Elementos Finitos na Análise Estrutural

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1 Capítulo 2 Elementos Finitos na Análise Estrutural Trata-se neste capítulo, de apresentar de uma forma simples o método dos deslocamentos e sua aplicação na análise estrutural. Aborda-se inicialmente de forma intuitiva o conceito de discretização, e apresenta-se a nomenclatura básica usada. Na sequência apresenta-se o método direto para a obtenção das matrizes elementares de diferentes problemas e o método clássico dos deslocamentos é mostrada com ênfase na resolução de problemas de equilíbrio. Por último, um exemplo prático de uma análise de estrutura reticulada é mostrado para ilustrar o uso do Método no âmbito de um pacote comercial, o Programa MSC NASTRAN. 2.1 Noções Básicas do Método dos Elementos Finitos OMétodo dos Elementos Finitos é um procedimento numérico para a análise de estruturas e meios contínuo, e é baseado no conceito de discretização. A idéia conciste em transformar um problema complexo na soma de diversos problemas simples. É no entanto necessário buscar-se soluções locais, cujas propriedades garantam uma convergência para os problemas globais. Seja por exemplo o caso de uma barra de seção variável engastada, submetida a uma carga axial F em sua extremidade B conforme mostrado na figura 2.1. Considerando-se que o objetivo do problema é o de determinar o deslocamento da extremidade B da barra, pode-se observar da teoria básica da 8

2 ELEMENTOS FINITOS NA ANÁLISE ESTRUTURAL 9 Figura 2.1: Barra de seção Variável, discretização. resistência dos materiais, que a solução para o caso de barras de seções constantes é bem mais simples do que o caso de barras de seção variável. Ou seja, considerando que uma barra em movimento axial é governada pela seguinte equação diferencial [36]: EA 2 u x = F (2.1) 2 onde E éomódulo de Elasticidade do material da barra, A éaárea da seção tranversal da barra, u é o deslocamento axial, e F aforça externa aplicada na face B. Supondo que a barra está engastada em uma de suas extremidades, as condições de contorno necessárias para se posicionar corretamente o problema são as seguintes: u =0 em x =0 (2.2) u x = F em x = L (2.3) EA Resolvendo-se o sistema de equações 2.1 a 2.3, obtem-se uma solução fechada - analítica - para o problema. No caso da seção constante tem-se: u B = FL (2.4) EA Eparaocasodaárea variar linearmente, tem-se a equação da barra dada por:

3 ELEMENTOS FINITOS NA ANÁLISE ESTRUTURAL10 u x = F AE (2.5) parametrizando a expresão da área, sendo A = A 0 em x = L e A =3A 0 em x = 0 obtem-se: u x = F EA 0 (3 2x) (2.6) L Integrando-se no domínio [0,l], pode-se determinar o deslocamento da extremidade B da seguinte maneira: u B = L 0 F EA 0 (3 2x L )dx = FL ln(3) (2.7) 2A 0 E Pode-se notar, que a soluçãoparaocasoondeaárea varia éumpouco mais complexa, sendo que para certos casos onde a geometria torna-se arbitrária é impossivel de ser obtida analíticamente. Usando-se a idéia da discretização, pode-se então transformar um problema mais complexo, na soma de diversos problemas simples como se segue: Discretiza-se o sistema contínuo em N subdomínios, denominados Elementos Finitos, de seção constante. Neste caso usa-se 4 Elementos Finitos. Figura 2.2: Malha de Elementos Finitos

