Relatório Final PIBIC/CNPq

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1 Relatório Final PIBIC/CNPq Método dos Elementos Finitos Generalizados: Implementação e Aplicações Orientado: Leandro Lima Rasmussen Orientador: Sergio Persival Baroncini Proença São Carlos, 15 de julho de 2010.

2 Índice Geral ÍNDICE DE FIGURAS... 3 ÍNDICE DE TABELAS... 4 ÍNDICE DE ESQUEMAS MATRICIAIS... 4 RESUMO DO PROJETO... 6 Capítulo 1. Fundamentação Teórica Método dos Elementos Finitos Convencional (FEM) Método dos Elementos Finitos Generalizados (MEFG) Elementos Finitos Triangulares CST Algoritmo de Perturbação para Resolução de Sistemas Lineares Integração Numérica pelo Método da Quadratura de Gauss Integração Numérica em Domínios Triangulares Cálculo das Tensões e Deformações Algoritmo de Organização da Matriz de Rigidez pelo MEFG Capítulo 2. O Aplicativo GiD GiD The Personal Pre and Post Processor Configurações dos Arquivos de Conexão Capítulo 3. O Programa Chapas2D e a sua Integração com a Ferramenta GiD O Programa de MEFG Chapas2D Inicialização do Módulo de Cálculo, Execução do Desenho Geométrico e Definição dos Parâmetros da Análise Capítulo 4. Análises Comparativas Primeira Etapa de Testes: Chapa Engastada com Estado Múltiplo de Solicitação e Viga Engastada Fletida Segunda Etapa de Testes: Viga Engastada com Flexão Composta, Viga Biapoiada com Carga Centrada e Viga Engastada Tracionada Capítulo 5. Código-Fonte do Programa Chapas2D Constantes, Vetores e Matrizes Importantes Utilizados no Programa e seus Significados Código-Fonte Comentado do Programa Chapas2D BIBLIOGRAFIA

3 ÍNDICE DE FIGURAS Figura 1. Exemplo de Elemento Finito de Chapa... 7 Figura 2. Esquema Ilustrativo de Nuvens Dentro de um Domínio Qualquer Figura 3. Conceito de Nuvens sob a Ótica do MEFG Figura 4. Exemplo de Nuvem Associada à um Certo Nó e a Maior Distância Entre Dois Nós Figura 5. Representação dos Graus de Liberdade Presentes em um Elemento Finito Triangular CST Figura 6. Elemento Finito Triangular e a Representação das Coordenadas em Diversos Pontos no Sistema de Referência Local Figura 7. Tela de Abertura do Aplicativo GiD Figura 8. Exemplo de Análise de uma Roda Dentada Sendo Visualizada no GiD Figura 9. Esquema Mostrando o Funcionamento do Software GiD Figura 10. Esquema do Funcionamento do Sistema de Arquivos do GiD Figura 11. Inicialização do Programa Chapas 2D no GiD Figura 12. Comandos Oferecidos pelo GiD para Definição do Desenho Geométrico do Problema Estrutural sob Análise Figura 13. Desenho Geométrico Pronto da Estrutura a ser Solucionada Figura 14. Comando de Criar Superfícies NURBS Figura 15. Comando Para Gerar a Malha de Elementos Finitos Figura 16. Exemplo de Malha de Elementos Finitos Triangulares Gerada para a Análise de uma Roda Dentada Figura 17. Tela da Opção "Condições" para Entrada dos Valores das Cargas Nodais Figura 18. Tela da Opção "Condições" para Restrição dos Deslocamentos Nodais Figura 19. Tela da Opção "Condições" para Aplicação dos Refinamentos Nodais Figura 20. Tela da Opção "materiais" para Definição dos Parâmetros de cada Material Figura 21. Tela para a Definição dos Parâmetros Gerais da Análise a ser Realizada Figura 22. Comando para se Realizar o Cálculo do Problema Estrutural Figura 23. Comandos para Visualização Gráfica dos Resultados de Pós Processamento Figura 24. Comandos para Visualização Gráfica de Resultados Locais de Pós Processamento Figura 25. Comando para Listagem de Resultados de Pós Processamento Figura 26. Esquema da Primeira Análise Figura 27. Valores dos Deslocamentos Nodais, na Direção X, da Primeira Análise no GiD Figura 28. Valores dos Deslocamentos Nodais, na Direção X, da Primeira Análise no Ansys Figura 29. Valores dos Deslocamentos Nodais, na Direção Y, da Primeira Análise no GiD Figura 30. Valores dos Deslocamentos Nodais, na Direção Y, da Primeira Análise no Ansys Figura 31. Valores das Tensões Médias Nodais, na Direção X, da Primeira Análise no GiD Figura 32. Valores das Tensões Médias Nodais, na Direção X, da Primeira Análise no Ansys Figura 33. Valores das Tensões Médias Nodais, na Direção Y, da Primeira Análise no GiD Figura 34. Valores das Tensões Médias Nodais, na Direção Y, da Primeira Análise no Ansys Figura 35. Valores das Tensões de Cisalhamento Médias Nodais da Primeira Análise no GiD Figura 36. Valores das Tensões de Cisalhamento Médias Nodais da Primeira Análise no Ansys Figura 37. Esquema da Segunda Análise Figura 38. Seção da Viga Estudada na Segunda Análise Figura 39. Valores dos Deslocamentos Nodais, na Direção Y, da Segunda Análise no GiD Figura 40. Valores dos Deslocamentos Nodais, na Direção Y, da Segunda Análise no Ansys Figura 41. Esquema da viga Estudada na Terceira Análise Figura 42. Malha de Triângulos Feita no GiD para a Terceira Análise Figura 43. Malha de Quadrados Feita no Ansys para a Terceira Análise Figura 44. Valores dos Deslocamentos Nodais, na Direção X, da Terceira Análise no GiD Figura 45. Valores dos Deslocamentos Nodais, na Direção Y, da Terceira Análise no Ansys Figura 46. Valores dos Deslocamentos Nodais, na Direção Y, da Terceira Análise no GiD Figura 47. Valores dos Deslocamentos Nodais, na Direção Y, da Terceira Análise no Ansys Figura 48. Esquema da Quarta Análise

