Revisões de Teoria dos Números - Parte I

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1 Revisões de Teoria dos Números - Parte I Bibliografia 2 Divisibilidade 4 Definição Propriedades Algoritmo da divisão inteira M.d.c. 8 Definição Propriedades Algoritmo de Euclides M.m.c. 16 Definição Propriedades M.d.c. e m.m.c. para mais de 2 inteiros 19 M.d.c Inteiros primos entre si e inteiros primos 2 a M.m.c Números primos 23 Definição e TFA Factorização em primos, divisibilidade, m.d.c. e m.m.c A função de Euler 26 Congruências 28 Definição Propriedades Classes de congruência Z m Congruências lineares 34 ax b(mod m) commdc(a,m) = ax b(mod m) - caso geral [a] 1 m U m Notações

2 Algoritmo para calculara 1 mod m Teorema chinês dos restos Teoremas de Euler, Fermat e Wilson 43 2

3 Bibliografia 2 Bibliografia Garrett, P., The Mathematics of Coding Theory, Pearson Education Inc., Jones, G.A. e Jones J.M., Elementary Number Theory, Springer-Verlag, Queiró, J.F., Teoria dos Números. ( jfqueiro/bibltn.html) Stinson, D., Cryptography: Theory and Practice, CRC, C.Caldeira (DM/FCTUC) Códigos e Criptografia-2010/ Divisibilidade 4 Definição Dadosa,b Z, coma 0, diz-se queadivideb, e escreve-sea b, se existeq Z tal queb = aq. Convenção: Quando se escrevea b está implícito quea 0. Sea b também se diz queaéum divisor deb, quebéum múltiplo deaou quebédivisível pora. Seanão dividebescreve-sea b. Exemplos: porque225 = 25 ( 9) e 9 Z; 8 36 porque não existeq Z tal que36 = 8q. C.Caldeira (DM/FCTUC) Códigos e Criptografia-2010/

4 Propriedades Para quaisquera,b,c Z tem-se: 1. a 0, 1 a e a a; 2. a b a b a b; 3. a b b c a c (Transitividade); 4. Para quaisquerx,y Z, a b a c a bx+cy; 5. a 1 a = ±1; 6. a b b a a = ±b; 7. a,b N a b a b; 8. Um inteiro não nulo tem um número finito de divisores. C.Caldeira (DM/FCTUC) Códigos e Criptografia-2010/ Algoritmo da divisão inteira Teorema- Dadosa,b Z, coma 0, existem q,r Z, únicos, tais que b = aq +r e 0 r < a. q er são, respectivamente, o quociente e o resto da divisão inteira debpora. Observação: a b se e só se o resto da divisão inteira debporaézero. C.Caldeira (DM/FCTUC) Códigos e Criptografia-2010/ Máximo divisor comum 8 Definição Dadosa,b Z, um inteiro não nulocéum divisor comum deaebsec a ec b. Sejama,b Z coma 0 oub 0 e considere-se D = {c Z : c a c b}. D, porque1 D, ed é finito porque um inteiro não nulo tem um número finito de divisores. EntãoD tem um máximo ao qual se chama máximo divisor comum deaeb. Esse máximo é representado por mdc(a, b) ou(a, b). Exemplo: Os divisores comuns de24 e30 são±1,±2,±3,±6. Entãomdc(24,30) = 6. Semdc(a,b) = 1 diz-se que os inteirosaebsão primos entre si ou queaéprimo comb. C.Caldeira (DM/FCTUC) Códigos e Criptografia-2010/

