Modelos para Análise Não-Linear de Estruturas em Concreto Armado usando o Método dos Elementos Finitos

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1 Universidade Federal de São João Del-Rei MG 26 a 28 de maio de 2010 Associação Brasileira de Métodos Computacionais em Engenharia Modelos para Análise Não-Linear de Estruturas em Concreto Armado usando o Método dos Elementos Finitos C.G. Nogueira 1 ; E.D. Leonel 2 ; W.S. Venturini 2 ; 1 Departamento de Engenharia de Estruturas EESC/USP, São Carlos, SP CEP: gorlanog@sc.usp.br 2 Departamento de Engenharia de Estruturas EESC/USP, São Carlos, SP edleonel@sc.usp.br, venturin@sc.usp.br Resumo. Este trabalho aborda o tema análise estrutural não linear de estruturas em concreto armado. O objetivo desta pesquisa é efetuar uma análise estrutural mais realista dessas estruturas considerando características marcantes do concreto como fissuração e ruptura frágil, visando representar, através do método dos elementos finitos (MEF), seu comportamento estrutural fisicamente não-linear. Para tanto, são considerados modelos onde critérios elastoplásticos e de dano são aplicados a formulações unidimensionais e tridimensionais do MEF. Um dos modelos utilizados refere-se ao do programa ANSYS. Nesse caso o elemento 3-D SOLID65 permite a simulação de materiais frágeis e a especificação de armadura difusa em até três direções diferentes quaisquer. Para a representação do concreto através desse elemento, foi criado um critério de resistência considerando-se as características de ruptura frágil à tração e o comportamento plástico à compressão. Trata-se do critério de Willam-Warnke, suportado pelo elemento SOLID65, desabilitado para compressão, e associado ao critério de Von-Mises para simular a plasticidade por compressão. O segundo modelo considerado trata do modelo de dano de Mazars (1984) aplicado em uma formulação de elementos de barra unidimensionais a qual podem ser acopladas as hipóteses clássicas de Euller-Bernoulli ou de Timoshenko. Esse modelo de dano considera a degradação da rigidez do concreto através de uma variável escalar de dano, de modo que todas as propriedades elásticas do material são penalizadas igualmente, caracterizando assim, o modelo isótropo. Por meio dos modelos citados, são analisadas vigas onde os resultados numéricos desses modelos são comparados a resultados experimentais. A comparação dos resultados mostra que os modelos são capazes de representar com considerável precisão os modelos experimentais, tornando-se assim uma opção para a análise mais precisa e realista de estruturas de concreto armado. Palavras chaves: Método dos Elementos Finitos, Elastoplasticidade, Mecânica do Dano, Concreto armado.

2 1 INTRODUÇÃO A análise estrutural nos projetos de engenharia civil nos dias de hoje ainda é baseada em hipóteses de comportamento elástico dos materiais aço e concreto. Parte-se de uma geometria inicial para os diversos elementos estruturais e com isso obtêm-se os esforços solicitantes em toda a estrutura, bem como as reações nos apoios. Uma vez encontrados esses esforços, a quantidade de armadura é então calculada para cada elemento estrutural no processo conhecido como dimensionamento. Esta abordagem está consolidada no meio técnico da engenharia e ainda constitui-se na melhor ferramenta para projeto de estruturas de edifícios em concreto armado. Trata-se, portanto, de uma análise linear de estruturas para obtenção de esforços e, posteriormente, o dimensionamento é feito baseado em hipóteses que consideram a ruptura ou escoamento dos materiais. Para ilustrar isso, basta observar que o equilíbrio de um elemento em concreto armado para o cálculo das armaduras longitudinais é verificado no estádio 3, onde o concreto tracionado é totalmente desprezado por conta da fissuração e o concreto comprimido é considerado em um estado de plastificação com diagrama retangular de tensões. Do ponto de vista da obtenção de esforços solicitantes, a análise não-linear entra nesse contexto com peso mais de verificação do que de determinação de fato desses esforços. Isso porque para se proceder a uma análise não-linear no caso de elementos de concreto, por exemplo, a real consideração da perda de rigidez, oriunda da fissuração do material, conduziria a uma série de