Resumo. ativas e adaptrônica (adaptronics) fazem todos parte de um mesmo campo de estudo. Referemse

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1 Desenvolvimento de uma formulação híbrida através do Método de Elementos Finitos Generalizados (GFEM) para análise de placas laminadas compostas inteligentes Diego Amadeu Furtado Torres, Paulo de Tarso Rocha de Mendonça Grupo de Análise e Projeto Mecânico - GRANTE Departamento de Engenharia Mecânica, UFC 884-9, Florianópolis, C diego.amadeu@gmail.com, mendonca@grante.ufsc.br Resumo A aplicação de materiais com resposta eletromecânica acoplada no desenvolvimento de estruturas laminadas, aliado ao desenvolvimento das técnicas de controle, tem permitido a concepção de estruturas inteligentes para diversas aplicações, seja no controle de ruído e vibrações, no controle de forma ou monitoramento da integridade do sistema. Este trabalho apresenta uma formulação de Elementos Finitos Generalizados para flexão de placas laminadas em que os graus de liberdade mecânicos são aproximados no domínio do elemento segundo uma Teoria de Deformação Cisalhante de Terceira Ordem. Por sua vez, os graus de liberdade elétricos são discretizados através da Teoria de Camadas Equivalentes Discretas, o que torna possível considerar lâminas piezelétricas nas superfícies ou no interior do laminado. Uma contribuição do presente trabalho consiste na forma de enriquecimento dos campos incógnitos, utilizando a metodologia do GFEM, buscando-se obter uma ferramenta que permita analisar acuradamente estas estruturas. 1- Introdução O aprimoramento do projeto de estruturas tem possibilitado a inserção de sistemas integrados, juntamente com a aplicação de materiais com propriedades bastante peculiares, capazes de perceber e se adaptar a possíveis alterações nas condições ambientais e operacionais. Neste ímpeto, os termos estruturas inteligentes, estruturas adaptativas, estruturas ativas e adaptrônica (adaptronics) fazem todos parte de um mesmo campo de estudo. Referemse à integração de atuadores, sensores integrados aos componentes estruturais e o uso de alguma espécie de unidade de controle ou amplificação e processamento de sinal juntamente com um material ou componente estrutural, com o objetivo de conceber um sistema capaz de melhorar o desempenho estrutural, sem adicionar massa ou consumir mais energia. Os materiais empregados em estruturas inteligentes frequentemente possuem propriedades interessantes e incomuns, e são classificados de acordo com a capacidade de transformação energética. Em especial, os materiais piezelétricos, que transformam energia elétrica em energia mecânica, podem ser usados tanto como sensores como atuadores e, além de serem facilmente obtidos, se adaptam a diferentes tipos de estruturas. Não menos versáteis, os materiais compostos se mostram adaptáveis a esta nova tecnologia além de, por natureza, poderem ter suas características direcionadas a atender exigências específicas. No contexto das formulações para placas inteligentes via Método de Elementos Finitos, 4] propõem um modelo utilizando a Teoria de Camadas Equivalentes Discretas para discretização de variáveis mecânicas e elétricas. Diferentemente, 3] utiliza a discretização ao longo da espessura somente para a aproximação do potencial elétrico, mantendo a consideração de camada equivalente única para os graus de liberdade mecânicos. ob a ótica dos Métodos sem malhas, 5] analisa o controle ativo de placas laminadas com sensores e atuadores piezelétricos usando o

