Aprendendo a calcular mediana e moda

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1 Aprendendo a calcular mediana e moda 14 Paulo Roberto Rufino Pereira Frederico Tassi de Souza Silva

2 e-tec Brasil Estatística Aplicada META Apresentar os conceitos de mediana e moda. OBJETIVOS PRÉ-REQUISITOS Após esta aula, você deverá ser capaz de: 1. identificar a mediana de dados não agrupados; 2. calcular a mediana de dados agrupados sem intervalo de classes; 3. estabelecer a mediana de dados agrupados em intervalo de classes; 4. calcular a moda de dados agrupados sem intervalo de classes; 5. calcular a moda de dados agrupados em intervalo de classes. Para esta aula é importante que você reveja o conceito e os tipos de freqüência, bem como todos os conceitos que envolvem o tema intervalo de classes, assuntos apresentados na Aula 7. Também é importante ter uma calculadora à mão, para fazer as atividades propostas. 374

3 Cleferson Comarela Barbosa Aula 14 Aprendendo a calcular mediana e moda NOVAS TENDÊNCIAS Na aula anterior, você foi apresentado ao conceito de medidas de posição. Aprendeu que a média aritmética simples e a média aritmética simples ponderada são medidas de posição de tendência central. Mas você lembra que elas não são as únicas? Fonte: Figura 14.1: As medidas de tendência central resumem, em um único número, o valor em torno do qual se concentram os outros dados do conjunto. 375

4 e-tec Brasil Estatística Aplicada Além da média aritmética simples e ponderada, existem mais duas medidas de tendência central que são bastante importantes: a mediana e a moda. É delas que vamos falar nesta aula. A média é a medida mais comum, mas nem sempre ela é capaz de representar de forma adequada os valores de um grupo de dados. Quando isso acontece, optamos pelo cálculo de outras medidas, que são a mediana e a moda. Nesta aula, você vai aprender não só a encontrá-las, mas também em que situações usá-las. MEDIANA: BEM NO MEIO! Sou brasileiro de estatura mediana Gosto muito de fulana mas sicrana é quem me quer Diz um ditado natural da minha terra Bom cabrito é o que mais berra onde canta o sabiá (Música: "Lero-lero" Autor: Edu Lobo) A mediana é o valor central de um conjunto de dados que devem estar ordenados de forma crescente ou decrescente. Ela é o valor que divide esse conjunto em duas partes de mesmo tamanho. Quando temos um conjunto de valores e nesse conjunto há valores extremos (muito distantes da maioria dos valores), optamos pela mediana em vez da média. Isso acontece porque esses valores extremos interferem no cálculo da média e ela passa a não ser mais representativa do conjunto. 376

5 Aurélio é Diretor-financeiro de uma microempresa que realiza serviços de entrega para outras empresas. Ele está fazendo um levantamento dos gastos da empresa e queria ter uma idéia de quanto a empresa gasta, em média, com salários. Para isso, ele começou montando uma tabela. Veja como ela ficou: Tabela 14.1: Tabela de cargos e salários da empresa do Aurélio Cargos e salários da empresa Rapidex Cargo Nº Funcionários Salário (R$) Serviços Gerais 2 350,00 Entregador ,00 Técnico Administrativo 4 800,00 Diretor ,00 Aula 14 Aprendendo a calcular mediana e moda TOTAL ,00 Tuger Akkaya Fonte: Figura 14.2: A empresa do Aurélio é contratada por outras empresas para fazer serviços de entregas de materiais diversos. 377

6 e-tec Brasil Estatística Aplicada Com base nos dados da tabela, Aurélio calculou a média dos salários. Veja a conta que ele fez: X = = = , Veja que Aurélio calculou a média aritmética ponderada dos salários, porque cada salário é recebido por uma quantidade diferente de funcionários. O resultado da média foi R$ 1.272,41. Observe novamente a tabela e responda, no espaço a seguir, às seguintes perguntas: a. Este valor está próximo de algum dos salários pagos pela empresa? b. A maioria dos funcionários recebe um salário próximo desse valor? c. Você acha que esse valor é representativo dos salários pagos pela empresa? Adam Ciesielski Fonte: Ao responder às perguntas, você deve ter chegado à conclusão de que esse valor (R$1.272,41) não é representativo daqueles valores de salários apresentados na tabela. Isso acontece porque o salário dos diretores é muito maior do que os outros salários e, como vimos na Aula 13, isso interfere no cálculo da média. Quando isso acontece, temos de optar por outro tipo de medida. Neste caso, podemos usar a mediana. 378

7 a seguir. ATENÇÃO A mediana descreve bem os grandes conjuntos de dados. No caso dos conjuntos com dados discrepantes, isto é, dos conjuntos com um ou alguns valores, muito maiores ou muito menores que os demais, a mediana descreve melhor os dados que a média. Mas como calculamos a mediana? É isso que você vai aprender Aula 14 Aprendendo a calcular mediana e moda CALCULANDO A MEDIANA DE DADOS NÃO AGRUPADOS Na seção anterior, concluímos que o cálculo da média não resultou em um valor que fosse representativo para os salários da empresa RAPIDEX. Neste caso, o melhor a fazer é calcular a mediana, mas como fazemos isso? Figura 14.3: O primeiro passo para calcularmos a mediana é colocarmos os números em ordem. A ordem pode ser crescente ou decrescente, o importante é estarem em ordem. 379

