71 23, ,17 4,68 1,37 5, ,83 3,66 3,35 6, ,52 x XiFi 75 = = = 4, n difi 31 Dm = = = 1,72 n 18 Prof. Paulo Noguera 30

31 DESVIO PADRÃO Xi Fi XiFi IdiI=Ixi-xI di 2 di 2.fi ,83 0,69 2, ,83 8,01 24, ,17 4,71 23, ,17 1,37 5, ,83 3,35 6, ,52 Desvio padrão amostral S = di 2 n 1 fi S 2 2 di Fi = n 1 62,52 62,52 = = = 3, No caso da tabela acima = S = 3,68, então S = 3,68 = 1, 92 2 exemplo: classes Fi Xi XiFi di difi 2 di 2 I I I I I di 2 fi COEFICIENTE DE VARIAÇÃO Trata-se de uma medida relativa de dispersão útil para a comparação em termos relativos do grau de concentração em torno da média (expresso em porcentagens) CV = X S X 100 Temos: Baixa dispersão: CV < 10% Média dispersão: 10% < CV < 20% Alta dispersão: CV > 20% Prof. Paulo Noguera 31

32 Exercícios: 1-Calcule o desvio médio das séries abaixo: a) xi Fi b) salários nº de vendedores 70 I I I I I I total 2 Calcule o desvio padrão para as tabelas abaixo: a) Idade nº de alunos Total b) Xi Fi Total Prof. Paulo Noguera 32

33 3-Calcule o desvio padrão para a distribuição de valores de 54 notas fiscais emitidas na mesma data, selecionadas em uma loja de departamentos. Vl. notas nº de notas 0 I I I I I I total 4-Calcule o desvio padrão para a tabela abaixo: Alturas (cm) nº de alunos 150 I I I I I I Total 5-Qual das disciplinas abaixo apresentou maior dispersão? a)matemática: média 8,5 e desvio padrão 2 Estatística: média 9 e desvio padrão 5 b)cálculo: média 5 e desvio padrão 2 Álgebra: média 8 e desvio padrão 3 Respostas: 1)a)1,13 b)45,20 2)a)1,04 b)0,93 3)49,46 4)11,89 5)a)Estatística b)cálculo Prof. Paulo Noguera 33

34 Exercícios extras: 1 Determine a média, moda e mediana nos casos abaixo: a) amostra Fi 7 I I I I I Total b) amostra Fi 1 I I I I I I Total c) Idade nº pessoas 10 I I I I I Total d) amostra fi 30 I I I I I Total e) amostra fi 45 I I I I I Total Prof. Paulo Noguera 34

35 2 Calcule o desvio médio,o desvio padrão e o coeficiente de variação para as tabelas acima. Respostas: Exercício 1: a)média: 14,37 moda:14,5 mediana:14,40 b)média:6,83 moda:6,20 mediana:6,63 c)média:20,36 moda:20,18 mediana:20,35 d)média:55,5 moda:56 mediana:55,71 e)média:66,5 moda:67 mediana:66,43 Exercício 2: a)desvio médio:2,78 desvio padrão: 3,58 CV:24,91 b)desvio médio:2,43 desvio padrão: 2,95 CV:43,19 c)desvio médio:3,94 desvio padrão:4,89 CV:24,02 d)desvio médio:8,65 desvio padrão:11,23 CV:20,23 e)desvio médio:8,85 desvio padrão:10,67 CV:16,05 Prof. Paulo Noguera 35

36 TRABALHOS Prof. Paulo Noguera 36

37 GESTÃO EM LOGÍSTICA EMPRESARIAL 1ª Série Turma - Noturno DATA / / CAMPUS OSASCO ALUNO: RA LISTA DE EXERCÍCIOS DE 01 PÁGINAS Natureza da Estatística Responda às questões: 1) Quais ciências mais utilizam o método experimental? 2) Qual método é utilizado pelas ciências humanas e sociais para obterem os dados que desejam? 3) O que é estatística? 4) Cite as fases do método estatístico. 5) Para você, o que é coletar dados? 6) Para que serve a crítica de dados? 7) O que é apurar dados? 8) Como podem ser apresentados ou expostos os dados? 9) As conclusões, as interferências pertencem a que parte da estatística? 10) Cite três ou mais atividades do planejamento empresarial em que a estatística se faz necessária. 11) O método estatístico tem como um de seus fins: a. Estudar os fenômenos estatísticos b. Estudar qualidades concretas dos indivíduos que formam grupos c. Determinar qualidades abstratas dos indivíduos que formam grupos d. Determinar qualidades abstratas de grupo de indivíduos e. Estudar fenômenos numéricos Prof. Paulo Noguera 37

