ANÁLISE ELÁSTICA LINEAR DE ELEMENTOS PLANOS ENRIJECIDOS COM FIBRAS ATRAVÉS DE UM ACOPLAMENTO MEC-MEF

Transcrição

1 SIMMEC/EMMCOMP 14 XI Simpósio de Mecânica Computacional II Encontro Mineiro de Modelagem Computacional Juiz De Fora, MG, 8- de Maio De 14 ANÁLISE ELÁSTICA LINEAR DE ELEMENTOS PLANOS ENRIJECIDOS COM FIBRAS ATRAVÉS DE UM ACOPLAMENTO MEC-MEF Luiz Antonio dos Reis, Leandro Palermo Júnior Universidade Estadual de Campinas Faculdade de Engenharia Civil UNICAMP/FEC Av. Albert Einstein, 951, Caixa Postal: 61, CEP Campinas, SP Resumo. A análise elástica linear de elementos planos (Estado Plano de Tensão Generalizado) enrijecidos com elementos lineares (barras) é estudada neste trabalho fazendo-se um acoplamento entre elementos modelados com o Método dos Elementos de Contorno (MEC) e com o Método dos Elementos Finitos (MEF). As fibras são modeladas pelo MEF com elementos lineares de três graus de liberdade por nó. Os elementos planos são modelados pelo MEC com elementos isoparamétricos lineares no perímetro. É permitido o uso de sub-regiões com objetivo de generalizar o tratamento do meio elástico. Tendo em conta estes aspectos da formulação desenvolvida, alguns exemplos são apresentados para avaliação de seu desempenho nos problemas de engenharia. Palavras-Chave: Elementos de Contorno, Elementos Finitos, Mínimos Quadrados, Acoplamento MEC/MEF

2 Análise Elástica Linear de Elementos Planos Enrijecidos com Fibras Através de um Acoplamento MEC-MEF 1 INTRODUÇÃO Na engenharia, os problemas físicos são formulados através de um conjunto de equações diferenciais, onde a solução analítica somente é possível em alguns casos mais simples e os métodos numéricos são empregados na maior parte dos casos. O método dos elementos finitos e o método dos elementos de contorno são muito importantes, dentre os vários métodos numéricos empregados na resolução de problemas de engenharia, e seu acoplamento é estudado por muitos pesquisadores. O método dos elementos finitos (MEF), inicialmente proposto nos trabalhos de Argyris (196), Adini e Clough (1961), Melosh (1961) e outros, tem como ideia básica a divisão do domínio do problema em um número finito de subdomínios, denominados de elementos finitos, que são interligados através de pontos nodais. Atualmente, o MEF encontra-se em um estágio bastante avançado, constituindo-se no método numérico mais utilizado para solução dos mais variados problemas de engenharia de forma que, tem se mostrado como uma boa opção de cálculo, principalmente nos problemas com domínios finitos, não homogêneos, anisotrópicos e, também, em análise não linear do comportamento estrutural. O método dos elementos de contorno (MEC) é um dos métodos numéricos com aplicações computacionais mais recentes em relação ao MEF. Cabe observar que a técnica das equações integrais de contorno para solução dos problemas de engenharia é antiga, e Brebbia (1978a e 1978b), dentre outros pesquisadores, foi dos que empregou o método das equações integrais de contorno associada a metodologia para tratamento numérico usada no MEF para resolver problemas de engenharia. O MEC se apresenta como uma boa opção de cálculo em problemas de domínios infinitos, semi-infinitos e regiões de grande concentração de tensões, entretanto, sua utilização na análise de problemas de engenharia pode ser muito ampliada sem for desenvolvida uma técnica eficiente para combinação com outros métodos numéricos, em particular o MEF. Na Engenharia a inclusão de um elemento linear elástico em domínios planos é uma prática bastante comum, podendo-se citar os elementos de fundação inseridos no solo. Estes elementos elásticos podem ser rígidos ou flexíveis e conferem ao domínio que são inseridos a propriedade de anisotropia. O estudo de problemas de domínios enrijecidos não é novo e, recentemente, foi estudado por Wutzow (), Botta (), Silva (1), dentre outros. Neste trabalho, o elemento linear elástico é modelado através do MEF considerando aproximação diferente para forças para permitir sua combinação com o MEC. O acoplamento MEC/MEF é obtido unindo-se as equações dos dois modelos com a imposição da compatibilidade de deslocamentos e equilíbrio de forças. A formulação considera uma união perfeita entre os dois meios, onde as reações da barra são consideradas como uma linha de cargas sobre o domínio plano. Dois exemplos são apresentados para mostrar a eficiência da técnica utilizada. SIMMEC/EMMCOMP 14 ABMEC, Juiz de Fora, MG, 8- de maio de 14