8 e-tec Brasil Estatística Aplicada A primeira coisa a fazer é colocarmos os valores em ordem crescente. Veja como ficam: Agora você tem de identificar o valor central, ou seja, o valor que fica bem no meio deste conjunto. No caso dos valores deste exemplo, é o número 600, que está ressaltado no conjunto a seguir Para ter certeza de que o valor que você encontrou é o valor central basta contar quantos números existem antes de 600 e quantos números existem depois do 600. No caso do nosso exemplo, existem quatorze números antes do 600 e quatorze números depois do 600. Confira. Portanto, a mediana (o símbolo de mediana é Md) dos salários da empresa do Aurélio é R$ 600,00. Note que a empresa tem vinte e nove empregados e vinte deles recebem R$ 600,00. Você não concorda que esse valor é muito mais representativo do aquele encontrado pela média? Um detalhe importante que deve ser observado é que só foi possível encontrar um valor central porque o conjunto de dados tinha um número ímpar de valores. Quer dizer, a empresa possuía vinte e nove empregados. Vinte e nove é um número ímpar, o que possibilita encontrarmos um número central. Benjamin Earwicker 380 Fonte: Figura 14.4: A mediana é o valor que divide um grupo, com quantidade ímpar de valores, em duas metades de tamanhos iguais.

9 Quando o conjunto tem uma quantidade par de valores, achamos os dois valores mais centrais e calculamos a média aritmética simples entre eles. Veja o seguinte exemplo: Letícia é professora de Biologia em uma turma de dezoito alunos. Ela percebeu que alguns alunos tiveram uma nota muito baixa (abaixo de três) na última prova, mas a grande maioria tirou nota acima de cinco. Como a maioria tirou nota acima de cinco, encontrar a média não seria o ideal, pois as notas muito baixas interferem no cálculo. Assim, ela concluiu que encontrar a mediana seria uma boa forma de encontrar uma nota representativa do conjunto de notas que os alunos tiraram nesta prova. Aula 14 Aprendendo a calcular mediana e moda laura00 Fonte: Figura 14.5: Para determinar um valor representativo das notas que a turma tirou na prova de Biologia, Letícia optou pelo cálculo da mediana. 381

10 e-tec Brasil Estatística Aplicada A primeira coisa que ela fez foi colocar as notas em ordem crescente. Veja, a seguir, como as notas ficaram organizadas: 0-1,5-1,5-2,0-2,0-2,5-5,0-5,5-6,0-6,5-6,5-6,5-7,0-7,0-7,0-7,0-7,5-8,0 Quando temos uma quantidade par de valores, não conseguimos encontrar um valor central apenas. Neste caso, temos de escolher dois valores que dividam o conjunto em duas metades de tamanhos iguais. No caso do exemplo anterior, as notas centrais são 6,0 e 6,5. Confira: 0-1,5-1,5-2,0-2,0-2,5-5,0-5,5-6,0-6,5-6,5-6,5-7,0-7,0-7,0-7,0-7,5-8,0 Agora é só tirar a média aritmética simples destes dois valores: 6, 0 + 6, 5 12, 5 X = = 6, Portanto, a mediana das notas dos alunos de Letícia é 6,25, que é um valor dentro do conjunto de notas que estão em maior quantidade, pois a maior parte dos alunos tirou notas entre cinco e sete. Agora use o espaço a seguir para responder às seguintes perguntas: a. Qual seria o valor encontrado se Letícia tivesse calculado a média aritmética? b. Olhe para a maioria das notas dos alunos. Você considera o valor encontrado como sendo representativo das notas da maioria dos alunos? Adam Ciesielski Fonte: 382

11 Paul Barker Você já pensou em como seria difícil encontrar o valor central (ou valores) de um conjunto de dados que fosse muito grande? Aqui vai uma dica para achar os valores centrais nesses casos: Fonte: Se o seu conjunto de dados tiver uma quantidade ímpar de valores, você deve somar o número um a esse valor e dividir o resultado por dois. Vamos usar o exemplo do Aurélio. Ele tinha um total de vinte e nove salários, lembra? Então: No exemplo do Aurélio, o valor central é o décimo quinto valor, confira a seguir: = 15 2 Aula 14 Aprendendo a calcular mediana e moda Paul Barker Fonte: Se o conjunto de dados tiver uma quantidade par de valores, divida essa quantidade por dois e você encontrará o primeiro valor. O segundo é fácil, é o próximo valor! Veja no exemplo da Letícia. Ela tinha um total de dezoito notas. Então: 18 2 = 9 Quer dizer que, no exemplo da Letícia, um dos valores centrais (o primeiro) é o nono valor do conjunto, o outro é o décimo valor (que é o próximo). Confira: 0-1,5-1,5-2,0-2,0-2,5-5,0-5,5-6,0-6,5-6,5-6,5-7,0-7,0-7,0-7,0-7,5-8,0 383

