Desempenho de Métodos Direto e Iterativo para Extração da Solução do Sistema de Equações do Método dos Elementos Finitos Generalizados

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1 Universidade Federal de São João Del-Rei MG 26 a 28 de maio de 2010 Associação Brasileira de Métodos Computacionais em Engenharia Desempenho de Métodos Direto e Iterativo para Extração da Solução do Sistema de Equações do Método dos Elementos Finitos Generalizados A. L. Santos 1 ; F. F. A. Silva 1 ; F. B. Barros 1 ; R. L. S. Pitangueira 1 1 Departamento de Engenharia de Estruturas UFMG, Belo Horizonte, MG CEP: als@ufmg.br, felipefelix@ufmg.br, felicio@dees.ufmg.br, roque@dees.ufmg.br Resumo. O INSANE (Interactive Structural Analysis Environment) é um programa de Análise Estrutural desenvolvido na linguagem JAVA por uma equipe de pesquisadores da UFMG. A proposta do INSANE é ser, principalmente, um programa acadêmico cujo código é aberto. Ele é um ambiente computacional dividido em três aplicações: préprocessador, processador e pós-processador. O pré e pós processadores são aplicações gráficas interativas utilizadas para descrever modelos discretos e apresentar as soluções disponíveis da análise. O processador é um núcleo numérico responsável pela análise utilizando o Método dos Elementos Finitos (MEF). O trabalho proposto é parte de um projeto cujo objetivo é introduzir no ambiente do INSANE a capacidade de executar uma análise pelo Método dos Elementos Finitos Generalizados (MEFG). MEFG é uma formulação não convencional do MEF, no qual a definição de aproximação está associada à entidade do nó e não mais ao elemento finito. Ele pode ser visto como uma ponte entre as formulações sem malha e o MEF. No MEFG, quando as funções de forma são enriquecidas por expressões polinomiais a matriz de rigidez pode ser semi-definida positiva. Torna-se, então, necessária a introdução de um algoritmo iterativo para a extração da solução associada à menor energia para o problema estrutural. Tal algoritmo foi implementado no processador do programa INSANE para viabilizar análises pelo MEFG. Neste procedimento o sistema de equações oriundo da discretização do problema é modificado e resolvido diversas vezes em um processo de correção de resíduo. A solução do sistema, em cada iteração, pode ser feita por métodos diretos ou iterativos. Neste trabalho foram utilizadas as versões dos métodos de Cholesky e dos Gradientes Conjugados Pré-condicionado. Sua influência no desempenho da resolução do problema é avaliada por meio de exemplos numéricos. Mostra-se, também, detalhes de sua implementação no ambiente de programação orientado a objetos INSANE. Palavras chaves: MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS, MÉTODOS SEM MALHA, SISTEMAS DE EQUAÇÕES, MECÂNICA COMPUTACIONAL, MÉTODOS NUMÉRICOS.