instabilidades numéricas justamente por falta de capacidade do concreto em absorver as tensões. Com o aumento do carregamento, a fissuração evolui e o concreto perde rigidez e, consequentemente, resistência, não permitindo a aplicação do carregamento total atuante sobre a estrutura. Por esse motivo não é possível utilizar a análise não-linear diretamente para obtenção de esforços em estruturas de concreto armado. Portanto, o que se faz hoje é a análise estrutural elástica, com posterior dimensionamento dos elementos e, em seguida, dependendo da importância e complexidade da estrutura, faz-se uma análise não-linear para sua verificação em serviço. Sanches Jr (2003) e Botta (2003) realizaram comparações entre momentos fletores em vigas e lajes de concreto armado utilizando, após as estruturas devidamente dimensionadas, comportamento linear e não-linear dos materiais aço e concreto. Verificaram que os esforços solicitantes encontrados para ambos os modelos foram praticamente os mesmos, com pouca diferença entre eles. Esta conclusão é interessante, pois garante a qualidade da prática realizada nos dias atuais em projeto de estruturas. Do ponto de vista do comportamento das estruturas em serviço, ou seja, deformações e deslocamentos dos elementos, por conta da fissuração do concreto e sua alta influência na rigidez dessas peças, a análise não-linear ganha destaque. É nesse contexto que o trabalho está inserido, pois se deseja mostrar a importância de se considerar modelos não-lineares adequados na verificação do comportamento estrutural de elementos em concreto armado em serviço. Além disso, através de comparações entre alguns resultados para uma viga isostática em concreto armado, procurou-se mostrar as diferenças entre as abordagens possíveis para a resolução desse problema. Em particular, chama-se atenção para as respostas obtidas com a modelagem tri-dimensional feita no ANSYS e a modelagem unidimensional feita via MEF com modelo de dano para o concreto e modelo elastoplástico para as armaduras. 2 MATERIAIS E MÉTODOS O concreto apresenta características particulares como não-homogeneidade, ruptura frágil, relação tensão deformação não-linear, diferentes resistências e comportamentos à tração e compressão, assim como efeitos dependentes do tempo tais como retração e fluência. Quando se trata de uma análise mais realista dessas estruturas, o fenômeno da fissuração progressiva mediante carregamento crescente, aliado às demais características

3 do concreto, introduzem uma série de complexidades que levam essas estruturas a um comportamento global não-linear. Diante disso, os modelos teórico-matemáticos devem ser capazes de levar em conta essa perda de rigidez do concreto em função da fissuração progressiva com o aumento do carregamento aplicado. A modelagem do concreto tem sido efetuada em diversas situações acoplando-se uma análise linear para se considerar a baixa resistência à tração do material, acoplada a uma análise elastoplástica baseada em uma superfície de escoamento adequada para representar o comportamento à compressão. O concreto tracionado comporta-se de forma linear até atingir a respectiva resistência à tração, a partir da qual ou o material deixa de resistir, ou passa a sofrer amolecimento (redução de tensão com o aumento de deformação). Já o concreto comprimido comporta-se de forma linear até atingir a superfície de escoamento. Após atingir essa superfície, o concreto sofre plastificação e tem sua rigidez alterada. Uma outra hipótese fundamental no comportamento de elementos em concreto armado é a aderência entre as barras de aço e o concreto adjacente que as envolve. Nas modelagens tradicionais via MEF, a aderência entre esses materiais é considerada como sendo perfeita, não havendo, portanto, perda de rigidez proveniente do escorregamento relativo entre os materiais. No entanto, esta hipótese não é verificada, pois à medida que a fissuração evolui principalmente nas proximidades das fissuras, não existe mais aderência perfeita entre os materiais, sendo esse, portanto, um outro fenômeno importante que dita o comportamento real de estruturas em concreto armado. Por conta dessas peculiaridades, modelos nãolineares devem ser estudados e propostos para melhorias na obtenção das respostas mecânicas, tornando-as