4 Figura 49. Refinamento Adotado na Malha de Elementos Finitos da Quarta Análise Figura 50. Valores dos Deslocamentos Nodais, na Direção Y, da Quarta Análise no GiD Figura 51. Valores da Tensões Média Nodais, na Direção X, da Quarta Análise no GiD Figura 52. Valores dos Deslocamentos Nodais, na Direção Y, da Quinta Análise no GiD Figura 53. Valores da Tensões Média Nodais, na Direção X, da Quinta Análise no GiD Figura 54. Malha Mais Refinada de Elementos Finitos da Sexta Análise Figura 55. Esquema do Refinamento Local: Os Nós Refinados Estão Circulados em Vermelho e os Nós, Com os Quais os Resultados Foram Comparados, Estão Circulados em Verde Figura 56. Esquema da Sétima Análise ÍNDICE DE TABELAS Tabela 1. Pontos e Pesos da Quadratura de Gauss Tabela 2. Pontos e Pesos de Hammer para Integração Numérica em Domínios Triangulares Tabela 3. Significado de Todos os Valores da Matriz FuncoesMatrizB Tabela 4. Propriedades dos Materiais Utilizados na Primeira Análise Tabela 5. Propriedades dos Materiais Utilizados na Segunda Análise ÍNDICE DE ESQUEMAS MATRICIAIS Esquema Matricial 1. Matriz B Convencional Esquema Matricial 2. Primeiro Exemplo de Matriz B Expandida Esquema Matricial 3. Segundo Exemplo de Matriz B Expandida Esquema Matricial 4. Primeiro Exemplo de Posicionamento de Valores no MEF Convencional Esquema Matricial 5. Primeiro Exemplo de Posicionamento de Valores no MEF Convencional Esquema Matricial 6. Primeiro Exemplo de Posicionamento de Valores no MEF Convencional Esquema Matricial 7. Primeiro Exemplo de Posicionamento de Valores no MEF Convencional Esquema Matricial 8. Primeiro Exemplo de Posicionamento de Valores no MEF Convencional Esquema Matricial 9. Primeiro Exemplo de Posicionamento de Valores no MEF Convencional Esquema Matricial 10. Primeiro Exemplo de Posicionamento de Valores no MEF Convencional Esquema Matricial 11. Primeiro Exemplo de Posicionamento de Valores no MEF Convencional Esquema Matricial 12. Primeiro Exemplo de Posicionamento de Valores no MEF Convencional Esquema Matricial 13. Primeiro Exemplo de Posicionamento de Valores no MEFG Esquema Matricial 14. Primeiro Exemplo de Posicionamento de Valores no MEFG Esquema Matricial 15. Primeiro Exemplo de Posicionamento de Valores no MEFG Esquema Matricial 16. Primeiro Exemplo de Posicionamento de Valores no MEFG Esquema Matricial 17. Primeiro Exemplo de Posicionamento de Valores no MEFG Esquema Matricial 18. Primeiro Exemplo de Posicionamento de Valores no MEFG Esquema Matricial 19. Primeiro Exemplo de Posicionamento de Valores no MEFG Esquema Matricial 20. Primeiro Exemplo de Posicionamento de Valores no MEFG Esquema Matricial 21. Primeiro Exemplo de Posicionamento de Valores no MEFG Esquema Matricial 22. Segundo Exemplo de Posicionamento de Valores no MEFG Esquema Matricial 23. Segundo Exemplo de Posicionamento de Valores no MEFG Esquema Matricial 24. Segundo Exemplo de Posicionamento de Valores no MEFG Esquema Matricial 25. Segundo Exemplo de Posicionamento de Valores no MEFG Esquema Matricial 26. Segundo Exemplo de Posicionamento de Valores no MEFG Esquema Matricial 27. Segundo Exemplo de Posicionamento de Valores no MEFG Esquema Matricial 28. Segundo Exemplo de Posicionamento de Valores no MEFG Esquema Matricial 29. Segundo Exemplo de Posicionamento de Valores no MEFG Esquema Matricial 30. Segundo Exemplo de Posicionamento de Valores no MEFG

5 Esquema Matricial 31. Exemplo de Posicionamento de Valores do Bloco Interno no MEFG Esquema Matricial 32. Exemplo de Posicionamento de Valores do Bloco Interno no MEFG Esquema Matricial 33. Exemplo de Posicionamento de Valores do Bloco Interno no MEFG Esquema Matricial 34. Exemplo de Posicionamento de Valores do Bloco Interno no MEFG Esquema Matricial 35. Exemplo de Posicionamento de Valores do Bloco Interno no MEFG Esquema Matricial 36. Exemplo de Posicionamento de Valores do Bloco Interno no MEFG Esquema Matricial 37. Exemplo de Posicionamento de Valores do Bloco Interno no MEFG Esquema Matricial 38. Exemplo de Posicionamento de Valores do Bloco Interno no MEFG Esquema Matricial 39. Exemplo de Posicionamento de Valores do Bloco Interno no MEFG Esquema Matricial 40. Exemplo de Posicionamento de Valores do Último Bloco Interno no MEFG Esquema Matricial 41. Exemplo de Posicionamento de Valores do Último Bloco Interno no MEFG Esquema Matricial 42. Exemplo de Posicionamento de Valores do Último Bloco Interno no MEFG Esquema Matricial 43. Exemplo de Posicionamento de Valores do Último Bloco Interno no MEFG

6 RESUMO DO PROJETO O uso de ferramentas numéricas destinadas à previsão do comportamento de elementos estruturais sob diferentes condições de solicitação, vem sendo, ao longo dos últimos anos, cada vez mais utilizado por profissionais da área de projetos estruturais e estudado por pesquisadores do mundo acadêmico. Isto se deve, sobretudo, ao fato destes programas proporcionarem uma ampla gama de análises possíveis de serem efetuadas, as quais podem incluir problemas de grande complexidade como, por exemplo, o caso de estruturas sob regime não-linear. Atualmente, a grande maioria destes programas de cálculo são baseados no método dos elementos finitos convencional (MEF), o qual tem seu funcionamento fundamentado na divisão da geometria de um problema estrutural em elementos finitos, os quais sempre possuem as mesmas funções de forma atreladas às incógnitas nodais. Entretanto, por meio deste método, muitas das análises que são realizadas acabam por tornarem-se computacionalmente bastante onerosas, pois as aproximações que podem ser construídas com a forma convencional do MEF acabam por exigir um refinamento exagerado da malha de elementos finitos para a garantia de redução dos erros de aproximação à níveis aceitáveis. Para solucionar este problema e, ao mesmo tempo, dispensar o emprego de malhas de elementos finitos muito refinadas, foi desenvolvido o chamado método dos elementos finitos generalizados (MEFG), tema central do presente trabalho de iniciação científica. O método dos elementos finitos generalizados, ou MEFG, consiste, essencialmente, no método dos elementos finitos convencional, só que com funções de forma geradas a partir do conceito de enriquecimento da 'partição da unidade' por funções de interesse para a solução do problema. Como vantagens do método, destacam-se: a possibilidade de enriquecimento seletivo da aproximação, o emprego de redes de elementos finitos menos refinadas e a reduzida sensibilidade, tanto em relação à distorção de forma quanto ao travamento numérico dos elementos. Neste trabalho, em uma primeira etapa, foi realizado o desenvolvimento de um programa, o qual recebeu o nome de Chapas2D, para a aplicação do MEF convencional por meio de elementos finitos triangulares CST (de deformação constante) e a implementação de um algoritmo de perturbação para resolução de sistemas lineares. Em seguida, foi feita a implementação do MEFG nestes mesmo elementos finitos triangulares e foram realizadas diversas análises comparativas, as quais certificam a maior eficácia do MEFG em comparação ao MEF convencional comumente utilizado. Para finalizar, a metodologia adotada em todas as etapas do projeto buscou contemplar os fundamentos teóricos do método dos elementos finitos convencional e generalizado, o aprendizado do manuseio dos softwares Ansys e GiD assim como do processo de implementação computacional do MEF convencional e do MEFG em linguagem de programação FORTRAN. 6