3 Reis, L.A., Palermo Junior, L. EQUAÇÕES BÁSICAS Serão apresentadas as equações empregadas nos tratamentos do MEF e MEC para domínios planos e para os elementos lineares, respectivamente..1 Método dos Elementos de Contorno Em um corpo deformável com domínio Ω e um contorno Γ, para um ponto qualquer s, a equação integral de contorno para equação diferencial do problema plano é dada por: c ij (s)u i = Γ u ij P j dγ P ij Γ u j dγ + u Ω ij b j dω (1) Tendo em conta a solução de problemas planos, a solução para carga unitária em domínio planos, análoga à de Kelvin, Love (1984) para problemas tridimensionais. O vetor de forças de domínio bj se aplicado em uma área que tende a uma linha se transforma em uma linha de cargas f j que atua ao longo de uma linha Γ f, observando que as direções das linhas de cargas estão contidas no plano do problema e são positivas se coincidem com os sentidos dos eixos xj, sendo assim a Eq.(1) pode ser escrita: c ij (s)u i = Γ u ij P j dγ P ij Γ u j dγ + f j Γ f u ij dγ f () A equação integral de contorno, Eq.(), é empregada na solução pelo Método dos Elementos de Contorno. Após as integrações nos elementos de contorno, a equação integral é transformada em equações algébricas lineares. As integrais que aparecem na Eq.() podem ser tratadas numericamente ou analiticamente. Neste trabalho, foram empregadas integrações numéricas quando o ponto de colocação situava-se fora do elemento e integrações analíticas em caso contrário. Reis(14). O sistema de equações obtido pelo tratamento com o MEC, incluindo o efeito das linhas de carga, é dado por: [C]{U} = [H]{U} + [G]{P} + [S]{f} (). Método dos Elementos Finitos O método dos elementos finitos (MEF) é baseado no método de Rayleigh-Ritz com a divisão do domínio de integração em um número finito de elementos chamados de elementos finitos. Neste trabalho foi considerado para o elemento com três graus de liberdade por nó, possibilitando avaliar deslocamentos horizontais, verticais e giro. Adicionalmente, a possibilidade das fibras chegarem até o contorno foi permitida, bem como a junção dessas com outros elementos MEF externos também foi contemplado. Seja o elemento de barra com modulo de Elasticidade E, área A e Inercia I, considerado neste trabalho que é mostrado na Fig.1. SIMMEC/EMMCOMP 14 ABMEC, Juiz de Fora, MG, 8- de maio de 14

