Método dos Elementos Finitos Generalizados Validação de Estimadores de Erro a-posteriori

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1 Universidade Federal de São João Del-Rei MG 26 a 28 de maio de 2010 Associação Brasileira de Métodos Computacionais em Engenharia Método dos Elementos Finitos Generalizados Validação de Estimadores de Erro a-posteriori J.A. Park 1 ; T. Lipovetsky 1 ; F.B.Barros 1 1 Departamento de Engenharia de Estruturas UFMG Belo Horizonte, MG CEP: janainapark@hotmail.com, tatianalipovetsky@gmail.com, felicio@dees.ufmg.br Resumo. O estudo das Formulações Não-Convencionais do Método dos Elementos se baseia em abordagens alternativas ao Método dos Elementos Finitos, entre elas os Métodos Sem-Malha e o Método dos Elementos Finitos Generalizados, MEFG. O objetivo deste trabalho é a validação de análises feitas pelo MEFG, bem como de estimadores de erro desenvolvidos para esta abordagem. Para isso, os resultados devem ser comparados às soluções de referência ( over kill ) obtidas pelo software comercial de elementos finitos ANSYS. Foi, para isso, concebido um procedimento de validação, abrangendo a importação de dados utilizados pela análise do programa que se utiliza do MEFG para um arquivo a ser lido pelo ANSYS. Os resultados da análise feita pelo ANSYS são, na sequência, extraídos em formato adequado para a comparação com a solução via MEFG. Visando o gerenciamento deste procedimento de validação, foram desenvolvidos aplicativos em linguagem JAVA e também em APDL (ANSYS Parametric Design Language). Esta última, uma linguagem de extensão executada no ANSYS. O aplicativo em JAVA permite a exportação de dados entre as análises feitas pelo MEFG e o programa ANSYS. Por sua vez, dentro do próprio ANSYS, o aplicativo em APDL organiza os resultados em energia de deformação por elementos e conjuntos de elementos, para possibilitar a comparação entre a análise via MEFG, para uma malha grosseira, e pelo ANSYS, para uma malha bastante refinada (solução de referência). Estes valores em energia são utilizados para se obter o erro da solução numérica do MEFG, com relação à solução de referência. Obtidos os erros por elementos e conjuntos de elementos, os mesmos são comparados com as estimativas de erro a-posteriori implementadas para o MEFG, com base em abordagens locais por elementos (Método dos Resíduos em Elementos). O procedimento de comparação, bem como os resultados destas comparações são apresentados ao final do trabalho. Palavras chaves: Método dos Elementos Finitos, Método dos Elementos Finitos Generalizados, Estimadores de Erro, Mecânica Computacional, CAE.

2 1. INTRODUÇÃO Este trabalho divide-se entre dois enfoques. Um primeiro é a apresentação de um procedimento de validação de resultados pelo Método dos Elementos Finitos (MEF), utilizando-se do software ANSYS. Nesta ferramenta, é empregada a linguagem APDL, ANSYS Parametric Design Language (Ansys, 2009), para auxiliar na construção do arquivo de dados para a análise de elementos finitos e cálculo das energias de deformações por setores do domínio (áreas) e seu valor global. Estes resultados em energia, quando obtidos em malhas bastante refinadas podem ser utilizados como soluções de referência para a validação, por exemplo, de erros estimados em outras ferramentas de análise numérica. A aplicação deste procedimento consiste na segunda parte do trabalho que envolve a análise via Método dos Elementos Finitos Generalizados, MEFG (Duarte e Babuska, 2000) e avaliação de um estimador de erro proposto para este método por Barros et al. (2004). O MEFG é uma formulação não convencional do MEF que herda algumas características dos denominados método sem malha, como uma relativa independência da malha e a facilidade na construção dos enriquecimentos da aproximação. O estimador de erro adaptado por Barros et al. (2004) à abordagem do MEFG é o Método dos Resíduos em Elementos. No