2 Método de Galerkin Livre de Elementos, apresentando uma formulação baseada na Teoria de Deformação Cisalhante de Primeira Ordem e utilizando as funções de aproximação do Método dos Mínimos Quadrados Móveis. 2- Método de Elementos Finitos Generalizados O Método de Elementos Finitos Generalizados (GFEM), que se desenvolveu de forma independente a partir do Método de Elementos Finitos de Partição da Unidade 6] e do Método de Nuvens hp 2], e tal como o Método de Elementos Finitos (MEF), se destina à obtenção de soluções aproximadas de problemas de valor no contorno (PC) formulados em forma fraca. O GFEM pode ser considerado um método sem malha pois permite adicionar refinamentos hierárquicos a um conjunto de funções de forma associadas a elementos finitos que servem, além de definir uma Partição da Unidade (PU), como domínio para as integrações numéricas necessárias na obtenção das contribuições elementares. Ainda, permite fácil implementação das condições de contorno, em virtude do caráter interpolador da solução, e apresenta robustez mesmo sob forte distorção dos elementos, uma vez que o enriquecimento se dá em coordenadas globais após o mapeamento. Conforme 1], para um caso geral, define-se a família de Nuvens (eq.1) para o GFEM: Nj F N = (x) N Nj (x)l ji (x) N i j(j) (1) onde N j (x) são funções da PU, L ji (x) são as funções de enriquecimento contidas num conjunto de funções linearmente independentes designado por j. Esta família é utilizada para construir a aproximação da solução (eq.2): ũ(x) = N N j (x) u j + q j i=1 L ji (x)b ji = Φ T U (2) onde o vetor de de parâmetros nodais (eq.3) e o vetor das funções de aproximação (eq.4) são, respectivamente: U T (x) = u 1, b 11,, b 1qj, ] (3), u N, b N1,, b Nqj Φ T = N 1, L 11 N 1,, L 1qj N 1, ] (4), N N, L N1 N N,, L Nqj N N Empregando-se estas funções para definir o subespaço das variações X, pode-se obter a aproximação da solução pelo Método de Galerkin. No âmbito deste trabalho, para o desenvolvimento de uma formulação de elementos finitos generalizados para flexão de placas, pretende-se construir espaços de aproximações locais com enriquecimento polinomial de até terceira ordem (eq.5), sobre uma PU definida por funções bi-lineares, tal que: = N j 1, x x j, y y ( j x xj ) 2,, h j h j h j ( y yj ) 2, ( x xj h j h j ) 3, ( y yj h j ) 3 (5) onde N j, j = 1, 2,..., N são funções de forma bilineares padrão; x j = (x j, y j ) são as coordenadas do nó j, na superfície de referência da placa; h j é o raio da nuven de cada nó, admitido como sendo um comprimento característico do maior elemento finito adjacente ao nó j e N é o número de nós da malha de elementos finitos. 3- Piezeletricidade linear O fenômeno piezelétrico é relacionado ao efeito da carga elétrica na deformação mecânica. Este pode ser descrito pelo vetor polarização P, que representa o momento elétrico por unidade de volume ou carga de polarização por unidade de área 8]. Dentre as formas possíveis de se obter a polarização, a que se aplica aos materiais piezelétricos industriais é o mecanismo de reorientação dos dipolos, quando um campo elétrico aplicado causa uma reorientação das moléculas do dielétrico. A piezeletricidade pode se manifestar de forma direta ou inversa. Por definição, o

