DIFERENÇA FINITA DE QUARTA ORDEM A equação de equilíbrio, para o problema elastodinâmico, é:

Transcrição

1 DIFERENÇA FINITA DE QUARTA ORDEM PARA INTEGRAÇÃO EXPLÍCITA NO DOMÍNIO DO TEMPO DE PROBLEMAS ELASTODINÂMICOS L. A. Souza 1 e C. A. Moura 2 1 Instituto Politécnico / UERJ Caixa Postal Nova Friburgo - RJ 2 Dep. C. Computação/UFF Pça. do Valonguinho, s/n Niterói - RJ Brasil. RESUMO Neste trabalho propõe-se a utilização de um algoritmo de integração explícita no domínio do tempo para as equações associadas a problemas elastodinâmicos, via Método dos Elementos Finitos (MEF). Empregam-se diferenças finitas de quarta ordem como forma de atenuar os erros que são obtidos com a diferença centrada, principalmente quando se escolhe um próximo do período crítico do problema. Esta abordagem, além de praticamente eliminar as oscilações numéricas espúrias, conserva as vantagens oferecidas pela diferença centrada explícita, quais sejam: reduzido uso de memória e dispensa da montagem e solução do sistema global de equações. Outra importante característica é a conveniência de sua implementação com processadores vetoriais ou em paralelo. Apresentam-se a formulação do algoritmo, o estudo de sua estabilidade, sugestões de implementação e resultados numéricos obtidos para alguns exemplos clássicos. INTRODUÇÃO As técnicas de integração no tempo apresentam-se com uma boa alternativa aos métodos de superposição modal, para a análise de problemas transientes, pelas facilidades de implementação, reduzido custo computacional e com grandes vantagens principalmente para tratar problemas com não linearidades. A grande vantagem da utilização de algoritmos explícitos em relação aos implícitos, está no fato de reduzido uso de memória, a não montagem e solução de um sistema de equações. Entretanto são eles condicionalmente instável e as respostas principalmente de velocidade e tensões sofrem oscilações numéricas ou batimentos espúrios. Algoritmos chamados de alta precisão tem sido desenvolvido visando a sua utilização com o Método das Diferenças Finitas [1,2], para problemas transientes, como forma de melhorar a qualidade dos resultados. Neste trabalho mostra-se a adaptação destas técnicas ao MEF [3], para análise de problemas elastodinâmicos no domínio do tempo. A principal vantagem da aplicação de algoritmos de alta precisão é a qualidade dos resultados e principalmente uma sensível redução nas oscilações numéricas, inerentes aos esquemas de diferença centrada (DC), mantendo-se as mesmas vantagem desta. DIFERENÇA FINITA DE QUARTA ORDEM A equação de equilíbrio, para o problema elastodinâmico, é:

2 MU!! + CU! + KU = F() t (1) Onde M é a matriz de massa, C a matriz de amortecimento, K a matriz de rigidez, F(t) o vetor de cargas dependente do tempo, U o vetor de deslocamentos nodais, e o ponto representa a ordem da derivada no tempo. A idéia para se formular um algoritmo de alta precisão no domínio do tempo é escrever U como um polinômio de Lagrange de quarto grau, passando pelos pontos U t+, U t, U t-, U t-2, U t-3, e derivar em relação a t, obtendo-se :! 1 t+ t 1 t 3 t 2 t t t+ U = ( U U ) ( U 6U + 12U 10U + 3U ) (2.1) 2 12!! 1 t+ t t 1 t+ t t t 2 t 3 U = ( U 2U + U ) ( U 4U + 6U 4U + U ) (2.2) particularizando-se para o problema de propagação de onda ou seja C = 0, introduzindo (2.2) em (1) e rearranjando, obtém-se 2 t t 3 t 2 t t U = M R( t) + ( U 4U 6U + 20U ) (3) onde R(t) = ( F(t) KU t ), vetor de resíduos. Isto representa um sistema de equações simultâneas. A matriz M pode ser arranjada de forma diagonal, sendo o cálculo de U t+δt feito de forma explícita, envolvendo apenas produtos vetoriais. Em problemas não lineares K será dependente de U t e o produto KU t substituído por V T B DBU e efetuado a nível de elemento, sendo B a matriz de deformações, D a matriz de características elásticas e V o volume da estrutura. Embora a equação (1) tenha sido particularizada, se C 0 é uma matriz diagonal, o termo de amortecimento pode ser considerado introduzindo-se (2.1) em (1), e a avaliação de U t+δt ainda permanece de forma explícita. Como se percebe, para a implementação computacional segue-se a mesma estrutura da DC, sendo privilegiada para computadores com arquitetura de processamento vetorial e/ou paralelo. t dv PRECISÃO DA DIFERENÇA DE QUARTA ORDEM Expandindo-se U em série de Taylor para um tempo τ+, chega-se a τ+ τ τ τ τ τ U = U + U! t + U!! t t + U!!! + U!! 5 + O( ) e para um tempo igual a τ, a τ τ τ τ τ τ U = U U! t + U!! t t U!!! + U!! 5 + O( ) (4.1) (4.2) Subtraindo-se os termos (4.1) e (4.2), tem-se