presente trabalho, um problema estrutural é analisado via MEFG com poucos elementos e MEF em malha bastante refinada para a obtenção da solução de referência. Os resultados encontrados em energia de deformação para estas análises são comparados para se obter uma medida de erro para a solução calculada em energia. A relação entre esta medida e o erro estimado a partir da análise pelo MEFG é calculada em seguida definindo o índice de efetividade do estimador. O texto que segue inicia-se com a fundamentação teórica deste trabalho, ou seja, a apresentação de forma bastante resumida do MEFG e do estimador de erro empregado. A metodologia de validação é então discutida, sendo ilustrada por um fluxograma representativo do procedimento implementado. Ao final, um exemplo numérico é utilizado para ilustrar a utilização do procedimento de validação e, também, investigar o desempenho do estimador de erro para malhas quanto à distorção angular dos seus elementos. 2. MATERIAIS E MÉTODOS 2.1 METODO DOS ELEMENTOS FINITOS GENERALIZADOS De acordo com Barros et al. (2004), o MEFG foi estabelecido com base em: Babus ka e colegas, sob a denominação inicial de Método dos Elementos Finitos Especiais (Babus ka et al., 1994), e posteriormente como Método dos Elementos Finitos Partição da Unidade (Melenk e Babus ka, 1996); Duarte e Oden a partir dos trabalhos (Duarte e Oden, 1995, 1996), correspondentes à formulação do método das Nuvens, e em Oden et al. (1998) como uma abordagem do MEF em forma híbrida com o MEF. A construção das funções de forma do MEFG tem por base o conceito de partição da unidade, PU, definida em Oden e Reddy (1976), e que confere a capacidade de aproximação a um conjunto de funções cuja soma é igual a um. Para maior entendimento considera-se uma malha convencional de elementos finitos N definida a partir de um conjunto de N pontos nodais x j=1 em um domínio aberto e limitado Ω de interesse. Seja, então, uma região ω j, ou nuvem como definida por Duarte e Oden (1995), formada por todos os elementos que concorrem no ponto nodal. O conjunto das funções interpoladoras de Lagrange associadas ao nó x j, define uma função PU de suporte compacto ω j de tal modo que:

3 N j =1 N j = 1 (1) Considere-se, também, os conjuntos formados por q j funções linearmente independentes (polinomiais ou não) definidas em cada nó x j com suportes na nuvem: I j 1, L j1, L j2,, L jq j (2) As funções de forma φ j do MEFG, associadas ao nó x j, são construídas por enriquecimento, ou multiplicação, das funções PU correspondentes à nuvem ω j, pelas componentes do conjunto (2), ou seja: q j φ ji i=1 = N j 1, L j1, L j2,, L jq j (3) A aproximação u (x) é, dessa maneira, obtida pela seguinte combinação linear das funções de forma: u x = N j =1 N j q j x u j + L ji (x)α ji (4) j =1 onde α ji são novos parâmetros nodais em correspondência a cada componente das funções enriquecidas. Para problemas de elasticidade bi-dimensional, o equilíbrio de um ponto genérico do domínio Ω R 2, pode ser estabelecido: Encontrar u tal que: T σ u + b u t(u) = 0 = u = t em Ω em Γ D em Γ N (5) sendo u T = u x u y o vetor das componentes de deslocamentos nas direções dos eixos x e y; Γ D e Γ N as regiões do contorno em que as condições de essenciais e naturais são definidas; σ o tensor de tensões; b o vetor força volúmica; t o vetor das trações no contorno Ω; u e t os vetores de deslocamento e tração prescritos. A aproximação de Galerkin correspondente pode ser escrita como: Encontrar u p X p tal que: B u p, v p = l v p v p X p (6) em que as funções u p e v p são definidas pela aplicação da aproximação (4); X p é o espaço polinomial de ordem p de soluções gerado pelas funções (3), quando polinomiais, em cada nuvem do problema discretizado; a forma bi-linear é estabelecida considerando ε o vetor de deformações: B u p, v p = Ω ε T v p σ(u p )dω (7) e a forma linear é definida como: l v p = v p t (8) Γ N

