RL Edição Fevereiro 2014

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1 RL Edição Fevereiro Sejam dados dois conjuntos não vazios, A, B, e sejam A e B seus respectivos conjuntos complementares no conjunto Universo considerado. Se um elemento x é tal que x A B, então x pertence ao conjunto (A) A B (B) A B (C) A B (D) A B (E) A B O Diagrama de Euler-Venn acima representa os conjuntos e três elementos a, b e c que se enquadram nas propriedades x x A B. Portanto, conclui-se que os elementos com as propriedades citadas só não pertencem ao conjunto A B. Logo, A B = - (A B) Resposta Opção (B) 02. Sejam p e q proposições lógicas e E uma expressão composta a partir de p e q cujos valores lógicos são apresentados na tabela verdade mostrada a seguir: e p q ~p ~q p q E V V F F V V V F F V V V F V V F V V F F V V F F 1

2 A tabela acima estará correta se a expressão E for logicamente equivalente à expressão (A) q (p q) (D) (p q) (~q) (B) (p q) (~p) (E) (~q) ~p (C) (~p) (p q) Análise das Opções de Resposta (A) A quarta linha da tabela elimina esta alternativa ( F F V ). (B) A primeira linha da tabela elimina esta alternativa ( V F F ). (C) Esta correta! (D) A primeira linha da tabela elimina esta alternativa ( V F F ). (E) A segunda linha da tabela elimina esta alternativa ( V F F ) Resposta Opção (C) 03. Um dia da semana é sábado ou domingo se, e somente se, naquele dia, eu como churrasco e não assisto a um filme. Portanto, se ontem foi uma terça-feira, eu, ontem (A) não comi churrasco e assisti a um filme. (B) comi churrasco ou não assisti a um filme. (C) não comi churrasco ou assisti a um filme. (D) comi churrasco, mas não assisti a um filme. (E) não comi churrasco e tampouco assisti a um filme. Sejam as proposições simples: P: Hoje é sábado Q: Hoje é domingo R: Comi churrasco S: Assisti a um filme Portanto, 2

3 Um dia da semana é sábado ou domingo se, e somente se, naquele dia, eu como churrasco e não assisto a um filme. (P Q) (R ~S) Como ontem foi terça-feira, então (P Q) Falso. Logo, para que a bicondicional seja verdadeira deve-se ter (R ~S) Falso. (P Q) (R ~S) F F V Para que (R ~S) Falso basta que pelo menos uma das proposições R ou ~S sejam falsas. Assim, é verdade que não comi churrasco (~R V) ou assisti a um filme (S V) Resposta Opção (C) 04. Sejam p, q e r três proposições lógicas que compõem as seguintes expressões: E 1 : (p r) (p q) E 2 : (~p) (r q) Os valores lógicos assumidos pela expressão E 1 E 2 independem do valor lógico da proposição p e são os mesmos assumidos pela expressão (A) q r (B) q r (C) (~r) q (D) p (~p) (E) p (~p) E 1 : (p r) (p q) p (q r)... Distributividade E 2 : (~p) (r q) Então, E 1 E 2 [p (q r)] [(~p) (r q)] Ora, o valor lógico dessa expressão será sempre verdadeiro uma vez que (p) (~p) V (são complementares) Resposta Opção (D) 3

4 05. Um grupo é formado por cinco integrantes. Logo, dizer que no máximo três integrantes do grupo viajarão é o mesmo que dizer que (A) dois integrantes não viajarão. (B) a maioria do grupo não viajará. (C) um ou dois integrantes não viajarão. (D) quatro ou cinco integrantes não viajarão. (E) pelo menos dois integrantes não viajarão. Se no máximo três viajarão, então em um grupo de 5 pessoas, no mínimo dois não viajarão. Ou seja, no mínimo dois é o mesmo que dizer dois ou mais ou pelo menos dois não viajarão Resposta Opção (E) 06. Sejam p e q proposições simples. Denomina-se modus tollens a argumentação definida da seguinte forma: p q ~q Então, ~p Mediante a escolha de proposições p e q convenientes, será um exemplo de modus tollens a argumentação: (A) Se alguém tivesse vindo aqui, então os cães teriam latido ou o alarme teria soado. Ou seja, ninguém terá vindo aqui se o alarme não tiver soado ou os cães não tiverem latido. (B) Se alguém tivesse vindo aqui, então os cães teriam latido ou o alarme teria soado. Os cães não latiram, nem o alarme soou. Então, ninguém veio aqui. (C) Se alguém tivesse vindo aqui, então os cães teriam latido ou o alarme teria soado. Os cães latiram e o alarme soou. Então, alguém veio aqui. 4