3 τ+ τ τ τ 2 U! τ U U U!!! τ 4 = + + O( ) 2 6 (5) enquanto a soma de (4.1) a (4.2) conduz a τ+ τ τ 2 U!! τ U 2U + U U!! τ 4 = + O( ) 2 12 (6) Comparando-se com as relações (2.1) e (2.2), verifica-se a não permanência somente de termos de ordem igual ou superior a 4. Portanto estas equações de diferenças finitas de quarta ordem têm precisão O( 4 ). ANÁLISE DE ESTABILIDADE Para se verificar a estabilidade deste esquema efetua-se uma análise pelo método de estabilidade de Fourier, como descrito em [4]. Partindo-se de uma equação modal desacoplada do problema homogêneo,!! U + ω 2 U = 0 (7) cuja solução é U = C e µt, com C e µ constantes a determinar em função das condições de contorno. Introduzindo (3.2) em (7) para um tempo τ = n, tem-se 11U τ+ + (12 2 ω 2 20)U τ + 6U τ- + 4U τ-2 U τ-3 = 0 (8) substituindo-se em (8) a solução da equação homogênea, obtém-se o polinômio característico do problema: 11λ 4 + (12 2 ω 2 20) λ λ 2 + 4λ 1 = 0 (9) onde λ = e µ. Para que a solução seja estável deve-se ter λ 1, satisfazendo a equação (9), o que implica em : 2 2 ω 3 (10) Logo, para que todo o problema tenha estabilidade, deve-se exigir 2 2 ω max 3 (11) onde ω max é a maior freqüência natural do problema homogêneo, que pode ser estimada por, ω max = 2c ;sendo c a velocidade de propagação da onda e da onda e L L o menor comprimento de elemento finito utilizado na análise [5]. Para problemas de

4 estado plano de tensão c = E ρ( 1 ν), sendo E o módulo de Young, ρ a massa específica e ν coeficiente de Poisson do material. Percebe-se assim que este esquema é também somente condicionalmente estável e que é aproximadamente 20% menor que o necessário para a estabilidade do método da diferença central. Entretanto a qualidade dos resultados obtidos pela utilização de diferença de quarta ordem é muito melhor, o que será evidenciado nos exemplos aqui apresentados a seguir. RESULTADOS NUMÉRICOS Nesta seção faz-se a comparação da diferença centrada (DC) com a diferença de quarta ordem (D4o). Para todos os testes numéricos realizados adotou-se: E=30(10 +6 ) psi; ρ = 7.4(10-4 ) lb s/in 4 ; ν= 0.0; espessura da chapa = 1.0 in ; altura = 2.0 in; e comprimento = 10.0 in, com restrições em uma extremidade. Utilizou-se o elemento finitos isoparamétrico bilinear para e.p.t., com uma integração de 2x2 pontos de Gauss. Duas discretizações foram experimentadas: a malha 1 composta por 20 elementos e a malha 2 composta de 80 elementos, que estão mostradas na figura 1(a) e (b). Com isto os incrementos de tempo estimados por (11) foram = 4. (10-6 ) s para a malha 1 (grossa) e = 2.0(10-6 ) s para a malha 2 (refinada). (a) Malha grossa (b) Malha refinada Fig. 1 - Discretizações Caso 1: Propagação de Onda Longitudinal. O primeiro caso analisado é o de propagação de onda em uma chapa, provocada por uma tensão de compressão σ = 100 psi aplicada em uma de suas extremidades, tendo a outra restringida, como ilustrada na figura 2. Fig.2 - Propagação de onda longitudinal. Na fig. 3 estão mostradas as respostas de deslocamento para o ponto A, que foram praticamente iguais em todas as análises. Na fig. 4 estão mostradas as respostas de velocidades para o ponto A, e na fig.5 as respostas de tensões para a seção central da chapa, onde percebe-se claramente a qualidade e precisão das respostas quando se usa um esquema de diferença de quarta ordem.