4 ELEMENTOS FINITOS NA ANÁLISE ESTRUTURAL11 Dado um referencial fixo em cada elemento, ( x, ȳ), supõe-se que para cada Elemento o deslocamento axial u( x) varia linearmente. Define-se tambémos nós de cada elementoi, j, conforme mostrado na Figura 2.1. Figura 2.3: Elemento Finito - Referencial Local Como consequência das hipóteses acima adotadas, a aproximação para oproblemaserá linear por sub regiões, e o deslocamento de cada elemento é calculado pela fórmula simples: u B = FL (2.8) EA Finalmete, o deslocamento total é igual a soma dos deslocamentos de cada elemento. Nota 2.1 Quanto maior o número de Elementos a solução discretizada deve convergir para a solução exata do modelo. Neste caso deve-se observar que o modelo contínuo possue infinitos Graus de Liberdade. A validade prática dos resultados obtidos, depende ainda da representatividade do modelo escolhido, e das condições de contorno adotadas. Nota 2.2 A idéia global do método consiste em substituir uma solução complexa para todo o domínio pela superposição de soluções simples em subdomínios.

5 ELEMENTOS FINITOS NA ANÁLISE ESTRUTURAL12 Nota 2.3 Após a discretização do problema, os únicos pontos onde se pode aplicar as condições de contorno são os nós. Assim, as forças, e os deslocamentos impostos, devem ser aplicados nos nós. No caso de forças distribuidas de área ou volume, deve-se calcular as forças nodais equivalentes. Nota 2.4 Na construção das malhas, deve-se ter o cuidado para se evitar furos ou interferência entre os elementos, garantindo a compatibilidade das variáveis que estão sendo aproximadas. Nota 2.5 O comportamento de cada elemento é fundamental : poucos elementos de alta precisão podem fornecer melhores resultados que um grande número de elementos pouco precisos. A precisão de cada elemento está associada ao tipo de aproximação escilhida para cada subdomínio, bem como do seu suporte geométrico. De uma forma geral as aproximações podem ser do tipo polinomial representadas por: Suporte geométrico unidimensional. I. Aproximação Linear II. Aproximação quadrática Suporte geométrico triangular. I. Aproximação Linear II. Aproximação quadrática Suporte geométrico quadrilateral. I. Aproximação Bilinear φ = a 1 + a 2 x (2.9) φ = a 1 + a 2 x + a 3 x 2 (2.10) φ = a 1 + a 2 x + a 3 y (2.11) φ = a 1 + a 2 x + a 3 y + a 4 x 2 + a 5 xy + a 6 y 2 (2.12) φ = a 1 + a 2 x + a 3 y + a 4 xy (2.13)

6 ELEMENTOS FINITOS NA ANÁLISE ESTRUTURAL13 II. Aproximação quadrática φ = a 1 + a 2 x + a 3 y + a 4 x 2 + a 5 y 2 + a 6 xy + a 7 x 2 y + a 8 xy 2 (2.14) Assim quanto maior for o número de elementos, maior será a precisão sobre ocálculo de φ. De uma forma global, para cada tipo de problema, existe um elemento mais apropriado. Nota 2.6 Os termos de cada Aproximação de base do tipo polinomial são escolhidos a partir do triângulo de Pascal, que para o caso bidimensional é dado por: 1 x y x 2 xy y 2 x 3 x 2 y xy 2 y Outros tipos de bases podem ser usadas mas não serão aqui descritas. (2.15) Nota 2.7 O conhecimento do problema e a visão do engenheiro são os pré requisitos básicos para a definição de uma boa análise e para a interpretação correta dos resultados. Neste contexto o Método dos Elementos Finitos e os pacotes computacionais são apenas ferramentas de análise. De uma forma global o método dos Elementos Finitos pode ser sistematizado conforme o quadro mostrado na figura 2.4. Nota-se que um passo fundamental do método, é a determinação de uma relação matricial, entre as variáveis de estado, a nível elementar (geração de uma biblioteca de Elementos), que é realizado com base nas aproximações locais definidas acima. Outro ponto importante, refere-se a geração automática de malhas, que pode ser realizada com base em um modelo geométrico prévio obtido em um programa de CAD. Ressalta-se também as etapas de resolução numérica (Algebra Computacional) e pós processamento (visualização computacional). Diversos métodos podem ser usados para a determinação das caracteristicas locais de cada elemento. Na sequência apresentam-se algumas aplicações do método direto, e ao longo do texto serão apresentados métodos mais gerais, tais como o Método dos Resíduos Ponderados.