38 GESTÃO EM LOGÍSTICA EMPRESARIAL 1ª Série Turma - Noturno DATA / / CAMPUS OSASCO ALUNO: RA LISTA DE EXERCÍCIOS 02 Amostragem 01 DE 03 PÁGINAS Resolva os exercícios: 12) Uma escola de 1º grau abriga 124 alunos. Obtenha uma amostra representativa correspondendo a 15% da população na tabela aleatória abaixo ) Em uma escola há oitenta alunos. Obtenha uma amostra de doze alunos utilizando a tabela abaixo Prof. Paulo Noguera 38

39 02 DE 03 PÁGINAS 14) Uma população é formada por 140 notas resultantes da aplicação de um teste de inteligência: Obtenha uma amostra de 26 elementos, tomando, inicialmente, a 1ª linha da esquerda para a direita a partir do 3º elemento. 15) O diretor de uma escola, na qual estão matriculados 280 meninos e 320 meninas, desejoso de conhecer as condições de vida extra-escolar de seus alunos e não disposto de tempo para entrevistar todas as famílias, resolveu fazer um levantamento, por amostragem, em 10% dessa clientela. Obtenha, para esse diretor, os componentes da amostra. 16) Uma cidade X apresenta o seguinte quadro relativo às suas escolas de 1º grau: ESCOLAS Nº DE ESTUDANTES MASCULINO FEMININO A B C D E F TOTAL Obtenha uma amostra proporcional estratificada de 120 estudantes. Prof. Paulo Noguera 39

40 03 DE 03 PÁGINAS 17) Uma população encontra-se dividida em três estratos, com tamanhos, respectivamente, N 1 = 40; N 2 = 100; N 3 = 60. Sabendo que, ao ser realizada uma amostra, estratificada proporcional, 9 elementos da amostra foram retirados do 3º estrato, determine o número total de elementos da amostra. E dos estratos N 1 e N 2. 18) Mostre como seria possível retirar uma amostra de 32 elementos de uma população ordenada formada por elementos. Na ordenação geral, qual dos elementos abaixo pertence à amostra, sabendo-se que o elemento de ordem a ela pertence. a-) 290º b-) 725º c-) 2.025º d-) 1.120º e-) 1.648º Prof. Paulo Noguera 40

41 GESTÃO EM LOGÍSTICA EMPRESARIAL 1ª Série Turma - Noturno DATA / / CAMPUS OSASCO ALUNO: RA LISTA DE EXERCÍCIOS DE 02 PÁGINAS 01. Com base nas distribuições abaixo, resultante de dados levantados, responda às questões: a) Qual é o tamanho da amostra; b) Qual o ponto médio da 2ª e da 4ª Classe; c) Qual o limite inferior da 6ª Classe; d) Qual o limite superior da 5ª classe. e) Qual o a amplitude da amostra e de cada classe. Distribuição 1: Peso fi Distribuição 2: i CLASSES fi Complete as tabelas abaixo com seguintes dados: Ponto Médio ( Xi ); Freqüência Relativa (fr); Freqüência Acumulada (Fi); Freqüência Relativa Acumulada (Fri). a) Amostra de dados i CLASSES fi Prof. Paulo Noguera 41

42 02 DE 02 PÁGINAS b) A série abaixo representa uma amostra dos salários de 25 funcionários selecionados em uma empresa. Classe Salários US$ Nº de funcionários - f i , , , , , , , , , ,00 2 c)construa a distribuição de freqüências para a série abaixo que representa o saldo de 25 contas de pessoas físicas em uma agência em determinado dia. Classe Saldo US$ Nº de pessoas , , , , , , ,00 2 d) Série representativa da idade de 50 alunos do primeiro ano de uma Faculdade. idade (anos) Número de alunos ) Complete o quadro de distribuição de freqüências. Classe Intervalo de classe f i f ri (%) F i F ri (%) Prof. Paulo Noguera 42

43 GESTÃO EM LOGÍSTICA EMPRESARIAL 1ª Série Turma - Noturno DATA / / CAMPUS OSASCO ALUNO: RA LISTA DE EXERCÍCIOS DE 02 PÁGINAS Calcule a média das seguintes distribuições de freqüência 1 - Conhecidas as notas de 55 alunos: classes notas fi 1 33 I I I I I I I I TOTAL 55 2 Considerando as notas de um teste de inteligência aplicado a 55 alunos: classe amostra fi 1 64 I I I I I I I I TOTAL 55 3-O salário de 39 funcionários de um escritório está distribuído segundo o quadro abaixo. classe salários(r$) nº func I I I I I TOTAL 39 Prof. Paulo Noguera 43

44 4-Uma imobiliária gerencia o aluguel de residências particulares, segundo o quadro abaixo. classe aluguel(r$) nº casa 1 0 I I I I I TOTAL DE 02 PÁGINAS 5 - Os resultados do lançamento de um dado 50 vezes foram os seguintes: faces do dado fi TOTAL 50 6 A amostra abaixo apresenta as vendas diárias de um determinado aparelho elétrico, durante um mês, por uma firma comercial: amostra fi TOTAL Resultante de pesos de moças Peso (kg) F Com base na distribuição abaixo: Classes f Prof. Paulo Noguera 44