Elementos Finitos. Professor: Evandro Parente Jr. Período: 2009/1

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ CENTRO DE TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ESTRUTURAL E CONSTRUÇÃO CIVIL MESTRADO EM ENGENHARIA CIVIL: ESTRUTURAS E CONSTRUÇÃO CIVIL Elementos Finitos Professor: Evandro Parente Jr. Período: 2009/1

2 INFORMAÇÕES GERAIS Aulas: Segundas 8:00-9:30h Quintas 10:00-12:00h Sala 05 Bloco 710 Professor: Evandro Parente Jr. Sala 12 Bloco 710 Tel: Ramal 23 Site: 2

3 Objetivos da disciplina Geral Fornecer os conhecimentos necessários à análise de tensões em sólidos e estruturas através do Método dos Elementos Finitos (MEF). Específicos Apresentar a formulação do MEF para análise de tensões. Mostrar os problemas e limitações do MEF. Aplicar o MEF à análise de problemas reais. Discutir a implementação computacional do método. 3

4 Conteúdo 4 Introdução ao MEF. Trabalho Virtual e Energia Potencial. Método da Rigidez Direta. Barras e treliças. Formulação do MEF para problemas 1D. Funções de forma. Integração numérica. Formulação do MEF para problemas 2D/3D. Formulação isoparamétrica. Condições de convergência e patch-test. Formulação do MEF para vigas e placas.

5 Bibliografia Básica Notas de aula. Cook, Malkus, Plesha & Witt (2002) Concepts and Applications of Finite Element Analysis, 4 a ed. Complementar Bathe (1996) Finite Element Procedures. Reddy (1993) An Introduction to the Finite Element Method. Hughes (1987) The Finite Element Method: Linear Static and Dynamic Finite Element Analysis. 5

6 Avaliação 6 Lista de exercícios (1/3). A discussão entre os alunos é encorajada. Trabalho individual, não se aceitando soluções idênticas. Não será aceita entrega fora do prazo. Trabalho final (1/3): Resumo do trabalho: 30/Abr/2009. Relatório de andamento: 28/Mai/2009. Apresentação: 22/Jun/2009. Provas escritas (1/3): AP1 23/Abr/2009. AP2 18/Jun/2009.

7 Análise de sistemas de engenharia 7 Problema físico Modelo matemático Ex: equação diferencial Modelo numérico Ex: Modelo de elementos finitos Simplificações e aproximações Discretização

8 Análise de sistemas de engenharia A seleção do modelo matemático depende da resposta a ser obtida. Exemplos: Distribuição de temperatura. Campo de tensões. Um bom modelo deve: Considerar os aspectos essenciais do problema. Desprezar os fatores secundários. Fornecer resultados próximos das respostas reais. Se as previsões do modelo não estão de acordo com as respostas reais é necessário refinar o modelo: Incluir aspectos inicialmente desprezados. 8

9 Análise de sistemas de engenharia Modelos numéricos são aproximações dos modelos matemáticos. Um método numérico é confiável se ele converge para a solução exata do modelo matemático. Garantia de convergência com o refinamento. Velocidade de convergência. Custo computacional envolvido. Facilidade de implementação e utilização. A solução numérica de um problema não pode ser melhor do que o modelo matemático utilizado. 9

10 Discretização Problema: Determinação do perímetro de um círculo. R Dividindo em n partes: α l = 2Rsen(α/2) α = 2π/n L = n l = 2πR sen(α/2) α/2 10

11 Discretização L aprox /L exato log(l aprox /L exato -1) Verifica-se que a solução converge para o resultado exato. A velocidade de convergência é boa? 11

12 Projeto estrutural Conceito Definição de uma configuração estrutural capaz de resistir às ações externas transferindo o efeitos destas ações até os apoios. Envolve a definição da geometria e materiais utilizados. Requesitos Segurança (resistência + estabilidade). Conforto e estética. Durabilidade. Economia (construção e manutenção). Viabilidade construtiva. 12

