Modelagem de Campos Vetoriais Utilizando Autômatos Celulares e Elementos Finitos

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1 Modelagem de Campos Vetoriais Utilizando Autômatos Celulares e Elementos Finitos Renata Vieira Palazzo 1,2, Antônio Carlos da Rocha Costa 1, Graçaliz Pereira Dimuro 1 1 Escola de Informática Universidade Católica de Pelotas (UCPel) Rua Félix da Cunha, 412 Pelotas RS Brasil {renata,rocha,liz}@ucpel.tche.br Abstract. The main purpose of the present work is to unify Cellular Automata and the Finite Elements Method in order to represent vector fields computationally. The presented proposal consists in abstracting the differences between both approaches, through the implementation of a generic space model, where vector fields can be easily represented, integrating their concepts. Resumo. O objetivo geral do presente trabalho é a unificação do modelo de Autômato Celular com técnicas do Método dos Elementos Finitos para a representação computacional de campos vetoriais. A proposta apresentada consiste em abstrair a distinção entre as duas abordagens, através da implementação de um modelo de espaço genérico, com o qual campos vetoriais possam ser facilmente representados, integrando os conceitos das mesmas. 1. Introdução Este trabalho tem com principal objetivo a proposição e implementação de um modelo que reúna as características de duas técnicas de modelagem Autômatos Celulares e o Método dos Elementos Finitos na representação computacional de campos vetoriais, bem como de diferentes sistemas envolvendo grandezas vetoriais. O modelo proposto foi implementado na Linguagem Python, utilizando o paradigma orientado a objeto, para a validação das idéias apresentadas. Nas seções a seguir, será feita uma apresentação dos conceitos que fundamentam o trabalho e, em seguida, será apresentada uma visão geral do modelo proposto. 2. Campos Vetoriais O primeiro conceito a ser introduzido é o de campo vetorial. Uma região na qual existe exatamente um vetor associado a cada um de seus pontos constitui um campo vetorial. 2 Bolsista PIBIC/CNPq

2 Por definição [Swokowsky 1994], um campo vetorial em três dimensões é uma função F cujo domínio D é um subconjunto de R 3 e cujo contradomínio é um subconjunto de V 3. Se (x,y,z) está em D, então: r r r F( x, y, z) = M( x, y, z) i + N( x, y, z) j + P( x, y, z) k (1) onde M, N e P são funções escalares. A equação que define um campo vetorial em duas dimensões é análoga, podendo ser considerada como um caso particular de Eq. (1), onde k r = 0. Particularmente, considerou-se como foco inicial de pesquisa os campos vetoriais estáticos. Alguns exemplos destes tipos de campos, nos quais concentra-se este estudo, são alguns campos elétricos e magnéticos, cujas estruturas detalhadas são apresentadas em [Boast 64] Exemplos A Figura 1 ilustra um campo vetorial definido por uma roda girando em torno de seu eixo. A cada um dos pontos da roda corresponde um vetor velocidade. Um campo deste tipo é chamado de campo de velocidade. Apesar de serem representados apenas alguns poucos vetores na ilustração, para proporcionar uma idéia sobre o comportamento do campo, é importante observar que, segundo a definição de campo vetorial, cada um dos infinitos pontos da roda possui um vetor associado. Figura 1. Campo de velocidade definido por uma roda girando A representação de outros exemplos de campos vetoriais pode ser vista na Figura 2. Este tipo de campo vetorial é conhecido como campo quadrado inverso, um conceito bastante importante nas ciências físicas. A força da gravidade determina campos quadrados inversos. Na teoria elétrica, os campos quadrados inversos também ocorrem. Os campos ilustrados na figura poderiam representar, por exemplo, o campo elétrico gerado em torno de cargas pontuais localizadas na origem do sistema de eixos.