5 Propriedades Para quaisquera,b,c Z\{0}, tem-se: 1. mdc(a,b) = mdc(b,a) = mdc(a, b); 2. mdc ( ) a mdc(a,b), b = 1; mdc(a, b) 3. mdc(a,b) é o menor elemento positivo de{ax+by : x,y Z}; 4. Sex,y Z são tais quemdc(a,b) = ax+by entãomdc(x,y) = 1; C.Caldeira (DM/FCTUC) Códigos e Criptografia-2010/ mdc(a,b) é o único divisor comum, positivo, deaebtal que x Z\{0} x a x mdc(a,b); x b 6. a bc mdc(a,b) = 1 a c. C.Caldeira (DM/FCTUC) Códigos e Criptografia-2010/ Algoritmo de Euclides Para calcular o máximo divisor comum dea,b Z\{0} usa-se o algoritmo de Euclides. Teorema- Sejam a N e b Z. Aplicando sucessivamente o algoritmo da divisão obtém-se b = aq 1 +r 1, 0 < r 1 < a a = r 1 q 2 +r 2, 0 < r 2 < r 1 r 1 = r 2 q 3 +r 3, 0 < r 3 < r 2. r k 2 = r k 1 q k +r k, 0 < r k < r k 1 r k 1 = r k q k+1, para algumk N 0 (r 0 := a er 1 := b). Entãomdc(a,b) = r k. C.Caldeira (DM/FCTUC) Códigos e Criptografia-2010/

6 Algoritmo de Euclides para calcular d = mdc(a, b): Entrada: a,b Ncoma b Saída: d Enquantob 0faz r a b a b a b b r Fim enquanto d a Notação: Parax R, x representa o maior inteiro inferior ou igual ax. C.Caldeira (DM/FCTUC) Códigos e Criptografia-2010/ Exemplo: Use-se o algoritmo de Euclides para calcularmdc(2124,396) e determinarx,y Z tais quemdc(2124,396) = 2124x+396y = = = = mdc(2124, 396) = 36 Das igualdades anteriores, obtém-se 36 = = 144 ( ) = = 3( ) 396 = ( 16) 396. C.Caldeira (DM/FCTUC) Códigos e Criptografia-2010/

7 Algoritmo de Euclides para calculard = mdc(a,b) ex,y Z tais qued = ax+by: Entrada: a,b Ncoma b Saída: (d,x,y) x 2 1;x 1 0;y 2 0;y 1 1 Enquantob 0faz q a b ; r a qb x x 2 qx 1 ; y y 2 qy 1 a b; b r x 2 x 1 ; x 1 x y 2 y 1 ; y 1 y Fim enquanto d a;x x 2 ;y y 2 C.Caldeira (DM/FCTUC) Códigos e Criptografia-2010/ Menor múltiplo comum 16 Definição Dadosa,b Z\{0}, um inteiro não nulocéum múltiplo comum deaebsea c eb c. Sejama,b Z\{0} e considere-se M = {c N : a c b c}. M = porque ab M. Além disso,m N. EntãoMtem um mínimo ao qual se chama menor múltiplo comum deaeb. Esse mínimo é representado pormmc(a,b) ou[a,b]. Exemplo: Múltiplos positivos de18: 18,36,54,72,90,108,126,144,.... Múltiplos positivos de21: 21,42,63,84,105,126,.... Entãommc(18,21) = 126. C.Caldeira (DM/FCTUC) Códigos e Criptografia-2010/

8 Propriedades Para quaisquera,b Z\{0}, tem-se: 1. mmc(a,b) é o único múltiplo comum, positivo, deaebtal que x Z a x mmc(a,b) x; b x 2. Sen N é um divisor comum deaebentão ( a mmc n, b ) n = mmc(a,b) n ; 3. mmc(a,b) mdc(a,b) = ab. O menor múltiplo comum dea,b Z\{0} pode ser calculado usando o algoritmo de Euclides e a propriedade 3. C.Caldeira (DM/FCTUC) Códigos e Criptografia-2010/ Máximo divisor comum e menor múltiplo comum para mais de 2 inteiros 19 Máximo divisor comum n N,n 2,a 1,a 2,...,a n Z não todos nulos. O máximo divisor comum dea 1,a 2,...,a n é o maior dos divisores comuns positivos dea 1,a 2,...,a n. Representa-se pormdc(a 1,a 2,...,a n ) ou (a 1,a 2,...,a n ). Propriedades: 1. mdc(a 1,a 2,...,a n ) é o menor inteiro positivo da formaa 1 x 1 +a 2 x 2 + +a n x n, com x 1,x 2,...,x n Z; 2. mdc(a 1,a 2,...,a n ) é o único divisor comum, positivo, dea 1,a 2,...,a n que é múltiplo de qualquer divisor comum dea 1,a 2,...,a n ; 3. mdc(a 1,a 2,...,a n ) = mdc(mdc(a 1,a 2,...,a n 1 ),a n ). C.Caldeira (DM/FCTUC) Códigos e Criptografia-2010/