7 ELEMENTOS FINITOS NA ANÁLISE ESTRUTURAL14 Figura 2.4: Principais Etapas do MEF 2.2 Método direto para obtenção das Matrizes do Sistema Em alguns casos simples, é possível se determinar uma relação entre as variaveis de estado de um dado problema, usando-se apenas as equacões básicas da mecânica. Embora este enfoque seja limitado, ele será aqui apresentado, tendo em vista o seu apelo físico, que facilita a compreenção global da aplicação do Método dos Elementos Finitos. Na prática existem basicamente três métodos para determinação das matrizes elementares de elementos finitos: Método direto: é baseado na interpretação física do problema estudado. É limitado a problemas simples e foram os primeiros procedimentos empregados.

8 ELEMENTOS FINITOS NA ANÁLISE ESTRUTURAL15 Método Variacional: baseado em formulações integrais da mecânica do contínuo com enfoque energético. Métodos residuais: processos de minimização formulados a partir da equação diferencial que governa o problema. Na sequência são apresentados alguns casos simples de aplicação do Método direto [2] Matriz e Rigidez de uma Barra Considere o modelo da Barra mostrado na figura Figura 2.5: Elemento Finito de Barra Desprezando-se os efeitos do peso próprio da barra, e considerando que aárea (A) daseção tranversal da barra é constante, sendo a mesma constituida de material linear elástico com Módulo de Elasticidade (E) constante, procura-se determinar a força necessária para que um dado deslocamento exista, isto é: supondo u i > 0eu j =0,paraqueoequilíbrio seja mantido tem-se : F i = EA L u i (2.16) F j = EA L u i (2.17)

9 ELEMENTOS FINITOS NA ANÁLISE ESTRUTURAL16 Por outro lado supondo u j mantido tem-se : > 0eu i =0,paraqueoequilíbrio seja F i = EA L u j (2.18) F j = EA L u j (2.19) Finalmente, considerando-se F i e F j, diferentes de zero, tem-se: 1 1 EA u i F i L = 1 1 u j F J ou seja, (2.20) [K e ]{u e } = {F e } (2.21) onde [K e ]é a Matriz de Rigidez de um elemento, {u e } éovetordos deslocamentos nodais, e {F e } é o vetor nas forçasnodaisdoelemento. A matriz [K e ]ésimétrica, e representa uma relação linear entre esforços e deslocamentos. Neste caso a solução obtida coincide com a solução exata para barras de seção constante submetida a cargas puntuais. Caso a geometia do sistema varie, os resultados obtidos com uma formulação deste tipo serão aproximados devido aos erros de geometria e de modelagem Matriz de condutibilidade unidimensional Considera-se neste caso o modelo unidmensional de condução de calor corforme ilustradado na Figura Neste caso as variáveis de estado são as temperaturas T eosfluxospor unidade de área q, emcada nó. A equação diferencial que governa o problema é: q = k T x = k T j T i L (2.22) onde k é o coeficiente de condutividade térmica. Supondo que T i e T j sejam simultaneamente diferentes de zero, tem-se: k L T i T j = q i q J (2.23)

10 ELEMENTOS FINITOS NA ANÁLISE ESTRUTURAL17 Figura 2.6: Elemento Finito de Condução de Calor ou seja, [KC e ]{T e } = {Q e } (2.24) onde [KC e ]é a Matriz de Condutividade de um elemento, {T e } éovetor das temperaturas nodais, e {Q e } é o vetor dos Fluxos nodais do elemento. Observa-se da equação 2.22, que uma aproximação linear é adotada para o campo de temperaturas, e que os fluxos são medidos apenas nos nós Matriz de um Resistor Considera-se neste caso o modelo unidimensional de condução de corrente elétrica, conforme ilustradado na Figura Neste caso as veriáveis de estado são as voltagens V e as correntes elétricas I, emcadanó. A equação que governa o problema éaleideohm,dadapor: I = (V i V j ) (2.25) R onde R éresistência elétrica. Supondo que V i e V j sejam simultaneamente diferentes de zero, tem-se: V i I i R = (2.26) 1 1 V j I J