3 Figura 2. Campos vetoriais quadrados inversos 3. Autômatos Celulares Autômatos Celulares (ACs) são modelos utilizados freqüentemente para modelar fenômenos naturais de forma simplificada, constituindo uma alternativa para as equações diferenciais parcial comumente usadas para modelar tais fenômenos [Wolfram 1994]. Em princípio, um AC pode ser definido como uma estrutura computacional discreta, temporal e espacialmente. Sendo assim, o espaço de um AC é constituído por uma malha de células, de n dimensões, que podem assumir um estado diferente dentre um conjunto de estados pré-definidos a cada passo de tempo, de acordo com suas regras, definidas sobre uma vizinhança. Por definição, a regra de um AC é local. Assim, para atualizar seu estado, uma célula precisa conhecer apenas os estados das células da sua vizinhança. A princípio, não há restrições ao tamanho da vizinhança utilizada, mas todas as células devem ter a mesma vizinhança. Na prática, a vizinhança geralmente é composta apenas pelas células adjacentes, uma vez que a complexidade da regra cresce exponencialmente em relação ao número de células na vizinhança. Figura 3. Vizinhanças de von Neumann, Moore e Margolus Uma das questões que devem ser tratadas na construção de um determinado Autômato Celular é o problema das condições de fronteira. Na prática, sabe-se que não é possível trabalhar com uma malha infinita de células, e existirão aquelas localizadas nas fronteiras da malha que não possuirão a mesma vizinhança das demais. Para definir o comportamento de tais células, uma regra diferente pode ser criada. Assim, a

4 informação de que uma célula faz parte ou não de uma fronteira está codificada na própria célula e, dependendo desta informação, uma regra diferente será aplicada. 4. Método dos Elementos Finitos O Método dos Elementos Finitos (MEF) é utilizado principalmente na Engenharia para a modelagem de estruturas físicas e o cálculo dos deslocamentos, deformações e tensões nas mesmas. Os métodos analíticos clássicos são capazes de fornecer respostas exatas para estes problemas nos infinitos pontos de uma estrutura, porém somente para alguns casos específicos, que na maioria das vezes não correspondem às aplicações práticas. Por isso, são utilizados procedimentos aproximados, tais como o MEF, que possui um caráter geral, podendo ser aplicado independente da forma ou das condições da estrutura em estudo e apresentando resultados com uma precisão aceitável para o problema [Alves Filho 2000]. Para tratar o problema do cálculo das estruturas com o MEF, consideram-se as mesmas como sistemas discretos, subdividindo-as em partes distintas, conectadas entre si. Aqui se percebe a aproximação com os ACs, que tratam a realidade de forma similar, porém homogênea. O procedimento para o cálculo de estruturas com o MEF é o seguinte: na primeira etapa é feita a idealização da estrutura, quando são definidos os elementos que irão compor a representação discreta. A seguir, são aplicadas equações de equilíbrio, considerando que cada elemento do modelo encontra-se em equilíbrio. O próximo passo é a geração das equações simultâneas que garantem a interconexão entre os elementos. É preciso garantir que não haverá separação dos elementos que estão interligados não só nos nós, mas também nos contornos, no caso de estruturas bi ou tridimensionais. Por fim, as equações geradas são solucionadas, para o cálculo dos deslocamentos. 5. Modelagem proposta Após a introdução dos conceitos necessários, pode-se apresentar a proposta feita nesse trabalho, que consiste na integração dos conceitos de ACs e do MEF na representação de campos vetoriais. Esses dois tipos de modelo visam a criação de modelos aproximados da realidade através da discretização. O foco do trabalho é a verificação dos aspectos comuns entre os modelos estudados e a utilização de suas características, de forma combinada, para modelar não somente campos vetoriais, mas diversos tipos de situações envolvendo vetores, nas quais se possa pensar o espaço de forma discreta e os acontecimentos de forma local Representação do Espaço Conforme mencionado durante a apresentação dos modelos em que este trabalho se baseia ACs e MEF ambos tratam o espaço de forma discreta, e sua dinâmica é baseada em interações locais entre os elementos discretos que o compõem. Portanto, no modelo proposto o espaço é também representado discretamente, através de pontos. Dependendo da precisão pretendida, o número de pontos e a distância entre eles pode ser maior ou menor. Também é possível que a granularidade dos pontos seja diferente em algumas regiões do espaço, por exemplo. Na definição de ACs, a malha é regular, ou seja, todos as células têm a mesma distância entre si, mas em modelos com o MEF, é