3 efeito piezelétrico direto (eq.6) é o desenvolvimento de uma polarização devida à deformação mecânica através da expressão: P i = d ijk σ jk (6) onde d é um tensor de terceira ordem de módulos piezelétricos, mais especificamente designados constantes piezelétricas de tensão. O efeito piezelétrico inverso (eq.7), relaciona o vetor campo elétrico E ao tensor de deformações lineares ε por: ε ij = d kij E k (7) Note que d kij é simétrico com relação aos índices i e j por causa da simetria de ε ij. Por consequência, quando o material dielétrico é polarizado, os dipolos elétricos alinhados produzem uma densidade de carga volumétrica equivalente ρ p que afeta o campo elétrico 3], assim surge a definição de deslocamento elétrico D (eq.8): D i = χ ij E j (8) onde χ ij são as constantes de permissividade elétrica do material. Assim, de acordo com 8], as relações constitutivas acoplando os efeitos mecânico e elétrico, e inclusive térmico, podem ser estabelecidas usando princípios termodinâmicos e as relações de Maxwell. As relações constitutivas eletromecânicas (eq.9), que podem ser expressas utilizando-se notação contraída, conforme também apresentado em 3], 8] e 4], são: σ i = C E ij ε j e ik E k D k = e kj ε j + χ ε kl E l (9) onde C ij são os módulos elásticos, e ik são os módulos piezelétricos, mais especificamente constantes piezelétricas de deformação, χ kl são as constantes dielétricas, e ainda a seguinte relação entre os módulos piezelétricos (eq.1): e ik = C E ij d jk (1) onde os sobrescritos E, ε representam campo elétrico constante e deformação constante, respectivamente. Note que a variação do índices é diferente para os diferentes termos: i, j = 1, 2,..., 6, k, l = 1, 2, 3. Para um material totalmente anisotrópico, existem 21 constantes elásticas independentes, 18 constantes piezelétricas, e 6 constantes dielétricas. Usualmente, as constantes materiais das relações constitutivas (eq.1) são primeiramente obtidas nas direções de ortotropia e em seguida as relações são rotacionadas para as direções globais do laminado no elemento (x, y, z), por rotação plana em torno do eixo principal 3. Em seguida, é parcialmente imposta a condição de Estado Plano de Tensões (EPT) na lâmina (σz k = ), gerando a relação constitutiva modificada (eq.11), onde por conveniência, particiona-se a deformação mecânica em parcela de membrana e flexão, associada à C σ e parcela de cisalhamento transversal, associada à C τ : σ τ D k = C σ e σt C τ e τ T e σ e τ χ k ε γ E (11) onde σ = σ x, σ y, τ xy T, τ = τ yz, τ xz, e D = D x, D y, D z, com as deformações e o campo elétrico analogamente definidos. 4- Formulação Discretizada em GFEM A formulação aqui apresentada foi deduzida a partir do funcional do Princípio ariacional de Hamilton (PH), incorporando as respostas mecânica e elétrica, conforme (eq.12): t1 (δk + δp + δw ) dt = (12) t para qualquer t 1, onde K, P e W são a energia total cinética, a energia total potencial de deformação e o trabalho total das forças externas aplicadas ao sistema, respectivamente, e δ é o operador variação. A expressão do funcional do PH pode ser expandida como: t1 + + t δɛ x δe x ρδu T ü(x, t) d + T δu T f d + + δu T f P + σ x D x δϕ T q d d + δu T f d+ dt = k (13)

