Guião para aula laboratorial de Verificação Formal (2018/19) SAT solving. Comece por instalar um SAT solver. Recomendamos que instale o MiniSat.

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1 Guião para aula laboratorial de Verifiação Formal (2018/19) SAT solving Comee por instalar um SAT solver. Reomendamos que instale o MiniSat. 1 Exemplos (DIMACS CNF format) A fórmula proposiional A 1 (A 1 P ) ( A 1 P A 2 ) (A 1 A 2 ) enontra-se já em CNF e pode ser esrita no formato DIMACS omo se segue (example.nf): p nf Exemplifia-se a invoação de um solver om o MiniSat: $ minisat example.nf OUT A solução alulada é: SAT ou seja, A 1 = 1, A 2 = 0 e P = 0. Experimente agora invoar o SAT solver om os fiheiros sat-100v429.nf e unsat-175v753.nf e analise a resposta do solver. 2 Modelação om lógia proposiional Tendo em onta as restrições seguintes, em que dia poderá ter lugar uma reunião envolvendo todas as pessoas referidas? - Maria annot meet on Wednesday. - Peter an only meet either on Monday, Wednesday or Thursday. - Anne annot meet on Friday. - Mike annot meet neither on Tuesday nor on Thursday. Considere variáveis proposiionais Mon, Tue, Wed, Thu, Fri, e esreva uma fórmula em CNF que exprima as restrições aima. Note que não é relevante referir as diferentes pessoas! Um modelo para essa fórmula orresponderá a uma solução para o problema. Enontre-a odifiando a fórmula em DIMACS e invoando o SAT solver. 1

2 3 Conversão para CNF e lassifiação de fórmulas Converta ada uma das fórmulas seguintes para CNF e determine, om a ajuda de um SAT solver, se ela é satisfazível, válida, refutável, ou uma ontradição. 1. A (A B) A B 2. (A B C) (A B C) 3. ( A B) ( A B) A Uma alternativa é utilizar a transformação de Tseitin para obter uma fórmula equisatisfazível à original introduzindo novas variáveis proposiionais. Determine a satisfazibilidade da fórmula P Q (R P ), omeçando por lhe apliar esta transformação. 4 Puzzle do Uniórnio Considere o seguinte enigma: - If the uniorn is mythial, then it is immortal. - If the uniorn is not mythial, then it is a mortal mammal. - If the uniorn is either immortal or a mammal, then it is horned. - The uniorn is magial if it is horned. - Is the uniorn mythial? Is it magial? Is it horned? Para o resolver onsidere 5 variáveis proposiionais, orrespondentes a 5 propriedades dos uniórnios, e omplete o seguinte fiheiro no formato DIMACS uniornpuzzle.nf, om a desrição das restrições aima: The Uniorn puzzle 1 mythial? 2 immortal? 3 mammal? 4 horned? 5 magial? p nf 5??? (...) Invoque depois o seu SAT solver preferido, por exemplo: $ minisat uniornpuzzle.nf OUT Caso o problema seja satisfazível, a solução pode ser lida no fiheiro OUT. Note que é possível obter soluções alternativas para o problema, inluindo soluções já onheidas nas restrições. Suponha por exemplo que na invoação aima o solver enontrou a solução seguinte: 2

3 $ more OUT SAT Considerada omo solução (modelo), o signifiado da última linha é: ( mythial) ( immortal) mammal horned magial Para obtermos uma nova solução basta inluir no fiheiro uniornpuzzle.nf a negação desta fórmula omo restrição: Interpretada omo restrição, o seu signifiado é, o seguinte, exprimindo que pelo menos um dos valores lógios atribuídos pelo modelo anterior terá agora de ser diferente. mythial immortal ( mammal) ( horned) ( magial) Tendo em onta isto, quantos modelos existem para este problema? 5 Plaement of Guests Temos 3 adeiras numa fila (left, middle, right), e preisamos de distribuir por elas 3 pessoas (Anne, Susan e Peter), om as 3 restrições seguintes: - Anne does not want to sit near Peter. - Anne does not want to sit in the left hair. - Susan does not want to sit to the right of Peter. Para formular o problema em lógia proposiional, onsideramos a seguinte indexação de pessoas e posições: Anne = 1, Susan = 2, Peter = 3 left hair = 1, middle hair = 2, right hair = 3 Introduzimos depois variáveis proposiionais x ij para i {1, 2, 3} e j {1, 2, 3}, sendo que x ij = 1 sse a pessoa i se senta na adeira j As restrições a esrever pertenem a várias ategorias: 1. Todas as pessoas devem estar sentadas numa adeira (x 11 x 12 x 13 ) (x 21 x 22 x 23 ) (x 31 x 32 x 33 ) 2. Não se poderá sentar mais do que uma pessoa em ada adeira, o que orresponde a um onjunto de restrições de inompatibilidade entre as variáveis relativas à mesma adeira. A fórmula x i x j exprime que as pessoas i e j não podem estar ambas sentadas na adeira (note que pode ser esrita omo x i x j ou omo x j x i ). Esreva todas as restrições de inompatibilidade neessárias. 3. Restrições orrespondentes às preferênias das 3 pessoas. Esreva todas as restrições neessárias e resolva o problema invoando o SAT solver. 3

