Métodos Sem Malha e Método dos Elementos Finitos Generalizados em Análise Não-Linear de Estruturas

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1 Métodos Sem Malha e Método dos Elementos Finitos Generalizados em Análise Não-Linear de Estruturas Felício Bruzzi Barros Tese apresentada à Escola de Engenharia de São Carlos da Universidade de São Paulo, como parte dos requisitos para a obtenção do título de Doutor em Engenharia de Estruturas. ORIENTADOR: Prof. Dr. Sergio Persival Baroncini Proença São Carlos 2002

2 À minha família: Dora, pais e irmão.

3 Agradecimentos Ao Prof. Sergio Persival Baroncini Proença pela orientação precisa e competente, pelo tempo dedicado e amizade concedida. Por compreender as particularidades de minhas viagens e se preocupar com algo mais do que apenas o doutorado. Ao Prof. Clovis Sperb de Barcellos pela paciência e disponibilidade guiando-me pelo matematiquês da formulação do Método dos Elementos Finitos. Aos funcionários do Departamento de Estruturas da Escola de Engenharia de São Carlos e, especialmente, à Maria Nadir Minatel pela relação cordial e simpatia nos auxílios prestados. Àqueles que conheci e que foram mais do que simplesmente colegas de curso. Agradeço, de modo particular, às minhas colegas de sala, Cristina, Maria Cristina e Ana Rita pela amizade sincera e companheirismo, concedendo um significado especial aos anos dedicados ao doutorado. Ao CNPq pelo apoio financeiro. Aos meus Pais pelo apoio integral, fonte inesgotável de incentivos e conselhos, viabilizadores das idas e vindas Minas-São Paulo. Ao meu irmão, Paulo José, pela amizade enriquecida à distância e a mão estendida em qualquer ocasião. À Dora pelo tempo de namoro e casamento ainda que intermitente, pelos telefonemas, visitas e sonhos compartilhados. Pela espera conduzida com muito amor e delicadeza. A Deus por enriquecer minha vida com tantas pessoas e possibilidades. Por tudo que tenho a agradecer, entre vitórias e fracassos.

4 Resumo BARROS, F. B. (2002). Métodos Sem Malha e Método dos Elementos Finitos Generalizados em Análise Não-Linear de Estruturas. São Carlos. 222p. Tese (Doutorado) - Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo. O Método dos Elementos Finitos Generalizados, MEFG, compartilha importantes características dos métodos sem malha. As funções de aproximação do MEFG, atreladas aos pontos nodais, são enriquecidas de modo análogo ao refinamento p realizado no Método das Nuvens hp. Por outro lado, por empregar uma malha de elementos para construir as funções partição da unidade, ele também pode ser entendido como uma forma não convencional do Método dos Elementos Finitos. Neste trabalho, ambas as interpretações são consideradas. Os métodos sem malha, particularmente o Método de Galerkin Livre de Elementos e o Método das Nuvens hp, são introduzidos com o propósito de estabelecer os conceitos fundamentais para a descrição do MEFG. Na seqüência, apresentam-se aplicações numéricas em análise linear e evidenciam-se características que tornam o MEFG interessante para a simulação da propagação de descontinuidades. Após discutir os modelos de dano adotados para representar o comportamento não-linear do material, são introduzidos exemplos de aplicação, inicialmente do Método das Nuvens hp e depois do MEFG, na análise de estruturas de concreto. Os resultados obtidos servem de argumento para a implementação de um procedimento p-adaptativo, particularmente com o MEFG. Propõe-se, então a adaptação do Método dos Resíduos em Elementos Equilibrados à formulação do MEFG. Com vistas ao seu emprego em problemas não-lineares, algumas modificações são introduzidas à formulação do estimador. Mostra-se que a medida obtida para representar o erro, apesar de fundamentada em diversas hipóteses nem sempre possíveis de serem satisfeitas, ainda assim viabiliza a análise não-linear p-adaptativa. Ao final, são enumeradas propostas para a aplicação do MEFG em problemas caracterizados pela propagação de defeitos. Palavras-chave: Método dos Elementos Finitos; Métodos sem Malha; Análise nãolinear; Mecânica do Dano; Estimador de Erro; Adaptatividade.

5 Abstract BARROS, F. B. (2002). Meshless Methods and Generalized Finite Element Method in Structural Nonlinear Analysis. São Carlos. 222p. Thesis (Doctoral) - São Carlos School of Engineering, University of São Paulo. The Generalized Finite Element Method, GFEM, shares several features with the so called meshless methods. The approximation functions used in the GFEM are associated with nodal points like in meshless methods. In addition, the enrichment of the approximation spaces can be done in the same fashion as in the meshless hp-cloud method. On the other hand, the partition of unity used in the GFEM is provided by Lagrangian finite element shape functions. Therefore, this method can also be understood as a variation of the Finite Element Method. Indeed, both interpretations of the GFEM are valid and give unique insights into the method. The meshless character of the GFEM justified the investigation of meshless methods in this work. Among them, the Element Free Galerkin Method and the hp-cloud Method are described aiming to introduce key concepts of the GFEM formulation. Following that, several linear problems are solved using these three methods. Such linear analysis demonstrates several features of the GFEM and its suitability to simulate propagating discontinuities. Next, damage models employed to model the nonlinear behavior of concrete structures are discussed and numerical analysis using the hp-cloud Method and the GFEM are presented. The results motivate the implementation of a p-adaptive procedure tailored to the GFEM. The technique adopted is the Equilibrated Element Residual Method. The estimator is modified to take into account nonlinear peculiarities of the problems considered. The hypotheses assumed in the definition of the error measure are sometimes violated. Nonetheless, it is shown that the proposed error indicator is effective for the class of p-adaptive nonlinear analysis investigated. Finally, several suggestions are enumerated considering future applications of the GFEM, specially for the simulation of damage and crack propagation. Keywords: Finite Element Method; Meshless Method; Nonlinear Analysis; Damage Mechanics; Error Estimator; Adaptivity.