7 Capítulo 1. Fundamentação Teórica Este primeiro capítulo tem como objetivo contemplar um resumo a respeito da teoria por trás do método dos elementos finitos convencional e generalizado, do elemento finito triangular CST, do algoritmo de perturbação para resolução de sistemas lineares, do método de integração numérica em domínios triangulares através dos pontos de Hammer, do método de cálculo de tensões e deformações utilizando os valores das incógnitas nodais e da lógica da organização da matriz de rigidez no MEFG. 1.1 Método dos Elementos Finitos Convencional (FEM) Seja u o vetor que contém as funções aproximadoras das componentes dos deslocamentos para cada elemento de uma análise plana por elementos finitos. Como o problema estudado é formado por elementos que têm deslocamentos apenas no seu plano, como mostra a figura 1, então: u T uv, (1.1.1) Figura 1. Exemplo de Elemento Finito de Chapa As funções aproximadoras podem ser escritas em função das componentes dos deslocamentos nodais do elemento finito, as quais serão denominados incógnitas nodais (já que nem todas as incógnitas nodais são deslocamentos). As incógnitas nodais serão representadas pelo vetor v. Do que foi dito, têm-se: u v (1.1.2) Contudo, estas mesmas funções aproximadoras podem ser escritas em função dos parâmetros nodais a: u Na (1.1.3) Em cada nó, o elemento finito tem as incógnitas. Se é o vetor das incógnitas nodais do elemento, pode-se escrever que: 7

8 v1 v2 v Aa... vi (1.1.4) Da igualdade acima, obtém-se: 1 a A v (1.1.5) É importante deixar claro que a matriz A tem que poder ser invertida. As relações entre as tensões e as deformações têm a forma: D (1.1.6) Sendo o lado esquerdo o vetor das tensões e o lado direito a matriz que contém os parâmetros elásticos, que caracterizam o material, multiplicado pelo vetor das deformações. No estado plano de tensões, tem-se: x 1 0 x E y y 1 xy 1 xy (1.1.7) Sendo E o módulo de Young e o coeficiente de Poisson. As deformações em função das componentes dos deslocamentos são representadas por: Lu (1.1.8) Sendo L uma matriz de operadores diferenciais. No caso da análise a ser feita no trabalho, por se tratar de um estudo de elementos planos, tem-se: Ficando em forma matricial: u x x (1.1.9) v εy y (1.1.10) u v y x (1.1.11) 8

9 Das equações acima, tem-se: 0 x x u y 0 (1.1.12) y v xy y x 1 1 L N A v A v (1.1.13) Sendo: LN Se as funções aproximadoras são da forma apresentada por u v, as deformações são obtidas diretamente em função das incógnitas nodais, não necessitando efetuar a inversão da matriz A. Ou seja, pode-se escrevê-las como B v Continuando, temos que a energia de deformação, no caso plano, é da forma: 1 U x x σy ε y xy xy dv 2 V (1.1.14) De modo geral, esta igualdade pode ser representada por: 1 T 1 T U dv dv 2 2 V V (1.1.15) O trabalho virtual realizado pelas forças volumétricas b e por ações externas p, cujas componentes estão dirigidas para as incógnitas nodais, tem a forma: T S T u b dv u pd S (1.1.16) Sendo S a região onde as ações estão aplicadas. A energia potencial total do elemento é posta como: V 1 T 1 T 1 T U dv u bdv u p ds (1.1.17) V V S A minimização desse funcional resulta da nulidade da primeira variação da energia potencial total: 9

10 V V S T T T dv u bdv u p ds 0 (1.1.18) Ou: V V S T T T dv δ u bdv δ u p ds (1.1.19) A equação acima representa a igualdade entre os trabalhos virtuais internos e externos, e qualquer um dos lados da equação equivale às equações de equilíbrio do elemento. De tudo que já foi escrito anteriormente, pode-se escrever que a variação das incógnitas nodais é dada por: E também se pode escrever que: u Na (1.1.20) 1 Tendo, então, as incógnitas nodais a forma: Com algumas substituições, tem-se: a A v (1.1.21) 1 u N A v (1.1.22) Com tudo que foi supracitado, finalmente, obtém-se: 1 A v (1.1.23) 1 T 1 T 1 T T T T T T T v A dv v A N bdv v A N p ds (1.1.24) V V S por: Como os deslocamentos virtuais δv são arbitrários, a equação acima fica dada 1 T 1 T 1 T T T T A dv A N bdv A N p ds (1.1.25) V V S Trabalhando-a, essa última expressão assume a forma: T 1 T T T d N d B V A N b V p S (1.1.26) V V S 10

11 As tensões σ podem ainda ser substituídas pelas deformações: Resultando: DDB v (1.1.27) T 1 T T T B DBdVv A N bdv N p ds (1.1.28) V V S O termo entre parênteses do lado esquerdo da igualdade acima é a matriz de rigidez do elemento finito, representada por: T k B DB dv (1.1.29) V Se não se tem explicitada a matriz B, então k é obtida através de: T T D d k A 1 V A 1 (1.1.30) V As duas integrais do lado direito da igualdade (1.1.28) constituem o vetor de cargas nodais equivalentes: d d 1 T T T r A N b V N p S (1.1.31) V S Se as funções aproximadoras são escritas em função das incógnitas nodais, o vetor de cargas nodais equivalentes fica dado por: T T r bdv p ds (1.1.32) Concluindo, obtém-se o seguinte sistema de equações: V S kv r (1.1.33) Estendendo o sistema de equações para o problema todo, cuja matriz de rigidez é representada por K, o vetor das incógnitas nodais por V e o vetor das cargas nodais equivalentes por R, tem-se: KV R (1.1.34) 11