12 Craig Jewell e-tec Brasil Estatística Aplicada Fonte: CURIOSIDADE Base do triângulo Vértice Mediana O outro lado da mediana Você sabia que existe uma definição de mediana, em geometria, que é diferente do conceito estatístico? Para a GEOMETRIA, mediana é uma reta que liga o vértice de um triângulo ao ponto médio (ponto que divide exatamente ao meio) do lado oposto ao vértice de onde sai a reta. A foto que você vê neste boxe é de uma linda mariposa. Veja que suas asas fechadas formam um perfeito triângulo e seu corpo representa uma das medianas deste triângulo. Sua cabeça está em um dos vértices do triângulo e seu corpo divide ao meio o lado oposto (base do triângulo). A natureza não é fantástica? GEOMETRIA Ramo da matemática que estuda as medidas, propriedades e relações entre pontos, linhas, ângulos, superfícies e formas sólidas. Então, achou fácil? Vamos ver agora como calcular a mediana quando os dados estão agrupados em uma tabela de freqüência ou em intervalos de classes. Mas, antes, vamos testar o que você aprendeu, fazendo uma atividade. ATIVIDADE 1 Atende ao Objetivo 1 Uma professora de Matemática decidiu traçar um perfil, em relação às notas dos alunos de sua turma. Para isto, ele dividiu a turma em três grupos: o primeiro grupo era composto pelos 6 alunos que sentavam nas carteiras da frente; o segundo grupo era formado por 16 alunos que se sentavam no meio da sala de aula; e o terceiro grupo eram os 9 alunos que se sentavam no final da sala. Ela, então, aplicou uma prova que valia 10 pontos e anotou as notas dos alunos separados por grupos. Veja na tabela a seguir: 384

13 Sanja Gjenero Grupo Notas 1 8, 6, 5, 7, 10, , 6, 4, 7, 6, 6, 5, 8, 2, 4, 8, 5, 7, 8, 10, 5 3 8, 4, 2, 7, 9, 5, 6, 6, 4 Usando o cálculo da mediana de valores não agrupados, ajude a professora a esclarecer a seguinte dúvida: Qual grupo de alunos obteve o melhor desempenho na prova? CALCULANDO A MEDIANA DE DADOS AGRUPADOS Aula 14 Aprendendo a calcular mediana e moda Até agora, você aprendeu a encontrar a mediana de dados não agrupados, ou seja, os dados são apresentados de forma separada uns dos outros. Mas é possível que os dados estejam em uma tabela agrupados por freqüência. É possível também que encontremos os dados reunidos em intervalos de classes. Como devemos proceder para calcular a mediana nestes casos? É o que você verá agora. Fonte: Figura 14.6: Encontrar a mediana de dados agrupados dá um pouco mais de trabalho. 385

14 e-tec Brasil Estatística Aplicada MEDIANA DE DADOS AGRUPADOS POR FREQÜÊNCIA No caso de termos dados agrupados, sem intervalos de classe, podemos calcular a mediana seguindo o exemplo a seguir. Fabiana tirou uma nota baixa na última prova de Estatística. Para ajudá-la, o professor da disciplina passou um trabalho, valendo nota. Para realizar o trabalho, ela deveria descobrir a mediana do número dos sapatos dos cem alunos do curso. O primeiro passo dela foi entrevistar todos os cem alunos para saber quanto cada um calçava. Em seguida, ela agrupou os dados encontrados na tabela a seguir: Tabela 14.2: Tabela de freqüência com o número dos calçados dos alunos do curso de Fabiana. Número dos calçados dos alunos Número do calçado Quantidade de pessoas que calçam este número (freqüência) TOTAL 100 Observe, na tabela, que existe sempre mais de uma pessoa com o mesmo número de sapato. A quantidade de pessoas relativa a cada número é a freqüência daquele valor (tamanho do calçado). Em seguida, Fabiana calculou a freqüência acumulada (que você aprendeu a calcular na Aula 7) e montou a Tabela

15 Tabela 14.3: Tabela de freqüência e freqüência acumulada do número dos calçados dos alunos do curso de Fabiana. Número dos calçados dos alunos Número do calçado Freqüência Freqüência acumulada TOTAL Aula 14 Aprendendo a calcular mediana e moda Para calcular a mediana dos valores encontrados, Fabiana somou as freqüências. Em nosso exemplo, essa soma é 100, que é o número total de alunos entrevistados por Fabiana. Brian Cheung Fonte: Figura 14.7: O trabalho da Fabiana é encontrar a mediana do número dos calçados dos alunos do curso em que ela estuda. O valor que ela encontrar será o valor mais central entre todos os tamanhos. 387