2 1 INTRODUÇÃO O INSANE, INteractive Structural ANalysis Environment, (Fonseca e Pitangueira 2007) é um programa de análise estrutural desenvolvido no Departamento de Engenharia de Estruturas da Universidade Federal de Minas Gerais. Sua proposta principal é ser um programa acadêmico e de código aberto. Ele é um ambiente computacional dividido em três aplicações: pré-processador, processador e pós-processador. O pré e pós processadores são aplicações gráficas interativas utilizadas para descrever modelos discretos e apresentar as soluções disponíveis da análise. O processador é um núcleo numérico responsável pela análise utilizando o Método dos Elementos Finitos (MEF). O trabalho proposto é parte de um projeto cujo objetivo é introduzir no ambiente do INSANE a capacidade de executar uma análise pelo Método dos Elementos Finitos Generalizados (MEFG). O MEFG, Strouboulis et al. (2000) e Duarte e Babuška (2000), pode ser interpretado como uma variação do Método dos Elementos Finitos, MEF, que compartilha diversas características com os métodos sem malha. A aproximação local é construída empregando-se uma malha convencional de elementos que serve apenas para se definir uma partição da unidade, sobre a qual é realizado o enriquecimento das funções de forma. No caso de ser polinomial, o enriquecimento da aproximação pelo MEFG pode fazer com que a matriz de rigidez seja semi-definida. Neste trabalho, será apresentado o programa INSANE seguido de uma visão geral acerca do MEFG. Em seguida será discutido o desempenho dos métodos de Cholesky (direto) e dos Gradientes Conjugados (iterativo) a fim de obter a solução do sistema de equações obtido pelo MEFG. Por fim, exemplos numéricos serão utilizados com o intuito de avaliar o desempenho dos algoritmos descritos. 2 MATERIAIS E MÉTODOS 2.1 O Programa INSANE A idéia central do programa INSANE, segundo Fonseca e Pitangueira (2007), é suprir as necessidades acadêmicas quanto à utilização de ferramentas computacionais em Análise Estrutural, de uma maneira simples, direta e bem objetiva. Por ser um programa livre e cujo código é aberto, está sempre sujeito a alterações que visam adequá-lo à demanda educacional. A modelagem computacional de um problema estrutural é basicamente dividida nas três etapas enumeradas na Figura 1, a saber: (1) criação do modelo; (2) montagem e resolução; (3) avaliação dos resultados. No referido ambiente, a criação de um modelo é feita em uma etapa denominada pré-processamento. É nela que o usuário informa a geometria simplificada da estrutura, material, carregamento e as condições de contorno, de forma gráfica interativa. Gerado o modelo, parte-se para o processamento, etapa na qual os dados numéricos inseridos para o problema são tratados para que possa ser obtida uma solução. Os resultados podem ser avaliados no pós-processamento, a partir do qual é gerado o relatório com os dados do modelo processado.

3 Figura 1- Vista da interface gráfica do programa INSANE 2.2 Método dos Elementos Finitos Generalizados (MEFG) Segundo Barros et al. (2004), o MEFG tem sua formulação oriunda de duas linhas de desenvolvimento dos métodos sem malha empreendidas por: Babuška e colegas, sob a denominação inicial de Método dos Elementos Finitos Especiais, Babuška et al. (1994) e, posteriormente, como Método dos Elementos Finitos Partição da Unidade (Babuška e Melenk, 1997). ; Duarte e Oden a partir dos trabalhos (Duarte e Oden, 1995) e (Duarte e Oden, 1996), correspondentes à formulação do método das Nuvens, e em (Oden et. al, 1998) como uma abordagem sem-malha em forma híbrida com o MEF. A construção das funções de forma do MEFG tem por base o conceito de partição da unidade, PU, (Oden e Reddy, 1976), que se caracteriza por conferir capacidade de aproximação a um conjunto de funções cuja soma é igual a um. Considere-se uma malha convencional de elementos finitos definida a partir de um conjunto de N pontos nodais e NE elementos. Define-se nuvem ou parcela uma região formada por todos os elementos que concorrem no ponto nodal. O conjunto das funções interpoladoras de Lagrange associadas a cada nó, define uma função PU de tal modo que:

4 As funções de forma do MEFG, atreladas ao nó, são construídas por enriquecimento, ou multiplicação, das funções PU correspondentes à nuvem, por funções especiais, de tal maneira que a aproximação da solução u(x) fica descrita como: em que e ; são parâmetros nodais em correspondência a cada componente das funções de forma. A função especial, pode ser polinomial ou não, sendo escolhida para conferir à aproximação propriedades locais, representativas do problema estudado. Como resultado a aproximação apresenta as características da função especial, mantendo o grau de continuidade da interpolação obtida com as funções da PU. Inserida a expressão (2) em uma aproximação de Galerkin para a solução de problemas de valor de contorno, chega-se a um sistema de equações cuja a matriz de rigidez é semidefinida positiva. Este sistema de equações admite, portanto, infinitas soluções para a parcela correspondente aos parâmetros enriquecedores ; ainda assim a unicidade da solução de Galerkin é preservada. Para resolver tal sistema emprega-se, neste trabalho, a estratégia iterativa sugerida em Strouboulis et al (2000). 2.3 Métodos de Solução O programa INSANE tem implementado em seu núcleo numérico os seguintes métodos de solução: Método de Cholesky, Método de Crout, Método dos Gradientes Conjugados Pré Condicionado (MGCPC) (Golub, 1996) e Procedimento de Extração da Solução do sistema de equações do MEFG, que será tratado neste trabalho como procedimento para MEFG. O Método de Cholesky é definido para a resolução de sistemas quadrados Ax = b, cuja matriz A é simétrica (A=A t ) e definida positiva (x t Ax > 0 para x 0) sendo assim empregado somente na solução de problemas que envolvem a forma convencional do Método dos Elementos Finitos. O Método de Crout é baseado na decomposição LU da matriz A e na subsequente execução de substituições sucessivas e retroativas. O Método dos Gradientes Conjugados Pré Condicionado é um processo iterativo de fácil implementação, boa taxa de convergência e bom desempenho, podendo ser utilizado como alternativa ao método direto em problemas de MEF. O pré-condicionador utilizado é o de Jacobi, ou Diagonal, o qual define uma matriz de precondicionamento M = diag(a). É importante lembrar que a matriz de entrada pode ou não ser simétrica para Crout e deve ser necessariamente simétrica para os demais. O procedimento para MEFG, apresentado no Algoritmo 1, é capaz de solucionar sistemas cuja matriz de rigidez é semi-definida positiva, sendo utilizado como solucionador para este tipo de problema, como sugerido em Strouboulis et al. (2000). Sendo K a matriz de rigidez e F o vetor de carregamento do problema, monta-se a matriz (linha 1) e o vetor (linha 2). Em seguida a matriz K é normalizada (linha 3) e uma perturbação é nela inserida (linha 4). Resolve-se o novo sistema (linha 5) e são calculados o resíduo (linha 6) e o erro (linha 7). Enquanto o erro não verificado o critério de convergência (linha 9), recalcula-se o resíduo (linha 10), o erro (linha 11), atualiza-se a solução do problema normalizado (linha 12). Atendido o critério de convergência do método iterativo recupera-se a solução (linha 15).

5 1. Algoritmo 1 Procedimento para a solução do MEFG enquanto Tol faça fim enquanto 15. Vale ressaltar que, devido à matriz T (1) possuir elementos somente em sua diagonal principal, optou-se por armazená-la na forma vetorial, a fim de poupar memória. Desse modo, o processo descrito em (3) não é conduzido de forma matricial, o que implicaria em prejuízo para sua eficiência. Nas linhas 5, 7 e 11 desse algoritmo, nos quais é necessária a resolução de sistemas lineares (Ax=b), podem ser utilizados os Métodos dos Gradientes Conjugados, de Crout ou de Cholesky, já implementados no INSANE. A escolha acerca de qual método a ser utilizado será motivo da discussão seguinte. Quando se opta por utilizar um dos métodos diretos, a decomposição da matriz é feita uma única vez antes da linha 5. Ao solucionar um sistema (5, 7 e 11) é necessário apenas fazer as substituições requeridas. 3 RESULTADOS E DISCUSSÃO Foi modelada uma chapa com material cujo módulo de elasticidade é 200 GPa, coeficiente de Poisson 0.33 e dimensões iguais a 160x40x12 mm, submetida a um carregamento uniformemente distribuído na vertical para baixo no valor de 10 KN/m. O computador utilizado possui processador Intel(R) Core(TM) 2 Quad CPU 2,4GHz, com memória RAM de 2GB e sistema operacional Fedora Lançamento 7 (Moonshine). A malha foi gerada com elementos quadrangulares isoparamétricos de 4 nós, apenas com o intuito de comparar o desempenho dos métodos em questão durante o processamento. Visando obter uma boa precisão, os parâmetros adotados para os métodos iterativos foram: valor do resíduo para que haja convergência no MGCPC igual a 1x10-12, valor da tolerância para o erro e perturbação no procedimento do Algoritmo 1 iguais a 2x10-20 e 1x10-10, respectivamente. Cada medida de tempo foi realizada três vezes para se reduzir interferências do sistema operacional.