12 1.2 Método dos Elementos Finitos Generalizados (MEFG) Nesta seção, será apresentada a teoria do método dos elementos finitos generalizados, uma síntese sobre sua gênese assim como aspectos relacionados ao mesmo que o diferem do método dos elementos finitos convencional. O método dos elementos finitos generalizados não foi diretamente deduzido a partir do método dos elementos finitos convencional. O mesmo utiliza, como base teórica, os conceitos de outro método conhecido como método das nuvens. Assim, segue uma introdução a respeito desse método que serviu de ponto de partida para a origem do MEFG. Na figura 2, apresenta-se um certo domínio contido pela união de regiões circulares abertas, as quais serão chamadas de nuvens. Admite-se que cada nuvem defina o suporte para uma função de forma associada, ou seja, a função de forma apresenta valores não nulos dentro de sua nuvem. Num ponto x, coberto por um número qualquer de nuvens, as funções de forma associadas compõem o que é chamado de partição da unidade (PU) se a mesmas satisfazerem as seguintes propriedades: 1) Cada uma das funções de forma deve pertencer ao espaço C de funções contínuas, assumir valores não-nulos apenas no interior da correspondente nuvem e tender a valores nulos nos seus limites. 2) A somatória dos valores de todas as funções de forma associadas em uma nuvem na qual está contido um ponto x qualquer deve ser igual a 1. Esta condição é necessária para assegurar que as funções de forma sejam capazes de reproduzir uma constante. 3) Cada função de forma deve possuir valores positivos e não nulos dentro da região de sua nuvem. Figura 2. Esquema Ilustrativo de Nuvens Dentro de um Domínio Qualquer 12

13 Deve-se notar que a condição 1 é bastante restritiva e é normalmente relaxada, no sentido de que se consideram como PU funções de suporte compacto até certa ordem de derivada. Também é importante ressaltar que, entre todas as condições arroladas, a segunda é a mais importante e, em termos de aplicação, somente ela tem sido exigida para a caracterização de uma PU. Um dos motivos da grande importância da segunda condição provém do fato que a mesma garante que no limite de uma discretização muito fina em número de nuvens, a aproximação resultante sobre todo o domínio apresente uma convergência para a função solução. Em suma, no método das nuvens propõe-se realizar o enriquecimento da função de forma atrelada a certa nuvem adicionando-se novos parâmetros nodais àqueles inicialmente existentes. Para tanto, realiza-se o produto da partição da unidade inicial por funções com boas propriedades de aproximação da solução do problema em análise. Dessa forma, tomando-se o método das nuvens como princípio teórico, MELENK & BABUSKA (1996) propuseram que as funções de forma típicas do MEF poderiam ser empregadas como partições da unidade, dando origem ao chamado método dos elementos finitos partição da unidade (MEFPU). Em uma natural associação com o método das nuvens, passou-se a empregar o conjunto de nós e malhas (elementos finitos) da rede para a definição de nuvens. Nesse caso, entende-se por nuvem o conjunto de elementos que dividem um nó comum. O passo seguinte decorreu da idéia de adicionar refinamentos hierárquicos ao conjunto de funções de forma atreladas a determinado nó, e o método resultado recebeu o nome de método dos elementos finitos generalizados (MEFG). Figura 3. Conceito de Nuvens sob a Ótica do MEFG O MEFG apresenta, resumidamente, as seguintes características: 1) Trata-se de um método que independe da rede (Mesh-Free), já que a mesma não é empregada no sentido clássico, isto é, com aproximação atrelada ao elemento. 2) O método é apresentado como uma forma de obter boas condições de aproximação local (no interior da nuvem), sendo que a partição da unidade permite combinar as aproximações locais de modo a assegurar a conformidade da aproximação global. Este aspecto é bastante importante, pois no MEF convencional a escolha de um espaço de funções com boas qualidades aproximativas locais pode 13

14 levar a que não se consiga impor a conformidade ou a continuidade nas linhas de fronteira entre elementos da rede. No MEFG, a continuidade da aproximação global possui grau atrelado ao grau de continuidade da PU. 3) As condições de contorno são facilmente impostas, como no MEF. 4) O método é robusto mesmo sob forte distorção da malha (resultante do fato de que o enriquecimento é feito sobre coordenadas espaciais). 5) Há um paralelo entre as versões h e p do MEF e o MEFG. Se todo o espaço das aproximações locais é ampliado e os suportes das funções partição de unidade são mantidos, tem-se uma situação equivalente ao refinamento p do MEF. Por outro lado, se o espaço das aproximações locais é mantido e a área de influência de cada suporte reduzida, tem-se um processo semelhante ao MEF com refinamento h. Sob o ponto de vista de programação, o MEFG permite aproveitar toda a estrutura das rotinas do MEF tanto para a geração da matriz de rigidez quanto do vetor de forças nodais. O enriquecimento implica simplesmente na adição de novas linhas e colunas nas matrizes e vetores convencionais. O programa desenvolvido, no presente trabalho, utiliza o MEFG tendo como pano de fundo o MEF convencional de elementos finitos triangulares CST. Assim, para os nós dos elementos finitos, estão programadas as seguintes funções de forma convencionais conhecidas: 1 NóLocal1 x2y3x3y2x y2 y3 y x3x2 2 A 1 NóLocal 2 x3y1x1y3xy3 y1 yx1x3 2 A (1.2.1) (1.2.2) A 2A NóLocal3 x y x y x y y y x x x y x y x y y y x x Sendo A a área do elemento finito, x1, x2, x3, y1, y2 e y3 as coordenadas dos nós locais. Agora, com o aplicativo atuando com o MEFG e com a possibilidade de haver refinamentos nodais, foram programados 3 funções diferentes de refinamento, as quais podem ser aplicadas a qualquer nó caso desejado. Estas funções, por possuírem a propriedade de apresentarem valores nulos nas coordenadas do próprio nó refinado, são chamadas de funções bolhas e possuem a vantagem de não destruírem o significado físico dos valores de deslocamentos obtidos para as incógnitas nodais após a resolução do sistema formado pela matriz de rigidez e o vetor de forças nodais. Porém, vale lembrar que outras funções, que não as bolhas, podem ser também utilizadas para atuarem como funções de refinamento. Primeira função de refinamento programada: multiplicação das funções convencionais pela variável x. * x x1 1, NóLocal1 NóLocal1 (1.2.4) h (1.2.3) 14

15 * x x2 1, NóLocal 2 NóLocal 2 h (1.2.5) * x x3 1, NóLocal3 NóLocal3 h (1.2.6) Segunda função de refinamento programada: multiplicação das funções convencionais pela variável y. * y y1 2, NóLocal1 NóLocal1 h (1.2.7) * y y2 2, NóLocal 2 NóLocal 2 h (1.2.8) * y y3 2, NóLocal3 NóLocal3 h (1.2.9) Terceira função de refinamento programada: multiplicação das funções convencionais pelas variáveis x e y multiplicadas entre si. xx1 y y1 h (1.2.10) xx2 y y2 2 NóLocal h (1.2.11) xx3 y y3 2 NóLocal h (1.2.12) * 3, NóLocal1 2 NóLocal1 * 3, NóLocal 2 2 * 3, NóLocal3 3 Sendo h, em todas as equações acima, a maior distância entre dois nós dentro da nuvem da função de forma. Para finalizar esta análise a respeito das funções de refinamentos implementadas no programa Chapas2D, é importante esclarecer o objetivo e critério adotado na obtenção do valor da constante h, mostrada acima, a qual está sempre presente no denominador das funções de refinamentos. Conforme foi supracitado, a variável h está associada com a maior distância entre dois nós dentro de uma nuvem associada à um determinado nó refinado. Assim, o programa escrito apresenta uma rotina que possui a meta de calcular essa maior distância em todas as nuvens associadas aos nós refinados da análise. Este valor é aplicado no cálculos das funções de forma, pois os mesmos promovem uma uniformidade nas grandezas obtidas nos cálculos efetuados pelo programa. Ou seja, tal procedimento evita que o programa acabe lidando com valores de ordem de grandeza muito diferentes durante os cálculos das matrizes de rigidez. 15