13 Ações externas Peso próprio e cargas de utilização (sobrecarga). Ações ambientais: Variação de temperatura. Forças de vento, neve, correntes marinhas, ondas,... Expansão/retração dos materiais. Protensão. Deslocamentos prescritos: Recalques de apoio. Terremotos. 13

14 Análise estrutural Conceito: Determinação das respostas mecânicas de uma estrutura devido a ações externas. Obs: a geometria e os materiais são conhecidos. Respostas mecânicas: Deslocamentos e deformações Tensões e esforços internos. Cargas e modos de flambagem. Freqüências naturais e modos de vibração. Carga de ruptura. 14

15 Importância dos métodos numéricos 15 A análise de estruturas envolve a solução de equações diferenciais parciais. Soluções analíticas exatas (fechadas) só existem em casos especiais: Geometria e condições de contorno simples. Certos tipos de carregamento. Material homogêneo. A solução de problemas reais requer a utilização de métodos numéricos (aproximados): Método das Diferenças Finitas. Método dos Elementos Finitos. Método dos Elementos de Contorno.

16 Análise por elementos finitos Malha elemento Geometria Material poios nó carregamento 16

17 Análise por elementos finitos 17 Dividir o domínio do problema em regiões (elementos finitos) de geometria simples: Triângulos, quadriláteros, tetraedros, hexaedros,... Os elementos adjacentes são conectados através dos nós. Aproximar os deslocamentos no interior dos elementos: Interpolar a partir dos valores nodais. Utilizar funções simples: lineares, quadráticas,... Obter e resolver as equações de equilíbrio em função dos deslocamentos nodais (graus de liberdade). Calcular respostas no interior dos elementos: Deformações a partir do campo de deslocamentos. Tensões a partir das deformações.

18 Vantagens do MEF Aplicação a qualquer problema de campo: Tensões, transferência de calor, percolação, etc. Não há restrição quanto a geometria do problema. Não há restrições sobre o carregamento e as condições de contorno do problema. O material pode variar de elemento para elemento. O modelo de elementos finitos parece com o corpo ou região a ser analisada. Um modelo pode incluir componentes com diferentes comportamentos: Barras, vigas, placas, cascas, sólidos, etc. A aproximação é melhorada facilmente refinando a malha de elementos finitos convergência. 18

19 Exemplo de aplicação: estrutura de edifício 19

20 Análise de um tanque esférico 20

21 Contato pneu-pavimento 21

22 Contato pneu-pavimento 22

23 Modo de vibração de um copo ABAQUS - Insights vol 7 23

24 Trem de pouso 24

25 Fuselagem 25

26 Fuselagem 26 Cargas e apoios Configuração pós-flambagem

27 Pontes 27 Depois do terremoto San Francisco Bay Bridge

28 Pontes 28

29 Simulação de colisão 29

30 Simulação de colisão 30

31 Simulação de colisão 31

32 Trabalhos de anos anteriores Bruno Barros Análise Estrutural da Fôrma de um Pilar em Concreto Armado. Verificação dos Estados Limites Último e de Utilização (deslocamentos excessivos) da forma de um pilar em Concreto Armado utilizando o MEF utilizando o programa ABAQUS/CAE. Analisar a influência dos componentes estruturais da fôrma de um pilar. Projeto de norma 02: : Fôrmas e Escoramentos para Estruturas de Concreto. 32

33 Trabalhos de anos anteriores Detalhe da estrutura Seção de 35x120cm e altura de concretagem de 2,36m. A estrutura básica da fôrma: Molde de compensado plastificado de 18 mm. Longarinas de madeira bruta serrada. Tirante metálico (parafuso). Tipo de Análise: Estática. Condições de Apoio: Deslocamento na base do pilar restringido nas três direções. Carregamento: Empuxo do Concreto. 33