16 e-tec Brasil Estatística Aplicada Encontramos o valor da mediana dentro do grupo correspondente à metade do valor da soma das freqüências. Achou confuso? Isto quer dizer que temos de dividir a soma das freqüências por dois. O valor encontrado é cinqüenta (100 2 = 50), esta é a metade da soma das freqüências. O valor da mediana que a Fabiana quer encontrar é o número do calçado que corresponde à freqüência acumulada de cinqüenta. No entanto, se você observar a tabela, vai perceber que não existe o valor exato de cinqüenta na coluna de freqüência acumulada. O que a Fabiana deve fazer neste caso? É fácil. Quando isso acontece a mediana está associada à freqüência acumulada imediatamente maior que esse valor. No caso do exemplo, é cinqüenta e oito. A freqüência acumulada cinqüenta e oito corresponde ao número de calçado trinta e nove. Este é o valor da mediana; portanto, a mediana procurada pela Fabiana é o número de calçado trinta e nove. Bem, se você encontrar uma freqüência acu-mulada com um valor exatamente igual à metade da soma das freqüências, o cálculo da mediana deve ser feito de outra maneira. Vejamos um exemplo em que isso ocorre. Observe, atentamente, a Tabela Tabela 14.4: Tabela de freqüência e freqüência acumulada. A tabela apresenta a quantidade de equipamentos em más condições de uso em diversas empresas do ramo de construção civil. Equipamentos em condições inadequadas para uso em empresas de construção civil Número de equipamentos em más condições de uso Número de empresas (freqüência) Freqüência acumulada TOTAL 8 388

17 Neste exemplo, a metade da soma das freqüências é quatro (8 2 = 4) O número de equipamentos em más condições de uso relativo à freqüência acumulada quatro é igual a quinze. No entanto, neste caso, a mediana não é quinze. Quando encontramos um valor exato na coluna de freqüência acumulada, devemos somar a variável (o valor encontrado) com ela mesma e mais 1. O resultado dessa soma deve ser dividido por dois. Aí sim encontramos a mediana = 31 = 15, 5 2 Ou seja, a mediana dos dados da Tabela 14.4 é 15,5. Aula 14 Aprendendo a calcular mediana e moda Como calcular a mediana quando os dados estão agrupados em intervalos de classe? É isso o que você vai aprender em seguida, mas antes vamos fazer uma atividade? ATIVIDADE 2 Atende ao Objetivo 2 Na turma de um curso a distância de Técnico de Segurança no Trabalho foi aplicada uma prova sobre Segurança em instalações elétricas na atividade rural e industrial. As notas dos alunos e sua freqüência encontram-se na tabela a seguir: Notas Notas dos alunos na prova de segurança em instalações elétricas na atividade rural e industrial Número de alunos que tiraram a nota (freqüência)

18 e-tec Brasil Estatística Aplicada Com base nos dados da tabela anterior, responda às seguintes perguntas: a. Quantos alunos havia nessa turma, sabendo que todos realizaram a prova? b. Com o auxílio da tabela a seguir, calcule a mediana das notas. Notas Freqüência Freqüência acumulada Total MEDIANA DE DADOS AGRUPADOS EM INTERVALOS DE CLASSE Quando os dados estão agrupados em intervalos de classe, temos de achar a mediana dentro de um dos intervalos. Para tanto, é necessário determinar a classe do intervalo que contém a mediana. Você vai achar mais fácil de entender se acompanhar o exemplo a seguir. A Tabela 14.5 foi montada a partir dos dados levantados sobre a estatura (tamanho), em centímetro, de quarenta alunos de uma determinada escola. Os valores foram separados e distribuídos em seis intervalos de classe. 390

19 Tabela 14.5: Estaturas dos quarenta alunos de uma escola, separadas por intervalos de classe. A freqüência refere-se à quantidade de alunos que têm sua estatura compreendida no intervalo correspondente. Número da classe Estatura dos alunos da escola Estaturas em centímetros (intervalos de classe) Freqüência (número de alunos) TOTAL: 40 Aula 14 Aprendendo a calcular mediana e moda Para encontrar a mediana, é preciso calcular a freqüência acumulada. Para isso, uma nova coluna foi acrescentada à tabela anterior. Veja o resultado na tabela a seguir (Tabela 14.6). Tabela 14.6: Tabela de freqüência e freqüência acumulada das estaturas dos quarenta alunos de uma escola, separadas por intervalos de classe. Número da classe Estatura dos alunos da escola Estaturas em centímetros (intervalos de classe) Freqüência (número de alunos) Freqüência acumulada TOTAL: 40 O próximo passo é calcular a soma das freqüências dividida por dois, exatamente como foi feito para encontrar a mediana de valores agrupados sem intervalo de classes, ou seja, 40 2 =

20 Guilhermo Alvarez e-tec Brasil Estatística Aplicada Fonte: Figura 14.8: Para encontrar a mediana de dados agrupados em intervalos de classe é preciso determinar sua posição. Aquele valor encontrado (vinte) é a posição da mediana. Quer dizer, a altura que queremos encontrar e que está distribuída dentro de um dos intervalos de classe é o vigésimo valor (estatura). A pergunta agora é: Em qual dos intervalos podemos encontrar o vigésimo valor? Perceba que existem vinte e quatro valores de estatura até as três primeiras classes da distribuição (os valores da freqüência acumulada determinam a quantidade de dados contidos em todos os intervalos até ali; você se lembra da Aula 7?). Até a segunda classe, temos treze valores; portanto, o valor que ocupa a posição vinte só pode estar localizado na classe número três. Mas na classe três, existem onze elementos (veja o valor da freqüência correspondente a esta classe). Como vamos identificar qual deles é a mediana? Para responder a esta pergunta, é preciso calcular um valor que chamamos de distância. A distância é o valor que somamos ao limite inferior da classe (no caso do exemplo é a classe três) para encontrar o valor procurado, que é a mediana. Então, vamos achar esse valor: Primeiro diminuímos a posição da mediana que queremos encontrar do valor da freqüência acumulada da classe anterior àquela 392

