Prof.ª Dr.ª Donizete Ritter. MÓDULO I PARTE 2: Lógica Proposicional

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1 Bacharelado em Sistemas de Informação Disciplina: Lógica Prof.ª Dr.ª Donizete Ritter MÓDULO I PARTE 2: Lógica Proposicional 1

2 OPERAÇÕES LÓGICAS SOBRE PROPOSIÇÕES Os conectivos lógicos são responsáveis pela formação de proposições a partir de proposições. Essas operações lógicas realizadas sobre os enunciados obedecem a regras de um cálculo, denominado Cálculo Proposicional, semelhante ao da aritmética sobre números. A fim de simplificarmos o estudo, apresentaremos os conectivos lógicos através de suas respectivas tabelasverdade.

3 Negação (~ ou ) Dado um enunciado qualquer p, podemos formar o enunciado ~p, dito negação de p. Se p for um enunciado verdadeiro, ~p é falso. Se p for um enunciado falso, então ~p é verdadeiro. Assim, considerando o enunciado p: O sol é uma estrela sua negação será ~p: O sol não é uma estrela ou também ~p: não é o caso que o sol seja uma estrela Uma vez que p é verdadeiro, teremos então que ~p é um enunciado falso. p ~p Exercício 1: Escreva ~p em linguagem corrente e indique seu valor lógico: a) p: A neve é branca b) p: Roma é a capital da rança c) p: Realengo pertence à Zona Sul do Rio.

4 Conjunção ou. (conectivo e) Dados dois enunciados, podemos obter um terceiro, dito conjunção dos dois primeiros, pela ação do conectivo. Assim, dados dois enunciados: Brasília é uma cidade e Brasília é a capital do Brasil podemos formar a conjunção Brasília é uma cidade Brasília é a capital do Brasil É importante ter presente que o uso dos conectivos em Lógica permite ligar enunciados sem qualquer tipo de vínculo significativo entre eles, como por exemplo: O café está amargo Cláudia estuda música A interpretação do conectivo é análoga à linguagem corrente, veja pela tabela: p q p q

5 Conjunção ou. (conectivo e) Assim, considerando os enunciados p: A neve é branca q: 2<5 a conjunção será p q: A neve é branca e 2<5 Uma vez que p é verdadeiro e q também é verdadeiro, teremos então p q verdadeiro. Exercício 2: Indique o valor lógico de p q considerando os seguintes enunciados: a) p: O enxofre é verde q: 7 é um número primo b) p: A Lua é uma estrela q: Saturno é um planeta c) p: Cabral descobriu o Brasil q: Portugal é um continente

6 Disjunção ou + (conectivo ou) Na linguagem corrente existem, pelo menos, dois usos distintos do conectivo ou o uso exclusivo e o uso nãoexclusivo. ejamos os exemplos: Mariana é alagoana ou cearense Carla é médica ou professora No primeiro exemplo o uso do ou é exclusivo pois as duas situações não podem ocorrer simultaneamente. No segundo exemplo temos a utilização do ou não-exclusivo pois ambas as proposições podem ser verdadeiras. A disjunção representada pelo conectivo lógico tem o sentido não-exclusivo, conforme apresentado na primeira tabela ao lado: Já o conectivo lógico tem o sentido exclusivo, conforme apresentado na segunda tabela ao lado: p q p q p q p q

7 Disjunção ou + (conectivo ou) Assim, considerando os enunciados p: A neve é azul q: 2>5 a disjunção será p q: A neve é azul 2>5 Uma vez que p é falso e q também é falso, teremos então p q falso. Exercício 3: Indique o valor lógico de p q considerando os seguintes enunciados a) 1) p: O enxofre é verde q: 7 é um número primo b) 2) p: A Lua é uma estrela q: Saturno é um planeta c) 3) p: Cabral descobriu o Brasil q: Portugal é um continente

8 Condicional (Se... então...) Para melhor compreendermos esse conectivo, vejamos quatro possíveis casos para a seguinte declaração: (1) Se amanhã fizer sol então Joana irá à praia. 1 o caso: ez sol e Joana foi à praia podemos concluir que o enunciado (1) é verdadeiro. 2 o caso: ez sol e Joana não foi à praia aqui podemos concluir que (1) é um enunciado falso. 3 o caso: Não fez sol e Joana foi à praia podemos concluir que o enunciado (1) é verdadeiro. Assim, a tabela de valores lógicos da condicional é: p q p q 4 o casos: Não fez sol e Joana não foi à praia ainda podemos concluir que o enunciado (1) é verdadeiro.

9 Condicional (Se... então...) Na condicional p q p é dito antecedente da condicional ou condição suficiente para q q é dito conseqüente da condicional ou condição necessária para p Exercício 4: Indique o valor lógico de p q considerando os seguintes enunciados a) 1) p: O enxofre é verde q: 7 é um número primo b) 2) p: A Lua é uma estrela q: Saturno é um planeta c) 3) p: Cabral descobriu o Brasil q: Portugal é um continente

10 Bicondicional (... se e somente se...) Para melhor compreendermos esse conectivo, vejamos quatro possíveis casos para a seguinte declaração: (2) Joana irá à praia amanhã se e somente se fizer sol. 1 o caso: ez sol e Joana foi à praia podemos concluir que o enunciado (2) é verdadeiro. 2 o caso: ez sol e Joana não foi à praia aqui podemos concluir que (2) é um enunciado falso. 3 o caso: Não fez sol e Joana foi à praia aqui também podemos concluir que (2) é um enunciado falso. Tem-se então a seguinte tabela de verdade para a bicondicional: p q p q 4 o casos: Não fez sol e Joana não foi à praia podemos concluir que o enunciado (2) é verdadeiro.