6 Sumário Lista de Figuras Lista de Tabelas Lista de Símbolos iv vii viii 1 Introdução Considerações Iniciais Quanto aos Métodos Numéricos: Sem Malha e dos Elementos Finitos Generalizados Quanto à Mecânica dos Materiais Organização do Texto Fundamentos dos Métodos Numéricos Método dos Mínimos Quadrados Móveis (MMQM) Famílias de Funções do Método das Nuvens hp (I k,p N ) Formulação de Galerkin para Problemas de Valor de Contorno e Emprego dos Métodos Sem Malha Integração Numérica Método dos Elementos Finitos Generalizados A Formulação Experimentos Numéricos em Análise Linear Métodos Sem Malha Aplicados no Estudo da Associação Contínua de Painéis Parede e Pórtico Análise numérica Problemas de Elasticidade Linear Estática - Análise Bi-Dimensional pelo MEFG i

7 Sumário ii Efeito da Distorção da Malha de Elementos Chapa com Orifício Cisalhamento de uma Chapa Chapa em L Considerações Complementares Modelo Constitutivo Conceitos da Mecânica do Dano Contínuo Modelo de Mazars Modelo de La Borderie Abordagem Não-Local Experimentos Numéricos em Análise Não-Linear Viga em Concreto Armado Análise pelo Método das Nuvens hp Problema Não-Linear Integração Numérica na Seção Transversal Análise Numérica Análise Bi-dimensional com do MEFG Análise Numérica Chapa de Concreto Tracionada Estimador de Erro Conceitos e Definições para o Estudo de Erro Estimadores de Erro e Adaptatividade Estimadores de Erro no MEF Estimadores de Erro no MEFG Estimador de erro no MEFG - Escolha e Justificativa Método dos Resíduos em Elementos Equilíbrio dos Resíduos Estratégia de Equilíbrio de Ladevèze & Maunder Algoritmo Adaptativo Exemplos Numéricos Viga Engastada Chapa com Orifício

8 Sumário iii 6.6 Medida de Erro em Análise Não-Linear Estratégia de Estimativa do Erro Algoritmo Adaptativo Considerações sobre a Transferência das Variáveis Exemplo Numérico Chapa de Concreto Comprimida Chapa com Entalhe Considerações Finais Síntese e Conclusões Dano e Fratura Outras Propostas de Futuros Desenvolvimentos Referências Bibliográficas 161 A Formulação Tangente para o Modelo de Mazars 1 B Partição da Unidade 4 C Solução do Sistema de Equações no MEFG 6 D Espaço de Aproximação Polinomial 10 E Discussão Sobre o Erro A Priori 11 F Detalhes da Implementação do MEFG 13 F.1 Convergência no Método de Newton-Raphson F.2 Consideração da armadura G Interpretação do Estimador do MRE 16 H Equilíbrio do Vetor de Forças Generalizadas 18 I Transferência de Valores Associados aos Pontos de Gauss 21 J Solução na Vizinhança de Trinca em Elasticidade Bi-Dimensional 23

9 Lista de Figuras 2.1 Método dos Mínimos Quadrados Móveis Representação das nuvens em R Setores da função de forma φ j - parâmetros empregados: m = 3, R j = 1,6h, h distância entre os nós - Observar que φ j verifica a condição do δ ji para o caso ilustrado em que m = n, o que nem sempre é verdadeiro Partição da Unidade a partir dos elementos finitos em R Esquema de enriquecimento da Partição da Unidade Associação parede-pórtico Discretização da associação parede e pórtico Influência da rigidez relativa K r Geometria das estruturas propostas - sem unidades Discretizações propostas Chapa com orifício Gráficos comparativos MEF x MEFG Estudo quanto ao travamento de Poisson Análise quanto ao travamento de Poisson Chapa em L - geometria e malhas utilizadas nas seqüências de refinamento consideradas Análises para diversos tipos de refinamento Elemento de volume representativo Relação constitutiva Representação das diferenças entre análise local e não-local. Curvas de força F e deslocamento no meio do vão u, com a respectiva distribuição de dano iv

10 Lista de Figuras v 4.4 Análise não-local em estrutura com simetria Viga em concreto armado - geometria e armação - medidas em cm Abordagem uni-axial Sistema de estratos Análises estáticas - resultados experimentais de ÁLVARES (1993) Análises dinâmicas Condições de contorno e malha de elementos adotadas Curvas de σ ε variando-se A T Análise estática Mapa da distribuição do dano Chapa de concreto - geometria e condições de contorno - medidas em mm Malhas utilizadas para a análise - medidas em mm Mapa da distribuição do dano Superfície representativa do dano Decomposição de ˆΘ K j = a ˆΘK j + b ˆΘK j Processo de balanceamento das forças ˆΘ K j respeitando-se o equilíbrio nodal Malha formada por 10 elementos regulares quadrangulares Índices locais de efetividade da malha da Figura 6.3, para cada elemento Índice de efetividade de MRE 2 para uma seqüencia de 3 malhas aninhadas Índices locais de efetividade - Malha de elementos distorcidos Malha de elementos adotada Índices locais de efetividade - malha com aproximação linear Erro relativo para as iterações dos refinamentos adaptativos Resultado final do refinamento p-adaptativo, MRE p Interpretação geométrica para a estimativa do erro no caso uni-axial Chapa de concreto - geometria e condições de contorno - medidas em mm Relação uni-axial tensão deformação Malhas utilizadas - medidas em mm Resposta global da estrutura

11 Lista de Figuras vi 6.16 Mapa da distribuição do dano no passo Índice de efetividade global em cada passo Chapa de concreto com entalhe - geometria e solicitação - medidas em mm Malha e condições de contorno utilizadas para a análise Resposta global da estrutura Discretizações definidas pelo algoritmo adaptativo Distribuição do dano ao final do carregamento (F = 18,5 kn) Malha e condições de contorno utilizadas para a análise Confrontação dano fratura Zona de processo de danificação D.1 Monômios representados F.1 Aço embutido nos elementos finitos com o material concreto