16 Figura 4. Exemplo de Nuvem Associada à um Certo Nó e a Maior Distância Entre Dois Nós 1.3 Elementos Finitos Triangulares CST Com a dedução mostrada na seção (1.1) da forma geral do MEF convencional, é possível apresentar a formulação do elemento finito bidimensional triangular CST, o qual serviu como base no programa desenvolvido para a implementação do MEFG. O programa Chapas2D visa analisar estruturas bidimensionais sob estado plano de tensão e de deformação. Segue uma breve análise a respeito dos dois tipos de problemas estrutural. O estado plano de tensão ocorre em sólidos cujas dimensões na direção z são muito pequenas. Um exemplo expressivo que pode ser citado é o de uma chapa solicitada em seu plano médio sem carregamento atuando perpendicularmente a ele. Para esse tipo de problema, as tensões xy e zx são nulas na superfície e z é nula ao longo da espessura. Nos problemas sob este estado, as deformações são determinadas mediantes as seguintes igualdades: Com a componente z calculada através da expressão: E com yz zx 0 Dessa forma, as equações constitutivas ficam sendo: u x x (1.3.1) v y y (1.3.2) u v xy y x (1.3.3) z x y (1.3.4) 1 16

17 σ υ ε x 1 0 x E σy υ ε υ y 1 τ υ γ xy 1 xy (1.3.5) Já o estado plano de deformação ocorre em estruturas longas, cuja geometria e estado de carregamento não mudam muito ao longo do seu eixo longitudinal. Alguns exemplo de sólidos sob estado plano de deformação são: muro de contenção, barragem, viga longa sobre base elástica, tubos enterrados, etc. Nesses casos, as deformações z, yz e zx são assumidas nulas, ficando o estado de deformações determinado por (1.3.1), (1.3.2) e (1.3.3). A tensão na direção do eixo z para esse tipo de problema fica determinada por: E as equações constitutivas ficam sendo: z ( x y) (1.3.6) σ 1- υ υ 0 ε x x E σy υ 1- υ 0 εy (1+ υ) (12υ) τ xy 1 2 υ γ xy (1.3.7) Continuando, os dois casos apresentados podem ser tratados pelo método dos elementos finitos de maneira semelhante, já que as equações constitutivas podem ser expressas em termos de mesmas tensões e deformações. De modo geral, as igualdades (1.3.5) e (1.3.7) podem ser postas na mesma forma: E a matriz D assume a seguinte forma genérica: D (1.3.8) 1 υ` 0 E` D υ` υ` 1 υ` (1.3.9) E Sendo E` E e υ` υ para o estado plano de tensão e E` e ` 2 1 para o estado plano de deformação. 1 17

18 Tratando-se, agora, da aplicação dos elementos finitos triangulares CST à forma geral do MEF convencional, temos que estes possuem dois graus de liberdade por nó, os quais são os deslocamentos u e v respectivamente nas direções x e y. Figura 5. Representação dos Graus de Liberdade Presentes em um Elemento Finito Triangular CST Sejam definidos índices i, j, k de maneira que seus valores se alteram ciclicamente. Isto é: i = 1, j = 2, k = 3; i = 2, j = 3, k = 1 e i = 3, j = 1, k = 2. Fazendo: ai xk x j e bi y j y k a matriz B pode ser escrita da seguinte maneira: b1 0 b2 0 b3 0 1 B 0 a1 0 a2 0 a3 (1.3.10) 2 A a 1 b 1 a 2 b 2 a 3 b 3 Não obstante, é importante lembrar que essa forma para a matriz B só é válida no MEF convencional, ou seja, quando não há nenhum refinamento nodal aplicado na análise. Caso haja a opção de refinamento, então está se tratando do MEFG e a matriz B acaba por se tornar mais larga quanto mais refinamentos houverem nos nós locais dos elementos finitos. O assunto a respeito do efeito que o MEFG provoca nas matrizes B e de rigidez será apresentado na seção (1.8). Voltando à discussão de como é organizado o algoritmo do MEF convencional com elementos triangulares CST, segue como é calculada a matriz de rigidez para cada elemento finito: 1 υ 0 Ee T υ d B B A (1.3.11) A 0 0 Sendo e a espessura do elemento e

19 Finalmente, substituindo B e integrando, tem-se a forma explícita de k: Onde: Ee k k (1.3.12) 4A 1 2 k 2 2 b1 a1 a1b1( ` ) b1b2 a1a2 `a2b1a1b2 b1b3 a1a3 `a3 b1a1b3 2 2 a1 b1 `a1b2 a2b1 a1a2 b1b2 `a1b3 a3 b1 a1a3 b1b3 2 2 b2 a2 a2b2( ` ) b2 b3 a2a3 `a3 b2 a2b3 2 2 a2 b2 `a2b3 a3 b2 a2a3 b2 b3 2 2 Simétrica b3 a3 a3 b3 ( ` ) 2 2 a3 b3 (1.3.13) Disso, é possível construir um algoritmo computacional que soluciona problemas estruturais sob estado plano de tensão e de deformação utilizando o elemento finito triangular CST. Novamente, é importante ressaltar que a matriz de rigidez dos elementos finitos pode ser maior no MEFG e que a mesma, neste caso, só pode ser calculada mediante integração numérica. 1.4 Algoritmo de Perturbação para Resolução de Sistemas Lineares Nesta seção segue uma explanação a respeito da teoria do método de resolução de sistemas lineares adotado no programa Chapas2D. O mesmo foi sugerido por Strouboulis, Babuska e Copps no artigo "The design and analysis of the generalized finite element method". O algoritmo de perturbação para resolução de sistemas lineares trata-se de uma das várias abordagens possíveis para se resolver um sistema linear da forma Ku = f, onde K é uma matriz que pode não ser positivo definida. A mesma baseia-se na imposição de pequena perturbação sobre a matriz do sistema escrita em forma escalonada. Assim sendo, numa primeira etapa do procedimento, o sistema na sua forma escalonada passa a ser representado como: ~ ~ ~ Ku f (1.4.1) Os elementos que aparecem na nova forma se relacionam com os originais mediante as seguintes relações: ~ K TKT (1.4.2) ~ 1 u T u (1.4.3) ~ f T f (1.4.4) 19

