SIMULAÇÕES COMPUTACIONAIS DE VIGA UNIDIMENSIONAL VIA SOFTWARE CATIA COMPUTER SIMULATION OF ONE-DIMENSIONAL BEAM BY SOFTWARE CATIA

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1 SIMULAÇÕES COMPUTACIONAIS DE VIGA UNIDIMENSIONAL VIA SOFTWARE CATIA Edgar Della Giustina (1) Luis Carlos Machado (2) (1) Faculdade de Tecnologia SENAI CIC; Departamento de Fabricação Mecânica (2) Faculdade de Tecnologia SENAI CIC; Departamento de Fabricação Mecânica RESUMO: O objetivo deste trabalho é modelar matematicamente e computacionalmente uma viga unidimensional submetida a esforços de tração. O modelamento é feito para analisar o comportamento desse tipo de viga. O modelamento matemática será feito por equações de elementos finitos e o modelamento computacional pelo software Catia. Foram comparados obtidos no software com resultados analíticos. Para melhorar os resultados trabalha-se com malhas de diferentes tamanhos, para que com isso seja obtido uma convergência de resultados. A malha que o software usa para modelar o elemento é uma malha de elementos finitos, sendo que essa malha pode ser linear ou parabólica. PALAVRAS-CHAVE: Simulações Computacionais, Viga, Elementos Finitos. COMPUTER SIMULATION OF ONE-DIMENSIONAL BEAM BY SOFTWARE CATIA ABSTRACT: The objective of this work is to model mathematically and computationally one-dimensional beam subjected to tensile stresses. The modeling is done to analyze the behavior of this type of beam. The mathematical modeling will be done by finite element equations and computational modeling by Catia software. Software obtained were compared with the test results. To improve the results we work with meshes of different sizes, so it is a convergence of results obtained. The grid which the software uses to shape the element is a finite element mesh, and the mesh may be linear or parabolic. KEYWORDS: Computer Simulations, Beam, Finite Elements. Anais do XIV CONEMI - Congresso Nacional de Engenharia Mecânica e Industrial

2 1. INTRODUÇÃO O presente trabalho visa modelar e analisar vigas unidimensionais submetidas a deformações causadas por forças aplicadas. A análise de deformações é um assunto de relevância no âmbito estrutural, considerando que em uma medição é importante saber o alongamento que uma peça sofreu por devido a uma força aplicada e, ainda, a escolha de um material pode ser por meio da tensão mecânica que ele sofrerá quando solicitado por um esforço. Para aplicação de vigas estruturais são interessantes estudos dos princípios teóricos e simulações numéricas, utilizando métodos computacionais. Um dos métodos computacionais consagrado é o Método dos Elementos Finitos por sua exatidão na geração de resultados numéricos. O MEF é utilizado em grande parte dos softwares de análise numérica, sendo assim, é importante conhecer os conceitos teóricos sobre o método para entender resultados gerados no software. Sem conhecer o método é difícil de entender a aproximação dos resultados e como chegar a uma convergência. O auxílio de softwares na resolução de problemas tem sido importante pelo ganho de tempo e pela sua desenvoltura na determinação de resultados. Em um primeiro momento, é importante conhecer o modelamento matemático pelo Método dos Elementos Finitos. Em outro momento, o uso do software para realizar com rapidez a resolução de problemas. 2. MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS (MEF) O Método dos Elementos Finitos é a mais eficiente ferramenta numérica de resolução de equações com condições iniciais e de contorno, equações que regem os modelos matemáticos dos sistemas físicos. Com isso, o MEF torna-se uma ferramenta poderosa e um instrumento essencial de análise estrutural. O método simula o comportamento de uma estrutura real por meio de um modelamento computacional composto de vários elementos e gerando resultados numéricos (Soriano (2009)). Segundo Assan (2003), o método dos elementos finitos surgiu como uma nova possibilidade para resolver problemas da teoria da elasticidade, superando as dificuldades e problemas inerentes aos métodos de Rayleigh-Ritz, Galerkin, diferenças finitas e resíduos ponderados. O método dos elementos finitos comumente utilizado é baseado no método de Rayleigh-Ritz e prevê a divisão do domínio da integração, contínuo, em um número finito de pequenas regiões denominadas elementos finitos, tornando o meio contínuo em discreto. A divisão do domínio é uma malha que pode ser aumentada ou diminuída variando o tamanho dos elementos. A figura 1 mostra uma placa dividida em vários elementos finitos de malha triangular. Anais do XIV CONEMI - Congresso Nacional de Engenharia Mecânica e Industrial 2