12 Lista de Tabelas 3.1 Tempo de processamento para as várias distribuições nodais (NN) com os métodos sem malha K r = 20, p = Esforço cortante no pórtico - K r = 20, base P k= Esforço momento fletor na parede- K r = 20, base P k= Esforço cortante no pórtico - K r = 20, família I k=0,p=2 N Esforço momento fletor na parede - K r = 20, família I k=0,p=2 N Resultados para o MEF de LEE; BATHE (1993) e MEFG Resultados comparativos para a energia de deformação normalizada, entre o MEF, SZABÓ; BABUŠKA (1991) e o MEFG, ( U p E/σ 2 a 2 t ). Solução analítica exata normalizada de SZABÓ; BABUŠKA (1991) UE/σ 2 a 2 t = 7, Análises pelo MEFG enriquecido polinomialmente. Para ν = 0,3000 tem-se U = 0, N mm e para ν = 0,4999, U = 0, N mm, DUARTE (1991) Resultados numéricos comparativos para a energia de deformação normalizada, ( U p E/A 2 1a 2λ 1 t ), entre o MEF, SZABÓ; BABUŠKA (1991) e o MEFG. Solução analítica exata de UE/A 2 1a 2λ 1 t = 4, obtida de SZABÓ; BABUŠKA; CHAYAPATHY (1989) ) Resultados para a energia de deformação, (ŨE/A 1a 2λ 1 t, através do MEFG. Solução analítica exata, SZABÓ; BABUŠKA; CHAYAPATHY (1989) UE/A 2 1a 2λ 1 t = 4, Parâmetros do material (c concreto e s aço) Índices globais de efetividade para as iterações dos refinamentos adaptativos - MRE p vii

13 Lista de Símbolos A α parâmetros do material no modelo de La Borderie a ser identificado A C, B C parâmetros característicos do material na compressão uni-axial para o modelo de Mazars A T, B T B α b i y parâmetros característicos do material na tração uni-axial para o modelo de Mazars parâmetros do material no modelo de La Borderie a ser identificado parâmetros nodais de deslocamentos generalizados, das funções enriquecedoras C, C e C G constantes usadas na estimativa a priori do erro C k C l 0 Espaço de funções com derivadas contínuas até a ordem k Espaço de funções com derivadas de suporte compacto e contínuas até a ordem l C min(k,l) 0 Espaço de funções com derivadas de suporte compacto e contínuas até a ordem min(k, l) c i parâmetros nodais generalizados das funções teste enriquecedoras c x jα e cy jα parâmetros associados às funções de trinca para o modo II D variável escalar de dano D 1 e D 2 variáveis de dano à tração e compressão do modelo de La Borderie d a D C D n D T tamanho do maior agregado no concreto dano associado ao estado uni-axial de compressão no modelo de Mazars Variável de dano segundo a direção do vetor n dano associado ao estado uni-axial de tração no modelo de Mazars d x jα e dy jα parâmetros associados às funções de trinca para o modo I d x j e dy j E 0 F f parâmetros associados às funções não polinomiais introduzidas ao enriquecimento módulo de elasticidade do material íntegro força concentrada função prescrita em Ω para o PVC viii

14 Lista de Símbolos ix F α critério de evolução de D α (α = 1, 2) F f F w f d G g(x) parcela da força F absorvida pelo pórtico parcela da força F absorvida pela parede função que descreve as condições de abertura e fechamento das micro-fissuras no modelo de La Borderie módulo de elasticidade transversal função de ponderação empregada na análise não-local G 1 (z 1 ) e G 2 (z 2 ) funções de encruamento no modelo de La Borderie G j g k H h h min h j i fim J(x) j w K r k r L α l c L ji m N n(x) n υ p K p i conjuntos abertos que definem o suporte das funções da PU funções prescritas em Ω para o PVC altura da estrutura formada pela associação parede e pórtico dimensão característica da discretização do domínio min j=1,,n h j dimensão característica associada à nuvem ω j contador que se for igual ao número de nuvens ou elementos indica a divergência do procedimento adaptativo funcional do erro ponderado de aproximação em x regidez à flexão equivale a k r H rigidez relativa entre o pórtico e a parede tamanho do lado α do elemento finito comprimento característico do material corresponde à i-ésima função que multiplica a PU do nó x j, podendo ser polinomial ou não número de funções que forma a base P número de pontos nodais do conjunto Q N número de pontos nodais do sub-conjunto Q n(x) definido com relação a x variável que se for igual a 0 indica que υ deve ser diminuído ordem polinomial mais baixa das funções de aproximação das nuvens que contêm o elemento K função da base P

15 Lista de Símbolos x p ωj q q f q j (p) q j (p) q w R j r nl S β s f t ordem polinomial da aproximação da nuvem ω j força distribuída parcela da força q absorvida pelo pórtico número de funções enriquecedoras no Método das Nuvens hp e MEFG para a nuvem ω j número de polinômios enriquecedores no Método das Nuvens hp e MEFG para a nuvem ω j e com a ordem polinomial p máxima que se deseja representar parcela da força q absorvida pela parede raio da região de influência ou nuvem do ponto x j raio da análise não-local conjunto de funções obtidas pelo produto de I j pela PU no elemento β rigidez ao cisalhamento tempo T OL erro tolerância admitida para o erro relativo global T OL U tolerância para a energia de deformação usada para o controle do equilíbrio no Método de Newton-Raphson u(x) u x i u j Função contínua parâmetros nodais de deslocamentos generalizados valores que u(x) assume em x = x j u p (x) Função aproximadora que representa exatamente o espaço de polinômios com grau máximo p u x e u y u x u x u y u y v funções de deslocamentos nas direções x e y derivada primeira dos deslocamentos em x, com relação à direção x derivada segunda dos deslocamentos em x, com relação à direção x derivada primeira dos deslocamentos em y, com relação à direção x derivada segunda dos deslocamentos em y, com relação à direção x funções de teste do Método de Galerkin V (r nl ) volume do material compreendido dentro de uma região de raio r nl v i v x e v y parâmetros nodais generalizados das funções teste funções de teste nas direções x e y w(x j ) peso do ponto x j da quadratura de Gauss