21 onde a mediana está: = 7. Agora dividimos este valor pelo número de elementos da classe onde a mediana está: 7 11 = 0,636. Por fim, multiplicamos o valor encontrado pela amplitude do intervalo de classe ( = 4) onde a mediana está: 0,636 x 4 = 2,544. A distância é 2,54. Para encontrar a mediana, é preciso somar a distância ao limite inferior da classe onde a mediana está, ou seja, a mediana é ,54 = 160,5 centímetros. Nossa, são tantas possibilidades de se calcular um número que represente um conjunto de dados, não é mesmo? E ainda não acabou! Existe mais uma medida de posição de tendência central: a moda. Ela é nosso próximo assunto. Aula 14 Aprendendo a calcular mediana e moda ATIVIDADE 3 Atende ao Objetivo 3 As notas finais dos alunos na disciplina de Estatística Aplicada do curso de Segurança do Trabalho encontram-se na tabela a seguir. As notas estão separadas em intervalos de classe. A partir dos dados desta tabela, encontre a mediana das notas, utilizando a coluna de freqüência acumulada para ajudar a encontrar a resposta. Classe Notas (intervalo) Número de alunos com determinada nota (freqüência) TOTAL: Freqüência acumulada 393

22 e-tec Brasil Estatística Aplicada ATIVIDADE 4 Atende ao Objetivo 3 A partir dos dados coletados em uma pesquisa sobre o valor dos salários dos Técnicos em Segurança no Trabalho foi montada uma tabela. Nela os salários foram distribuídos por intervalos de classe, conforme você pode conferir a seguir: Classe Faixa salarial (em reais) (intervalos de classe) Freqüência TOTAL: Freqüência acumulada MODA: UMA MEDIDA COM ESTILO A última medida de posição de tendência central que vamos ver é a moda. A moda é o elemento de um conjunto de dados que mais vezes aparece. No entanto, nem sempre ela será uma medida que representa da melhor forma um conjunto de dados. Na verdade, na maioria dos casos a média e a mediana são as melhores medidas, mas vamos ver uma situação em que a moda é a melhor opção. 394

23 Bina Sveda SAIBA MAIS... Você pode, ou não, estar na moda Já parou para pensar que num conjunto de dados podemos não encontrar nenhum elemento que se repita? Ou, ainda, elementos diferentes que estejam repetidos na mesma quantidade? Não estranhe, é comum acontecer. Um conjunto de dados pode ter: uma única moda e, por esse motivo, é chamado unimodal; duas ou mais modas e, nesse caso, o chamamos multimodal; nenhuma moda, quando isso acontece é chamado amodal. Fonte: Aula 14 Aprendendo a calcular mediana e moda Alexandre é professor de Direito Administrativo em um curso preparatório para concursos. Ele tem uma turma no período noturno. Pensando em montar suas aulas com base no perfil da maioria dos alunos dessa turma, ele resolveu fazer um levantamento da média de idade dos alunos. Veja a tabela a seguir: Tabela 14.7: Tabela da idade dos alunos da turma de Alexandre. Ela relaciona a idade dos alunos com a quantidade de alunos com as referentes idades. Idade dos alunos da turma de Alexandre Idade dos alunos Quantidade de alunos com esta idade (freqüência) TOTAL

24 e-tec Brasil Estatística Aplicada A primeira idéia de Alexandre foi calcular a média aritmética: = = = 31, O resultado que Alexandre encontrou, calculando a média aritmética das idades dos alunos da turma, foi de aproximadamente 31,7 anos. Utilize o espaço a seguir para responder às seguintes perguntas: a. Qual idade está relacionada com a maior quantidade de alunos? b. Qual a segunda idade que possui a maior quantidade de alunos? c. Alguma dessas idades está próxima do valor da média encontrada? Chris Jewiss Adam Ciesielski Fonte: Fonte: Figura 14.9: A média aritmética pode ser afetada por elementos extremos de um conjunto de dados. Nestes casos, ela não será um valor representativo deste conjunto.

25 Ao responder às mesmas perguntas que você respondeu anteriormente, Alexandre concluiu que a média das idades não era um bom valor representativo para sua turma. Então, ele resolveu calcular a mediana. Como seus dados estão agrupados em freqüências, primeiro ele teve de determinar a freqüência acumulada. Veja a seguir: Idade dos alunos Idade dos alunos da turma de Alexandre Quantidade de alunos com esta idade (freqüência) Freqüência acumulada TOTAL 61 Aula 14 Aprendendo a calcular mediana e moda Agora ele deve identificar a freqüência na qual está contida a mediana. Para isso, ele divide a maior freqüência acumulada (sessenta e um) por dois: 61 2 = 30, 5 Como você aprendeu, a mediana será encontrada no grupo de dados da freqüência acumulada imediatamente maior que o valor encontrado na conta feita anteriormente. Sendo assim, a freqüência acumulada que tem um valor imediatamente maior que 30,5 é trinta e um. A idade relacionada a essa freqüência acumulada é trinta e um; portanto, a mediana desse conjunto é trinta e um. Esse valor encontrado para a mediana é muito próximo do valor encontrado para a média aritmética (31,7), que, como já vimos, não é um valor representativo das idades da turma de Alexandre. 397