mais realistas e, ao mesmo tempo, simples do ponto de vista teórico e de utilização. Modelos baseados na Teoria da Plasticidade têm sido empregados com certa freqüência. A teoria clássica da plasticidade, que foi desenvolvida originalmente para os metais, é uma alternativa viável, pois em nível macroscópico o comportamento do concreto, bem como dos metais apresentam similaridades, apesar de terem estrutura interna e comportamentos microscópicos bastante diferentes. O concreto, por exibir um comportamento tensão deformação não-linear apresenta, após ciclos de carregamentodescarregamento, deformações plásticas ou residuais. Verifica-se também que sob carregamentos de compressão o concreto pode apresentar ductilidade. Assim essas deformações plásticas induzidas por microfissuras podem ser tratadas pela teoria da plasticidade. Entretanto, a teoria da plasticidade não é capaz de simular os processos de degradação da rigidez do concreto, bem como sua recuperação. Essa simulação torna-se possível por meio de teorias como a Mecânica do Dano, que se baseia na hipótese de que o comportamento do material é afetado diretamente por uma variável que mede o nível de fissuração interna do material. Essa variável por sua vez depende unicamente do estado atual da microestrutura do concreto, caracterizado por um conjunto de parâmetros internos do modelo de dano. Com isso, através de leis especiais de dano, as propriedades elásticas são penalizadas pelo estado de deformação interna do material e consideradas na montagem da matriz de rigidez dos elementos, levando-se em conta a perda de rigidez em função da fissuração. Trabalhos como os de Driemeier (1995), Pituba (1998) e Nogueira (2005) ilustram bem a utilização de modelos de dano e plasticidade em estruturas de concreto armado. Modelos baseados na Mecânica da Fratura podem também ser utilizados para representar o concreto, uma vez que este é um material frágil e que apresenta fissuras discretas sob cargas em serviço. A aplicação da mecânica da fratura para o concreto é bastante útil, pois considera a maneira como o tamanho de um elemento estrutural afeta a sua capacidade de carga última, fornecendo um critério adequado para a previsão da propagação das fissuras. Este critério que combina energia de tensão ou de deformação é muito eficiente para análise de fissuras pelo método dos elementos finitos, pois supera problemas de dependência da malha. Entretanto, como no concreto armado uma grande zona de fissuras distribuídas cresce e dissipa energia antes que uma trinca maior possa se

4 formar e propagar, o critério básico de caracterização da fratura por meio de um critério de energia deve ser complementado pela introdução de um critério de resistência, pois a zona de fraturamento não é suficientemente pequena. Informações sobre formulações de modelos baseados na mecânica da fratura podem ser encontradas nos trabalhos de Botta (2003), Leonel (2006 e 2009). Diante disso, duas modelagens distintas foram utilizadas para representar o comportamento de uma viga em concreto armado, mediante sua curva carga deslocamento vertical do meio do vão: MEF tridimensional via ANSYS e MEF unidimensional via SPOD. A seguir são apresentadas as informações importantes sobre ambas as modelagens. 2.1 Modelagem via MEF tridimensional O programa utilizado aqui foi o ANSYS versões 5.7 e 6.1, onde foi adotado o elemento tridimensional SOLID-65, adequado para representação de materiais frágeis tais como rocha e concreto. Esse elemento permite a inserção de barras de reforço, que são consideradas difusas no meio sólido. No caso do concreto armado as barras de reforço são as armaduras, as quais podem ser inseridas em até três direções quaisquer, podendo apresentar comportamento plástico e fluência. Este elemento é caracterizado por oito nós, tendo três graus de liberdade por nó e propriedades isotrópicas, suportando uma superfície de ruptura, bem como comportamento elastoplástico e fluência. Além disso, outro aspecto importante desse elemento é a capacidade de tratamento não-linear levando em conta a ruptura frágil associada à fissuração por tração e/ou deformações plásticas e fluência associadas ao esmagamento por compressão. Dessa forma, consegue-se a combinação de formas de ruptura como fissuração