16 Lista de Símbolos xi W j Y i Y oα z 1 e z 2 função peso do método dos MQM variável associada a D i (i = 1, 2) no modelo de La Borderie parâmetros do material no modelo de La Borderie a ser identificado medidas de dano acumulado no modelo de La Borderie Z α variável associada a z α (α = 1, 2) A(x) A N b matriz empregada na formulação do método dos MQM matriz obtida das funções PU e que estabelece a relação entre b θ e c Θ força de volume b θ vetor que contém as tensões nodais aˆθk j B j (x) vetor empregado na formulação do método dos MQM C C 0 c Θ E e i e p G H I I K matriz das propriedades constitutivas matriz com as propriedades elásticas do material íntegro vetor que contém as forças nodais a ˆΘK j tensor de deformações erro aproximado da iteração i do procedimento de Babuška função de erro da aproximação u p sub-matriz de M nos métodos sem malha, oriunda da aplicação do Método dos Multiplicadores de Lagrange vetor que representa a derivada da variável dano com relação às deformações principais matriz identidade vetor dos indicadores de erro nodais generalizados I ωj K K K K er K ɛ M K j n P p parâmetros da função indicadora de erro ẽ p associados à nuvem ω j matriz de rigidez do elemento para ordem p matriz de rigidez para o problema de cálculo do indicador de erro no MRE matriz gerada da perturbação de K no procedimento de Babuška momento no elemento K das forças nodais generalizadas F j para cada nível de enriquecimento versor que descreve a orientação do contorno base de funções conjunto de funções p i

17 Lista de Símbolos xii P k conjunto de monômios que geram o espaço P k P p R K conjunto de monômios que geram o espaço P p vetor das forças residuais nodais generalizadas r Γ r Ω r i t U u U i função dos resíduos do PVC no contorno Γ N função dos resíduos do PVC no domínio Ω resíduo da iteração i do procedimento de Babuška Σn, tensão sobre o contorno normal a n vetor dos parâmetros (deslocamentos) generalizados do problema aproximado [ ] T ux u y, o vetor das funções de deslocamentos nas direções x e y solução da iteração i do procedimento de Babuška U x e U y vetor dos parâmetros nodais dos deslocamentos generalizados na direção x e y V v x vetor das parâmetros generalizados das funções de teste [ vx v y ] T, o vetor das funções de teste nas direções x e y posição do domínio Ω x p posição do centróide das massas (m a, m b, m c, m d ) F K M Û t I K t K K er t R K t r Γ t r Ω F ext F int vetor de forças generalizadas para os método sem malha matriz de rigidez generalizada para os método sem malha matriz de massa consistente generalizada para os métodos sem malha vetor que contém os parâmetros nodais generalizados U e os multiplicadores de Lagrange λ nos métodos sem malha vetor dos indicadores de erro nodais generalizados no passo t matriz de rigidez para o problema de cálculo do indicador de erro no MRE no passo t vetor das forças residuais nodais generalizadas no passo t função dos resíduos do PVC no contorno Γ N para o passo t função dos resíduos do PVC no domínio Ω para o passo t vetor de forças externas generalizadas no MEFG vetor de forças internas generalizadas no MEFG tũ (it) (x) valor da função u na iteração i t do passo de tempo t K matriz de rigidez

18 Lista de Símbolos xiii (m a, m b, m c, m d ) pesos atrelados a cada um dos lados de um elemento quadrilátero para o equilíbrio do resíduo F K Ū vetor obtido a partir de F, pela normalização da diagonal de K, no procedimento de Babuška matriz obtida pela normalização da diagonal de K, no procedimento de Babuška vetor obtido a partir de U, pela normalização da diagonal de K, no procedimento de Babuška Ü x e Ü y vetor dos parâmetros nodais das acelerações generalizados na direção x e y ü x ü y Ḋ u x u y û e ˆt ẽ p Ẽ (K) aceleração na direção x aceleração na direção y taxa de dano velocidade na direção x velocidade na direção y deslocamento e tração prescritos estimativa para o função de erro da aproximação u p indicador de erro local definido para o elemento K Ẽ (ωj ) ũ(x) F ext F int t F ext t F int t Û t F ext t F int t U indicador de erro local definido para a nuvem ω j Função aproximadora vetor de forças externas generalizadas nos método sem malha vetor de forças internas generalizadas nos método sem malha vetor de forças externas generalizadas nos métodos sem malha no instante t vetor de forças internas generalizadas nos métodos sem malha no instante t vetor de deslocamentos generalizados nos métodos sem malha no instante t vetor de forças externas generalizadas no MEFG no instante t vetor de forças internas generalizadas no MEFG no instante t vetor de deslocamentos generalizados no MEFG no instante t x F K j e y F K j componentes nodais j nas direções x e y da contribuição do elemento K para o vetor de forças generalizadas F t b tˆt t K(i t) sec forças de volume no passo t tensões de superfície no passo t matriz de rigidez generalizada dos métodos sem malha, na forma secante, no instante de tempo t e iteração i t

19 Lista de Símbolos xiv t K(i t) tg t e p t K (it) sec t u t u p tẽ p I k,p N F e G matriz de rigidez generalizada nos métodos sem malha, na forma tangente, no instante de tempo t e iteração i t erro da solução t u p ao final do passo t matriz de rigidez generalizada no MEFG, na forma secante, no instante de tempo t e iteração i t solução exata obtida ao final do passo t solução aproximada obtida ao final do passo t aproximação para o erro da solução t u p ao final do passo t família de funções Nuvens-hp formada pela PU {φ j (x)} N j=1 geradora do espaço P k e com capacidade de representar de forma exata polinômios do espaço P p funções auxiliares para o cálculo da lei de evolução do dano no modelo de Mazars F T, F C, G T e G C funções auxiliares para o cálculo da lei de evolução do dano no modelo de Mazars para a tração e compressão H I j K K N j P k P p Q espaço de Hilbert conjunto de funções L ji elemento finito elemento vizinho ao elemento K funções de forma do MEF e empregadas como PU no MEFG espaço polinomial de grau máximo k espaço polinomial de grau máximo p conjunto de pontos nodais R K x e R K y resultantes das forças que agem sobre o elemento K, na direção x e y respectivamente U U W ext energia de deformação energia de deformação trabalho realizado pelas forças externas R η conjunto dos números reais com dimensão η = 1, 2 ou 3 Ω Ũ X Q n(x) sub-conjunto aberto de R η energia de deformação da solução aproximada sub-espaço de dimensão finita de H sub-conjunto de Q N