5 possível que as malhas sejam irregulares, sendo inclusive esse o caso mais comum, já que sua utilização se dá justamente para a modelagem de estruturas físicas complexas, para as quais não existe solução analítica. O modelo definido aqui permite que sejam compreendidas malhas de quaisquer tipos, de acordo com a aplicação pretendida. Na abordagem utilizada, o espaço é criado particionado de forma regular, mas esse particionamento pode ser modificado antes que se inicie a atividade no modelo. Cada um dos pontos do espaço pode possuir um vetor e/ou um objeto associado. O objeto associado a um ponto pode ser uma carga elétrica, uma partícula etc. A princípio, seria interessante considerar que o mesmo ponto pudesse ter mais de um vetor associado, para modelar interações entre diferentes campos vetoriais que atuam na mesma região do espaço, por exemplo. No entanto, para simplificar a implementação, preferiu-se modelar esse tipo de interação criando diferentes espaços. Cada campo é modelado em um espaço, e é feita a sobreposição dos mesmos, trabalhando como se os espaços coexistissem no mesmo lugar, simultaneamente Relação entre Pontos Tanto em ACs quanto no MEF, o comportamento global do sistema é dado exclusivamente a partir das interações locais. No caso de ACs, através das regras definidas sobre a vizinhança e no caso de estruturas modeladas com o MEF, através de equações que levam em conta os nós conectados. Isso significa que não existe uma função global que define o comportamento do sistema modelado, como é o caso de uma função vetorial, que recebe como entrada as coordenadas de um ponto do espaço e dá como saída o vetor correspondente àquele ponto. Propõe-se que seja possível definir associações entre os pontos do espaço de forma homogênea ou não. Do mesmo modo, as regras que definem o comportamento de um determinado objeto ou vetor são dadas em função de outros vetores ou objetos, que se encontram nas suas proximidades. O requisito da proximidade é dado pela natureza das aplicações e não pela técnica proposta. Isso significa que, se for interessante para determinada aplicação, considerar a influência de vetores distantes, ou não adjacentes, sobre determinado vetor, por exemplo, não há restrição em criar um modelo desse tipo Regras O conjunto de regras que define a evolução de um AC é o mesmo para todas as células da malha. Nos modelos compostos por elementos finitos, pode-se pensar nas equações associadas a um nó como um conjunto de regras, que também utiliza informações sobre os vizinhos, que são os nós conectados a ele. No entanto, esse conjunto de regras é diferente para cada nó. Da mesma forma que se pode pensar em um modelo usando o MEF como um AC de regras e vizinhanças heterogêneas, no modelo proposto, permite-se que a cada vetor ou objeto do espaço seja associada uma regra diferente, de forma a possibilitar a criação tanto de modelos de ACs quanto de EFs, bem como modelos que combinem as propriedades de cada uma dessas técnicas. Essa possibilidade pode ser interessante para modelar, por exemplo, fenômenos que ocorrem em ambientes heterogêneos, permitindo que um mesmo modelo

6 compreenda regiões do espaço onde os objetos apresentam diferentes comportamentos ou sofrem diferentes ações, mas podem ser todos vistos como parte de um mesmo sistema Implementação A implementação da idéia proposta foi feita dentro do paradigma orientado a objetos, que se mostrou mais adequado, devido à clara distinção entre classes de objetos no modelo proposto. Utilizou-se a linguagem Python, devido à sua simplicidade e também ao fato de esta ser fortemente orientada a objetos. Foram definidas as classes básicas com as quais é possível aplicar os conceitos propostos à modelagem de fenômenos que podem ser representados por vetores Diagrama de Classes O diagrama de classes da Figura 4 ilustra a relação entre as classes definidas para representar computacionalmente o modelo proposto. Figura 4. Diagrama de classes A classe Ponto representa os pontos discretos do espaço. A classe Espaço é uma agregação de objetos da classe Ponto. Associado a cada Ponto do Espaço, pode haver no máximo um Vetor e um Objeto associado. A classe Ponto representa os pontos do espaço no qual o modelo está inserido. A classe Objeto é especializada na classe Objeto Pontual, destinada a representar entidades como partículas, cargas pontuais etc. Um objeto extenso, na representação adotada, é representado pela classe Objeto Composto, que constitui uma agregação de Objetos Pontuais. Esta classe é semelhante à classe Vetor, mas destina-se a especificar elementos que têm influência sobre as grandezas vetoriais presentes no sistema modelado, como cargas elétricas ou magnéticas, corpos em repouso ou movimento no espaço etc.