e esmagamento, fissuração e plasticidade por compressão, entre outras. Com relação à armadura, pode-se também prescrever comportamento elastoplástico e fluência. A superfície de ruptura, dada pelo modelo de Willam-Warnke, descreve a falha por tração e a superfície de plastificação, dada pelo modelo de Von-Mises, descreve, por sua vez, o esmagamento do concreto à compressão. Se a superfície de ruptura for atingida por um estado de tensão, admite-se que ocorre a fissuração. Assim, quando qualquer das componentes de tensão principal de tração atingir a resistência à tração do concreto haverá fissuração no plano normal a esta componente. Quando a solicitação preponderante for de compressão o comportamento será limitado pela superfície de plastificação acoplada ao elemento. As tensões principais atuantes em uma determinada direção se anulam bruscamente assim que é atingida a superfície de ruptura, isto é, o elemento não simula o amolecimento ( softening ). O processo de fissuração é representado por meio do conceito de fissura dispersa e coeficientes de transferência de tensão de cisalhamento controlam a retenção de rigidez nos planos fissurados. A resolução do problema não-linear foi feita através do algoritmo de Newton-Raphson modificado combinado a um acelerador de convergência do tipo Line Search. 2.2 Modelagem via MEF unidimensional O programa utilizado neste caso foi o SPOD Structural and Probabilistic Optimal Design desenvolvido no trabalho de Nogueira (2010), onde se utiliza um elemento finito unidimensional convencional de pórtico plano com dois nós e três graus de liberdade por nó. Aliado a esse elemento finito, o concreto é tratado pelo modelo de dano de Mazars (1984) e o aço das armaduras por um modelo elastoplástico com encruamento isótropo positivo. Portanto, o comportamento não-linear para ambos os materiais foi considerado, de modo que fosse possível prever a perda de rigidez do concreto decorrente da fissuração crescente, bem como a perda da resistência das armaduras por conta da plastificação das mesmas à medida que o carregamento aumenta.

5 A seção transversal de cada elemento finito é discretizada em pontos de Gauss de integração, juntamente com as camadas de armadura definidas também ao longo da seção. A Figura 1 ilustra o processo de integração numérica realizada ao longo de cada elemento finito e em cada seção transversal do mesmo. pontos de Gauss camadas de armadura modelo linear modelo de dano As3 Ys3 σcc σcc Rs3 Rcc H LN CG CG Ys2 As2 As1 Ys1 σct σct Rct Rs2 Rs1 B (a) (b) distribuição de tensões distribuição de forças Figura 1 Discretização de uma seção transversal genérica Assim, para cada ponto de Gauss, são determinadas as deformações e a variável escalar de dano, para depois calcular a tensão efetiva corrigida já pela perda de rigidez do material. Com isso, cada ponto de integração contribui na montagem da rigidez final da estrutura. Do mesmo modo, para cada camada de armadura, são verificadas as deformações e o critério de plastificação. Caso este seja atingido, o módulo elástico do aço é corrigido indicando a perda de resistência da armadura por conta da plastificação. As formulações de cada um dos modelos podem ser observadas em detalhes em Nogueira (2010). A resolução do problema não-linear foi deita através do algoritmo de Newton-Raphson puro, com atualização da matriz de rigidez a cada iteração do processo incrementaliterativo. Esse processo embora seja um pouco mais caro do ponto de vista computacional, aumenta a velocidade de convergência, pois atualiza o sistema a cada novo cálculo do estado de tensões e deformações dos elementos. 3 RESULTADOS Para avaliar o desempenho dos modelos apresentados, foi analisada uma viga ensaiada experimentalmente por Martinelli & Takeya (1974) e numericamente por Proença (1988). Trata-se de uma viga com 1,55m de comprimento, sendo simplesmente apoiada nas duas extremidades e submetida a duas cargas concentradas eqüidistantes dos apoios. Figura 2 Esquema estrutural da viga analisada (dimensões em mm) Em virtude de sua simetria, foi utilizada apenas metade da viga no modelo do ANSYS. Baseado em análises elásticas preliminares, foi concebido para o modelo, a discretização ilustrada na Figura 3. A armadura foi representada através do próprio elemento SOLID-65, sendo considerada de forma difusa. Visando representar o comportamento do concreto utilizou-se um critério de resistência composto unindo ruptura frágil e plastificação, através