20 Lista de Símbolos xv α C α i α T ε eq coeficiente do dano na compressão no modelo de Mazars parâmetro da combinação linear no MMQM coeficiente do dano na tração no modelo de Mazars valor não-local da deformação equivalente β 1 e β 2 parâmetros do material relacionados à formação de deformações residuais no modelo de La Borderie χ δs δs D Energia livre de Gibbs área da interseção entre o elemento representativo de volume e qualquer um de seus planos normais a n parcela de δs que não resiste às solicitações internas ũ (it) (x) acréscimo da função u na iteração i t b (it) ji t u (it) j acréscimo do parâmetro b ji na iteração i t passo de tempo acréscimo do parâmetro u j na iteração i t δ medida de abertura do entalhe Û (it) acréscimo do vetor de deslocamentos generalizados nos métodos sem malha na iteração i t δ ij U (it) ɛ Γ Γ N Γ u κ Delta de Kronekcer, δ ij = 1 se i = j e δ ij = 0 se i j acréscimo do vetor de deslocamentos generalizados na iteração i t perturbação dada à matriz K no procedimento de Babuška contorno do domínio Ω região do contorno em que as condições de Neumman são definidas região do contorno em que as condições de Dirichlet são definidas parâmetro que depende do coeficiente de Poisson e vale 3 4ν para EPD e (3 ν)/(1+ ν) para EPT λ u 1 multiplicador de Lagrange para deslocamentos associado ao nó 1 λ θ multiplicador de Lagrange para as derivadas dos deslocamentos (rotações) λ θ 1 multiplicador de Lagrange para rotações associado ao nó 1 λ u λ k E % multiplicador de Lagrange para os deslocamentos multiplicadores de Lagrange erro relativo global

21 Lista de Símbolos xvi ν ω j coeficiente de Poisson do material íntegro região de influência ou nuvem das aproximações associadas à PU do nó x j φ j (x) função de aproximação associada ao nó x j Π ψ ρ energia potencial total classe de funções que define uma PU número inteiro que corresponde à quantidade mínima da sobreposição das nuvens ρ x e ρ y funções das distâncias em x e em y de cada posição do domínio Ω com relação a (x 0, y 0 ) ρ x j e ρy j σ ef σ f θ θ K υ ε i ε d0 ε d ε eq distâncias em x e em y entre o nó x j e uma posição qualquer (x 0, y 0 ) do domínio Ω tensão efetiva tensão de fechamento das micro-fissuras no modelo de La-Borderie índice de efetividade índice de efetividade para o elemento finito K parâmetro que controla a velocidade do refinamento no processo adaptativo deformação principal i deformação equivalente limite para o material íntegro deformação equivalente limite para a evolução do dano nos pontos já danificados deformação equivalente (Φ 0 p+1) T ω j funções de aproximação da função indicadora de erro ẽ p associadas à nuvem ω j α Φ φ j ψ j vetor contendo os parâmetros α i vetor das funções de aproximação vetor das funções de forma associadas ao nó x j vetor das funções resultantes do enriquecimento de N j σ def = { σ x σ y σ xy } vetor de tensões definido para problemas de estado plano σ tg Θ K θ K forma compacta do tensor de tensões obtida pela forma tangente da relação constitutiva vetor de forças nodais generalizadas de correção para o equilíbrio tensões de correção do equilíbrio para o elemento K ε def = { ε x ε y γ xy } vetor de deformações definido para problemas de estado plano ε e e ε a ε parcela de deformações elástica e anelástica vetor das taxas de variação das deformações principais com o tempo

22 Lista de Símbolos xvii Π Σ Ω funcional modificado de Π com a introdução dos multiplicadores de Lagrange tensor de tensões domínio fechado e limitado em R η λ ux uy e λ vetor dos parâmetros nodais dos multiplicadores de Lagrange para os deslocamentos u x e u y λ ux e σ ε uy λ vetor dos parâmetros nodais da segunda taxa de variação no tempo dos multiplicadores de Lagrange taxas do tensor de tensões taxas do tensor de deformações ˆΘ K j M Ω Ẽ % α θ K α θ K j vetor com os valores de ˆΘ K associados ao nó x j momento das forças atuantes sobre o elemento K contorno suave de Ω erro relativo estimado global tensões θ K na face α do elemento K valor que α θ K assume no ponto nodal x j a ˆΘK j parcela de ˆΘ K j atuante sobre a face a do elemento K Operadores ( ) produto interno [t( )] operador do salto das tensões calculadas na face comum a dois elementos K e K onde se tem o campo de deslocamento aproximado por e B(, ) forma modificada de B(, ) após a aplicação do método dos Multiplicadores de Lagrange l( ) a b B forma modificada de l( ) após a aplicação do método dos Multiplicadores de Lagrange notação para o produto diádico ou tensorial, produzindo o tensor T ij = a i b j LΦ T, operador de transformação: deslocamento generalizado-deformação B p operador LΦ T p B 0 p+1 operador L ( Φ 0 ) T p+1 L matriz de operadores diferenciais que determina o campo de deformações a partir dos deslocamentos [ ] T x 1 x 2