20 Sendo: T ij ij (1.4.5) K ij Na qual ij é o delta de Kronecker. A matriz ~ K apresenta valores unitários na sua diagonal principal. Esta forma escalonada pode, então, ser perturbada nos seus elementos da diagonal principal, conforme indica a relação seguinte: ~ ~ K KI 10 com 0 10 (1.4.6) Sendo I a matriz identidade. A matriz perturbada resulta positivo-definida e, portanto, pode ser invertida. A solução do sistema com a matriz perturbada fica expressa como: ~ ~ 1 ~ u K f 0 (1.4.7) Como não foi empregada a matriz escalonada original, aparece um resíduo determinado por: ~ ~ ~ 0 0 r fk u (1.4.8) A correção do resíduo, no sentido de anulá-lo, pode ser obtida de forma iterativa, isto é, reduzindo-o de forma progressiva. Por exemplo, definindo o erro no deslocamento como: ~ ~ e u u (1.4.9) 0 0 E aplicando sobre ambos os membros a matriz escalonada, obtém-se: ~ ~ ~ ~ ~ Ke Ku Ku r (1.4.10) Empregando-se novamente ~ K em lugar de ~ K, por ser inversível é possível, da relação anterior, obter uma aproximação suficientemente precisa para o erro no deslocamento operando-se o seguinte cálculo: ~ e K r (1.4.11) Com essa estimativa, é possível obter uma nova aproximação para a solução do sistema original: 20

21 ~ ~ ~ 1 u u K r (1.4.12) Com esta nova estimativa, pode-se atualizar o resíduo: ~ ~ ~ r fk u1 (1.4.13) 1 E prosseguir iterativamente, atualizando o erro de aproximação e atualizando a estimativa de solução. Em termos genéricos, pode-se escrever: i 1 ~ ri r0 Kej (1.4.14) i ~ ~ i 0 j 0 ~ 1 i i 1 e K r (1.4.15) u u e (1.4.16) Um critério de parada do processo iterativo pode ser baseado na norma relativa do erro da aproximação definida por: ~ ei Kei (1.4.17) ~ ~ ui K ui para i 1 O processo iterativo prossegue até que a norma seja menor ou igual a um valor suficientemente pequeno. Finalmente, após a convergência, a solução do sistema original passa a ser calculada mediante a seguinte transformação: ~ u T u (1.4.18) j Integração Numérica pelo Método da Quadratura de Gauss O conceito básico por trás do método de Gauss para integração numérica é o de que uma integral pode ser aproximada pela seguinte somatória: b a α... α j F r dr 1F r1 2F r2 F r R (1.5.1) n n n Na qual α 1,..., n são chamados de pesos, r1,... r n os pontos amostrais e Rn o erro da aproximação. No sentido de se determinar o valor dos pesos assim como dos pontos amostrais, é utilizado o seguinte polinômio de interpolação: 21

22 n j j j 1 r F l r (1.5.2) Neste, os n pontos amostrais são ainda desconhecidos. Para a determinação dos mesmos, é definida a função P r :... P r r r1 r r2 r r n (1.5.3) O qual se trata de um polinômio de grau n. Deve ser notado que esse polinômio apresenta como raízes os valores dos pontos amostrais. Com os 2 polinômios mencionados acima, então pode ser escrita a seguinte igualdade: Integrando... F r r P r r r (1.5.4) Fr, obtém-se: n j Frdr Fj lj rdrj r Pr dr j1 j0 b b b a a a (1.5.5) O que deve ser notado é que enquanto na primeira integral da direita somente polinômios de grau n 1 e inferiores é que são integrados, na segunda integral, que vem depois, polinômios de grau n e maior do que n é que o são. Os valores dos pontos amostrais desconhecidos podem, agora, ser determinados mediante o sistema formado através da equação: integral b a d,,,..., j r P r r 0parak 012 n1 (1.5.6) Assim, com os pontos amostrais calculados dessa maneira, isso significa que a b a F r d r vai ser aproximada por meio da integração de um polinômio de grau 2n 1. Ou seja, com a quadratura de Gauss é possível, utilizando n pontos amostrais, calcular exatamente a integral de um polinômio de grau 2n 1 através de um polinômio interpolador de grau n 1. Entretanto, o cálculo dos pontos amostrais e dos pesos depende do intervalo de integração em consideração. Para contornar este problema e tornar o uso do método de integração numérico generalizado, basta calcular os pontos amostrais e os pesos considerando o intervalo como sendo de -1 a 1. Dessa forma, sempre que for necessário um intervalo diferente, uma simples substituição de variáveis pode readequar o intervalo para qualquer outro desejado. 22

23 Para finalizar, segue a equação para o cálculo dos pesos assim como uma tabela mostrando os valores dos pesos e pontos amostrais para os casos nos quais são utilizados até 5 pontos amostrais. j 1 j 1 d ;,,..., l r r j 12 n (1.5.7) Tabela 1. Pontos e Pesos da Quadratura de Gauss Até então foi considerado um método de integração numérica de funções de uma só variável. Porém, para a análise de casos planos por elementos finitos, são necessários integrações em duas dimensões. Todo o desenvolvimento supracitado pode ser aproveitado para o caso de integrações duplas graças ao teorema de Fubini. Primeiro, em uma integral dupla, é feita a integração numérica considerando uma das duas variáveis como constante: 11 1, d d, F r s r s F r s ds (1.5.8) i 11 i 1 Depois, a integração numérica é novamente reaplicada na integral que restou: 11 11, d d i j i, j i, j i F r s r s F r s (1.5.9) 23

24 E assim pode ser obtida a equação para a integração numérica em integrais duplas. No entanto, os intervalos de integração, os quais podem ser diferentes dos usados acima, que vão de -1 a 1, podem ser determinados através do conjunto de operações que seguem abaixo. x g u, v e Seja o Jacobiano de uma transformação qualquer T, dado por, y h u v, definido conforme segue: x x xy, u v x y x y uv, y y u v v u u v (1.5.10) 1 Então, suponha que T seja uma transformação do tipo C cujo Jacobiano não é zero e que mapeie uma região S em um plano uv para uma região R em um plano xy. Suponha também que f seja uma função contínua em R e que S e R são regiões planas do tipo I ou II. Para finalizar, considere que T é um para um, exceto talvez nas bordas da região S. Dessa forma, com todas as considerações anteriores, pode ser escrito: xy, f x, yda f xu, v, yu, v dudv uv, R S (1.5.11) 1.6 Integração Numérica em Domínios Triangulares No programa desenvolvido, como são utilizados elementos finitos triangulares, foi necessário ser adotado um método de integração numérica para domínios triangulares. Várias são as fórmulas existentes que solucionam este tipo de problema, sendo que muitas das mais usadas foram deduzidas por Hammer, entre outros pesquisadores, e são do tipo Gaussiana e totalmente simétricas com respeito aos três vértices da área triangular que está sendo integrada. Geralmente, as fórmulas para integração numérica de uma determinada função f em um domínio triangular de área A são todos da forma: N i 1 fda A w f,, (1.6.1) i i i i onde i, i, i são as coordenadas, em domínio triangular, do ponto de integração de número i e w i é o peso associado à este ponto de integração. 24