11 ELEMENTOS FINITOS NA ANÁLISE ESTRUTURAL18 Figura 2.7: Elemento Finito de um Resistor ou seja, [KR e ]{V e } = {I e } (2.27) onde [KR e ]é a Matriz de Resistividade de um elemento, {V e } éovetor das voltagens nodais, e {I e } é o vetor das correntes nodais do elemento. Além destes exemplos simples o método direto pode ser aplicado ao caso de vigas em flexão e torção [2] [33], construindo-se desta maneira a teoria básica de análise matricial de estruturas. 2.3 Técnicas de Montagem do sistema Global Método dos deslocamentos O Método dos deslocamentos consiste em escrever as equações de equilíbrio globais, a partir das equações locais. O método é baseado no conceito de continuidade dos deslocamentos e pode ser apresentado da seguinte maneira. Supondo uma estrutura bidimensional discretizada em 5 elementos, que estão conectados a partir de seus nós de acordo com o mostrado na Figura 2.3. Inicialmente deve-se construir uma representação local para cada elemento, que para o caso de problemas de equilíbrio estático, é dada por uma expressão do seguinte tipo:

12 ELEMENTOS FINITOS NA ANÁLISE ESTRUTURAL19 Figura 2.8: Malha típica de Elementos Finitos [K e ]{u e } = {F e } (2.28) onde, considerando o problema plano com dois graus de liberdade por nó, tem-se os seguintes vetores de estado locais para o elemento típico 2: u 1 fx 1 v 1 fy 1 u e = u 2,F e = fx 2 (2.29) v 2 fy 2 u 3 fx 3 v 3 fy 3 sendo a numeração local dos nós (1,2,3) se realciona com a numeração global (1,2,4). A relação local pode ser representada genericamente, por uma forma matricial do seguinte tipo:

13 ELEMENTOS FINITOS NA ANÁLISE ESTRUTURAL20 k1,1 e k1,2 e k1,3 e k1,4 e k1,5 e k1,6 e k2,2 e k2,3 e k2,4 e k2,5 e k2,6 e k3,3 e k3,4 e k3,5 e k3,6 e k4,4 e k4,5 e k4,6 e k5,5 e k5,6 e SIM. k6,6 e u 1 v 1 u 2 v 2 u 3 v 3 = fx 1 fy 1 fx 2 fy 2 fx 3 fy 3 (2.30) Observa-se que a construção destas matrizes locais depende de uma base de dados que identifica o material e as propriedades de cada elemento, bem como o seu tipo que está ligado a definição do problema que se deseja solucionar. Isto é, cada matriz elementar, corresponde a uma dada equação diferencial que se deseja resolver, que fica particularizada em função dos parâmetros de cada elemento (propriedades e geometria). Opróximo passo refere-se à montagem da matriz de rigidez global do sistema. Inicialmente deve-se escrever as equações locais em um mesmo referencial global para todos os elementos da malha. Assim, pode ser necessário a realização de uma transformação dos eixos de referência, usando-se relações do seguinte tipo: {u Local } =[T ]{u Global } (2.31) onde [T ] é uma matriz de transformação de coordenadadas, geralmente formada pelos cossenos diretores que relacionam os eixos locais do elemento com os eixos globais da estrutura. Para se montar o sistema global, usa-se os vetores de incidência para definir a geometria do problema. No Exemplo da figura 2.3, tem-se a incidência nodal mostrada na Tabela 2.1. A partir da Incidência Nodal, pode-se construir um vetor identificador ({ID}), onde a cada nó está associado um número de equação. Considerando que os nós 6, 7 e 8 estão totalmente bloqueados, e que o deslocamento na diração x dos nós 3, 4 e 5 também estão restritos, tem-se