23 Lista de Símbolos xviii,, representa o espaço gerado pelas funções,, Λ(, ) funcional através do qual as condições de contorno essenciais são impostas no Método dos Multiplicadores de Lagrange t( ) m operador da média das tensões calculadas na face comum a dois elementos K e K onde se tem o campo de deslocamento aproximado por e + parte positiva de ( ) parte negativa de ( ) w U norma energia definida para funções w H 1 L2 norma L 2 L (Ω) = max norma uniforme ou de Chebyshev U norma energia de u Lp(Ω) u H m (Ω) norma em L p semi-norma no espaço H m B(, ) forma bi-linear em H H R B tg K (, ) parcela de contribuição no elemento K para Btg (, ) B K (, ) parcela de contribuição no elemento K para B(, ) L K ( ) operador linear com os dados para a aproximação de Galerkin da forma variacional do PVC do erro em cada elemento max(,,...) operador que retorna o maior valor de entre os m existentes min(,,...) função que retorna o menor valor entre,,... \ operador de exclusão; Ψ \ Υ é o mesmo que Ψ (Ψ Υ) def = é definido como span espaço gerado por {B k } m 1 k=0 operadores lineares diferenciais sobre o contorno A operador linear diferencial de ordem 2m l( ) forma linear em V R 1 T r( ) traço de um tensor Abreviaturas DEM Difuse Element Method EFGM Element Free Galerkin Method

24 Lista de Símbolos xix EPD EPT FPM Estado plano de deformação Estado plano de tensão Finite Point Method GFEM Generalized Finite Element Method MDC MED Mecânica do Dano Contínuo Método dos Elementos Difusos MEFG Método dos Elementos Finitos Generalizados MEFPU Método dos Elementos Finitos da Partição da Unidade MGLE Método de Galerkin Livre de Elementos MMQ Método dos Mínimos Quadrados MMQF Método dos Mínimos Quadrados Fixos MMQM Método dos Mínimos Quadrados Móveis MPF MRE Método dos Pontos Finitos Método dos Resíduos em Elementos MRE p+1,p+2 Método do Resíduo em Elementos em que o erro é aproximado em X 0 p+1,p+2 MRE p+1 Método do Resíduo em Elementos em que o erro é aproximado em X 0 p+1 MREP Método de Recuperação pelo Equilíbrio das Parcelas MRS NG NGL Método dos Resíduos em Sub-domínios número de pontos de integração, seja na quadratura de Gauss-Legendre, seja na de Gauss-Lobatto número de graus de liberdade PUFEM Partition of Unity Finite Element Method PVC Problemas de Valor de Contorno RKPM Reproducing Kernel Particle Method SPH Smoothed Particle Hydrodynamics Method

25 1 Capítulo 1 Introdução 1.1 Considerações Iniciais Neste trabalho, são apresentados resultados e conclusões de uma pesquisa realizada sobre certas categorias de métodos numéricos, os sem malha e o dos elementos finitos generalizados, aplicados a problemas com não-linearidade física. A pesquisa foi desenvolvida segundo duas linhas: uma de caráter numérico, relacionada ao desenvolvimento dos métodos e a outra voltada às aplicações na mecânica dos materiais, mais precisamente, na mecânica do dano contínuo. Essas duas linhas, em princípio independentes, combinam-se quanto à aplicação na simulação dos efeitos da formação e propagação de descontinuidades em estruturas. Procura-se mostrar, ao longo do texto, como as alternativas numéricas, protagonistas do estudo realizado, podem ser melhor exploradas para fins de análise estrutural, especialmente em problemas cujo o comportamento não-linear é governado pela evolução do dano contínuo. O principal objetivo, contudo, é demonstrar a viabilidade do uso dos métodos mencionados para a solução de problemas com propagação de descontinuidades, salientando-se não apenas suas vantagens como também algumas deficiências e como contorná-las. O trabalho desenvolvido não se conclui em si mesmo mas, ao contrário, representa os primeiros passos na direção de se obter uma ferramenta numérica especialmente talhada para aplicações no campo da propagação de defeitos. O emprego de aproximações de simples implementação, mas eficientes para o tipo de problema estudado, a caracterização de particularidades dos métodos segundo a análise realizada, a definição de medidas de erro para se avaliar a qualidade da solução e posterior adaptatividade, são algumas das questões para as quais se buscam respostas

26 Capítulo 1. Introdução 2 neste trabalho. As respostas obtidas, se por um lado ajudam na melhor compreensão dos fenômenos físicos simulados, bem como trazem contribuições para as formulações utilizadas, por outro lado não são inteiramente conclusivas permanecendo abertas para futuros desenvolvimentos Quanto aos Métodos Numéricos: Sem Malha e dos Elementos Finitos Generalizados Métodos sem malha, Meshless, podem ser entendidos, de acordo com o trabalho de DUARTE (1995), como métodos numéricos para a solução de problemas de valor de contorno, PVC, cujas equações básicas de governo do modelo discreto independem, ou quase, da definição de uma malha de elementos finitos. Em resumo, a solução aproximada do problema, em um espaço de dimensão finita, é construída sem que a conectividade entre os pontos nodais desta aproximação seja pré-estabelecida. No método dos elementos finitos, MEF, a aproximação é definida mediante interpolações locais em cada elemento, sendo, por isto, válida apenas nesse sub-domínio. A continuidade da aproximação fica garantida com o pré-estabelecimento de uma conectividade entre os nós. Já nos procedimentos sem malha, dada a ausência dos elementos, a aproximação é construída em cada posição do domínio global, sendo, portanto, definida de modo dinâmico; mantém-se, entretanto, seu caráter local conforme a definição de domínios de influência, denominados nuvens em DUARTE; ODEN (1995). Tal estratégia admite que, em cada posição de interesse, novas relações de conectividade nodal sejam estabelecidas, possibilitando com que a aproximação do domínio seja feita sem a necessidade de se definir elementos, mas apenas a partir de uma distribuição de pontos nodais. Diversas são as variações dos Métodos Sem Malha, podendo ser reunidas da seguinte maneira: Hidrodinâmica de Partículas Suavizado (Smoothed Particle Hydrodynamics - SPH), de MONAGHAN (1982), (1994); Métodos baseados diretamente nas aproximações de mínimos quadrados móveis: Método dos Elementos Difusos, MED (Difuse Element Method - DEM), introduzido em NAYROLES; TOUZOT; VILLON (1992);