4 Análise Elástica Linear de Elementos Planos Enrijecidos com Fibras Através de um Acoplamento MEC-MEF Figura 1. Elemento finito com quatro nós por barra Admite-se variação de terceiro grau para deslocamento axial e variação de sétimo grau para o deslocamento transversal ao eixo da barra. O vetor de forças nodais pode ser constituído, Fig.1, de um carregamento distribuído linearmente no sentido axial e outro no sentido transversal ao eixo da barra. Assim a Matriz de rigidez do elemento de barra é dada da seguinte forma: Hf = [ K 1 K K K 4 ] (4) onde os valores de K1, K, K e K4 podem ser expressos por: 7EA 1L K1 189EA 4L 459EI 7L 517EI 8L 187EI 16L 19EI 56L 517EI 8L 6157EI 85L 195EI 8L EI 616L 189EA 4L 54EA 5L 187EI 16L 195EI 8L EI 154L 6561EI 44L 19EI 56L EI 616L 6561EI 44L 45198EI 85L (5) 7EA L K 97EA 4L 195EI 8L 6561EI 154L 76767EI 1L 1645EI 616L 79EI 7L 411EI 85L 1645EI 616L 49617EI 616L 1EA 4L 7EA L 1575EI 11L 165EI 14L 195EI 8L 79EI 7L 165EI 14L 689EI 616L 6561EI 154L 411EI 85L (6) SIMMEC/EMMCOMP 14 ABMEC, Juiz de Fora, MG, 8- de maio de 14

5 Reis, L.A., Palermo Junior, L. 7EA L K 1EA 4L 195EI 8L 79EI 7L 1575EI 11L 165EI 14L 6561EI 154L 411EI 85L 165EI 14L 689EI 616L 97EA 4L 7EA L 76767EI 1L 1645EI 616L 195EI 8L 6561EI 154L 1645EI 616L 49617EI 616L 79EI 7L 411EI 85L (7) 54EA 5L K 4 189EA 4L EI 154L 6561EI 44L 187EI 16L 195EI 8L 6561EI 44L 45198EI 85L 19EI 56L EI 616L 189EA 4L 7EA 1L 187EI 16L 19EI 56L 459EI 7L 517EI 8L 195EI 8L EI 616L 517EI 8L 6157EI 85L (8) Matricialmente, para o carregamento nas duas direções, tem-se a seguinte representação transposta: Gf T 1L 1 1L L 4 1L 84 L 1 L L 56 9 L 11 L 4 L L 11 9 L 56 1L 6 1L L 84 1L 4 Resolvendo-se uma estrutura pelo método dos elementos finitos, obtém-se a seguinte equação: [H f ]{u} = [G f ]{f} (1) (9) ACOPLAMENTO MEC-MEF A consideração de um domínio plano enrijecido com uma barra é feita através de uma imposição de compatibilidade de deslocamento e equilíbrio de forças, ou seja: U c U f = f c + f f = (11) onde U c e f c são respectivamente os deslocamentos e as forças que aparecem nas equações do elemento de contorno e U f e f f São respectivamente os deslocamentos e as forças da barra enrijecedora. As forças que aparecem no domínio plano tem sinal oposto as SIMMEC/EMMCOMP 14 ABMEC, Juiz de Fora, MG, 8- de maio de 14

6 Análise Elástica Linear de Elementos Planos Enrijecidos com Fibras Através de um Acoplamento MEC-MEF forças da barra, agindo assim como forças de reação. Para o problema discretizado a Eq.(11) fica: { f c } = -{f f } = { f } { U c } = {U f } = { u } (1) Para o problema tratado, ou seja, elemento plano enrijecido com fibras, a reação das fibras sobre a matriz equivale a uma linha de carga de acordo com a Fig.. Figura. Esquema onde é visualizado a linha de carga e a barra rígida O sistema de equações é composto pelas equações algébricas de deslocamentos do método dos elementos de contorno escritas para os pontos do contorno Eq.(1), pelas equações algébricas de deslocamentos do método dos elementos de contorno escritas para os pontos internos de interface Eq.(14) e pelas equações de deslocamentos dos métodos dos elementos finitos da barra enrijecedora Eq.(15), como segue: [H c ]{U c } = [G c ]{P c } + [S]{f I } (1) {U I } = [H c ]{U c } + [G c ]{P c } + [S]{f I } (14) [H f ]{U I } = [G f ]{f} (15) Nas Eq.(1), Eq.(14) e Eq.(15) os índices sobrescritos c, f e I representam respectivamente contorno, barra enrijecedora e interface. As matrizes H c, G c e S representam as matrizes de influência de integração, a matriz H f é a matriz de rigidez da barra e G f a matriz que se multiplicada pelo vetor de forças distribuídas f, fornece o vetor de cargas nodais. Na Fig. está mostrado o esquema de colocação dos pontos internos, para realizar a compatibilidade de deslocamentos no acoplamento e que de modo diferente de Botta () os pontos das extremidades não são deslocados para o interior. SIMMEC/EMMCOMP 14 ABMEC, Juiz de Fora, MG, 8- de maio de 14