5 (a) Malha grossa (b) Malha refinada Fig. 3 - Deslocamento horizontal do ponto A. (a) Malha grossa (b) Malha refinada Fig.4 - Velocidade horizontal do ponto A. (a) Malha grossa (b) Malha refinada Fig.5 - Resposta de tensões no seção central da chapa. Embora não tenha sido mostrado, analisou-se também este problema com a malha refinada utilizando-se DC e um = 1.0(10-6 ) s e praticamente não houve melhora na

6 qualidade dos resultados. Os erros relativos entre a DC e a D4o chegaram a ordem de 15% nos pontos mais críticos para as respostas de tensões. Caso 2: Flexão Pura A mesma chapa foi analisada para um problema de flexão pura, aplicando-se adequadamente tensões na borda livre, resultando em um momento M = 2 lbf in, como ilustrado na fig.6. Fig.6 - Chapa submetida a flexão pura. Para este caso, a análise utilizando malha grossa mostrou-se imprecisa, com rigidez excessiva e pouco se deslocou. Os resultados para a malha refinada estão mostrados nas fig. 7 a 9, para um intervalo de 0.002s, a partir deste ponto as respostas começam a se repetir. Mais uma vez as respostas de deslocamento foram idênticas, porém nas respostas de velocidade e tensões, fica evidenciada a redução dos ruídos numéricos. O tempo de processamento para 1000 iterações em um computador tipo PC 586 com clock de 150 Mhz foi de 9.17s para a DC e de 9.50s para a D4o, o que pode ser considerado um acréscimo insignificativo de tempo de processamento. Fig 7 - Deslocamento vertical do ponto A.

7 Fig. 8 - Velocidade vertical do ponto A. Fig. 9 - Momento na seção do apoio.

8 COMENTÁRIOS FINAIS E CONCLUSÕES A qualidade dos resultados obtidos, aliada às vantagem de um método explícito, propiciam um forte apelo para a utilização do esquema de diferenças finitas de quarta ordem. As oscilações numéricas são sensivelmente eliminadas por este esquema, o que é praticamente de impossível de se conseguir com a diferença centrada. Acreditase que estas qualidades se tornarão ainda mais relevantes em problemas não lineares, onde os valores das tensões são fundamentais para a obtenção de bons resultados. Pretende-se em breve utilizar este procedimento para problemas elastodinâmicos com considerações de não linearidades físicas, geométricas, com sua aplicação a problemas dinâmicos de mecânica da fratura. Também a sua extensão ao Método dos Elementos de Contorno será fruto de trabalhos futuros. REFERENCIAS 1. Cohen, G. e Joly, P.: Forth order Schemes for the Heterogeneous Acoustics Equation. Comp. Meth. and Engin., Vol. 80, pp , Moura, C. A..de: DES - An Explicit, really Quadratic 2-level Scheme for the Diffusion Equation. J. of Computing and Information, Vol. 3(1), pp , Moura, C. A. e Souza, L. A.: Algoritmos de Alta Precisão em Elementos Finitos, 45o. Sem. Bras. de Análise, Florianópolis, SC, Cook, R. D., Malkus, D. S. e Plesha M. E.: Concepts and Applications of Finite Element Analysis, Jonh Wiley & Sons, Bathe, K. J.: Finite Element Procedures, Prentice Hall,1996.