14 ELEMENTOS FINITOS NA ANÁLISE ESTRUTURAL21 Tabela 2.1: Incidência Nodal Elemento nó i nó j nó k nó l ID = nó 1 nó2 nó3 nó4 nó5 nó6 nó7 nó8 GDL GDL (2.32) Desta forma, pode-se finalmete montar a matriz global do sistema, que terá ordem 7, como pode ser visto na equação A Matriz Global édada por:

15 ELEMENTOS FINITOS NA ANÁLISE ESTRUTURAL22 k1,1 1 + k1,1 2 k1,2 1 + k1,2 2 k1,5 2 k1,6 2 k1,4 1 k1,6 1 + k1,4 2 k2,2 1 + k2,2 2 k2,5 2 k2,6 2 k2,4 1 k2,6 1 + k2,4 2 k5,5 2 + k1,1 3 k5,6 2 + k1,2 3 k4,5 2 k1,4 3 k6,6 2 + k2,2 3 k4,6 2 k2,4 3 k4,4 1 + k2,2 4 k4,6 1 + k2,8 4 k6,6 1 + k4,4 2 + k8,8 4 + k2,2 5 k2,8 5 SIM k4,4 3 + k8,8 5 (2.33) u 1 fx 1 v 1 fy 1 u 2 fx 2 v 2 = fy 2 (2.34) v 3 fy 3 v 4 fy 4 v 5 fy 5 O sistema final obtido pode ser resolvido usando-se os métodos de resolução clássicos de algebra computacional, tais como Método de Gauss, Choleski, etc. Tendo em vista o grande número de equações tratadas nos programas de elementos finitos, faz-se necessário o uso de ferramentas otimizadas de programação, tais como as técnicas de armazenamento de matrizes em vetores ou matrizes esparsas.

16 ELEMENTOS FINITOS NA ANÁLISE ESTRUTURAL Aplicação - Análise Estática de uma Treliça Plana. O objetivo deste exemplo é o de ilustrar a aplicação do Método dos Elementos Finitos, para o caso simples de uma análise estática de uma estrutura reticulada, que pode ser representada por barras. Assim, usam-se elementos unidimensionais de barra, cujas propriedades foram definidas nos itens anteriores. Considerando o problema de uma treliça plana, mostrada na figura abaixo: Figura 2.9: Treliça Plana Cujos dados são os seguintes: E =1.99e 11 N/m 2 ν =0.3 Área da secção de cada barra = m2 Usando o programa MSC/NASTRAN, determinar os seguintes valores: a. Deslocamentos do nós 1 e 3. b. Tensão Normal nas barras. c. Reações nos nós 2 e 5.

17 ELEMENTOS FINITOS NA ANÁLISE ESTRUTURAL24 Uma introdução ao pacote MSC/NASTRAN for Windows pode ser feita usando-se a referência [25], que é apresentada na forma de tutoriais. A resolução deste problema usando-se o MSC/NASTRAN for Windows, pode ser feita de acordo com as seguintes etapas: Definição da geometria do sistema Neste ítem são definidos os modelos geométricos, dos domínios a serem analisados. Parte-se normalmente de entidades de base do tipo: I. Pontos II. Linhas III. Áreas IV. Volumes que podem ser geradas de diversas formas, que serão exploradas ao longo destas notas. As entidades geométricas geradas, servem de base para a construção das malhas de Elementos Finitos, bem como para a definição das condições de contorno e dos carregamentos de uma análise. Neste caso específico da análise de uma estrutura reticulada, não se faz necessário a geração de uma geometria, usando-se o que é denominado de geração direta de malha. Isto é, define-se diretamente, nós e elementos. Definição do tipo de Material Aqui, deve-se definir as propriedades dos materias usadas, que são reunidas em grupos identificados por um número ID e um Título. Pode-se usar neste caso, a biblioteca de materiais pre-definida no programa. Esta biblioteca pode ser atualizada com dados de novos materias. No caso em questão usaram-se os dados mostrados na Tabela 2.2: Definição do tipo de Elemento Neste etapa, define-se o tipo de elemento a ser usado, e suas propiedades geométricas quando for o caso. Esta etapa é de fundamental importância,