7 Reis, L.A., Palermo Junior, L. Figura. Nós internos para deslocamentos no MEC..1 Regularização pela Técnica dos Mínimos Quadrados Observando o sistema de equações a ser resolvido as variáveis incógnitas são: U c, P c, U I e f, observa-se no entanto que existem mais variáveis U I do que forças f,onde a causa disto é a adoção de diferentes graus para os polinômios aproximadores. O número de número de variáveis de cada vetor é: {f} = (n bar + 1) {U} = ( n bar ) + 1 onde, n bar é o número de barras de elemento finito. Para que o problema possa ter solução, aplica-se a técnica dos mínimos quadrados. Como o número de equações é maior que o número de incógnitas é necessário reduzi-las a um número conveniente para que o sistema seja resolvível. A técnica dos mínimos quadrados consiste em reduzir no número de equações e minimizando os erros. Para tanto, neste trabalho, bastou multiplicar a Eq.(14) pela matriz [S] Transposta que ficou de acordo com a Eq.(16) abaixo. [S T ]{U I } = [S T ][H C ]{U c } + [S T ][G c ]{P c } + [S T ][S]{f I } (16) Para o caso de haver mais de uma barra enrijcedora, a matriz [S T ] será multiplicada pelo vetor {U I } considerando todos os nós da interface, mesmo que as barras não sejam continuas. As Equações (1), Eq.(15) e Eq (16) podem ser escritas de forma matricial, ficando: c H T S H C S S T G S F C c U G T T C S f S G F i H U Para o sistema (17) já foi imposto a condição de contorno. pc (17) SIMMEC/EMMCOMP 14 ABMEC, Juiz de Fora, MG, 8- de maio de 14

8 Análise Elástica Linear de Elementos Planos Enrijecidos com Fibras Através de um Acoplamento MEC-MEF 4 EXEMPLOS DE APLICAÇÃO Para demonstrar o emprego do modelo acima descrito, são apresentados dois exemplos para verificar a performance e a precisão da combinação MEC/MEF para um problema bidimensional reforçado com fibras. 4.1 Tirante Reforçado com enrijecedores O primeiro exemplo é mostrado para verificar a capacidade da formulação na analise da distribuição das tensões de cisalhamento ao longo da interface da ligação barra matriz em um teste de arrancamento clássico. Na Fig. 4, uma barra é parcialmente imersa em um bloco. Assim, uma pequena parte da barra não está imerso para permitir a aplicação das forças de tração. Os dados geométricos escolhidas para realizar esta análise é dada na Fig. 4. Figura 4. Tirante enrijecido proposto no primeiro exemplo. Os deslocamentos são prescritos iguais a zero ao longo da lateral vertical esquerda do domínio, enquanto que na extremidade oposta, a carga é aplicada prescrevendo, na barra, um deslocamento de,5 cm para a direita. A extremidade direita do domínio é livre para se mover. As propriedades elásticas assumidos para esta análise são: Elemento Plano: módulo de Young, Eep =., kn/cm, relação de Poisson ν =,, Elemento enrijecedor : Ef = 1., kn/cm, Af = 1 cm. Foram considerado 16 elementos finitos para representar o enrijecedor e sessenta elementos lineares foram definidas para aproximar os valores de limite do dominio. Os resultados obtidos em termos de deslocamentos são mostrados na Fig. 5 (a) em conjunto com a solução obtida por Botta (), Fig. 5 (b). SIMMEC/EMMCOMP 14 ABMEC, Juiz de Fora, MG, 8- de maio de 14