34 Trabalhos de anos anteriores Modelo de Analise Carregamento (Empuxo do Concreto). Velocidade de Concretagem: 7m/h. Consistência do Concreto: 82,6 kn/m². Estado Limite Último (Tensão Admissível). Molde. 55 MPa (paralelo às camadas). 45 MPa (perpendicular às camadas). Longarinas. 37,8MPa (Compressão). 50,3MPa (Tração). Tirantes: 290 MPa. Estado Limite de Utilização (Deslocamentos excessivos). δ adm = 5mm (item NBR14931/2004). 34

35 Trabalhos de anos anteriores Três análises (Estado Limite de Utilização): Somente o Molde (δ = 165,6 mm). Molde e Longarina (δ = 7,753 mm). Molde, Longarina e Tirante (δ = 7,753 mm). 35

36 Trabalhos de anos anteriores Bruno Feijo Análise Estrutural de uma Torre de Enerfia Eólica para Operação no Estado do Ceará. Análise de uma torre de energia eólica pelo Método dos Elementos Finitos. Foi utilizado o programa ABAQUS para modelar torres com diferentes secções. Análise preliminar utilizando o FTOOL e o ABAQUS para que pudessem ser feitas algumas verificações para validar o modelo. Perfil circular cônico, com 45 m de altura, diâmetro de base 3,00 m e no topo diâmetro aproximado de 1,42 m. Material aço, com módulo de elasticidade (E) de 205 GPa e coeficiente de Poison (υ) 0,3. Variação da espessura da parede ao longo da altura. 36

37 Trabalhos de anos anteriores Modelo de Elementos Finitos Malha para os valores de 0.6, 0.4, 0.3 e 0.2 m. Engastado na base. Carga distribuída no topo da torre de 50 kn (Peso da hélice + gerador). Carga de vento estática (NBR 6123). Carregamentos atuantes Z (m ) q (N/m 2 ) 5, < 10, < 15, < 20, < 30, < 40, < 50, Modelo seccionado em sete partes: a 5, 10, 15, 20, 30 e 40 m. 37

38 Trabalhos de anos anteriores Tensões Máximas Principais Malha 0,6 Malha 0,4 Malha 0,3 Malha 0,2 38

39 Trabalhos de anos anteriores Fábio Anderson Estabilidade de Placas Laminadas. (Artigo - Cilamce 2008) Placa laminada Esquema de laminação Estudar o comportamento de placas laminadas quando submetidas a carregamentos no plano; Calcular as cargas críticas utilizando o Método dos Elementos Finitos (MEF). Compara a solução numérica obtida pelo MEF com solução de 39

40 Trabalhos de anos anteriores Modelo de elementos finitos Carregamento biaxial Elemento (Q8) z Condição de Apoio: Simplesmente apoiada y h Nó L L 40

41 Trabalhos de anos anteriores 41 Placa com laminação simétrica cross-ply (0/90)s E 1 /E 2 Analítica FEMOOP ABAQUS Erro FEMOOP Erro ABAQUS Compressão Uniaxial (k = 0) % -0.70% % -1.16% Compressão Biaxial (k = 1) % -0.69% % -1.15% 1º Modo de flambagem da placa para o carregamento uniaxial: ABAQUS FEMOOP

42 Trabalhos de anos anteriores Paulo Filho Método dos Elementos Finitos em Estruturas de Concreto: Revisão Bibliográfica e Exemplo de Aplicação do Método. Verificação das tensões na região de furos que atravessam vigas de concreto na direção de sua largura. São adotados como parâmetro para a dispensa de verificação das tensões em torno dos furos as recomendações da NBR 42

43 Trabalhos de anos anteriores Modelagem da viga de concreto. Verificação de um furo maior que o diâmetro mínimo recomendado pela NBR Dimensão do furo de no máximo 12 cm e h/3; Malha Carregamento Apoios 43

44 Trabalhos de anos anteriores 44 Distribuição das tensões σ xx na viga. Diagrama de tensões σ xx na região do furo onclusão: As recomendações a NBR 6118 foram confirmadas elo modelo numérico.