25 Figura 6. Elemento Finito Triangular e a Representação das Coordenadas em Diversos Pontos no Sistema de Referência Local Os valores das coordenadas em domínio triangular assim como dos pesos associados podem ser encontrados em tabelas conhecidas como tabelas de pontos de Hammer. Seguem abaixo os valores utilizados no programa escrito, o qual permite que o usuário escolha entre utilizar 1, 3, 4 ou 6 pontos de integração de Hammer. Tabela 2. Pontos e Pesos de Hammer para Integração Numérica em Domínios Triangulares 25

26 Apesar de o método supracitado de integração em domínios triangulares ter sido deduzido para um triângulo equilátero, qualquer triângulo pode ser mapeado como correspondente a um equilátero por meio de transformações lineares de variáveis. As coordenadas em domínios triangulares, vistas acima, não variam com essas mudanças de variáveis e, por isso, o método pode ser aplicado para qualquer triângulo. Tratando-se do programa Chapas2D, a fórmula utilizada no mesmo para a integração numérica em domínios triangulares é: T K B ( ii, i) DB( ii, i) e J( ii, i) wh( ii, i) (1.6.2) i Sendo: 1, w H os pesos definidos pela regra de integração de Hammer para os pontos com coordenadas ( ii, i), e a espessura do elemento no ponto de integração e J( i i, i) o módulo do jacobiano dado por x2y3 x3 y2 x2y1x1y2 x1y3 x3 y1 com x1, x2, x3, y1, y2 e y3 sendo as coordenadas dos nós locais do elemento finito. 1.7 Cálculo das Tensões e Deformações Nesta seção será apresentado o método de cálculo adotado no programa Chapas2D para se obter os valores das tensões e deformações médias nodais, de forma que todos os resultados possam ser visualizados no aplicativo GiD de forma contínua. Conforme foi visto na seção (1.3), da teoria do método dos elementos finitos, tem-se que as deformações nas direções X, Y e de cisalhamento podem ser obtidas mediante a seguinte equação: B v (1.7.1) Sendo o vetor de deformações, B a matriz B da análise e v o vetor de incógnitas nodais. E as tensões nas direções X, Y e de cisalhamento podem ser obtidas mediante a seguinte equação: DBv D (1.7.2) Sendo D a matriz que contém os parâmetros elásticos que caracterizam o material do elemento finito. Dessa forma, estas equações foram programadas no Chapas2D para realizarem os cálculos das tensões e deformações nodais. No entanto, vale deixar claro que caso o programa apresente a função de refinamentos nodais ativada, as tensões e deformações são calculadas diretamente nas coordenadas de todos os nós locais de cada elemento finito e, depois, realiza-se a média dos valores obtidos em função do número de elementos finitos que apresentam um mesmo nó em comum. 26

27 Continuando, para o cálculo das tensões principais nodais, é possível mostrar que os valores numéricos dos mesmos podem ser obtidos através das raízes de um polinômio de terceiro grau conhecido como equação característica. Sendo: I 2 3 I 2I I 0 (1.7.3) P 1 P 2 P 3 I 1 x y z (1.7.4) x xy σy τyz σx τxz yx y τzy σz τzx σz (1.7.5) σx τxy τxz I3 τyx σy τyz (1.7.6) τ τ σ zx E a tensão de cisalhamento máxima pode ser obtida através da seguinte equação: zy z max max 1 2, 2 3, (1.7.7) Para o cálculo das deformações principais nodais, as equações são semelhantes às citadas anteriormente. Novamente, as deformações principais podem ser obtidas através das raízes de um polinômio de terceiro grau também conhecido como equação característica. Sendo: I 2 3 I 2I I 0 (1.7.8) P 1 P 2 P 3 I 1 x y z (1.7.9) x xy y yz x xz yx y zy z zx z (1.7.10) x xy xz I3 yx y yz (1.7.11) zx E a deformação de cisalhamento máxima pode ser obtida através da seguinte equação: zy z 27

28 max max,, (1.7.12) 1.8 Algoritmo de Organização da Matriz de Rigidez pelo MEFG Conforme foi supracitado, o método dos elementos finitos generalizados permite obter, em regiões previamente determinadas, melhores resultados através do chamado refinamento local. Entretanto, embora a teoria seja simples de compreender, programála trata-se de um desafio complexo, já que o código do programa deve traduzir para o computador toda a lógica do posicionamento dos elementos da matriz de rigidez de cada elemento finito para a matriz de rigidez global da análise. Nesta seção, será feito, primeiramente, uma abordagem racional de como um programa de MEFG com elementos triangulares CST opera para organizar a sua matriz de rigidez global e, depois, será abordado o código dessa lógica em linguagem FORTRAN. De início, deve ser compreendido como que no MEFG para elementos finitos triangulares CST são organizadas as matrizes de rigidez de cada elemento finito. Abaixo, segue a explanação de uma possível solução para esta questão, porém vale recordar que outras formas de lidar com o mesmo problema existem. Antes de começar, é importante deixar claro a simbologia que será aqui utilizada para se referir às matrizes e ao seus vários elementos: Nx1, Nx2 e Nx3 são as derivadas, com relação à variável x, das funções de forma tradicionais associadas aos nós locais 1, 2 e 3; Ny1, Ny2 e Ny3 são as derivadas, com relação à variável y, das funções de forma tradicionais associadas aos nós locais 1, 2 e 3; DxYZ se trata da derivada, com relação à variável x, da função de forma atrelada ao nó de número Y enriquecida pelo enriquecimento de número Z; e DyYZ se trata da derivada, com relação à variável y, da função de forma atrelada ao nó de número Y enriquecida pelo enriquecimento de número Z. Primeiramente, é sabido que a matriz de rigidez local de um elemento finito é dado pela equação: T k B DBdV (1.8.1) V Assim, devem ser definidos cada um desses elementos da integração, a começar pela matriz B. Quando se trata do elemento finito CST tradicional, a matriz B sempre vale: Nx1 0 Nx2 0 Nx3 0 B = 0 Ny1 0 Ny2 0 Ny3 Ny1 Nx1 Ny2 Nx2 Ny3 Nx3 Esquema Matricial 1. Matriz B Convencional No entanto, caso haja refinamento em algum nó do elemento finito, como no nó 1, por exemplo, então a matriz B acaba sendo expandida para: 28