3 FIGURA 1. Malha de elementos finitos. Na figura 2 tem-se a mesma placa com o número maior de elementos. FIGURA 2. Malha de elementos finitos Refinada. 3. FORMULAÇÃO APROXIMADA DE ELEMENTOS UNIDIMENSIONAIS Conforme Chandrupatla e Belegundu (2001) e BELYTSCHKO et al. (2001), a formulação de deslocamentos no caso unidimensional do Método dos Elementos Finitos é descrita na forma da equação 1: = (1) Onde: é a matriz de rigidez; é o vetor de deslocamentos; é o vetor de forças nodais. Anais do XIV CONEMI - Congresso Nacional de Engenharia Mecânica e Industrial 3

4 A matriz de rigidez [] é escrita pela equação 2: = (2) Onde: é o módulo de elasticidade do material; é a área transversal do modelo; é o comprimento do elemento analisado; O vetor de deslocamentos {} depende do número de pontos que se deseja encontrar o valor dos deslocamentos. O vetor de forças {} varia de acordo com a quantidade de forças que será aplicada no elemento. 4. MATERIAIS E MÉTODOS O CATIA (Computer Aided Tridimensional Interactive Application.) é um dos mais poderosos softwares para desenho por computador da atualidade, sendo a principal ferramenta de grandes empresas para suas Engenharias de Produto, Manufatura e Ferramental onde todos os componentes de um projeto, são armazenados em um Espaço Virtual com três dimensões podendo ser montados antes que cada componente seja fabricado, assim elimina-se a possibilidade de erros de fabricação e montagens dos componentes além de grande rapidez na definição do projeto, é um software amplamente utilizado por vários setores da indústria a nível mundial, onde são incluídas, as montadoras de automóveis, caminhões, ônibus, tratores, etc.; a indústria naval; empresas de autopeças; usinagens de precisão e ferramentarias; fabricantes de máquinas; e a maior delas é a indústria Aeronáutica onde temos a EMBRAER com mais de 400 estações de CATIA, empregando atualmente mais de mil engenheiros e técnicos, em suas unidades no Brasil. Criado pela empresa DASSAULT SYSTEMS, fabricante dos famosos jatos de combate Mirage e Super Etendard, entre outros. A cada dia, as empresas têm adotado o software CATIA com mais frequência, devido a necessidade de comunicação entre empresas e seus fornecedores, assim a procura de profissionais com conhecimento de CATIA aumentou consideravelmente, e como o mercado é carente de profissionais habilitados, as empresas disputam entre si os poucos que existem, tornando esta, uma condição diferenciada na disputa de uma vaga. Por se tratar de um software muito versátil, possibilita o desenvolvimento completo de um projeto, desde o simples modelamento até análise mais complexas, (Revista Economia Indústria, 2012). Anais do XIV CONEMI - Congresso Nacional de Engenharia Mecânica e Industrial 4

5 5. EXEMPLO NUMÉRICO DE VIGA UNIDIMENSIONAL Nesse exemplo é analisado o comportamento de uma viga utilizando a modelagem matemática por elementos finitos com base na Teoria de (BELYTSCHKO & FISH, 2009) e depois será feita a modelagem computacional pelo Software Catia. A modelagem matemática que é apresentada mostra o deslocamento em três pontos da estrutura (extremidade fixa, ligação dos dois elementos de áreas distintas e extremidade livre). Será chamada de elemento 1 a parte que tem uma área maior e elemento 2 a parte de área menor. Os três pontos analisados serão nas duas extremidades do modelo e o ponto de encontro do elemento 1 com o elemento 2. Considera-se a viga mostrada na figura 3, no modelo contém as dimensões da estrutura modelada, sendo que as dimensões estão todas em milímetros. FIGURA 3. Dimensões da Viga. Para determinação dos deslocamentos considera-se que será aplicada uma força de 10 N na extremidade livre (direita da figura 3) e que a outra extremidade será fixa (esquerda da figura 3), conforme se observa na figura 4. Anais do XIV CONEMI - Congresso Nacional de Engenharia Mecânica e Industrial 5