11 Bicondicional (... se e somente se...) Dados dois enunciados podemos formar um terceiro, dito bicondicional dos dois primeiros, pela ação do conectivo. Assim, p q, será dito bicondicional de p e q. Um enunciado dessa forma será considerado verdadeiro se seus constituintes tiverem o mesmo valor lógico, isto é, se ambos forem verdadeiros ou se ambos forem falsos. Na bicondicional p q p é dito condição necessária e suficiente para q q é dito condição necessária e suficiente para p Note-se que o conectivo pode ser definido mediante e. Assim a fórmula p q equivale à fórmula (p q) (q p).

12 Problemas envolvendo lógica proposicional 1) Maria é magra ou Bernardo é barrigudo Se Lúcia é linda, então César não é careca. Se Bernardo é barrigudo, então César é careca. Ora, Lúcia é linda. Logo: A) Maria é magra e Bernardo não é barrigudo; ( = ) B) Bernardo é barrigudo ou César é careca; ( = ) C) César é careca e Maria é magra; ( = ) D) Maria não é magra e Bernardo é barrigudo; ( = ) E) Lúcia é linda e César é careca. ( = ) Resolução: Proposições Simples: a) Maria é magra; () b) Bernardo é barrigudo; () c) Lúcia é linda; () d) César é careca. () Proposições Compostas: (Sempre são, pois estão no enunciado) () a b () () b d () () c ~d ()

13 Problemas envolvendo lógica proposicional 2) Se era viajou, nem Camile nem Carla foram ao casamento. Se Carla não foi ao casamento, anderléia viajou. Se anderléia viajou, o navio afundou. Ora, o navio não afundou. Logo: A) era não viajou e Carla não foi ao casamento; B) Camile e Carla não foram ao casamento; C) Carla não foi ao casamento e anderléia não viajou; D) Carla não foi ao casamento ou anderléia viajou; E) era e anderléia não viajaram.

14 Problemas envolvendo lógica proposicional 3) Ou Anaís será professora, ou Anelise será cantora, ou Anamélia será pianista. Se Ana for atleta, então Anamélia será pianista. Se Anelise for cantora, então Ana será atleta. Ora, Anamélia não será pianista. Então: A) Anaís será professora e Anelise não será cantora; B) Anaís não será professora e Ana não será atleta; C) Anelise não será cantora e Ana será atleta; D) Anelise será cantora ouana será atleta; E) Anelise será cantora e Anamélia não será pianista.

15 Problemas envolvendo lógica proposicional 4) Se lávia é filha de ernanda, então Ana não é filha de Alice. Ou Ana é filha de Alice, ou Ênia é filha de Elisa. Se Paula não é filha de Paulete, então lávia é filha de ernanda. Mas acontece que Ênia não é filha de Elisa. Então: A) Paula é filha de Paulete e lávia é filha de ernanda; B) Paula é filha de Paulete e Ana é filha de Alice; C) Paula não é filha de Paulete e Ana é filha de Alice; D) Se Ana é filha de Elisa, lávia é filha de ernanda; E) Ênia é filha de Elisa ou lávia é filha de ernanda;

16 Problemas envolvendo lógica proposicional 5) Se Carlos é mais velho do que Pedro, então Maria e Júlia têm a mesma idade. Se Maria e Júlia têm a mesma idade, então João é mais moço do que Pedro. Se João é mais moço do que Pedro, então Carlos é mais velho do que Maria. Ora, Carlos não é mais velho do que Maria. Então: A) Carlos não é mais velho do que Júlia e João é mais moço do que Pedro; B) Carlos é mais velho do que Pedro, e Maria e Júlia têm a mesma idade; C) Carlos e João são mais moços do que Pedro; D) Carlos é mais velho do que Pedro e João é mais moço do que Pedro; E) Carlos não é mais velho do que Pedro, e Maria e Júlia não têm a mesma idade;

17 Problemas envolvendo lógica proposicional 6) Ou Celso compra um carro, ou Ana vai à Africa, ou Rui vai à Roma. Se Ana vai à Africa, então Luís compra um livro. Se Luís compra um livro, então Rui vai à Roma. Ora, Rui não vai à Roma. Então: A) Ana vai à África e Rui não vai à Roma; B) Celso não compra um carro e Luís não compra o livro; C) Ana não vai à África e Luís compra um livro; D) Ana vai à Africa ou Luís compra um livro; E)Celso compra um carro e Ana não vai à Africa;

18 Problemas envolvendo lógica proposicional 7) O rei ir à caça é condição necessária para o duque sair do castelo e é condição suficiente para a duquesa ir ao jardim. Por outro lado, o conde encontrar a princesa é condição necessária e suficiente para o barão sorrir e é condição necessária para a duquesa ir ao jardim. O barão não sorriu. Logo: A) A duquesa foi ao jardim ou o conde encontrou a princesa; B) Se o duque não saiu do castelo, então o conde encontrou a princesa; C) O rei não foi à caça e o conde não encontrou a princesa; D) O rei foi à caça e a duquesa não foi ao jardim; E) O duque saiu do castelo e o rei não foi à caça;