5 (D) Se alguém tivesse vindo aqui, então os cães teriam latido ou o alarme teria soado. Os cães latiram ou o alarme soou. Então, alguém veio aqui. (E) Se alguém tivesse vindo aqui, então os cães teriam latido ou o alarme teria soado. Como o alarme não tocou e alguém veio, os cães latiram. Sejam as proposições: P: Alguém veio aqui Q: Os cães latiram R: O alarme soou O modus tollens correspondente será: P Q R P Q R ~(Q R) (~Q ~R) Então, ~P Então, ~P Logo, Se alguém tivesse vindo aqui, então os cães teriam latido ou o alarme soado Então, ninguém veio aqui. ~P P Q R Os cães não latiram e o alarme não tocou (~Q ~R) Resposta Opção (B) 07. Se Pedro anda de carro ou não anda de van, então ele se perde. Se Pedro anda de van então ele é carioca. Se Pedro não janta, então ele anda de carro. Se Pedro não se perde, então ele (A) é carioca e janta. (B) é carioca, mas não janta. (C) não é carioca e não janta. (D) não é carioca, mas janta. (E) ou não é carioca, ou não janta. 5

6 Sejam as proposições simples: P: Pedro anda de carro Q: Pedro anda de van R: Pedro se perde S: Pedro é carioca T: Pedro janta R: Pedro se perde Assumir que ~R V. Análise das proposições compostas Se Pedro anda de carro ou não anda de van, então ele se perde P ~Q R F F F F Se Pedro anda de van então ele é carioca Q S V V Se Pedro não janta, então ele anda de carro ~T P F F Logo, Pedro é carioca (S V) e janta (T V) Resposta Opção (A) 08. Seja * x um número real definido por * 9 * é um número * 4x - 5 x = 6. Então, o valor de (A) maior que 8. (B) compreendido entre 3 e 8. (C) compreendido entre 2 e 3. (D) compreendido entre 0 e 2. (E) negativo. 6

7 9 * = = Logo, 9 * * 31 * Portanto, o resultado está entre 2 e Resposta Opção (C) 09. Um gerente de uma empresa escolheu os funcionários A, B e C para visitarem as sedes que ficam no Rio de Janeiro, em São Paulo e em Minas Gerais. Cada funcionário visitará apenas uma das três cidades e cada uma delas será visitada por algum desses três funcionários. Sabe-se que: I. A sede do Rio de Janeiro será visitada pelo funcionário A ou pelo funcionário C. II. A sede de São Paulo será visitada pelo funcionário A ou pelo funcionário B. III. A sede de Minas Gerais será visitada pelo funcionário A ou pelo funcionário C. IV. Ou o funcionário B visitará a sede do Rio de Janeiro, ou o funcionário C visitará a sede de Minas Gerais. As sedes do Rio de Janeiro, São Paulo e Minas Gerais serão visitadas, respectivamente, pelos funcionários (A) A, B e C (B) A, C e B (C) B, A e C (D) C, A e B (E) C, B e A Todas as sedes serão visitadas por apenas um dos funcionários e cada funcionário visitará apenas uma sede. 7

8 I. (RJ A) (RJ C) II. (SP A) (SP B) III. (MG A) (MG C) IV. (RJ B) (MG C) A proposição (IV) é uma disjunção exclusiva ou OU EXCLUSIVO, ou seja, será verdadeira quando exatamente um dos termos for verdadeiro. Vamos admitir então que (MG C) é VERDADEIRO e, consequentemente, (RJ B) é FALSO. Então, de (III) (MG A) será FALSO e, portanto, em (I) (RJ A) é VERDADEIRO. Logo, em (II), (SP B) é VERDADEIRO. Então as sedes do Rio de Janeiro, São Paulo e Minas Gerais serão visitadas, respectivamente, pelos funcionários A, B e C Resposta Opção (A) 10. Considere os seguintes argumentos: I. Se 11 é primo, então não divide 33. Mas 11 divide 33. Logo, 11 não é primo. II. Se 5 é menor que 2, então 5 não é primo. Mas 5 não é menor que 2. Logo, 5 é primo. III. Se 7 não é par, então 1 é primo. Mas 1 é primo. Logo, 7 não é par. Os argumentos I, II e III são respectivamente, (A) válido, válido e válido. (B) válido, válido e não-válido. (C) válido, não-válido e válido. (D) válido, não-válido e não-válido. (E) não-válido, não-válido e não-válido. 8