4 2.2 ESTIMATIVA DE ERRO Para o cálculo de medidas de erro define-se, inicialmente a função erro como a diferença entre as soluções exata e aproximada (pelo MEFG): e = u u p (9) Empregando-se as propriedades de ortogonalidade da aproximação de Galerkin (Barros et al., 2004), pode-se definir um novo problema, na forma de (7), agora para o cálculo global do erro: Encontrar e X de tal forma que: B e, v = R v v X (10) onde o funcional resíduo é definido por R v = l v B u p, v. Barros et al. (2004) emprega o método do resíduo em elementos, para extrair com base na equação (9), os indicadores e estimadores de erro das análises feitas pelo MEFG. Neste caso, um novo problema de valor de contorno é definido para cada elemento finito da malha, apresentando como aproximação de Galerkin a seguinte relação: B K e p, v p = L K v p v p X p+n (11) Os funcionais B K e L K são construídos com base nas expressões de B e, v e R v restringidos ao domínio de um único elemento K e projetadas no espaço de aproximação do erro. e p é a aproximação local da função erro, construída pela equação (4) em um espaço polinomial p + n, onde p é a ordem do espaço de soluções e n um número inteiro que somado a p define o novo espaço em que a função e é definida (eliminada as funções já utilizadas na aproximação), a exemplo do que é feito na fase de solução do problema (6). No caso de L K, acrescenta-se o fato de se utilizar a técnica de equilíbrio dos dados residuais aplicados sobre o contorno de cada elemento finito, conforme Ladevèze e Maunder (1996) e adaptado para o MEFG por Barros et al. (2004). Os indicadores de erro associados a cada elemento K são definidos como a norma de energia 1 da função aproximada e p, e dada por: e p K = B K e p, e p (12) O estimador de erro é calculado pela soma dos erros em cada um dos m elementos para toda a malha, conforme: e p = m i=1 B K e p, e p Para aferição do desempenho do estimador de erro usa-se como medida o índice de efetividade definido como: θ = e p e em que e é a norma de energia da função erro considerada como de referência, obtida via solução analítica ou com base em análises feitas com malhas extremamente refinadas, e dada por: (13) (14) e = B e, e (15) 1 Define-se norma de energia para uma função v em um domínio Ω como v Ω = B Ω v, v

5 2.3 METODOLOGIA Primeiramente o problema é analisado pelo MEFG. Como subproduto da análise é gerado o arquivo texto contendo as informações da geometria e propriedades da estrutura, bem como o arquivo de saída dos resultados contendo a energia de deformação e indicador de erro de cada elemento, a energia de deformação global da estrutura e seu estimador de erro. No segundo momento, é utilizado o aplicativo Inter (em linguagem Java), responsável por ler o arquivo produzido na análise pelo MEFG (contendo a descrição da estrutura) e reproduzi-lo em um outro arquivo escrito em linguagem APDL, compreendida pelo software ANSYS. Neste arquivo, cada elemento da malha original (analisada pelo MEFG) corresponde a uma entidade geométrica definida como área no ANSYS. Por sua vez, cada área pode ser dividida em elementos, conforme parâmetro fornecido pelo usuário durante a execução do aplicativo Inter. A liberdade de escolha deste parâmetro permite ao usuário definir a construção de uma malha bastante refinada que, após a análise pelo ANSYS, poderá ser usada para a obtenção da solução de referência a ser comparada com os resultados encontrados nas análises via MEFG. Durante a análise feita pelo ANSYS, as instruções contidas no arquivo em APDL determinam a geração de um novo arquivo (ASCII) contendo a energia de deformação calculada em cada área e a energia de deformação global da estrutura. Como cada área utilizada no ANSYS corresponde a um elemento da análise pelo MEFG, pode-se comparar não apenas o resultado global da energia de deformação como também os resultados locais associados a cada