4 6 N-raínhas Considere, no ontexto do jogo de xadrez (tabuleiro de 8 8) o problema de dispor 8 rainhas por forma a que nenhuma delas seja alvo de qualquer outra. Tendo em onta que a rainha tem 4 direções de movimento (horizontal, vertial e duas diagonais), isto signifia na prátia que: haverá no máximo uma raínha em ada linha, oluna, ou linha diagonal do tabuleiro Além disso, uma vez que se pretende oloar 8 raínhas, terá neessariamente de ser verdade o seguinte: haverá pelo menos uma raínha em ada linha e em ada oluna do tabuleiro O problema pode ser generalizado para tabuleiros de qualquer dimensão N N, pretendendose nesse aso nele dispor N rainhas. Neste exeríio pretende-se resolver o problema para N = 4, om a ajuda de um SAT solver. Restrições do tipo no máximo uma... Imaginemos que as variáveis q 11 a q 14 denotam a presença de uma raínha nas 4 posições da linha 1 do tabuleiro. Uma forma de exprimir a restrição de que não poderá haver mais do que uma raínha nesta linha será: (q 11 (q 12 q 13 q 14 )) (q 12 (q 11 q 13 q 14 )) (q 13 (q 11 q 12 q 14 )) (q 14 (q 11 q 12 q 13 )) A impliação da primeira linha poderá ser esrita omo ou (q 11 q 12 ) (q 11 q 13 ) (q 11 q 14 ) ( q 11 q 12 ) ( q 11 q 13 ) ( q 11 q 14 ) É fáil ver que ao apliar esta transformação a todas as láusulas da fórmula iniial surgirá redundânia, que depois de eliminada resultará na seguinte fórmula (CNF): ( q 11 q 12 ) ( q 11 q 13 ) ( q 11 q 14 ) ( q 12 q 13 ) ( q 12 q 14 ) ( q 13 q 14 ) Esqueçamos o primeiro índie das variáveis, que não desempenha aqui qualquer papel. A inompatibilidade par-a-par de 4 variáveis proposiionais q 1 a q 4 poderá ser esrita em geral omo: ( q 1 q 2 ) ( q 1 q 3 ) ( q 1 q 4 ) ( q 2 q 3 ) ( q 2 q 4 ) ( q 3 q 4 ) Ou generalizando para N variáveis: Tendo em onta o exposto: N 1 N i=1 j=i+1 ( q i q j ) 4

5 1. odifique o problema das 4 rainhas omo problema SAT, e odifique-o no formato DI- MACS; (o template em baixo ontém indiação do número de láusulas neessárias para odifiar ada onjunto de restrições) 2. resolva-o om um SAT solver; 3. verifique manualmente que de fato a solução enontrada pelo solver satisfaz as restrições do problema enuniadas aima. The 4-Queens Problem Board represented by 16 prop vars: Eah prop var denotes the presene of a queen in the orresponding board position Constraints: * at least one queen per row (4) * at least one queen per olumn (4) * at most one queen per row (24) * at most one queen per olumn (24) * at most one queen per diagonal ( ) p nf 16??? (...) 7 Equivalênia de branhing programs Considere os programas (1) if (!a &&!b) h(); else if (!a) g(); else f(); (2) if (a) f(); else if (b) g(); else h(); É possível determinar se eles são equivalentes om a ajuda de um SAT solver. odifiamos logiamente ada um deles, usando a seguinte regra de ompilação: Para isso ompile(if x then y else z) = (x y) ( x z) Basta depois deidir se as fórmulas ompile(1) e ompile(2) são equivalentes. Para isso teremos que resolver um problema de validade da fórmula ompile(1) ompile(2) 5

6 . Para resolver um problema de validade om um solver de satisfazibilidade, há que negar a fórmula: (ompile(1) ompile(2)) ((ompile(1) ompile(2)) ( ompile(1) ompile(2))) ( ompile(1) ompile(2)) (ompile(1) ompile(2)) Se esta fórmula negada for UNSAT, então os programas serão equivalentes. Considerando variáveis a, b, f, g, h, odifique os programas (1) e (2) aima e determine, onvertendo a fórmula para CNF e usando o SAT solver, se eles são ou não equivalentes. 6