9 Argumento (I) Se 11 é primo, então não divide 33. P ~Q Mas 11 divide 33. Q V 11 não é primo. ~P Então, P ~Q ; Q ~P Válido F F V V V Argumento (II) Se 5 é menor que 2, então 5 não é primo. P ~Q Mas 5 não é menor que 2. ~P V 5 é primo. Q Então, P ~Q ; ~P Q Não-válido V V V F V Argumento (III) Se 7 não é par, então 1 é primo. ~P Q Mas 1 é primo. Q V 7 não é par. Então, ~P Q ; Q ~P Não-válido V/F V V V/F Resposta Opção (D) 9

10 11. Considere esta afirmação acerca dos carros de uma empresa: Todos os carros da sede carioca são velhos e pelo menos um dos carros da sede mineira é novo. A negação da afirmação acima é logicamente equivalente a: (A) Todos os carros da sede carioca não são velhos e pelo menos um dos carros da sede mineira não é novo. (B) Pelo menos um dos carros da sede carioca é novo e todos os carros da sede mineira são velhos. (C) Nenhum dos carros da sede carioca é velho ou mais de um carro da sede mineira é velho. (D) Nenhum dos carros da sede carioca é velho e mais de um carro da sede mineira não é novo. (E) Pelo menos um dos carros da sede carioca não é velho, ou todos os carros da sede mineira não são novos. Todos os carros da sede carioca são velhos e pelo menos um dos carros da sede mineira é novo. Negação: Algum dos carros da sede carioca não é velho ou nenhum dos carros da sede mineira é novo. (todos os carros da sede mineira não são novos) Resposta Opção (E) 12. O quadro a seguir apresenta cinco afirmativas: 1 - Neste quadro há apenas quatro afirmativas verdadeiras. 2 - Neste quadro há apenas três afirmativas verdadeiras. 3 - Neste quadro há apenas três afirmativas falsas. 4 - Neste quadro há apenas quatro afirmativas falsas. 5 - Neste quadro, ou todas as afirmativas são falsas, ou todas são verdadeiras. A única afirmativa do quadro acima que pode ser verdadeira é a de número (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5 Com relação as afirmativas (1), (2), (3) e (4) só há duas possibilidades ou todas são falsas ou apenas uma é verdadeira. 10

11 Ora, a afirmativa (5) é um ou exclusivo, portanto, será verdadeira quando exatamente uma das proposições que a formam for verdadeira. Vamos examinar as possibilidades. A proposição todas as afirmativas são verdadeiras só pode ser FALSA, caso contrário, entraria em conflito com o que foi deduzido em relação as afirmativas (1), (2), (3) e (4); A proposição todas as afirmativas são falsas sendo FALSA implicará em que a afirmativa (5) é FALSA e que pelo menos uma das afirmativas (1), (2), (3) ou (4) pode ser verdadeira. Ocorre que, nesse caso, só uma pode ser verdadeira o que implicará em que a afirmativa (4) seria a única VERDADEIRA Resposta Opção (D) 13. Se todos os meus amigos tivessem comprado ingressos para o jogo de futebol, então eu teria alugado uma van para nos levar. Como não aluguei uma van, então (A) não houve jogo de futebol. (B) não tenho amigos que gostam de futebol. (C) nenhum dos meus amigos comprou ingressos para o jogo. (D) apenas um dos meus amigos comprou ingresso para o jogo. (E) algum dos meus amigos não comprou ingresso para o jogo. Sejam as proposições simples: P: Todos os amigos compraram ingressos Q: Aluguei uma van Se todos os meus amigos tivessem comprado ingressos para o jogo de futebol, então eu teria alugado uma van para nos levar. Como Q é Falso, então P Q P Q F F V Logo, pelo menos um dos meus amigos não comprou ingresso Resposta Opção (E) 11