26 e-tec Brasil Estatística Aplicada Andrew C. Fonte: Figura 14.10: Existem situações em que a mediana não será uma boa medida. Às vezes, o elemento central de um grupo de dados não é representativo deste conjunto. Quando nem a média nem a mediana são capazes de apresentar um valor que represente adequadamente um conjunto de dados, lançamos mão do cálculo da moda. Observando as idades da turma de Alexandre, podemos concluir que quase metade da turma tem quarenta anos. Trinta dos sessenta e um alunos têm quarenta anos. Essa é a idade que mais se repete e, por isso, podemos considerá-la como sendo um valor representativo para esta turma. A moda da idade da turma de Alexandre é quarenta, a idade que mais se repete. No exemplo da turma do Alexandre, os dados estão agrupados em freqüências, ou seja, estão agrupados pela quantidade de vezes que cada um se repete. Mas o que fazer quando os dados estão agrupados em intervalos de classe? Fique tranqüilo, é isso que você vai aprender na próxima seção. Mas, antes, vamos fazer umas atividades? 398

27 Atende ao Objetivo 4 Uma prova com cinco questões foi aplicada para avaliação de candidatos ao Curso de Segurança no Trabalho. O levantamento estatístico dos acertos foi registrado no seguinte gráfico: número de alunos ATIVIDADE número de acertos alunos Aula 14 Aprendendo a calcular mediana e moda Com base no gráfico, determine: a. o número de alunos; b. a média aritmética; c. a moda. Para ajudar na análise, passe os dados do gráfico para a tabela a seguir: Número de acertos Número de alunos (freqüência) TOTAL 399

28 e-tec Brasil Estatística Aplicada ATIVIDADE 6 Atende ao Objetivo 4 As notas dos alunos de uma determinada turma do Curso de Física foram colocadas na tabela de freqüência a seguir: Notas Número de alunos que tiraram esta nota (freqüência) Com base nos dados desta tabela, calcule: a. A média aritmética das notas dos alunos; b. A mediana das notas dos alunos; c. A moda das notas dos alunos. MODA DE DADOS AGRUPADOS EM INTERVALOS DE CLASSE Agora vamos ver como achar a moda de um conjunto de dados agrupados em intervalos de classe. Nestes casos, a moda é o valor dominante, ou seja, que mais se repete, no intervalo de classe que apresenta a maior freqüência. Um método simples para o cálculo da moda é pegar o ponto médio da classe de maior freqüência. Quando determinamos a moda desta maneira, a classe de maior freqüência é chamada de classe modal e o valor encontrado é denominado moda bruta. 400

29 A Tabela 14.8 foi montada a partir de dados coletados por um Técnico em Segurança no Trabalho. Ele queria encontrar a moda do número de acidentes ocorridos em empresas do ramo de segurança privada no mês de setembro. Tabela 14.8: Número de acidentes de trabalho ocorridos em empresas de segurança privada no mês de setembro. Número de acidentes em empresas de segurança privada setembro Classe Número de acidentes (intervalos de classe) Número de empresas (freqüência) Aula 14 Aprendendo a calcular mediana e moda TOTAL: Veja que a maior freqüência é relativa à terceira classe; esta é a classe modal. Portanto, a moda estará no intervalo entre 40 e 60 acidentes. Para calculá-la, temos de somar o limite inferior (quarenta) com o superior (sessenta) da classe modal. Depois é só dividir o resultado por dois (este é o cálculo do ponto médio da classe) = 50 2 Logo, a moda destes dados é cinqüenta (acidentes). 401

30 Foto: Kriss Szkurlatowski Dragan Sasic e-tec Brasil Estatística Aplicada SAIBA MAIS... Conhecendo a moda de outro jeito Você pode escolher um caminho diferente para encontrar a moda de dados agrupados em intervalos de classe. Este cálculo pode ser feito através de uma fórmula um pouco mais elaborada, chamada fórmula de Czuber. Utilizando o exemplo da Tabela 14.8, o cálculo da moda pode ser feito da seguinte forma: Calcule a diferença entre a freqüência simples da classe modal, que vale dezenove, e a freqüência simples da classe anterior à classe modal, que vale doze. A diferença é: = 7. Em seguida, calcule a diferença entre a freqüência simples da classe modal, que vale Fonte: dezenove, e a freqüência simples da classe posterior à classe modal, que vale dez. Esta diferença é: = 9. Agora, some os dois valores encontrados anteriormente. Esse novo valor é = 16. O próximo passo é dividir o valor encontrado na primeira conta que você fez pelo valor encontrado na terceira conta. Ou seja, 7 16 = 0,4375. Multiplique o valor encontrado anteriormente pela amplitude da classe modal (60 40 = 20). Assim, temos que 0,4375 x 20 = 8,75. Para achar a moda, você deve somar o valor encontrado anteriormente (que foi 8,75) com o limite inferior da classe modal, que é igual a quarenta. Assim, a moda calculada pela fórmula de Czuber vale ,75 = 48,75. O que achou desta forma de calcular a moda? Quer tentar fazer sozinho? Então, vá até a Atividade 7 desta aula, leia seu enunciado e calcule a moda da distribuição de freqüência, utilizando a fórmula de Czuber. Mas faça a Atividade 7 primeiro, da maneira que foi apresentada na seção Moda de dados agrupados em intervalos de classe, e depois calcule-a, no espaço a seguir, utilizando a fórmula de Czuber. Compare os dois resultados encontrados! 402