45 Utilização do MEF 45 Análise preliminar: Obter uma solução aproximada do problema. Modelo analítico simplificado, fórmulas, análise experimental, análises anteriores, etc. Análise por elementos finitos: Pré-processamento: Modelagem: geometria, apoios, carregamento, materiais,... Geração de malha. Análise numérica. Pós-processamento: Deformadas, modos de vibração/flambagem, animações,... Contornos e gráficos de tensões.

46 Utilização do MEF Verificação dos resultados Avaliação qualitativa: A resposta parece certa? Deslocamentos (deformada). Tensões. Existem erros grosseiros? O problema desejado foi resolvido? Ou foi outro problema? O campo de deslocamentos satisfaz as condições de contorno esperadas? Ex: deslocamentos e rotações nulas nos apoios. As simetrias esperadas estão presentes nas respostas? 46

47 Utilização do MEF Verificação dos resultados (cont.) Avaliação quantitativa Comparar resultados de EF com as soluções preliminares. Verificar se o nível de discretização é satisfatório: Continuidade do campo de tensões. Estimadores de erros. Revisão do modelo: Eliminar os erros grosseiros Dados de entrada (apoios, propriedades dos materiais,...) Melhorar o modelo de elementos finitos. Refinar a malha. 47

48 Utilização do MEF 48 INÍCIO Considerar o problema físico. Criar ou melhorar um modelo matemático. Obter resultados aproximados para comparação com os resultados da análise pelo MEF. Planejar a discretização do modelo matemático. Física EF PRÉ-PROCESSAMENTO Qual é a falha? Compreensão física ou modelagem? NÃO Os erros estão pequenos? Alterar a malha modificaria pouco os resultados? Discretizar mais a malha. ANÁLISE PELO MEF SIM SIM PARAR Os resultados estão livres de erros grosseiros? Estão razoáveis do ponto de vista físico? PÓS-PROCESSAMENTO

49 Utilização do MEF Por que estudar a teoria do MEF? Existem programas comerciais utilizados a bastante tempo. Intensivamente testados: fabricantes e usuários. Os programas atuais possuem interface amigável. Sua utilização não requer grandes conhecimentos. A obtenção de resultados confiáveis requer: Conhecimento do comportamento estrutural: Mecânica, resistência dos materiais, teoria das estruturas,... Conhecimento do MEF: Comportamento dos elementos utilizados. Características dos algoritmos de análise. Limitações e aproximações utilizadas pelo programa. 49

50 Modelos para análise de estruturas Questões envolvidas: Geometria. Cinemática: Deslocamentos. Rotações. Comportamento dos materiais. Relação tensão-deformação. Carregamento. Condições de contorno: Apoios. Carregamento. 50

51 Modelos para análise de estruturas 51 Contínuos ou sólidos: Barra (1D). Estado Plano de Tensão. Estado Plano de Deformação. Sólido axissimétrico. Sólido 3D. Estruturais: Vigas. Pórticos. Placas. Cascas.

52 Tipos de análise Estático x dinâmico As cargas atuantes são periódicas ou impulsivas? A estrutura é muito flexível? A freqüência do carregamento é próxima a da estrutura? O comportamento do material é dependente do tempo? Linear x não-linear Os deslocamentos/rotações são grandes? Qual a magnitude das deformações? A região apoiada depende da deformação? A relação tensão-deformação pode ser considerada linear? O material sofre deformações permanentes? Existe a formação de trincas? 52

53 Tipos de análise Acoplada (multi-física) x desacoplada Termo-mecânico. Solo-estrutura. Fluido-estrutrura. Piezoelétrico. Estado da prática: Depende do ramo de aplicação. Engenharia civil: estática, linear e desacoplada. Análise dinâmica: terremotos, edifícios altos,... Análise não-linear: problemas especiais. 53

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