4 onde u é o deslocamento mecânico, σ é o tensor de tensões mecânicas, ε é o tensor de deformações mecânicas, D é o deslocamento elétrico, E é o campo elétrico, f é a força de superfície, f é a força de corpo, f P são forças pontuais, ϕ é o potencial elétrico e q são as cargas elétricas de superfície nas lâminas piezelétricas. As hipóteses cinemáticas adotadas na presente formulação consistem na Teoria de Deformação Cisalhante de Terceira Orden (TDT), que preconiza uma variação cúbica dos deslocamentos coplanares na direção da espessura 7]. O campo de deslocamentos da teoria u(x, t) = u(x, t), v(x, t), w(x, t) T é expandido na forma: u(x, y, z, t) = u (x, y, t)+ + zψ x (x, y, t) + z 3 ψ 3x (x, y, t) v(x, y, z, t) = v (x, y, t)+ + zψ y (x, y, t) + z 3 ψ 3y (x, y, t) w(x, y, z, t) = w (x, y, t) (14) Assim, utilizando as relações deformações/deslocamentos lineares obtém-se o campo de deformações (eq.15): ε x (x, t) = u + z ψ x + ψ z3 3x ε y (x, t) = v + z ψ y + ψ z3 3y γ xy (x, t) = u + z v + z3( ψ 3x γ yz (x, t) = (ψ y + w ) + z 2 ψ 3y γ xz (x, t) = (ψ x + w + ψ ) 3y ) + z 2 ψ 3x (15) As relações deformações/deslocamentos (eq.15) podem ser expressas em termos de vetores que contém os deslocamentos generalizados na superfície de referência como: ε(x, t) = ε + zκ 1 + z 3 κ 3 γ c (x, t) = γ c + z 2 κ c (16) A formulação em elementos finitos generalizados é desenvolvida a partir da definição das funções de partição da unidade (PU) no domínio do elemento e o enriquecimento dos campos é feito adicionando-se novos parâmetros vinculados às variáveis nodais, associados às funções que multiplicam as bases originais, de forma que os deslocamentos mecânicos generalizados na superfície de referência (u, v, w, ψ x, ψ y, ψ 3x, ψ 3y ) podem ser expandidos como, por exemplo, para u : u = Nne no=1 nf(u N i (u no) no + u j nof j u no ) (17) Reunindo todas as funções numa única matriz N e ] 7 (7 Nne+npar) temos a representação simbólica para o campo de deslocamentos mecânicos (eq.18): ũ(x, y, t) e = N e (x, y)]u e (t) (18) O vetor de deslocamentos nodais U e (7 Nne +npar) 1 do elemento, no trecho relativo ao nó no é escrito conforme a (eq.19): U e T = u no, u 1 no,..., u nf(u no, vno, vno, 1..., v nf(u no,......, ψ3y no, ψ3y 1 no,..., ψ nf(ψ 3x 3y no (19) com no = 1,, Nne, sendo Nne o número de nós do elemento e npar igual ao número de parâmetros de enriquecimento do elemento. O campo elétrico E(x, t) = E x, E y, E z T é relacionado ao potencial elétrico pela (eq.2): E(x, t) = ϕ(x, t) = ϕ(x, t) ϕ(x, t) ϕ(x, t) z (2) O potencial elétrico ϕ(x, t) no elemento, por sua vez, é discretizado através de funções lineares por partes, contínuas nas interfaces entre lâminas piezelétricas e descontínuas nas interfaces lâminas piezelétricas/lâminas da estrutura base. A um nó no na superfície de referência de um laminado com N lâminas piezelétricas, correspondem N + 1 valores nodais de potencial,

5 ϕ no a ϕ N no. O valor do potencial numa cota intermediária z de uma lâmina k arbitrária, em um instante de tempo t, é dado pela expressão (eq.21): ( ϕ k no(z, t) = ϕ k1 zk z ) ( z no (t) +ϕ k zk1 ) h no(t) k h k (21) onde é a cota inferior da lâmina k e z k é a cota superior, em relação à superfície de referência. A aproximação do potencial elétrico nas direções coplanares à superfície de referência (x, y) em um ponto qualquer da lâmina k via elementos finitos generalizados é obtida pelas mesmas funções PU (N no (x, y)) usadas para aproximar o campo de deslocamentos mecânicos, além das funções de enriquecimento correspondentes, conduzindo à seguinte aproximação (eq.22): ϕ(x, y, z, t) k = nf(ϕ k no) + Nne no=1 N no (x, y) ϕ kj no(z, t)f j ϕ k no(x, y) ] ϕ k no(z, t)+ (22) Incorporando estes graus de liberdade elétricos aos mecânicos tem-se para a formulação