31 Na aula de hoje, você foi apresentado a mais duas medidas de posição de tendência central: a mediana e a moda. Viu como calculá-las e em que situações as usar. Mas para aprender de verdade é preciso praticar. Por isso, não deixe de fazer os exercícios, eles são essenciais para reforçar o seu aprendizado. ATIVIDADE 7 Atende ao Objetivo 5 A tabela a seguir apresenta os gastos com equipamentos de segurança de sessenta e quatro empresas do ramo de construção civil. Aula 14 Aprendendo a calcular mediana e moda Classes Gastos com equipamentos de segurança Gastos da empresa (R$) Número de empresas (freqüência) , , , , , , , , , , , , , ,00 1 Calcule a moda da distribuição de freqüência da tabela anterior. Total de empresas:

32 e-tec Brasil Estatística Aplicada RESUMINDO... A mediana é o valor central de um conjunto de dados ordenados de forma crescente ou decrescente. A mediana de um conjunto de dados com quantidade ímpar de valores é o valor central que o divide em duas partes com a mesma quantidade de dados. A mediana de um conjunto de dados com quantidade par de valores é a média aritmética simples dos dois valores centrais do conjunto. Para calcular a mediana de dados agrupados por freqüência, é preciso calcular a freqüência acumulada. A mediana será o valor relativo à freqüência acumulada imediatamente maior que a metade da soma de todas as freqüências. Para calcular a mediana de dados agrupados em intervalos de classe, dividimos a soma das freqüências por 2. Depois pega-se esse valor e subtrai-se pela freqüência acumulada da classe anterior à classe em que está a mediana. Divide-se esse valor pelo número de elementos (freqüência relativa) desta classe. Encontrado esse valor, deve-se multiplicá-lo pela amplitude desta mesma classe. A mediana é a soma do valor encontrado com o limite inferior da classe em que está a mediana. A moda é o valor que mais se repete em um conjunto de dados. A moda de dados agrupados em intervalos de classes é a metade da soma dos limites inferior e superior da classe modal (aquela com maior freqüência). INFORMAÇÕES SOBRE A PRÓXIMA AULA A próxima aula será sobre Medidas de Dispersão, que também são medidas de posição. Você aprenderá sobre variância, desvio padrão e coeficiente de variação. Até lá! 404

33 RESPOSTAS DAS ATIVIDADES ATIVIDADE 1 O primeiro passo é colocar em ordem crescente as notas de todos os grupos. Grupo 1: 5, 6, 6, 7, 8, 10 Grupo 2: 2, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 8, 10, 10 Grupo 3: 2, 4, 4, 5, 6, 6, 7, 8, 9 O grupo 1 tem um número par de valores, por isso sua mediana será a média aritmética simples dos dois valores centrais: O grupo 2 também tem um número par de valores e a média aritmética de seus valores centrais é: = 6, = 6 2 Aula 14 Aprendendo a calcular mediana e moda O grupo 3 tem um número ímpar de valores, por isso sua mediana é o valor central do conjunto de notas. Este valor é o número 6. Portanto, o grupo 1, composto pelos alunos que sentam nas primeiras carteiras, obteve o melhor desempenho na prova, pois sua mediana é maior que as dos outros dois grupos. ATIVIDADE 2 a. O número de alunos é a soma das freqüências: = 58 alunos b. A mediana é calculada da seguinte forma: Passo 1: Somar as freqüências. Passo 2: Preencher a coluna de freqüência acumulada na tabela a seguir: Notas Freqüência Freqüência acumulada TOTAL 58 Passo 2: Dividir a soma das freqüências por 2: (58 2 = 29). 405

34 e-tec Brasil Estatística Aplicada Passo 3: Comparar o valor 29 com o das freqüências acumuladas. Como não existe freqüência acumulada de valor 29, é preciso encontrar a freqüência acumulada imediatamente maior que esse valor. Essa freqüência acumulada é 30. Passo 4: Identificar o valor da variável correspondente a 30. A resposta é 6; portanto, a mediana deste conjunto de notas é 6. ATIVIDADE 3 Completando o quadro de distribuição de freqüência: Classe Notas (intervalo) Número de alunos com determinada nota (freqüência) Freqüência acumulada TOTAL: 44 O cálculo da mediana é realizado da seguinte forma: Passo 1: Somar as freqüências dividida por dois: 44 2 = 22 (esta é a posição da mediana, então ela se encontra na terceira classe). Passo 2: Calcular a distância: = 9 (Subtrair o valor encontrado no passo 1 pela freqüência acumulada imediatamente anterior a esse valor.) 9 14 = 0,643 (Dividir o valor encontrado no item anterior pela freqüência correspondente à classe onde está a mediana, que, no caso, é a classe de intervalo 4 6. ) 0,643 x 2 = 1,29 (Multiplicar o valor encontrado no item anterior pela amplitude do intervalo de classe onde está a mediana, que é dois (6 4 = 2).) O valor encontrado é a distância. Passo 3: A mediana será a soma do limite inferior da classe onde está a mediana com a distância: 4 + 1,29 = 5,29. A mediana vale 5,