6 Tabela 1 - Tempos de processamento dos métodos de solução implementados (ms) Número de Elementos Método de Cholesky Método de Crout MGCPC 64 2,3 2,7 10, , , Antes das análises feitas pelo MEFG, foram realizadas algumas análises pelo MEF, para aferição das implementações dos algoritmos. A Tabela 1 mostra, como já seria esperado, que com aumento do número de elementos do modelo, o método iterativo supera em eficiência os métodos diretos. Com relação aos Métodos de Cholesky e Crout, a diferença de tempo encontrada também já era aguardada, visto que o primeiro procedimento leva em consideração que a matriz de entrada é simétrica e, com isso, poupa esforço computacional. Por sua vez, a análise relativa ao tempo de processamento utilizando o método para MEFG foi conduzida apenas para o MGCPC e Cholesky, já que o método de Crout demonstrou, segundo os resultados da Tabela 1, ser bastante inferior aos demais. Com a finalidade de se comparar o desempenho destes métodos quando solicitados pelo Algoritmo 1, o mesmo problema, discutido no início desta seção, foi analisado pelo MEFG. As medidas de tempo foram feitas todas com 64 elementos quadrangulares de 4 nós, variando-se o grau do polinômio de enriquecimento, segundo o procedimento apresentado na seção 1.2. Todos os demais parâmetros foram mantidos constantes. Os resultados são apresentados na Tabela 2 a seguir. Tabela 2 - Tempo de solução do MEFG de acordo com o método interno utilizado (ms) Enriquecimento Usando Método Direto Usando Método Iterativo P1 45,7 28,3 P ,3 P P Com o aumento do grau do polinômio de enriquecimento, a ordem da matriz de rigidez também aumenta, tendo em vista a inclusão de novos termos conforme expressão (2). De acordo com os resultados obtidos na Tabela 1, era esperado que, ao utilizar o método iterativo, o tempo de processamento tivesse uma tendência a ser menor que o do processo direto, tendo em vista o aumento da ordem do sistema de equações. Isso, entretanto, não é percebido nos dados da Tabela 2. Entende-se, neste caso, que o aumento do grau do polinômio de enriquecimento aumenta significativamente o número de condicionamento da matriz de rigidez, o que influencia o tempo de processamento pelo Método dos Gradientes Conjugados. Procurando-se reduzir este efeito e, ainda assim, testar o desempenho dos algoritmos para o caso do MEFG (com enriquecimento polinomial), fixou-se o enriquecimento como P2 e foram processadas malhas com 16, 64 e 256 elementos. Os resultados encontram-se reunidos na Tabela 3.

7 Tabela 3 - Tempos de solução com enriquecimento P2 para diversas malhas (ms) Elementos Usando Método Direto Usando Método Iterativo Mesmo tendo sido eliminada a possibilidade de o número de condição da matriz influenciar no tempo de processamento, o método iterativo foi bem mais lento, de acordo com os dados da Tabela 3. Todas as execuções do Algoritmo 1 (tabelas 2 e 3) produziram somente uma iteração de correção do processo de extração da solução. Esta observação encontra respaldo em (Strouboulis et al., 2000). Naquele trabalho afirma-se que o emprego de uma perturbação de 1x10-10 garante que, com apenas uma iteração, seja possível resolver-se o sistema de equações oriundo da análise pelo MEFG. Deve-se atentar para o fato de que, devido ao tempo de processamento ser muito pequeno quando as matrizes são de menor ordem, alguns processos internos no procedimento para MEFG, oriundos da orientação a objetos, podem ter causado a diferença de tempo em favor do processo iterativo nas Tabelas 2 e 3 para enriquecimento P1 e 16 elementos, respectivamente. 4 CONCLUSÕES Os métodos iterativo e direto testados apresentaram comportamentos distintos em função da condição da matriz a ser solucionada. Para matrizes bem condicionadas de grande ordem, o Método dos Gradientes Conjugados Pré Condicionado é mais eficiente. Entretanto, para valores elevados do número de condição dessa matriz, o processo direto de Cholesky permite obter a solução mais rapidamente. As matrizes de rigidez do MEFG podem se tornar muito mal condicionadas, de acordo com o grau do polinômio de enriquecimento, fazendo com que o processo iterativo adotado para a solução dos problemas intermediários do processo de extração da solução perca eficiência. Este é, contudo, apenas uma parte inicial deste trabalho de investigação. Uma melhor avaliação da forma pela qual foram implementados o algoritmo 1 e os métodos de Gradientes Conjugados e Cholesky, sob a ótica da orientação a objetos, deve ser realizada. Outro aspecto pertinente é o pré-condicionamento do MGC. Neste trabalho foi implementado o pré-condicionamento de Jacobi, ou Diagonal. Outras abordagens merecem ser investigadas, mais adequadas a lidar com o problema de mau condicionamento do sistema, sendo esta a próxima fase a ser realizada. Agradecimentos Os autores reconhecem e agradecem o importante apoio das agências de pesquisa brasileiras CNPq Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico e FAPEMIG Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de Minas Gerais.