em MEFG o vetor de deslocamentos nodais elementares conforme (eq.23): U e T = u no, u 1 no,..., u nf(u vno, vno, 1..., v nf(v no,... no,..., ψ 3yno, ψ 1 3y no,..., ψ nf(ψ 3y 3y no, ϕ no, ϕ 1 no,..., ϕ nf(ϕ no, 1 ϕ 1 no, ϕ 11 no,..., ϕno 1nf(ϕ,......, ϕ N no, ϕ N 1 no,..., ϕ N nf(ϕ N no (23) Desenvolvendo cada uma das parcelas do funcional do PH e inserindo a discretização das variáveis pode-se deduzir as expressões para obtenção das contribuições elementares. Usando as relações constitutivas (eq.11), a variação da energia potencial total de deformação, incluindo as energias potenciais mecânica e a elétrica elementar, é expressa conforme a (eq.24): δp = δε δγ T C σ e σt C τ e τ T ] + δe T e σt e τ T χ x ε γ E ] ε γ E + d (24) Usando as expanssões de ε, γ, E obtémse as matrizes de rigidez elementares, tal que a parcela puramente mecânica K e uu] resulta como a (eq.25): K e uu] = K e mf ] + Ke c] (25) com, as parcelas de membrana/flexão e cisalhamento expressas pelas (eq.26) e (eq.27), respectivamente: K e mf ] = e B e mf ]T A B L B D F L F H K e c] = B e c] T Ac D c e D c F c B e mf ] d (26) ] B e c] d (27) onde as deformações são aproximadas através das matrizes B e mf ] e Be c]. Definem-se as seguintes submatrizes constitutivas puramente mecânicas do laminado em membrana e flexão (eq.28): A ij, B ij, D ij, L ij, F ij, H ij = N zk = Cij σk 1, z, z 2, z 3, z 4, z 6 dz (28) com i, j = 1, 2, 6 e para o cisalhamento transversal (eq.29): A cij, D cij, F cij = N zk = Cij1, k z 2, z 4 dz (29) com i, j = 4, 5. A matriz de rigidez eletromecanicamente acoplada pode ser expressa conforme a (eq.3):

6 K e uϕ] = K e mfϕ ] + Ke cϕ] (3) com as parcelas definidas pelas (eq.31) e (eq.32): K e mfϕ ] = e B e mf ]T O P R P Q ( N E k) d (31) ] Kcϕ] e = B e c] T T U ( N E k) d e W (32) onde a matriz E] é usada para aproximar o campo elétrico e, de forma semelhante às matrizes de deformações mecânicas, é particionada em parcela constante e parcela com dependência linear em relação à cota z, em cada lâmina piezelétrica. As submatrizes constitutivas eletromecânicas do laminado são definidas pelas (eq.33) e (eq.34): O ij, P ij, Q ij, R ij, ij = = zk com i, j = 1, 2, 6, e e σk ij 1, z, z 2, z 3, z 4 dz T ij, U ij, ij, W ij = = zk e τ k ij 1, z, z 2, z 3 dz (33) (34) com i, j = 4, 5. Deve-se ressaltar que Kϕmf e ] = Ke mfϕ ]T. Por fim, a matriz de rigidez puramente elétrica é difinida como na (eq.35): K e ϕϕ] = e ( N E k) d ( N E k) T X Y ] Y Z (35) onde as submatrizes constitutivas puramente elétricas do laminado são obtidas pela (eq.36): Assim, a matriz de rigidez total do elemento (eq.37) será obtida somando as parcelas: K e ] = K e uu] + K e uϕ] + K ϕu ] + K e ϕϕ] (37) Por sua vez a variação da energia cinética é (eq.38): δk = ρδu T ü d (38) Decompondo o deslocamento mecânico em parcela de membrana, rotações de primeira ordem e rotações de ordem superior, buscase explicitar os termos com dependência em z. Após manipulção algébrica, separando as parcelas que são integráveis ao longo da espessura daquelas integráveis apenas no domínio, obtém-se a matriz de inércia elementar M e ], que é dada pela (eq.39): M e ] = N T P P 1 P 3 P 1 P 2 P 4 P 3 P 4 P 6 N d (39) com P = ρ I 3x3 ], P 1 = ρ 1 I 3x2 ], P 2 = ρ 2 I 2x2 ], P 3 = ρ 3 I 3x2 ], P 4 = ρ 4 I 2x2 ], e P 6 = ρ 6 I 2x2 ], onde I] s são matrizes identidades ou parcelas de matrizes identidades. As massas generalizadas são definidas pela (eq.4): ρ, ρ 1, ρ 2, ρ 3, ρ 4, ρ 6 = N ( z k ρ k 1, z, z 2, z 3, z 4, z 6 dz (4) com ρ k sendo a massa equivalente por unidade de área da lâmina k. Finalmente, desenvolve-se a expressão do trabalho virtual externo (eq.41): δw = + δu T f P + δu T f d + δϕ T q d δu T f d+ (41) Os deslocamentos mecânicos e os potenciais elétricos são discretizados na forma (eq.42): X ij, Y ij, Z ij = = zk χ k ij1, z, z 2 dz (36) u(x, t) = N U U(t) ϕ(x, t) = N ϕ U(t) (42)

