3. Representação de variáveis quantitativas

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1 3. Representação de variáveis quantitativas 2011

2 3.1 VARIÁVEIS DISCRETAS Dados: n observações de uma variável discreta x. Existem k dierentes valores x 1 < x 2 <... < x k, 1 k n. Tabela de requencias: tabela com os valores de x e uma das ou ambas as requencias e *, = 1,..,k. Tabela 1. Descrição da tabela. x Frequencia Frequencia relativa x 1 1 * 1 x 2 2 * x k k * k Total n 1 (100%) As requencias acumuladas F e F * estão bem deinidas, = 1,...,k e podem ser uma coluna de uma tabela de requencias.

3 Tabelas e gráicos em R > x = c(2, 3, 3, 1, 0, 0, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 2, 3, 2, 0, 2, 0, 2, 2, 1, 3, 1, 3, 5, 0, 3, 2, 3, 2, 2, 3, 1, 3, 3, 0, 2, 2, 2, 2) > barplot(reqa) > (n = length(x)) 40 > (reqa = table(x)) > reqa / n *

4 Tabelas e gráicos em R Gráico de pontos (dot plot) Cada observação é representada por um ponto. Valores repetidos produzem pontos empilhados. > library(plotrix) > dotplot.mtb(x, xlab = "Número de deeitos") > plot(reqa, type = "p", pch = 20, xlab = "Número de deeitos", ylab = "Frequencia") Frequencia Número de deeitos Número de deeitos

5 Tabelas e gráicos em R > plot(reqa, xlab = "Número de deeitos", ylab = "Frequencia") > reqaux = table(c(x, 4)) > reqaux[which(names(reqaux) == "4")] = 0 > barplot(reqaux, xlab = "Número de deeitos", ylab = "Frequencia") Frequencia Número de deeitos Frequencia Número de deeitos

6 3.2 VARIÁVEIS CONTÍNUAS Dados: n observações de uma variável contínua x. Existem m dierentes valores x 1 < x 2 <... < x m, 1 m n. Tabela de requencias. Se m é grande, uma tabela com todos os dierentes valores não cumpre o papel de resumir os dados. Representação em k intervalos de classe (ou classes) do tipo [LI, LS ), = 1,...,k. Li : limite inerior e LS : limite superior. Construção. 1. Escolha do número de classes (k). Usualmente, 5 k Cálculo da amplitude (A): A = MAX min, sendo que min e MAX são o menor e o maior valor dos dados. 3. Cálculo da amplitude de classe (h): h = A / k. 4. Obtenção dos limites das classes: LI 1 = min, LS 1 = LI 1 + h, LI 2 = LS 1, LS 2 = LI 2 + h,..., LI k = LS k-1, LS k = MAX.

7 Obs. (1) h e LI 1 podem ser arredondados por conveniência. (2) Cada valor de x pertence a uma e apenas uma classe. (3) h pode variar com a classe. + LS * = Ponto médio da classe (ou marca de classe):. Frequência absoluta da classe ( i ): número de observações [Li,LS ). Frequência relativa de cada intervalo de classe: * = / n. Frequência acumulada da classe (F ): F = Frequência acumulada relativa da classe: F * = F n ( F * k 2 1). = l= 1 l x ( F k LI 2 n). Obs. Na representação por classes há perda de inormação.

8 Densidade de requência (ou densidade):. 1,...,, ou * * k h = h = d d Representação gráica: Histograma (histogram Karl Pearson, 1895) Gráico de barras adacentes com bases iguais às amplitudes das classes e alturas iguais às densidades. Obs. Se as classes tiverem amplitude constante, as alturas das barras usualmente são iguais às requencias. Propriedade : 1. ou 1 1 * * 1 * k k k d k i k k d h h h n h h h Obs. Na construção de um histograma, quanto maior or n, melhor.