8 5 BIBLIOGRAFIA Babuška, I., Caloz, G., & Osborn, J. E., Special finite element method for a class of second order elliptic problems whith rough coefficients. SIAM Journal on Numerical Analysis, vol. 31, n. 4, pp Babuška, I., Melenk, J. M., The partition of unity method. International Journal for Numerical Methods in Engineering, vol. 40, pp Barros, F. B., Proença, S. P. B., & Barcellos, C. S. de, On error estimator and p- adaptivity in the generalized finite element method. International Journal for Numerical Methods in Engineering, vol. 60, n. 14, pp Duarte, C. A., Oden, J. T., Hp clouds - A meshless method to solve boundary-value problem. Technical report, TICAM, The University of Texas at Austin. Technical Report. Duarte, C. A.; Babuska, I (2000). Generalized finite element methods for threedimensional structural mechanics problems, Computer & Structure, 77(2), p Duarte, C. A., Oden, J. T., 1996a. An h-p adaptive method using cloud. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, vol. 139, pp Fonseca, F. T., Sistema Computacional para Análise Dinâmica Geometricamente Não Linear Através do Método dos Elementos Finitos. Dissertação de Mestrado em Engenharia de Estruturas da UFMG. Fonseca, F. T., Pitangueira, R. L. S., An object oriented class organization for dynamic geometrically non-linear FEM analysis. Congresso de Métodos Numéricos em Engenharia (CMNE) / XXVII Congresso Ibero Latino Americano de Métodos Computacionais em Engenharia (CILAMCE). Fonseca, F. T., Pitangueira, R. L. S., Insane: uma plataforma para computação científica. X Encontro de Modelagem Computacional. Golub, G. H., Loan, C. F. Van, Matrix Computations. Third Edition. The John Hopkins University Press. Oden, J. T., Duarte, C. A., & Zienkiewicz, O. C., A new cloud-based hp finite element method. Computer methods in applied mechanics and engineering, v. 153, p Oden, J. T., Reddy, J. N., An Introduction to the Mathematical Theory of Finite Elements. Pure and Applied Mathematics. John Wiley & Sons, Inc. Silva, F. F. A., Santos, A. L., Barros, F. B., Pitangueira, R. L. S., Detalhes da Implementação do Método dos Elementos Finitos Generalizados em Ambiente de Programação Orientado a Objetos Matriz de Rigidez Semi-Definida Positiva. XXX Congresso Ibero Latino Americano de Métodos Computacionais em Engenharia (CILAMCE). Silva, R. P. da, Implementação de Solução Elemento-por-Elemento em Ambiente Distribuído para o Método dos Elementos Finitos. Dissertação Mestrado em Engenharia de Estruturas da UFMG. Strouboulis, T., Babuška, I., & Copps, K., The design and analysis of the generalized finite element method. Computer methods in applied mechanics and engineering, v. 181, n. 1-3, p DIREITOS AUTORAIS Os autores são os únicos responsáveis pelo conteúdo do material impresso incluído no seu trabalho.