29 Nx1 0 Dx Nx2 0 Nx3 0 B = 0 Ny1 0 Dy11 Ny1 0 Ny2 0 Ny3 Ny1 Nx1 Dy11 Dx11 Nx1 Ny2 Nx2 Ny3 Nx3 Legenda: Novas Colunas que surgem Esquema Matricial 2. Primeiro Exemplo de Matriz B Expandida Ou seja, para cada refinamento que é adicionado a um nó local do elemento finito, a matriz B do elemento finito é expandido de duas colunas. Para melhor compreensão, um outro exemplo que pode ser dado é o do nó local 1 do elemento finito refinado por 2 funções de refinamento (que serão chamadas, só agora, de funções 1 e 2 de refinamento) e o nó local 3, deste mesmo elemento finito, refinado somente pela função 2 de refinamento: Nx1 0 Dx11 0 Dx Nx2 0 Nx3 0 Dx32 0 B = 0 Ny1 0 Dy11 0 Dy12 Ny1 0 Ny2 0 Ny3 0 Dy32 Ny1 Nx1 Dy11 Dx11 Dy12 Dx12 Nx1 Ny2 Nx2 Ny3 Nx3 Dy32 Dx32 Legenda: Novas Colunas que surgem Esquema Matricial 3. Segundo Exemplo de Matriz B Expandida Dessa forma, fica claro o efeito que os refinamentos dos nós produzem na matriz B. Para cada refinamento, surgirão colunas de derivadas ao lado das colunas associadas ao nó que está sendo refinado. Continuado, a matriz D não sofre alteração devido aos refinamentos dos nós e a integral pode ser calculada numericamente pelo método dos pontos de Hammer. Então, para a compreensão total do processo de montagem das matrizes de rigidez local, fica restando detalhar a lógica de programação dos conceitos mencionados acima. Para melhor organização, todas as derivadas das funções de forma normais e refinadas podem ser ajustadas em uma matriz retangular chamada de, por exemplo, FuncoesMatrizB. Então, a cada três linhas dessa matriz, são escritos os valores das derivadas da função de forma (refinada ou não) com relação a x, na coluna um, e com relação a y, na coluna dois, associadas aos nós locais 1, 2 e 3. Ou seja, FuncoesMatrizB(1,1) refere-se ao valor da derivada em x da função de forma normal associada ao nó 1 e FuncoesMatrizB(3,2) refere-se ao valor da derivada em y da função de forma normal associada ao nó 3. No entanto, FuncoesMatrizB(4,1) já se refere ao valor da derivada em x da primeira função de forma refinada associada ao nó local 1, assim como FuncoesMatrizB(11,2) refere-se ao valor da derivada em y da terceira função de forma refinada associada ao nó local 2. No sentido de simplificar o entendimento, os valores da FuncoesMatrizB, utilizado no programa Chapas2D, será apresentado com todos os seus significados: 29

30 Tabela 3. Significado de Todos os Valores da Matriz FuncoesMatrizB Elemento da Matriz: Significado: FuncoesMatrizB(1,1) Valor da derivada em x da função de forma normal associada ao nó local 1 FuncoesMatrizB(1,2) Valor da derivada em y da função de forma normal associada ao nó local 1 FuncoesMatrizB(2,1) Valor da derivada em x da função de forma normal associada ao nó local 2 FuncoesMatrizB(2,2) Valor da derivada em y da função de forma normal associada ao nó local 2 FuncoesMatrizB(3,1) Valor da derivada em x da função de forma normal associada ao nó local 3 FuncoesMatrizB(3,2) Valor da derivada em y da função de forma normal associada ao nó local 3 FuncoesMatrizB(4,1) Valor da derivada em x da função de forma refinada 1 associada ao nó local 1 FuncoesMatrizB(4,2) Valor da derivada em y da função de forma refinada 1 associada ao nó local 1 FuncoesMatrizB(5,1) Valor da derivada em x da função de forma refinada 1 associada ao nó local 2 FuncoesMatrizB(5,2) Valor da derivada em y da função de forma refinada 1 associada ao nó local 2 FuncoesMatrizB(6,1) Valor da derivada em x da função de forma refinada 1 associada ao nó local 3 FuncoesMatrizB(6,2) Valor da derivada em y da função de forma refinada 1 associada ao nó local 3 FuncoesMatrizB(7,1) Valor da derivada em x da função de forma refinada 2 associada ao nó local 1 FuncoesMatrizB(7,2) Valor da derivada em y da função de forma refinada 2 associada ao nó local 1 FuncoesMatrizB(8,1) Valor da derivada em x da função de forma refinada 2 associada ao nó local 2 FuncoesMatrizB(8,2) Valor da derivada em y da função de forma refinada 2 associada ao nó local 2 FuncoesMatrizB(9,1) Valor da derivada em x da função de forma refinada 2 associada ao nó local 3 FuncoesMatrizB(9,2) Valor da derivada em y da função de forma refinada 2 associada ao nó local 3 FuncoesMatrizB(10,1) Valor da derivada em x da função de forma refinada 3 associada ao nó local 1 FuncoesMatrizB(10,2) Valor da derivada em y da função de forma refinada 3 associada ao nó local 1 FuncoesMatrizB(11,1) Valor da derivada em x da função de forma refinada 3 associada ao nó local 2 FuncoesMatrizB(11,2) Valor da derivada em y da função de forma refinada 3 associada ao nó local 2 FuncoesMatrizB(12,1) Valor da derivada em x da função de forma refinada 3 associada ao nó local 3 FuncoesMatrizB(12,2) Valor da derivada em y da função de forma refinada 3 associada ao nó local 3 Continuando, a matriz B, para os problemas estruturais planos, sempre terá 3 linhas, então basta que o programa organize dinamicamente as colunas para a montagem da mesma. Para isso, devem ser realizados dois loops, sendo que um se repete três vezes, e outro, mais interno, se repete tantas vezes quanto for o número de funções de refinamento que existem no programa. O objetivo do primeiro loop é o de organizar as colunas da matriz B em função do nó local o qual está sendo analisado. Ou seja, quando a repetição está no valor 1, está sendo organizado os valores das colunas da matriz B associadas ao nó local 1 e assim por diante (como o elemento finito do programa escrito se trata do triangular CST, então só há três nós e esse primeiro loop se repete três vezes). Outra função desse primeiro loop externo é o de também já posicionar as 2 colunas relacionadas às derivadas das funções de forma normais relacionadas ao nó que está sendo tratado. Já o segundo loop, o qual é interno ao primeiro, visa organizar as colunas relacionadas às derivadas das funções de forma dos refinamentos associadas ao nó local que está sendo tratado (o qual é ditado pelo loop externo). Dessa forma, o segundo loop verifica se o presente nó local está refinado por cada um dos refinamentos existentes no programa e, se o mesmo estiver, são acrescentadas duas colunas ao lado das colunas das derivadas das funções de forma normal do nó local que está sendo trabalhado. Para entender melhor toda a lógica supracitada, segue o código fonte da parte do programa que trata dessa organização da matriz B: 30