6 da utilização do critério de ruptura de Willam-Warnke, desabilitado para compressão, simulando ruptura frágil à tração, aliado ao critério de Von-Mises simulando plastificação na compressão. Para o aço foi considerado o critério de plastificação de Von-Mises. Tanto o aço quanto o concreto comprimido nesse modelo foram considerados elastoplásticos perfeitos. Para a resolução do sistema de equações não-lineares utilizou-se o algoritmo de Newton-Raphson modificado combinado a um acelerador de convergência do tipo Line Search, com um limite de 25 iterações para cada incremento de carga e uma tolerância de 1% para a convergência em deslocamentos. Adotou-se o coeficiente 0,10 para transferência de cisalhamento para fissuras abertas e o coeficiente 0,30 para transferência de cisalhamento para fissuras fechadas, com base em Park & Paulay (1975), que consideram a rigidez a cisalhamento de uma peça fissurada diagonalmente aproximadamente entre 10% e 30 % da peça não fissurada. Figura 3 Discretização utilizada como o modelo MEF-3D do ANSYS A discretização adotada com o SPOD foi de 40 elementos finitos, sendo 2 elementos de 50mm em cada balanço, 9 elementos iguais no trecho de 450mm e mais 9 elementos iguais no trecho de 225mm. Estendendo-se essa configuração para a outra parte da estrutura, obtêm-se os 40 elementos finitos. O carregamento foi aplicado em incrementos de 2kN, com tolerância em forças e deslocamentos de 1%. Foram adotados 6 pontos de Gauss ao longo do comprimento de cada elemento e 20 pontos de Gauss ao longo da altura. Os parâmetros dos materiais foram adotados com os seguintes valores: Resistência do concreto à compressão: 39,2MPa; Resistência do concreto à tração: 3,0MPa; Módulo de elasticidade do concreto: 40000MPa; Coeficiente de Poisson do concreto: 0,2; Tensão de escoamento do aço: 511,0MPa; Módulo de elasticidade do aço: MPa; Módulo plástico do aço: 19600MPa; Coeficiente de Poisson do aço: 0,3. 1,2 1,0 Carregamento F/27, kn 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0 Deslocamento vertical na seção central, mm SPOD ANSYS-SOLID65 Proença Martinelli & Takeya 1 Martinelli & Takeya 2 Figura 4 Curva carga total deslocamento vertical do meio do vão

7 O panorama de fissuração dado pelo modelo do ANSYS para os valores de 10kN, 20kN e 30kN, respectivamente, pode ser observado na Figura 5. 4 DISCUSSÃO Figura 5 Evolução da fissuração na viga analisada Os resultados, conforme observados na Figura 4, mostraram que ambos os modelos utilizados, SOLID-65 do ANSYS e o MEF unidimensional do SPOD se aproximaram da resposta experimental obtida por Martinelli & Takeya (1974). Na fase linear, o SPOD conseguiu representar adequadamente o início da fissuração comparado ao resultado experimental. Na fase fissurada, isto é, trecho onde já existem fissuras se desenvolvendo, o SPOD também mostrou excelente desempenho. Isso ocorreu por conta do modelo de dano que é capaz de considerar essas perdas de rigidez provenientes da fissuração de uma maneira mais adequada que o critério de plastificação adotado pelo ANSYS, que também se mostrou adequado para esse tipo de análise. Na fase final de carregamento, maior precisão foi obtida com o modelo do ANSYS, pois este considerou a transferência de tensões de cisalhamento e outras peculiaridades do concreto, fato que não ocorreu com o modelo unidimensional. Por conta disso, verifica-se a importância de análises não-lineares no contexto da modelagem de estruturas em concreto armado, pois permitem estimar de forma mais precisa e realista os deslocamentos e a capacidade última das estruturas. Por esse motivo, recomenda-se sua consideração em projetos estruturais, pelo menos em caráter de previsão adequada de deslocamentos para verificação de estados limites de serviço. Um outro dado muito interessante foi o tempo de processamento gasto nas análises. O modelo tridimensional do ANSYS gastou cerca de 50 horas para convergência, ao passo que o modelo unidimensional do SPOD gastou cerca de 20 segundos de processamento. Essa diferença inviabiliza a utilização de modelagens tridimensionais para vigas em concreto armado, enfatizando que o uso de modelos mais simples é, em muitos casos, muito mais vantajoso para fins práticos. 