12 14. Elisa esqueceu a lapiseira na sala de aula, e uma das três pessoas que ficaram em sala quando ela saiu guardou a lapiseira. No dia seguinte, Elisa comentou com o professor que havia esquecido a lapiseira e mencionou as três pessoas que ficaram na sala. Então ele, que havia recebido a lapiseira de quem a havia encontrado, propôs-lhe um problema. Informou-lhe que: (i) das três pessoas que permaneceram na sala de aula no dia anterior, uma sempre fala a verdade, outra às vezes fala a verdade e outra sempre mente; (ii) uma delas é morena, outra é ruiva e outra loira; e (iii) quem entregou a lapiseira às vezes fala a verdade e às vezes mente. O professor perguntou a essas três pessoas quem lhe entregou a lapiseira. A loira disse: Eu entreguei a lapiseira. A ruiva apontou para a loira e disse: Sim, ela entregou a lapiseira. A morena disse: Eu entreguei a lapiseira. (A) a morena entregou a lapiseira e a loira sempre mente. (B) a loira entregou a lapiseira e a morena sempre mente. (C) a ruiva entregou a lapiseira e a morena sempre mente. (D) a loira entregou a lapiseira e a loira sempre diz a verdade. (E) a morena entregou a lapiseira e a loira sempre diz a verdade. Das 3 pessoas que ficaram na sala uma é morena, outra é ruiva e a terceira é loira. Uma delas sempre fala a verdade, outra às vezes fala a verdade e outra sempre mente. Quem entregou a lapiseira às vezes fala a verdade e às vezes mente. Análise das respostas: Loira: Eu entreguei a lapiseira ( V ) Ruiva: Sim, ela entregou a lapiseira (apontando para a loira) ( V ) Morena: Eu entreguei a lapiseira ( F ) A loira às vezes diz a verdade e foi a que entregou a lapiseira e a morena sempre mente Resposta Opção (B) 12

13 15. Dois conjuntos A, B, não vazios, são tais que B A e A B é um conjunto unitário, onde é o conjunto Universo considerado. Portanto, o conjunto A - B = {x / x A e x B} é (A) vazio. (B) unitário. (C) igual ao conjunto A. (D) igual ao conjunto B. (E) igual ao conjunto Universo. Como A B é unitário e B A, segue-se que A = B. Logo, A B = Resposta Opção (A) 16. Em uma estante há cinco bonecos enfileirados uma ao lado do outro, cada qual de uma cor que lhe é exclusiva: azul, branco, cinza, preto ou verde. Sabe-se que: há exatamente um boneco entre o azul e o branco e exatamente dois bonecos entre o branco e o verde; o verde está à direita do branco e o azul está à esquerda do cinza. Então, pode-se concluir que (A) o boneco cinza está à direita de todos. (B) o boneco branco está à direita do preto. (C) o boneco azul está à esquerda do preto. (D) o boneco preto está entre o azul e o cinza. (E) o boneco verde está entre o azul e o branco. Utilizaremos a seguinte convenção para as cores: azul AZ, branco BR, cinza CZ, preto PR e verde VE. Como há exatamente um boneco entre o azul e o branco segue-se que são duas as possibilidades: AZ BR (01) ou BR AZ (02) 13

14 Porém, como há exatamente dois bonecos entre o branco e o verde, isto elimina a alternativa (01) implicando em: BR AZ VE Consequentemente, como o verde está à direita do branco e o azul à esquerda do cinza, segue-se que o arranjo de bonecos na estante é: BR PR AZ VE CZ Resposta Opção (A) 17. Há pedreiros que não gostam de tulipas. Todo aquele que não é padeiro gosta de tulipas. Portanto, (A) todo pedreiro é padeiro. (B) há pedreiros que são padeiros. (C) todo aquele que gosta de tulipas é pedreiro. (D) todo aquele que não gosta de tulipas é pedreiro. (E) se alguém é padeiro, então não gosta de tulipas. Observar, inicialmente, que a proposição Todo aquele que não é padeiro gosta de tulipas tem como contrapositiva Quem não gosta de tulipas é padeiro 14

15 Os dois Diagramas de Euler-Venn acima podem representar as proposições Há pedreiros que não gostam de tulipas e Todo aquele que não é padeiro gosta de tulipas destacando que, da observação inicial, são padeiros aqueles que não gostam de tulipas. Análise das Opções de Resposta todo pedreiro é padeiro... o Diagramas de Euler-Venn (I) anterior descarta essa opção. Não se pode afirmar (A). há pedreiros que são padeiros... Quem não gosta de tulipas é padeiro, portanto, os Diagramas de Euler-Venn (I) e (II) permitem afirmar isso. todo aquele que gosta de tulipas é pedreiro... os Diagramas de Euler-Venn (I) e (II) descartam essa opção. Não se pode afirmar (C). todo aquele que não gosta de tulipas é pedreiro... o Diagrama de Euler-Venn (I) descarta essa opção. Não se pode afirmar (D). se alguém é padeiro, então não gosta de tulipas... os Diagramas de Euler-Venn (I) e (II) descartam essa opção. Não se pode afirmar (E) Resposta Opção (B) 15