9 Inteiros primos entre si e inteiros primos 2 a 2 Os inteirosa 1,a 2,...,a n são primos entre si semdc(a 1,a 2,...,a n ) = 1. Os inteirosa 1,a 2,...,a n são primos dois a dois semdc(a i,a j ) = 1, parai,j = 1,2,...,n, com i j. a 1,a 2,...,a n são primos dois a dois a 1,a 2,...,a n são primos entre si. A implicação recíproca é falsa: 2,3 e4são primos entre si mas não são primos dois a dois. C.Caldeira (DM/FCTUC) Códigos e Criptografia-2010/ Menor múltiplo comum n N,n 2,a 1,a 2,...,a n Z não todos nulos. O menor múltiplo comum dea 1,a 2,...,a n é o menor dos múltiplos comuns positivos dea 1,a 2,...,a n. Representa-se pormmc(a 1,a 2,...,a n ) ou [a 1,a 2,...,a n ]. Propriedades: 1. mmc(a 1,a 2,...,a n ) é o único múltiplo comum, positivo, dea 1,a 2,...,a n que divide qualquer múltiplo comum dea 1,a 2,...,a n ; 2. mmc(a 1,a 2,...,a n ) = mmc(mmc(a 1,a 2,...,a n 1 ),a n ). Paran 3, em geral, mdc(a 1,a 2,...,a n ) mmc(a 1,a 2,...,a n ) a 1 a 2 a n. C.Caldeira (DM/FCTUC) Códigos e Criptografia-2010/

10 Números primos 23 Definição e TFA Um inteirop > 1 diz-se um número primo se os únicos divisores positivos depsão1ep. Um inteiroa > 1 diz-se um número composto se não é primo. Teorema: p número primo;a 1,a 2,...,a n Z. p a 1 a 2 a n p a 1 p a 2 p a n. Teorema fundamental da aritmética: Todo o inteiro maior que 1 pode ser escrito, de modo único (a menos da ordem dos factores), como produto de números primos. C.Caldeira (DM/FCTUC) Códigos e Criptografia-2010/ Factorização em primos, divisibilidade, m.d.c. e m.m.c. Se a = p α 1 1 p α 2 2 p α k k e b = p β 1 1 p β 2 2 p β k k, ondep 1,...,p k são números primos distintos dois a dois eα 1,...,α k,β 1,...,β k N 0, então a b (α i β i, i = 1,...,k) mdc(a,b)=p min{α 1,β 1 } 1 p min{α 2,β 2 } 2 p min{α k,β k } k. e mmc(a,b)=p max{α 1,β 1 } 1 p max{α 2,β 2 } 2 p max{α k,β k } k. C.Caldeira (DM/FCTUC) Códigos e Criptografia-2010/

11 A função de Euler 26 A função de Euler A função de Euler é a funçãoφ : N N definida por φ(n) = {a N : a n emdc(a,n) = 1}, n N. Teorema: A função φ é multiplicativa, isto é, se m,n N são tais quemdc(m,n) = 1, então φ(mn) = φ(m)φ(n). Teorema: Sejam p 1,...,p k números primos distintos dois a dois e α 1,...,α k N. Então φ(p α 1 1 p α k k ) = ( p α 1 1 p α Observação: n N é primo se e só seφ(n) = n 1. ) ( p α k ) k pα k 1 k. C.Caldeira (DM/FCTUC) Códigos e Criptografia-2010/ Congruências 28 Definição Param N a relação de congruência móduloméarelação definida emzpor a b(mod m) m a b, a,b Z. Sea b(mod m) diz-se queaécongruente módulomcomb. Observe-se quea b(mod m) se e só seaebtêm o mesmo resto quando divididos porm. Exemplos: 25 47(mod 11) porque (mod 7) porque C.Caldeira (DM/FCTUC) Códigos e Criptografia-2010/