elemento finito. Evita-se, assim, um dispendioso processo manual de somatório de energias e exportação de arquivos de dados, já que não se conhece ferramentas dentro do ANSYS que executem tais procedimentos sem a utilização da programação em APDL. Os aplicativos desenvolvidos na linguagem Java e ADPL permitiram a implementação de um processo automatizado de comparação das duas análises, tendo em vista que a estrutura não mais precisa ser modelada duas vezes (os dados da análise pelo MEFG são diretamente transferidos para a análise pelo MEF - ANSYS ) e os resultados são obtidos de forma automática. A diferença dos resultados entre a solução de referência e a solução fornecida pelo GFEM é tomada como o erro de referência. O cálculo da efetividade do estimador de erro é obtido através da razão entre o erro estimado e o erro de referência. Na figura 1 é apresentado o fluxograma do processo: Descrição e Análise do problema pelo MEFG. Malha com poucos elementos, porém enriquecida polinomialmente. Geração de dois arquivos ASCII: um primeiro contendo os dados do problema e um segundo com os resultados pelo MEFG (energia de deformação e indicadores do estimador de erro). Utilização do aplicativo Inter para ler o arquivo com os dados do problema e reescrevê-los na linguagem APDL, em outro arquivo a ser sido pelo ANSYS. Leitura do parâmetro para divisão dos elementos (refinamento h)

6 Análise do problema pelo MEF através do software ANSYS. Pós-processamento da solução, utilizando-se do ANSYS e conduzida pelas instruções contidas no aplicativo escrito em linguagem APDL. Nesta fase é gerado um arquivo em ASCII com os resultados em energia por área e seu valor total. Análise dos resultados e cálculo do índice de efetividade do estimador de erro. Figura 1 - Fluxograma do processo de comparação dos resultados das abordagens pelo MEF e MEFG. 3. RESULTADOS Foi analisado um modelo simplificado de uma barragem em estado plano de deformação conforme geometria ilustrada na figura 2, engastada na sua base, submetida a uma carga triangular distribuída na sua face lateral esquerda, composta por um módulo de elasticidade de 25x10 6 kpa e coeficiente de Poisson Primeiramente, foi construída a malha da figura 2(b), na qual as análises pelo MEFG com aproximações de ordem polinomial 1, 2 e 3, foram realizadas. 2(b) - Malha 1 2(c) - Malha 2 2(a) - Geometria da Barragem Figura 2 - Barragem simplificada utilizada como modelo de análise

7 Em seguida o mesmo problema foi modelado no software ANSYS, com uma malha bastante refinada de elementos. Nessa análise, foi definido o tipo de elemento Plane145, um elemento quadrangular isoparamétrico de oito nós. Para esta malha, foi obtida por meio do procedimento descrito na figura 1, a norma da energia de deformação no valor de 0, kn.m, considerada aqui como referência para cálculo dos erros. O resultado das análises e o índice de efetividade (14) do estimador de erro (13), nesse exemplo encontram-se na tabela 1 a seguir: Ordem (p) de aproximação da solução Ordem (p+n) de aproximação do erro u p (eq. 7) e (eq. 15) Tabela 1 - Efetividade do Estimador de Erro para a malha 1 Os valores de estimadores apresentados foram divididos em dois grupos, n=1 e n=2, correspondentes aos espaços polinomiais em que a solução aproximada do erro é construída conforme a equação (11). Pelos resultados apresentados pode-se observar que a qualidade do erro, medida por meio do índice de efetividade, é penalizada à medida que a ordem de aproximação da solução é aumentada. Esta variação é, contudo, menos rigorosa quando se expande a ordem de aproximação do erro, caso correspondente ao estimador com n=2. Este comportamento já era esperado, pois a ampliação do espaço de aproximação do erro implica sempre na obtenção de uma solução (do erro) pelo menos equivalente àquela obtida com espaços de ordem inferiores e geralmente (como foi o caso) de melhor qualidade. Na