9 Reis, L.A., Palermo Junior, L. (a) (b) Figura 5. (a) Deslocamentos na direção do eixo x da barra. (b)deslocamentos na direção do eixo x da barra obtidos por Botta(). A solução numérica é completado pelos resultados apresentados na Fig. 6 (a), onde as forças de interface são exibidos. (a) (b) Figura 6. (a) Forças na direção do eixo x, de superfície nas barras. (b) Forças na direção do eixo x, de superfície nas barras obtidos por Botta(). 4. Viga engastada submetida a uma carga distribuída na face superior reforçada com um enrijecedor em sua face inferior. Este exemplo mostra a capacidade da formulação na análise de tensões ao longo da interface fibra-matriz. Na Fig.7, uma viga biengastada está sendo solicitada na face superior por um carregamento uniformemente distribuído. Uma barra enrijecedora foi colocada na parte inferior reforçando a viga. Os dados geométricos e físicos da estrutura bem como as condições de contorno estão apresentados na Fig. 7. SIMMEC/EMMCOMP 14 ABMEC, Juiz de Fora, MG, 8- de maio de 14

10 Análise Elástica Linear de Elementos Planos Enrijecidos com Fibras Através de um Acoplamento MEC-MEF Figura 7. Dimensões e condições de contorno impostos no segundo exemplo. Foi considerado 16 elementos finitos para representar o elemento enrijecedor e 1 elementos lineares para aproximar o contorno do domínio. Os resultados apresentados por Wutzow() e utilizados neste trabalho o enrijecedor foi modelado por MEC, sedo assim os resultados são obtidos para o contorno do elemento e apresentados considerando a parte superior da viga chamada de lado A, a parte inferior chamada de lado B e os valores medianos chamados de valores condensados. Quando se utiliza MEF para modelar o elemento enrijecedor, como neste trabalho, se obtém somente os valores medianos. Os resultados podem ser observados nas figuras: (a) Figura 8. (a) Deslocamentos na direção do eixo x. (b) Deslocamentos na direção do eixo x obtidos por Wutzow(). (b) SIMMEC/EMMCOMP 14 ABMEC, Juiz de Fora, MG, 8- de maio de 14

11 Reis, L.A., Palermo Junior, L. (a) Figura 9. (a) Deslocamentos na direção do eixo y. (b) Deslocamentos na direção do eixo y obtidos por Wutzow (). (b) (a) Figura 1. (a) Forças de superfície na direção do eixo x. (b) Forças de superfície na direção x obtidas por Wutzow() (b) (a) Figura 11. (a) Forças de superfície na direção do eixo y. (b) Forças de superfície na direção y obtidas por Wutzow(). (b) SIMMEC/EMMCOMP 14 ABMEC, Juiz de Fora, MG, 8- de maio de 14

12 Análise Elástica Linear de Elementos Planos Enrijecidos com Fibras Através de um Acoplamento MEC-MEF (a) Figura 1. (a) Rotação na barra erijecedora. (b) Rotação na barra enrijecedora, obtido por Wutzow() 5 CONCLUSÃO Conforme se observa nos exemplos, a regularização proposta por mínimos quadrados se apresenta bastante eficiente na resposta suavizadas em termos de forças de superfície. Entretanto para que isto ocorra as fibras devem ser bem discretizadas. Como se pode ver no primeiro exemplo, a presente formulação mostra resultados muito estáveis com uma curva suave e compatível com os resultados apresentados por Botta () No segundo exemplo, os resultados obtidos forma muito próximos ao de Wutzow () que fez a análise utilizando somente elementos de contorno e acoplando sub-regiões. 6 AGRADECIMENTO ESPECIAL Os autores expressam seu reconhecimento ao professor Wilson. S. Venturini (in memoriam) que foi quem sugeriu a proposta deste trabalho. Os resultados obtidos mostraram uma formulação com boa estabilidade para solução dos problemas de engenharia. (b) SIMMEC/EMMCOMP 14 ABMEC, Juiz de Fora, MG, 8- de maio de 14