12 Propriedades Para quaisquera,b,c,d Z em N tem-se: 1. a a(mod m) (Reflexividade); 2. a b(mod m) b a(mod m) (Simetria); { a b(mod m) 3. a c(mod m) b c(mod m) { a b(mod m) 4. a+c b+d(mod m); c d(mod m) { a b(mod m) 5. ac bd(mod m); c d(mod m) (Transitividade); 6. a b(mod m) mdc(a,m) = mdc(b,m); ( ) m 7. ab ac(mod m) b c mod. mdc(a, m) C.Caldeira (DM/FCTUC) Códigos e Criptografia-2010/ Classes de congruência Das propriedades 1.,2. e 3. resulta que, param N, a relação de congruência móduloméuma relação de equivalência em Z. Às classes de equivalência desta relação de equivalência chama-se classes de congruência módulo m. A classe de congruência módulomaque pertencea Z é representada por[a] m oua. [a] m = {b Z : a b(mod m)} = {a+qm : q Z}. Uma vez quea Z é congruente módulomcom o resto da sua divisão inteira porm, e osmrestos possíveis são0,1,...,m 2em 1, conclui-se que hámclasses de congruência módulom: [0] m,[1] m,...,[m 1] m. Assim, Z = [0] m [1] m [m 1] m. C.Caldeira (DM/FCTUC) Códigos e Criptografia-2010/

13 Z m Param N, porz m representa-se o conjunto das classes de congruência módulom, isto é, Uma vez que { a c(mod m) b d(mod m) Z m = {[0] m,[1] n,...,[m 1] m }. a+b c+d(mod m), pode definir-se uma operação emz m (adição de classes de congruência) por [a] m +[b] m = [a+b] m. (Z m,+) é um grupo abeliano. Neste grupo o elemento neutro é[0] m e o simétrico de[a] m é[ a] m = [m a] m. C.Caldeira (DM/FCTUC) Códigos e Criptografia-2010/ Uma vez que { a c(mod m) b d(mod m) ab cd(mod m), pode definir-se uma operação (multiplicação de classes de congruência) emz m por [a] m [b] m = [ab] m. (Z m,+, ) é um anel comutativo com identidade. A identidade (elemento neutro da multiplicação) é [1] m. Sem 2,[0] m não tem inverso mutiplicativo e portanto(z m, ) não é um grupo. Exemplo: EmZ 14,[5] 14 [3] 14 = [1] 14 logo[5] 14 e[3] 14 são invertíveis e[5] 1 14 = [3] 14,[3] 1 14 = [5] 14. Quais são os elementos invertíveis em(z m, )? C.Caldeira (DM/FCTUC) Códigos e Criptografia-2010/ Congruências lineares 34 ax b(mod m) commdc(a,m) = 1 Proposição: Sejam m N, a,b Z com mdc(a,m) = 1. A congruênciaax b(mod m) tem solução e o conjunto das soluções é uma classe de congruência módulo m. Método de resolução deax b(mod m) commdc(a,m) = 1: Usando o algoritmo de Euclides determinam-sex 0,y 0 Z tais queax 0 +my 0 = 1. Deax 0 1( mod m) resulta queax 0 b b(mod m). O conjunto das soluções deax b(mod m) é[x 0 b] m. C.Caldeira (DM/FCTUC) Códigos e Criptografia-2010/