6 FIGURA 4. Condições Iniciais da Viga. Com base nesse exemplo pode-se fazer a formulação via Método dos Elementos Einitos para determinar os valores dos deslocamentos. Pode-se deduzir as equações com base no Item 5, a grande diferença é que nesse exemplo existem duas áreas transversais diferentes (do elemento 1 e do elemento 2). Para diferenciar os dois elementos, chama-se o elemento de área maior e o elemento de área menor. A matriz de rigidez da área deve ser descrita na forma da equação 3: = = A matriz de rigidez da área é idêntica, mudando somente para, como pode-se observar na equação 4: = = A matriz de rigidez resultante da relação entre as duas áreas é da ordem 33. Sendo que a equação 5 é relativa ao primeiro elemento: = " E na equação 6 descreve a matriz de rigidez do segundo elemento. = " (3) (4) (5) (6) Anais do XIV CONEMI - Congresso Nacional de Engenharia Mecânica e Industrial 6

7 na equação 7: Relacionando as duas matrizes de rigidez, tem-se a matrizes de rigidez resultante mostrada = O vetor de deslocamentos {} é escrito na forma da equação 8: = ' ) ( Sendo que = 0 por estar na extremidade fixa. O vetor de forças {} é mostrado pela equação 9: = ' 0 ) Dessa forma, a matriz que rege o problema pode ser descrita conforme a equação 10: (7) (8) (9) + 0 ' 0 O material utilizado é o aço que tem módulo de elasticidade = 2,1 10. //11². A área 0 ) = ' 0 ) (10) ( do elemento 1 é de = 40011² e do elemento 2 de = 20011². O comprimento do primeiro elemento de = 6011 e do segundo = 4011, sendo assim um comprimento de No vetor de deslocamentos o primeiro valor é 0 por ser o ponto da extremidade fixa que não sofre deslocamento, os outros dois pontos de deslocamento que serão analisados estão localizados na extremidade livre do elemento 1 ( ) e do elemento 2 ( ( ). E no vetor o valor de será de 10 que é força aplicada para o estudo. Essa matriz é apresentada da seguinte forma na equação 11: ' ) = ' 0 ) (11) ( 10 Na forma de sistema de equações da equação 12: = 5 ' ( = ( = 10 Os resultados obtidos são: = 7, , ( = 1, = 10. (12) Anais do XIV CONEMI - Congresso Nacional de Engenharia Mecânica e Industrial 7

8 O ( trata-se do valor mais importante, pois é o resultado do maior deslocamento e que será comparado com o resultado do software. No software Catia, é modelado o problema usando malhas com elementos de diferentes tamanhos, tendo com isso, resultados com um pouco de diferença conforme pode se observar na tabela 1, que mostra alguns resultados obtidos. TABELA 1. Resultados de Deslocamentos. TAMANHOS DOS ELEMENTOS DE CADA MALHA (::) RESULTADOS DOS DESLOCAMENTOS MÁXIMOS (::) 150 1, , , , , Pode-se observar que não houve uma convergência para o resultado esperado, pelo fato da malha ser refinada, mas mesmo assim não convergir para o valor obtido analiticamente. Essa não convergência é mostrada no gráfico 1. A linha vermelha trata-se do resultado esperado e a linha azul do resultado obtido pelo software trabalhando-se com a mudança de tamanhos dos elementos das malhas. 2,5 2 1,5 1 0,5 0 GRÁFICO 1. Convergência de Resultados. Anais do XIV CONEMI - Congresso Nacional de Engenharia Mecânica e Industrial 8

9 Para melhorar os resultados observou-se que o software tem uma opção de seleções das arestas, para que no momento da construção da malha o software refine a malha nas extremidades que é aonde tem uma concentração de Tensão. Pode-se observar esse refino na Figura 5, que nas arestas os elementos são menores, os detalhes coloridos são as concentrações de Tensões. FIGURA 5. Viga Modelada com Elementos Finitos. Com isso, tem-se a nova tabela de resultados, que pelo fato dos resultados terem uma convergência trabalha-se com mais pontos conforme pode se observar na tabela 2. TABELA 2. Resultados de Deslocamentos com Arestas Selecionadas. TAMANHOS DOS ELEMENTOS DE RESULTADOS DOS CADA MALHA (::) DESLOCAMENTOS MÁXIMOS (::) 150 2, , , , , , ,72 1, A malha com elementos de dimensões 0,72 11, é a malha com o elemento de menor dimensão que o software aceitou para esse caso e também o melhor resultado obtido, no gráfico 2 Anais do XIV CONEMI - Congresso Nacional de Engenharia Mecânica e Industrial 9