35 ATIVIDADE 4 Completando o quadro de distribuição de freqüência: Classe Faixa salarial (em reais) (intervalos de classe) Freqüência Freqüência acumulada O cálculo da mediana é realizado da seguinte forma: TOTAL: 70 Passo 1: Somar as freqüências dividida por dois = 70 : 2 = 35 (esta é a posição da mediana, então ela se encontra na terceira classe). Passo 2: Calcular a distância: = 17 (Subtrair o valor encontrado no passo 1 pela freqüência acumulada imediatamente anterior a esse valor.) 17 : 31 = 0,55 (Dividir o valor encontrado no item anterior pela freqüência correspondente à classe onde está a mediana, que, no caso, é a classe de intervalo ) 0,55 x 200 = 110 (Multiplicar o valor encontrado no item anterior pelo intervalo de classe da série, que é duzentos ( = 200).) O valor encontrado é a distância. Passo 3: A mediana será a soma do limite inferior da classe onde está a mediana com a distância: = 810. A mediana vale R$ 810,00. Aula 14 Aprendendo a calcular mediana e moda ATIVIDADE 5 a. Para facilitar a contagem do número de alunos devemos montar a tabela de freqüência, baseada nas informações contidas no gráfico. Veja, a seguir, o resultado: Número de acertos Número de alunos (freqüência) TOTAL

36 e-tec Brasil Estatística Aplicada Então, somando-se a quantidade de alunos que acertou cada questão, concluímos que eram 40 alunos. b. Para calcular a média, temos de calcular a média aritmética ponderada. Isto porque tivemos vários alunos que tiraram a mesma nota; portanto, as notas teriam como peso o número de alunos que tiraram essa nota. O cálculo é feito da seguinte forma: c. O valor que tem a maior freqüência, ou seja, que aparece o maior número de vezes, é 3 (sua freqüência é 13); logo, a moda = 3. ATIVIDADE = = 3, O primeiro passo é preencher a tabela com os dados que estão no gráfico. Número de alunos Número de acertos (freqüência) TOTAL 30 a. O número de alunos é a soma de todas as freqüências, ou seja, são trinta alunos. b. A média destes dados será a média ponderada, pois cada nota tem uma quantidade de alunos específica. 1 X = = = = 3, c. A moda é a nota três, que é a nota que tem maior freqüência, isto é, a nota que tem o maior número de repetições (treze alunos tiraram essa nota). ATIVIDADE 6 a. 3 x = = = = 14,

37 b. Calcule a freqüência acumulada da tabela de distribuição de freqüência: Notas Número de alunos que tiraram essa nota (freqüência) Freqüência acumulada Total: 10 Passo 1: Dividir a soma das freqüências por = 5. Passo 2: A freqüência acumulada imediatamente maior que esse valor é 7, que corresponde à nota igual a 6. A nota seis é, então, o valor da mediana deste grupo de notas. Aula 14 Aprendendo a calcular mediana e moda c. A moda é igual a quinze alunos, porque esse valor é o que tem a maior freqüência. ATIVIDADE 7 O primeiro passo é achar a classe modal. A classe modal é a de número quatro, pois é a que apresenta a maior freqüência. Em seguida, devemos calcular o ponto médio da classe modal, que é a média aritmética entre o limite inferior e o limite superior da classe modal. Assim, temos que: é o limite inferior da classe modal; é o limite superior da classe modal; = = ou seja, a moda vale R$ 3.150,00. RESPOSTAS DA ATIVIDADE DO BOXE SAIBA MAIS a. Calcule a diferença entre a freqüência simples da classe modal, que vale dezesseis, e a freqüência simples da classe anterior à classe modal (classe 3), que vale onze. A diferença é: = 5 b. Calcule a diferença entre a freqüência simples da classe modal, que vale dezesseis, e a freqüência simples da classe posterior à classe modal (classe 5), que vale dez. Portanto, a diferença é: = 6 409

38 e-tec Brasil Estatística Aplicada c. Some os valores encontrados nas letras a e b. Esse valor é = 11. d. Divida o valor encontrado na letra a pelo valor encontrado na letra c 5 11 = 0,4545. e. Multiplique o valor encontrado na letra d pela amplitude da classe modal (3.400, ,00 = 500,00): 0,4545 x 500,00 = 227,25. f. A moda é calculada somando-se o valor encontrado na letra e (que foi 227,25) com o limite inferior da classe modal, que vale 2.900,00. Então, a moda calculada pela fórmula de Czuber é: 2.900, ,25 = 3.127,25. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS BUSSAB, Wilton O.; MORETTIN, Pedro A. Estatística básica. 5. ed. São Paulo: Saraiva, MAGALHÃES, Marcos N.; LIMA, Antonio C. P. Noções de probabilidade e estatística. 6. ed. São Paulo: EDUSP, MARTINS, Gilberto A. Estatística geral e aplicada. 3. ed. São Paulo: Atlas, MILONE, Giuseppe. Estatística geral e aplicada. São Paulo: Thomson Learning,