14 ax b(mod m) - caso geral Proposição: Sejam m N, a,b Z e d = mdc(a,m). A congruênciaax b(mod m) tem solução se e só sed b. Sed b então ax b(mod m) a d x b ( mod m ) d d e o conjunto das soluções é a união dedclasses de congruência módulo m. C.Caldeira (DM/FCTUC) Códigos e Criptografia-2010/ Exemplo: Determinem-se as soluções de27x 15(mod 39). mdc(27,39) = 3 15 logo mdc(9,13) = 1 e1 = Assim, 9 3 1(mod 13) e9 15 5(mod 13). 27x 15( mod 39) 9x 5( mod 13). O conjunto das soluções de27x 15(mod 39) é [15] 13 = [2] 13 = [2] 39 [15] 39 [28] 39. C.Caldeira (DM/FCTUC) Códigos e Criptografia-2010/ [a] 1 m Semdc(a,m) = 1, então[a] m é invertível emz m e, sendox 0,y 0 Z tais queax 0 +my 0 = 1, [a] 1 m = [x 0 ] m. Exemplo: mdc(9,16) = 1, logo[9] 16 é invertível emz 16. [9] 1 16 =? Resolva-se9x 1(mod 16). mdc(9,16) = 1 e1 = Assim, 9 ( 7) 1(mod 16) e[9] 1 16 = [ 7] 16 = [9] 16. Semdc(a,m) > 1,[a] m não é invertível. Os elementos invertíveis em(z m, ) são osφ(m) elementos de{[a] m : mdc(a,m) = 1}. Observação: (Z m \{[0] m }, ) é um grupo se e só seméprimo. C.Caldeira (DM/FCTUC) Códigos e Criptografia-2010/

15 U m SejaU m = {[a] m : mdc(a,m) = 1}. Teorema: Seja m N. U m é um grupo para a multiplicação de classes de congruência módulo m. C.Caldeira (DM/FCTUC) Códigos e Criptografia-2010/ Notações Quando se trabalha emz m muitas vezes representa-se[a] m apenas porr, sendo r {0,1,...,m 1} o resto da divisão inteira deaporm; Sendoa Z em N, é usual representar pora mod m o resto da divisão inteira deaporm; Semdc(a,m) = 1, pora 1 mod m representa-se o inverso de[a] m emz m. C.Caldeira (DM/FCTUC) Códigos e Criptografia-2010/ Algoritmo para calculara 1 mod m Entrada: a,m N Saída: a 1 mod m ou uma mensagem indicando que a não é invertível módulom m 0 m; a 0 a; t 0 0; t 1; q r m 0 qa 0 Enquantor > 0faz temp t 0 qt mod m 0 ; t 0 t; t temp; m 0 a 0 ; a 0 r; m q 0 ; a 0 r m 0 qa 0 m 0 a 0 ; Fim enquanto Sea 0 = 1 a saída ét Se a 0 1 a saída é a mensagem a não tem inverso módulo m C.Caldeira (DM/FCTUC) Códigos e Criptografia-2010/

16 Teorema chinês dos restos Teorema: Sejam m 1,m 2,...,m k N primos dois a dois e a 1,a 2,...,a k Z. O sistema x a 1 ( mod m 1 ). x a k ( mod m k ) tem solução. Seja m = m 1 m 2 m k. Para i = 1,2,...,k seja b i Z tal que m m i b i 1(mod m i ) e considere-se k m x 0 = a i b i. m i i=1 O conjunto das soluções de (1) é[x 0 ] m. (1) C.Caldeira (DM/FCTUC) Códigos e Criptografia-2010/ Teoremas de Euler, Fermat e Wilson 43 Teorema de Euler: Sejamn N ea Z, commdc(a,n) = 1. Então a φ(n) 1(mod n). Corolário (Teorema de Fermat): Sejampum número primo ea Z, commdc(a,p) = 1. Então a p 1 1(mod p). Teorema de Wilson: Sejapum número primo. Então (p 1)! 1(mod p). Observação: A implicação recíproca da do Teorema de Wilson é verdadeira. C.Caldeira (DM/FCTUC) Códigos e Criptografia-2010/