9 Histograma em R >? co2 > x = as.vector(co2) > hist(x) > hx = hist(x, right = FALSE, plot = FALSE) > names(hx) > hx$breaks [1] > hx$counts [1] Fornece uma ideia sobre a distribuição. > hx$mid [1]

10 Histograma em R > hist(x, right = FALSE, req = FALSE) > hist(x, right = FALSE, req = FALSE, main = "", xlab = expression(co[2] (ppm)), ylab = "Densidade") Densidade CO 2 ppm

11 Histograma em R > hist(x, right = FALSE, req = FALSE, main = "", xlab = expression(co[2] (ppm)), ylab = "Densidade") > rug(x) > lines(density(x), col = "blue") > box() Número de classes: órmula de Sturges se breaks não or especiicado. Outras opções: 1. Fórmula de Scott: breaks = Scott. Densidade Fórmula de Freedman-Diaconis: breaks = FD. 3. breaks = número: nem sempre unciona. 4. breaks = vetor ordenado com k + 1 elementos com os limites das classes CO 2 ppm

12 Escolha do número de classes (k) k=31 k=13 Densidade Densidade X X k=7 k=4 Densidade Densidade X X

13 Histograma humano The American Statistican 56(3), , 2002.

14 Polígono de requencias Formado pelos segmentos unindo os pontos centrais dos topos das barras. > hist(x, right = FALSE, main = "", xlab = expression(co[2] (ppm)), ylab = "Frequencia") > lines(hx$mid, hx$counts, col = red") > (n = length(x)) > rel = hx$counts / n > plot(hx$mid, rel, type = "l", xlab = expression(co[2] (ppm)), ylab = Frequencia relativa") [1] 468 Frequencia CO 2 ppm

15 Polígono de requencias acumuladas (ogiva) Formado por segmentos de retas unindo o limite superior das classes no topo das barras. > Frel = cumsum(rel) > plot(hx$breaks, c(0, Frel), type = "l", xlab = expression(co[2] (ppm)), ylab = "Frequencia relativa acumulada") > posb = barplot(frel, col = "white", space= 0, xlab = expression(co[2] (ppm)), ylab = "Frequencia relativa acumulada") > lines(posb + posb[1], Frel, col = "red") > segments(0, 0, (posb[1] + posb[2]) / 2, Frel[1], col = "red") > axis(1, c(0, posb + posb[1]), hx$breaks) Frequencia relativa acumulada CO 2 ppm

16 Gráico de pontos Cada observação é representada por um ponto. Não há perda de inormação. Sem arredondamento Se n or grande, o gráico pode perder em clareza. > par(mrow = c(2, 1)) > stripchart(x, pch = 20, method = "stack", xlab = expression(co[2] (ppm)), main = "Sem arredondamento") > stripchart(round(x, 1), pch = 20, method = "stack", xlab = expression(co[2] (ppm)), main = "Com arredondamento") CO 2 ppm Com arredondamento CO 2 ppm

17 Gráico de linhas Utilizado para representar variáveis coletadas com reerência a uma unidade de tempo. Chamadas de séries históricas ou séries temporais (time series). Obs. Séries temporais podem ser de variáveis discretas ou qualitativas. >? AirPassengers Monthly Airline Passenger Numbers > class(airpassengers) [1] "ts" > plot(airpassengers) AirPassengers Time

18 Gráico de linhas O Estado de S. Paulo, 28/2/2010.

19 Gráico de ramos-e-olhas (stem-and-lea plot) Representação com nenhuma ou pouca perda de inormação. Cada valor da variável é dividido em duas partes: ramo (dígitos dominantes) e olha (dígitos dominados). Os ramos se situam à esquerda de uma linha vertical e as olhas à direita. O número de ramos é escolhido. Usualmente uma olha representa o último dígito de um número (números podem ser arredondados ou representados como múltiplos de potências de 10). Os dígitos restantes de um número compõem o ramo.

20 Gráico de ramos-e-olhas Notas de 100 alunos em uma certa prova. > notas > sort(notas) Parte racionária: olhas. Parte inteira: ramos.

21 Gráico de ramos-e-olhas > stem(notas) The decimal point is at the Fornece uma ideia sobre a distribuição. > stem(notas, scale = 2) The decimal point is at the