13 Reis, L.A., Palermo Junior, L. REFERENCIAS Adini, A., Clough, R.W., 1961, Analysis of Plate Bending by the Finite Element Method. Report National Science Foundation, Grant 977. Assan, A.E., 1999, Método dos Elementos Finitos, Primeiros Passos. Unicamp, Campinas, Brasil, 1ª Edição. Brebbia, C.A.; Georgiou, P.; 198; Combination of Boundary and Finite Elements for Elastostatics. Appl. Math. Modeling, V., P. 1-. Botta, A.S.; ; Método dos Elementos de Contorno para Análise de Corpos Danificados com Ênfase no Fenômeno da Localização de Deformações. Tese (Doutorado) - Escola de Engenharia de São Carlos - Universidade de São Paulo, São Carlos - Sp. Botta, A. S.; Venturini, W. S.; ; Reinforced d Domain Analysis Using BEM and Regularized BEM/FEM Combination. Coda, H.B.;199; Análise Tridimensional Transiente de Estruturas pela Combinação entre o Método dos Elementos de Contorno e o Método dos Elementos Finitos. São Carlos. Tese (Doutorado) Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade De São Paulo. Coda, H.B.; Greco, M.; 4 A Simple FEM Formulation for Large Deflection d Frame Analysis Based on Position Description. Computer Methods In Applied Mechanics And Engineering, V.19, P Ferro, N.C.P.; 199; Uma Combinação MEC/MEF para Análise de Fundações Enrijecidas por Estacas. São Carlos. Dissertação (Mestrado) Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo. Foltran, C.E.; 1999; Análise de Problemas Planos em Regime Elasto-Plástico pelo Método dos Elementos de Contorno. Campinas. Dissertação (Mestrado) Faculdade de Engenharia Civil, Universidade Estadual de Campinas. Leite, L.G.S.; Coda, H.B.; Venturini, W.S.; ; Two-Dimensional Solids Reinforced by Thin Bars Using the Boundary Element Method. Engineering Analysis With Boundary Elements, V. 7, Pp Paiva, J. B.; Aliabadi, M. H. ; 4; Bending Moments at Interfaces of Thin Zoned Plates With Discrete Thickness by the Boundary Element Method. Engineering Analysis With Boundary Elements, 8: Reis,.L.A; 14, Acoplamento MEC-MEF para análise de pórtico linear sobre base elástica. Dissertação (Mestrado). Faculdade de Engenharia Civil, Universidade Estadual de Campinas, no prelo. SIMMEC/EMMCOMP 14 ABMEC, Juiz de Fora, MG, 8- de maio de 14

14 Análise Elástica Linear de Elementos Planos Enrijecidos com Fibras Através de um Acoplamento MEC-MEF Telles, J.C.F.; Brebbia, C.A.; 1979; On the Application of the Boundary Element Method to Plasticity. Appl. Math. Modelling, V., P Venturini, W.S.; 1984; Boundary Element Method In Geomechanics. Springer-Verlag. (Lecture Notes In Engineering). Venturini, W.S. ; Brebbia, C.A.; 198; Some Applications Of The Boundary Element Method In Geomechanics. Int. J. Num. Anal. Meth. Geomech., V.7, P Wutzow, W. W. ; ; Formulação do Método dos Elementos de Contorno para Análise de Chapas Com Enrijecedores. Dissertação (Mestrado) - Escola de Engenharia de São Carlos- Universidade de São Paulo, São Carlos. SIMMEC/EMMCOMP 14 ABMEC, Juiz de Fora, MG, 8- de maio de 14