5 CONCLUSÕES Embora a utilização corrente da análise não-linear em estruturas de concreto armado ainda apresente sérias restrições para utilização prática, os resultados obtidos com os modelos apresentados encorajam esforços para a continuação da pesquisa no sentido de viabilizar o uso de modelos não-lineares na prática da engenharia. As respostas foram consideradas bastante satisfatórias, porém ainda muito se tem a avançar nesse campo de trabalho. Modelos mais sofisticados são interessantes do ponto de vista da precisão, porém ainda pecam muito no quesito tempo de processamento. Por outro lado, os modelos mais simples, embora não considerem os diversos fenômenos presentes no comportamento dos

8 materiais, podem vir a tornarem-se vantajosos, pois permitem boa precisão com bem menos tempo de processamento. Uma barreira considerável no uso corrente desses modelos não-lineares está relacionada aos problemas numéricos e instabilidades na convergência que podem surgir em virtude desses diversos refinamentos de modelo. Isso ocorre por conta da calibração dos parâmetros necessários nos modelos não-lineares, sendo oneroso o processo, pois diversas análises preliminares devem ser feitas antes de realizar o estudo final da estrutura. Mesmo assim, as pesquisas se encontram em franco desenvolvimento buscando formulações mais simples, porém suficientemente precisas e estáveis e com menos tempo de processamento para o uso na prática da engenharia. Agradecimentos Os autores agradecem à FAPESP pelo suporte financeiro e ao Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC-USP pela possibilidade de realizar a pesquisa. 6 BIBLIOGRAFIA Botta, A. S., Método dos Elementos de Contorno para Análise de Corpos Danificados com Ênfase no Fenômeno da Localização de Deformações. Tese de Doutorado. Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo, São Carlos. Driemeier, L., Considerações sobre a Fadiga em Metais e o Comportamento do Concreto sob Solicitação Cíclica. Dissertação de Mestrado. Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo, São Carlos. Leonel, E. D., Método dos Elementos de Contorno aplicado à Análise de Sólidos Multi-fraturados. Dissertação de Mestrado. Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo, São Carlos. Leonel, E. D., Modelos Não-lineares do Método dos Elementos de Contorno para Análise de Fratura e Aplicação de Modelos de Confiabilidade e Otimização em Estruturas submetidas à Fadiga. Tese de Doutorado. Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo, São Carlos. Martinelli, D. A. O., Takeya, T., Ruína das Ligações Laje-Pilar nas Bordas de Lajes Cogumelo. São Carlos. Relatório parcial apresentado à Fundação de Amparo à Pesquisa Científica do Estado de São Paulo. Mazars, J., Application de la Mechanique de l endommagement au Comportement Non-lineaire et à la Rupture du Béton de Structure. Thèse de Doctorat d État, Université Paris 6, Paris. Nogueira, C. G., Um Modelo de Confiabilidade e Otimização Aplicado às Estruturas de Barras de Concreto Armado. Dissertação de Mestrado. Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo. Nogueira, C. G., Desenvolvimento de Modelos Mecânicos, de Confiabilidade e de Otimização para Aplicação em Estruturas de Concreto Armado. Tese de Doutorado. Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo. Park, R., Paulay, T., Reinforced Concrete Structures. Second Edition, New York, John Willey & Sons. P318. Pituba, J. J. C., Estudo e Aplicação de Modelos Constitutivos para o Concreto, Fundamentados na Mecânica do Dano Contínuo. Dissertação de Mestrado. Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo, São Carlos. Proença, S. P. B., Sobre Modelos Matemáticos do Comportamento Não-linear do Concreto: Análise Crítica e Contribuições. Tese de Doutorado, Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo, São Carlos.

9 Sanches JR, F., Desenvolvimento de Modelos Numéricos para Análise de Estruturas de Pavimentos de Edifícios. Tese de Doutorado. Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo. 7 DIREITOS AUTORAIS Os autores são os únicos responsáveis pelo conteúdo do material impresso incluído no seu trabalho.