27 Capítulo 1. Introdução 3 Método de Galerkin Livre de Elementos, MGLE (Element Free Galerkin Method - EFGM), BELYTSCHKO; LU; GU (1994); Método dos Pontos Finitos, MPF (Finite Point Method - FPM), desenvolvido em OÑATE; IDELSOHN; ZIENKIEWICZ (1995), OÑATE (1996a) e OÑATE (1996b) Método das Partículas Reprodutoras do Núcleo (Reproducing Kernel Particle Method - RKPM), de W. K. LIU; ZHANG (1995); LIU (1995); Métodos baseados na definição da Partição da Unidade: Método das Nuvens hp (hp-clouds Method), de DUARTE; ODEN (1995); DUARTE (1996); DUARTE; ODEN (1996a), (1996b); Método dos Elementos Finitos Partição da Unidade, MEFPU (Partition of Unity Finite Element Method - PUFEM), descrito em MELENK (1995), MELENK; BABUŠKA (1996) e BABUŠKA; MELENK (1997); Método de Galerkin das Ondas Pequenas (Wavelet Galerkin Method), proposto por AMARATUGA; WILLIAMS (1997); Não é objetivo deste trabalho apresentar uma revisão de todos esses métodos e, por isso, apenas o MGLE e o Método das Nuvens hp, utilizados para as experimentações numéricas, são discutidos a seguir. Para maiores detalhes sobre os métodos sem malha, além dos artigos já citados, podem ser incluídas as revisões realizadas em DUARTE (1995) e BELYTSCHKO (1996). No MGLE, utiliza-se, para a obtenção das funções de forma, as funções de aproximação do Método dos Mínimos Quadrados Móveis, MMQM, de acordo com o trabalho de LANCASTER; SALKAUSKAS (1981). Os elementos essenciais desse procedimento são uma base de funções geralmente polinomiais, funções de ponderação, e uma distribuição de pontos. As constantes que aparecem na função aproximadora são determinadas impondo-se a minimização do erro entre a função aproximadora e a solução exata. Caso seja necessário que se enriqueça a aproximação, monômios de ordem mais alta são adicionados à base de funções, o que, na maioria das vezes, deve ser acompanhado pela introdução de novos pontos nodais à discretização. No Método das Nuvens hp, por sua vez, procura-se generalizar as idéias desenvolvidas no MGLE, reconhecendo-se que as funções de forma devam constituir uma Partição da Unidade, PU, ODEN; REDDY (1976), podendo ser enriquecidas sem que a

28 Capítulo 1. Introdução 4 base de funções dos MMQM seja alterada, ou seja, sem a necessidade de novos pontos nodais. Para que um conjunto de funções constitua uma PU, é necessário que a soma de seus valores seja igual à unidade em cada posição do domínio. Entre as funções que compartilham dessa propriedade estão aquelas obtidas via MMQM e, entre elas, as Funções de Shepard, SHEPARD (1968); também pertencem a essa categoria várias das funções de forma empregadas no MEF. As funções de Shepard, apesar de gerarem aproximações pobres, são particularmente interessantes ao serem utilizadas para a construção das funções de aproximação pelo Método das Nuvens hp. O enriquecimento da aproximação na formulação do Método das Nuvens hp é realizado a partir da multiplicação das funções de PU por um conjunto de funções linearmente independentes. Não há, portanto, a necessidade de se introduzir novos pontos ao domínio. A estratégia de enriquecimento torna o Método das Nuvens hp vantajoso ao ser aplicado em procedimentos adaptativos do tipo p, bem como em problemas cuja solução apresente elevados gradientes. Cabe, ainda, ressaltar que ambos os métodos comentados originam-se de uma mesma formulação, proposta no MED. Por essa razão, seria mais correto denominálos como processos. Sua qualificação como método, entretanto, é avalizada pelo uso corrente na literatura e, dessa maneira, também será adotada neste texto. Ainda que não se encaixe exatamente na definição de método sem malha, o Método dos Elementos Finitos Generalizados, MEFG, proposto como uma formulação híbrida do MEF em ODEN; DUARTE; ZIENKIEWICZ (1998) e fundamentado em STROUBOULIS; BABUŠKA; COPPS (2000), até poderia ser mencionado dentro desse contexto. Utilizando-se de conceitos do MEFPU e do Método das Nuvens hp, no MEFG, estabelece-se uma malha que serve apenas para se definir uma partição da unidade, sobre a qual é realizado o enriquecimento das funções de forma, responsável pela qualidade do método. A aproximação é construída em uma formulação que minimiza a importância da malha de elementos finitos. Empregando estratégias dos métodos sem malha dentro da estrutura do MEF, mais simples e tradicionalmente mais difundido, o MEFG pode também ser entendido como uma ponte entre estas diversas abordagens. Permite, desse modo, uma maior flexibilidade na resolução numérica de PVC, viabilizando a introdução de diferentes especializações de implementação conforme seja mais interessante em cada caso de aplicação.

29 Capítulo 1. Introdução Quanto à Mecânica dos Materiais Um dos pontos de interesse deste trabalho refere-se à aplicação dos métodos sem malha, incluindo-se o MEFG, na simulação do comportamento não-linear de estruturas decorrente da evolução de um processo de plastificação e microfissuração do material. Nesse sentido, deve ser considerado um importante conceito, o dano, KRAJCINOVIC; LEMAITRE (1987) e PROENÇA (1991). O dano de materiais é aqui entendido como o resultado de um processo de evolução de micro-defeitos e fissuras que, no limite, conduz à ruptura local do elemento de volume representativo, em torno de um ponto, LEMAITRE; CHABOCHE (1990). Em uma análise fenomenológica, a evolução do dano produz perdas de resistência e de rigidez do material. No caso do concreto, por exemplo, a formação e o crescimento de microfissuras têm influência direta sobre a resposta mecânica. Já no caso de metais, o processo de danificação é precedido pela plastificação, e reduz, significativamente, a ductilidade do material. A fratura discreta pode ser entendida como resultante da localização do dano evolutivo em uma certa região do corpo. A Mecânica do Dano Contínuo, MDC, diz respeito, portanto, a fenômenos que ocorrem em uma fase anterior àqueles descritos pela Mecânica da Fratura. Na MDC, lida-se com modelos constitutivos aptos a descrever o comportamento dos materiais penalizados pela danificação, mas ainda considerados como meios contínuos. Na Mecânica da Fratura, trata-se das condições de propagação de uma ou mais descontinuidades, as trincas, em um meio contínuo. As formulações sobre a localização de deformações, segundo as propostas de OLIVER (1995) e MAN- ZOLI; OLIVER; CERVERA (1998), procuram estabelecer uma transição entre as duas abordagens. Em uma análise tradicional de propagação de fratura, via MEF, é necessária uma série de artifícios numéricos, em particular a redefinição da malha, para que as singularidades presentes sejam simuladas de forma adequada. Exemplos desses procedimentos podem ser encontrados em ORTIZ; LEROY; NEEDLEMAN (1987); DVOR- KIN; CUITIÑO; GIOIA (1990) e OLIVER (1995). Por outro lado, a flexibilidade no enriquecimento das aproximações, característica do método das nuvens e do MEFG, permite com que se vislumbre um campo fértil para sua aplicação naquele tipo de problema. Envolvendo a aplicação do Método das Nuvens hp e do MGLE, diversos trabalhos já foram propostos no âmbito da análise de fratura, HEGEN (1997), ODEN; DUARTE (1997a) e BELYTSCHKO; LU; GU (1993) e de outros tipos de sin-