7 A partir dessa estrutura de classes básicas, é possível modelar sistemas de natureza vetorial através das relações entre os vetores do espaço e entre estes e os objetos do espaço que influenciam seu comportamento. 6. Exemplo Para demonstrar a utilização do modelo implementado, será apresentado um exemplo simples, que consiste na simulação do campo elétrico gerado por uma carga pontual. A Figura 5 ilustra o desenvolvimento desse exemplo. Figura 5. Criação de um campo vetorial em torno de uma carga elétrica Inicialmente, é criado um objeto representando a carga. A seguir, são inicializados os vetores nos pontos em torno da carga. A partir destes, os demais vetores são calculados. Antes de tudo, é preciso criar um Espaço. Para este exemplo, é criado um espaço bidimensional, o que implica na criação de uma série de Pontos. Após a criação do Espaço, é criado um Objeto que representa a carga elétrica, no centro do Espaço bidimensional, e são criados Vetores associados a cada um dos Pontos do Espaço. De acordo com a modelagem, as Regras ficam associadas a Vetores, e não aos Pontos. Assim, é preciso que haja Vetores associados aos Pontos para que seja possível aplicar Regras sobre estes. Por isso, todos os Pontos recebem Vetores nulos. Após a inicialização, é definida a regra pela qual os demais Vetores terão suas componentes definidas. Seu funcionamento é o seguinte: primeiramente, é preciso garantir que os Vetores nas bordas do Espaço tenham um tratamento diferente dos demais, pois suas vizinhanças são diferentes. Aqui, os Vetores das bordas permanecem nulos, sendo a influência do campo elétrico representada somente dentro dos limites do Espaço criado. Uma função auxiliar calcula a distância de cada Vetor até a carga, a partir de um atributo dist nos pontos vizinhos, atribuindo essa distância a esse Vetor e retornando o número de vizinhos deste que possuem um Vetor não nulo. A vizinhança

8 utilizada neste caso é a de Moore, onde se consideram os oito Pontos adjacentes ao Ponto central. Depois de calcular a distância do Vetor até a carga, a regra deste determina que sua intensidade seja proporcional ao inverso do quadrado da mesma. Assim, o Vetor em cada Ponto é calculado através da soma de seus vizinhos, multiplicada pelo inverso do quadrado da distância entre o Vetor e a carga. Isso é feito em cada passo de tempo. No fim da evolução, todos os pontos suficientemente próximos da carga elétrica possuem vetores associados. 7. Conclusão Com o desenvolvimento deste trabalho, foi possível observar que o modelo de ACs e o MEF, combinados, constituem uma alternativa interessante para a modelagem de campos vetoriais. O objetivo das duas abordagens é o mesmo: criar uma representação aproximada da realidade através da discretização e das interações locais. Comparando com as abordagens tradicionais de cada uma das duas técnicas utilizadas, a principal vantagem do modelo proposto é oferecer a flexibilidade na criação de regras e vizinhanças, o que permite a modelagem de sistemas heterogêneos de uma forma única, por exemplo. Dentro da estrutura implementada, é possível modelar sistemas dentro da definição formal de AC. Também é possível modelar sistemas de acordo com os procedimentos do MEF. Nesse caso, porém, a criação de regras seria trabalhosa, pois seria necessário definir os tipos de elementos finitos necessários, já que este não foi o enfoque do trabalho. O mais interessante, entretanto, é justamente utilizar a combinação destas técnicas de modelagem, para trabalhar na representação de sistemas que não se enquadram totalmente em um ou outro modelo, como é o caso de um espaço que sofre a influência de várias cargas elétricas, ou várias forças mecânicas simultaneamente, por exemplo. Não se teve a pretensão, aqui, de esgotar as possibilidades oferecidas pela abordagem proposta, mas sim oferecer uma alternativa às técnicas de modelagem comumente utilizadas para campos vetoriais. Referências Alves Filho, A. Elementos Finitos: A Base da Tecnologia CAE. São Paulo: Editora Érica, Boast, W. Vector Fields: A Vector Foundation of Electric and Magnetic Fields. New York: Harper & Row, Chopard, B. Droz, M. Cellular Automata Modelling of Physical Systems. Cambridge: University Press, Swokowsky, E. Cálculo com Geometria Analítica. São Paulo; Makron Books, Wolfram. S. Cellular Automata and Complexity: Collected Papers. Readings: Addison- Wesley, 1994.