10 mostra a convergência dos resultados mudando-se as malhas. A linha vermelha mostra a resposta esperada e a linha azul os resultados obtidos pelo software conforme se mudam as malhas. 2,5 2 1,5 1 0,5 0 GRÁFICO 2. Convergência de Resultados com a seleção das Arestas. Também são testadas malhas que os elementos são discretizados por funções parabólicas, nos outros casos mostrados acima são elementos modelados por funções lineares. A Tabela 3 mostra os resultados obtidos usando funções parabólicas para resolver o problema. Um detalhe é que pelo fato dos resultados serem melhores, as arestas continuam selecionadas. TABELA 3. Resultados de Deslocamentos com Funções Parabólicas e Arestas Selecionadas. TAMANHOS DOS ELEMENTOS DE RESULTADOS DOS CADA MALHA (::) DESLOCAMENTOS MÁXIMOS (::) 150 2,, , , , , ,72 1, vermelha. O gráfico 3 mostra a convergência dos resultados na linha para a resposta esperada na linha Anais do XIV CONEMI - Congresso Nacional de Engenharia Mecânica e Industrial 10

11 2,5 2 1,5 1 0,5 0 GRÁFICO 3. Convergência de Resultados com Funções Parabólicas e seleção das Arestas. Os resultados obtidos utilizando funções parabólicas são resultados bons, mas por se tratar de Funções Quadráticas demora-se muito mais para gerar os resultados e exige um trabalho computacional bem maior. Para esse exemplo a Função Linear seria a melhor pelo fato de chegar a resultados de deslocamentos melhores até do que com Função Parabólica com uma rapidez maior. Mas, de acordo com teorias, as Funções de maior Grau geram resultados mais confiáveis. 6. CONCLUSÃO Nesse trabalho foi realizada uma modelagem matemática e computacional usando a formulação de Elementos Finitos e fazendo a resolução numérica utilizando o Software Catia para análise estática linear de viga unidimensional submetida a esforços de Tração, possibilitando mudança as dimensões dos elementos da malha utilizada para resolução de deslocamentos da viga. Foi trabalho com várias malhas, desde uma malha grosseira com elementos de dimensões grandes, até uma malha que possibilitasse a convergência para o resultado esperado. Um detalhe que foi notado também é a importância de fazer a seleção das arestas aonde há uma concentração de Tensões. O exemplo mostrou que o Software é uma ferramenta confiável para a determinação de deslocamentos em Estruturas, desde que saiba utilizar corretamente suas funções. Novas aplicações serão geradas, especialmente para os casos da Análise de Tensões e de Simulações Dinâmicas. Anais do XIV CONEMI - Congresso Nacional de Engenharia Mecânica e Industrial 11

12 REFERÊNCIAS ASSAN, A. E. (1999). Método dos Elementos Finitos: Primeiros Passos. 2ª edição. Campinas, SP, Editora da Unicamp, p. BELYTSCHKO, T.; FISH, J. Um Primeiro Curso em Elementos Finitos. Rio de Janeiro, RH, Editora LTC, p. BELYTSCHKO, T.; LIU, W. K.; MORAN, B. Nonlinear Finite Elements for Continua and Structures. England, John Wiley & Sons Ltd, p. CHANDRUPATLA, T. R.; BELEGUNDU, A. D. (1990). Introduction to Finite Elements in Engineering. 3ª edição. Upper Saddle River, New Jersey, Prentice Hall, p. REVISTA ECONOMIA INDÚSTRIA (2012). Informações do Jornal O Estado de S. Paulo. Disponível em: Acesso em: 05 de set SORIANO, H. L. Elementos Finitos: Formulação e Aplicação na Estática e Dinâmica das Estruturas. Rio de Janeiro, Editora Ciência Moderna Ltda., p. Anais do XIV CONEMI - Congresso Nacional de Engenharia Mecânica e Industrial 12

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