30 Capítulo 1. Introdução 6 gularidade, como em CORDES; MORAN (1996), KRYSL; BELYSTSCHKO (1997), ODEN; DUARTE (1997b) e KRONGAUZ; BELYTSCHKO (1998). Com o MEFG, podem ser destacados: DUARTE (2001) e, sob a denominação de MEFX (Método dos Elementos Finitos Extendidos), encontram-se BELYTSCHKO; BLACK (1999), MOËS; DOLBOW; BELYTSCHKO (1999), DOLBOW (1999) e, aplicado de modo específico a placas, DOLBOW; MOËS; BELYTSCHKO (2000). Já quanto ao processo de danificação do meio, não foram encontradas na bibliografia disponível, aplicações do Método das Nuvens, do MGLE e do MEFG. É, portanto, nesse contexto que se insere a presente pesquisa: procura-se oferecer contribuições ao estudo da viabilidade de novas abordagens numéricas, especialmente do MEFG, para a simulação do comportamento não-linear de estruturas decorrente do fenômeno de formação e propagação de descontinuidades. 1.2 Organização do Texto No capítulo 2, as formulações do MGLE, Método das Nuvens e MEFG são apresentadas, buscando-se mostrar a relação que existe entre esses métodos. A ordem em que são introduzidos é proposital, não apenas para respeitar a seqüência cronológica em que surgiram na literatura científica, mas também como uma maneira de ilustrar a sua evolução no sentido do MEFG. Experimentações com esses três métodos em problemas de análise linear são reunidas no capítulo 3. O MGLE e o Método das Nuvens são aplicados para a solução de um problema de associação plana entre estruturas, painéis de edifícios altos simulados pela técnica do meio contínuo. Utiliza-se deste exemplo para se discutir a convergência dos métodos e a influência dos parâmetros utilizados. O MEFG, por sua vez, é empregado em problemas de elasticidade bi-dimensional. Nos problemas selecionados, a resposta numérica é averiguada com relação ao tipo de malha, convergência da solução, travamento de Poisson e presença de singularidades. Em todos estes exemplos, procura-se mostrar vantagens conferidas pela estratégia de enriquecimento, polinomial ou não. O conceito de dano é discutido no capítulo 4, apresentando-se também algumas definições da Mecânica do Dano Contínuo. Em seguida, os dois modelos adotados para as análise não-lineares são descritos resumidamente. Ao final, o emprego de uma abordagem não-local é justificada como uma maneira de garantir a aplicação dos

31 Capítulo 1. Introdução 7 modelos constitutivos de dano contínuo. No capítulo 5, são apresentadas novas experimentações numéricas, agora em análise não-linear. Um problema de uma viga de concreto armado é, primeiramente, analisado com o Método das Nuvens hp, considerando-se a teoria de vigas de Bernoulli. Resultados de análises estática e dinâmica, para os modelos de dano adotados, são utilizados para ilustrar a aplicação do método. Algumas conclusões sobre o comportamento do material e a viabilidade do emprego dos modelos são salientadas. O mesmo problema é aproximado pelo MEFG e os resultados da análise estática com discretização bi-dimensional são utilizados para chamar atenção sobre alguns detalhes de sua implementação e justificar a necessidade de um procedimento adaptativo de solução. Adaptatividade e estimativa de erro são os assuntos do capítulo 6. Uma pequena revisão a esse respeito é realizada com o objetivo de conduzir o leitor até a introdução de uma técnica de análise adaptativa para o MEFG. O Método dos Resíduos em Elementos Equilibrados é descrito segundo a abordagem de enriquecimento da PU e dois exemplos são apresentados. Em seguida, o estimador de erro é discutido em análise não-linear. Um algoritmo adaptativo é introduzido e considerações sobre transferência de variáveis na formulação do MEFG são realizadas. O capítulo se encerra com dois exemplos relativos a problemas não-lineares. O primeiro deles é convenientemente escolhido para assegurar hipóteses admitidas na discussão sobre o estimador em análise não-linear, sendo utilizado para avaliar as medidas de erro ao final de cada passo de carregamento da estrutura. O segundo e último exemplo, bem mais complexo, é resolvido adaptativamente, comprovando-se a viabilidade das medidas de erro estabelecidas e do algoritmo de erro adotado. O capítulo 7 reúne as considerações finais e conclusões obtidas durante esta pesquisa, embasadas nos resultados e observações apresentados ao longo do texto. Dessa discussão originam-se propostas para trabalhos futuros, visando o aperfeiçoamento da técnica numérica empregada para análise da propagação de defeitos em meio contínuo. Ao final da tese, alguns tópicos de assuntos diversos são reunidos como apêndices. Sua leitura, contudo, não é essencial para o entendimento do texto, podendo ser consultados para o esclarecimentos de detalhes relacionados com a formulação e implementação dos métodos numéricos estudados.