sequência foi analisada a malha da figura 2(c), com elementos bastante distorcidos. Os resultados obtidos foram reunidos na Tabela 2: Tabela 2 - Efetividade do Estimador de Erro para a malha 2 Para as funções de erro com ordem de aproximação n=1, os índices de efetividade, quando comparados com os resultados da Tabela 1 mostraram-se piores. O mesmo não ocorreu para a ordem de aproximação do erro com n=2. Neste caso, conclui-se que a distorção da malha penalizou a aproximação do erro para o caso de n=1. Já quando n=2 a ampliação do espaço polinomial permitiu compensar os efeitos da distorção gerando índices de efetividade bastante razoáveis. e p (eq. 13) θ (eq. 14) 1 2,67421E-02 1,41160E-02 1,09731E-02 0,78 2 n = 1 2,92333E-02 7,73420E-03 3,54175E-03 0,46 3 2,96579E-02 5,90009E-03 3,22552E-03 0,55 1 2,67421E-02 1,41160E-02 1,27756E-02 0,91 2 n = 2 2,92333E-02 7,73420E-03 5,85021E-03 0,76 3 2,96579E-02 5,90009E-03 4,64855E-03 0,79 Ordem (p) de aproximação da solução Ordem (p+n) de aproximação do erro u p (eq. 7) e (eq. 15) e p (eq. 13) θ (eq. 14) 1 2,53448E-02 1,64937E-02 1,36610E-02 0,83 2 n = 1 2,95196E-02 6,55721E-03 2,84921E-03 0,43 3 2,98239E-02 4,99362E-03 2,21676E-03 0,44 1 2,53448E-02 1,64937E-02 1,47046E-02 0,89 2 n = 2 2,95196E-02 6,55721E-03 5,72372E-03 0,87 3 2,98239E-02 4,99362E-03 4,52206E-03 0,91

8 4. CONCLUSÕES Neste trabalho, os resultados das primeiras investigações do estimador de erro proposto em (Barros et al., 2004) para malhas refinadas polinomialmente são apresentados. Foram encontrados valores próximos da unidade para apenas parte das estimativas e, por isso, faze-se necessário ampliar o número e a diversidade dos problemas analisados. A contraposição dos resultados em malhas com refinamentos do tipo h e p, com elementos distorcidos ou não serão os próximos passos previstos para este trabalho. Cabe ainda registrar, que o procedimento de validação proposto foi de fundamental importância para a agilidade na obtenção e comparação dos resultados. 5. AGRADECIMENTOS Os autores reconhecem e agradecem o importante apoio das agências de pesquisa brasileiras CNPq Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico e FAPEMIG Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de Minas Gerais. 6. BIBLIOGRAFIA Ansys, acessado em setembro de Barros, F. B., Proença, S. P. B., & Barcellos, C. S. de, On error estimator and p- adaptivity in the generalized finite element method. International Journal for Numerical Methods in Engineering, vol. 60, n. 14, pp Duarte, C. A.; Oden, J.T. (1995). Hp clouds a meshless method to solve boundary-value problem, Technical report, TICAM, The University of Texas at Austin. Duarte, C. A.; Oden, J.T. (1996). Hp clouds an hp Meshless Method, em Numerical Methods for Partial Differential Equations, John Wiley & Sons, Inc., p Duarte, C. A.; Babus ka, I (2000). Generalized finite element methods for threedimensional structural mechanics problems, Computer & Structure, 77(2), p Ladevèze, P.; Maunder, E. A. W. A general method for recovering equilibrating element tractions. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, v. 137, p , Melenk, J.M.; Babus ka, I. (1996). The partition of unity finite element method: Basic theory and applications, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 39, p Oden, J. T.; Duarte, C. A.; Zienkiewicz, O. C. (1998). A new cloud-based finite element method, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 153, p Oden, J. T.; Reddy, J.N. (1976). An Introduction to the Mathematical Theory of Finite Elements, Pure and Applied Mathematics, John Willey & Sons, Inc. Strouboulis, T.; Babus ka, I.; Copps, K. (2000). The design and analysis of the generalized finite element method, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 181(1-3), p DIREITOS AUTORAIS Os autores são os únicos responsáveis pelo conteúdo do material impresso incluído no seu trabalho.