7. Medidas de concentração e desigualdade

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Luiz Eduardo Azevedo
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1 7. Medidas de concentração e desigualdade 2011

2 Exemlo 1. Variável: renda do trabalho de essoas. Valores: x 1,...,x n. Renda total: T = x x n. (b) A renda total ode ser de uma única essoa: x 1 = T, x 2 = x 3 =... = x n = 0. Estas duas situações são extremas. Em (b): concentração máxima. É mais comum encontrarmos situações intermediárias. Obs. Concentração está relacionada com variabilidade. Exemlo 2. Variável: altura de essoas. Valores: x 1,...,x n. Altura total: T = x x n. x 1 = T, x 2 = x 3 =... = x n = 0 não faz sentido.

3 7.1. A curva de Lorenz Valores ordenados: x (1) x (2)... x (n). Total: T = x (1) + x (2) x (n). Proorção acumulada de osições até a i-ésima osição ( 0 = 0): i = i / n. 1 = 1 / n, 2 = 2 / n,..., n 1 = (n 1) / n = 1 1 / n, n = n / n = 1. Proorção acumulada de valores até a i-ésima osição ( 0 = 0): i = (x (1) + x (2) x (i) ) / T ( n = T / T = 1). Obs. Se x i 0, então i i, i = 1,...,n. O gráfico formado ela união dos ontos (0, 0), ( 1, 1 ), ( 2, 2 ),..., ( n, n ) é chamado de curva de Lorenz ( n = n = 1). O segmento de reta unindo (0, 0) e (1, 1) também é incluído.

4 Exemlo Dados ordenados: 1, 1, 2, 6, 30 (n = 5, T = 40 e média = T / n = 8). i X (i) i i / 5 = 0,2 1 / 40 = 0, / 5 = 0,4 (1 + 1) / 40 = 0, / 5 = 0,6 ( ) / 40 = 0, / 5 = 0,8 ( ) / 40 = 0, / 5 = 1 ( ) / 40 = 1

5 Área de desigualdade a b (a) x (1) = x (2) =... = x (n) = T / n: roorções de osições = roorções acumuladas de valores ( i = i, i = 1,...,n). o D Área comreendida entre ob e a curva de Lorenz: área de desigualdade (D). c curva de Lorenz = segmento ob (linha da igualdade erfeita). (b) x (1) = x (2) =... = x (n-1) = 0 e x (n) = T: curva de Lorenz é formada elos ontos (0, 0), (1 1 / n, 0) e (1, 1): curva da desigualdade erfeita. Quando n : curva da desigualdade erfeita coincide com ocb. Quanto mais a curva de Lorenz estiver afastada de ob, maior o grau de desigualdade.

6 7.2. Índice de Gini a Exemlo com n = 10 b Curva da desigualdade erfeita: odb. Como a área do triângulo obc = ½, temos ue 0 D < ½. D max Valor máximo de D (desigualdade erfeita): d o c D max n D max ½ uando n (d c). max D max = ½.

7 7.2. Índice de Gini Proosto or C. Gini em G = D / max D max = D / ½ = 2 D. D Proriedades. (a) 0 G < 1 e (b) 0 G 1 1/n. Igualdade erfeita: G = 0. Desigualdade erfeita: G = 1 1 / n ( 1 uando n ).

8 7.2. Índice de Gini G = 0 Valores ordenados: x (1) x (2)... x (n). Como calcular G? 0 < G 1 1 n 1 G 1 n n i1 ( i i sendo ue 0 = 0 e 1 ), G 1 1 n i 1 i x T j1 ( j).

9 Índice de Gini Obs. (a) Diferentes curvas de Lorenz odem gerar o mesmo valor de G. G = 0,5 G = 0,5 0 0, ,75 1 (b) G mede aenas desigualdade. Por exemlo, diferentes aíses odem ter valores de G semelhantes e diferentes níveis de riueza.

10 Ìndice de Gini Ìndice de Gini 7.2. Índice de Gini Mede o grau de desigualdade existente na distribuição de indivíduos segundo a renda domiciliar er caita. Seu valor varia de 0, uando não há desigualdade (a renda de todos os indivíduos tem o mesmo valor), a 1, uando a desigualdade é máxima (aenas um um indivíduo detém toda a renda da sociedade e a renda de todos os outros indivíduos é nula). Fonte: htt:// Brasil Brasil Redução imortante nos últimos anos. Ano Pouca variação. Ano

11 7.2. Índice de Gini Gini Coefficient World CIA Reort Obs. Exemlo de um cartograma.

12 7.2. Índice de Gini Diferença média. Medida de disersão dada or d 1 n n n 2 i1 j1 x i x j. Diferenças (n = 5): x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 1 x 1 - x 1 = 0 x 1 - x 2 x 1 - x 3 x 1 - x 4 x 1 - x 5 x 2 x 2 - x 1 x 2 - x 2 = 0 x 2 - x 3 x 2 - x 4 x 2 - x 5 x 3 x 3 - x 1 x 3 - x 2 x 3 - x 3 = 0 x 3 - x 4 x 3 - x 5 x 4 x 4 - x 1 x 4 - x 2 x 4 - x 3 x 4 - x 4 = 0 x 4 - x 5 x 5 x 5 - x 1 x 5 - x 2 x 5 - x 3 x 5 - x 4 x 5 - x 5 = 0 d Pode ser rovado ue G. 2x G é uma medida de disersão relativa.

13 7.3. Discreância máxima Medida associada à curva de Lorenz. Valor máximo da diferença entre a roorção acumulada de osições e a roorção acumulada de valores: L max = max ( i i ), i = 1,...,n. Lmax B Declividade da curva: i x i i i x 1 ( i), i 1,..., n. x i1 ( i) x Bi 1. x ( i) x Bi 1. Encontrar j tal ue x( 1) x(2)... x( j) x x( j1)... x( n). L max = j j. dm Pode ser rovado ue Lmax. L 2x max é uma medida de disersão relativa.

14 Medidas de desigualdade em R Pacote ine > library(ine) 15 observações > x = c(2.8, 13.7, 6.8, 12.1, 1.1, 5.9, 4.5, 9.6, 2.3, 28.9, 6.7, 0.4, 5.6, 8.0, 10.3) > summary(x) Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max Curva de Lorenz: função Lc. > clorenz = Lc(x) Índice de Gini: > Gini(x) [1] > names(clorenz) > (jmax = which.max(clorenz$ - clorenz$l)) [1] 10 > (Lmax = clorenz$[jmax] - clorenz$l[jmax]) [1] > c(clorenz$[jmax], clorenz$l[jmax]) [1]

15 Medidas de desigualdade em R Curva de Lorenz e discreância máxima (L max ): > lot(clorenz, main = "", ylab = "") > segments(clorenz$[jmax], clorenz$l[jmax], clorenz$[jmax], clorenz$[jmax],lty = 2)

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