18 ELEMENTOS FINITOS NA ANÁLISE ESTRUTURAL25 Tabela 2.2: Material 1 - Carbon Steel - SI - Type ISOTROPIC Módulo de Elasticidade N m 2 E E+11 Módulo de Cisalhamento N m 2 G Coeficiente de Poisson Nu 0.32 Massa Específica kg m 3 Density devendo-se conhecer a priori as hipóteses teóricas adotadas para o equacionamento de cada elemento a ser usado. No problema em questão, usa-se a teoria de barras submetidas a esforços axiais, que para o caso plano, corresponde a uma treliça bidimensional. As caracteristicas escolhidas neste caso são mostradas na Tabela 2.3. Tabela 2.3: Property 1 - trelica - Type ROD Area m Observa-se neste caso, que todas as barras possuem a mesma área de seção transversal. Geração da Malha Faz-se então a geração da malha de Elementos Finitos. Neste caso usa-se a geração direta, definindo-se nós e elementos diretamente. A malha adotada neste caso é mostrada na Figura Esta etapa é feita pela definição de cada ponto da malha e normalmente é a parte mais onerosa das análises industriais. Geração dos Carregamentos e condições de Contorno Baseando-se nas hipótese físicas adotadas para a análise, impõe-se as condições de contorno e as cargas nodais pontuais. Neste caso deve-se inicialmente criar um conjunto de esforços e restrições. Cada conjunto é definido por um Nome, e pode conter várias solicitações e restrições. No caso da treliça, adotou-se as Forças e resytrições mostradas na Figura Os números mostrados na Figura 2.11 indicam os graus de libedade que foram bloqueados, sendo adotada a seguinte nomenclatura: tx - indica translação na direção x (GDL 1)

19 ELEMENTOS FINITOS NA ANÁLISE ESTRUTURAL26 Figura 2.10: Treliça Plana - Malha ty - indica translação na direção y (GDL 2) tz - indica translação na direção x (GDL 3) rx - indica rotação em torno do eixo x (GDL 4) ry - indica rotação em torno do eixo y (GDL 5) rz - indica rotação em torno do eixo z (GDL 6) Observa-se que a treliça só se movimenta no plano, isto é somente os graus de liberdade 1 e 2 estão liberados. Quanto as forças, a representação da Figura 2.11 é auto explicativa. Análise e Pós processamento Concluido o modelo, passa-se a etapa de análise, onde é definido o método de resolução (Static Analisys), sendo estabelicida a conecção com o solver do MSC/NASTRAN, que devolverá os resultados em deslocamentos e tensões. Na Figura 2.12, mostra-se a estrutura em sua posição deformada, e os valores das tensões axiais em cada barra. Tendo em vista o enunciado do problema, tem-se os seguintes resultados :

20 ELEMENTOS FINITOS NA ANÁLISE ESTRUTURAL27 Figura 2.11: Condições de Contorno a. Deslocamentos do nó 1, ux =.749 e-4 m, uy= e-4 m Deslocamentos do nó 3, ux = e-4 m, uy= e-4 m b. As tensõesnormaisnasbarrassão apresentadas na Figura 2.12, em [Pa] c. Reação no nó 2, ty= 8000 N Reação no nó 5, tx= 0 N,ty= N

21 ELEMENTOS FINITOS NA ANÁLISE ESTRUTURAL28 Figura 2.12: Deslocamentos e tensões

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