7 com N U sendo a parcela de N referente aos deslocamentos mecânicos e N ϕ, a parcela referente aos potenciais elétricos elementares. Observa-se que o vetor de parâmetros nodais elementares U contém tantos os graus de liberdades mecânicos quanto os potenciais elétricos. De maneira semelhante, as forças mecânicas e as carga elétricas podem ser discretizadas no domínio do elemento, com auxílio dos vetores que contém os dados de forças mecânicas e cargas elétricas nodais (F, F, etc), conduzindo aos vetores de forças consistentes (eq.43): f (x, t) = N f F (t) f (x, t) = N f F (t) f P (x, t) = F P (t) q(x, t) = N q Q (t) (43) Assim, a (eq.41) resulta nos vetores de forças nodais equivalentes (eq.44): F e = F e = F ep = F eq = N U et N f e F d N U et N f e F d N U et F P d N ϕet N qe Q d (44) de maneira que a soma de todas estas parcelas fornece o vetor de forças elementares F e (t). Portanto, tem-se o seguinte sistema elementar de equações (eq.45): M e ]Ü e (t) + K e ]U e (t) = F e (t) (45) utilizado para obter o sistema global. Considerações finais Busca-se com a implementação de rotinas computacionais baseadas na formulação aqui apresentada dispor de uma ferramenta que permita verificar o desempenho do GFEM na modelagem numérica de estruturas laminadas inteligentes, seja para análise estática quanto dinâmica. Procura-se assim, verificar as potencialidades do GFEM, como facilidade de imposição de condições de contorno, capacidade de aproximação etc, além de estabelecer bases para estudos futuros inseridos nesta linha de pesquisa, contribuindo para a difusão de tecnologias relacionadas às estruturas inteligentes. Referências 1] F.B. Barros, Métodos sem malha e Método dos Elementos Finitos Generalizados em análise não-linear de estruturas, 233 p. Tese (Doutorado) - Escola de Engenharia de ão Carlos, Universidade de ão Paulo, ão Carlos, 22. 2] C.A. Duarte; J.T. Oden, An h-p adaptive method using cloud, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 139 (1996) ] A.W. Faria, Modelagem por elementos finitos de placas compostas dotadas de sensores e atuadores piezelétricos: implementação computacional e avaliação numérica, 147 p. Dissertação (Mestrado) - Universidade Federal de Uberlândia, Uberlândia, 26. 4] H.-J. Lee, Finite element analysis of active and sensory thermo-piezoelectric composite materials. Glenn Research Center, Cleveland, Ohio. National Aeronautics and pace Administration, 21. 5] K.M. Liew; X.Q. He; M.J. Tan; H.K. Lim, Dynamic analysis of laminated composite plates with piezoelectric sensor/actuator patches using the FDT mesh-free method, International Journal of Mechanical ciences, 46 (24) ] J.M. Melenk; I. Babuska, The partition of unity finite element method: Basic theory and applications, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 139 (1996) ] P.T.R. Mendonça, Materiais compostos e estruturas-sanduíche, Manole, Barueri, 25. 8] J.N. Reddy, Mechanics of laminated composite plates end shells: theory and analysis, CRC Press, Boca Raton, 24.