O Teorema dos Números Primos (este programa é um oferecimento de ET)

Transcrição

1 Seja p n o n-ésimo número primo: O eorema dos Números Primos Nível U este programa é um ofereimento de E Do que se trata? p = ao ontrário da rença popular, não é primo!, p = 3, p 3 = 5, p 4 = 7,... Uma questão que sempre preoupou os tios e tias na esola é a questão do resimento dos primos. Em resposta à esta importante questão sóio-familiar, dois matemátios, Hadamard e de la Vallée Poussin, independentemente provaram o famoso eorema. eorema dos Números Primos lim n p n n log n = Em outras palavras, para n 0 i.e., n muito grande, tipo n =, temos que p n é aproximadamente n log n. Aqui, log denota o logaritmo em sua ase predileta que, eu sei, é e =, A estreia do eorema dos Números Primos em 896 foi um suesso instantâneo. Desde então, este teorema tem figurado no topo das paradas de suesso, om diversas versões relançadas ao longo do tempo. Uma das mais populares utiliza a função πx = quantidade de números primos x eorema. eorema dos Números Primos, is lim x πx x/ log x = Existe ainda uma tereira versão muito popular do eorema dos Números Primos, que utiliza a hamada função de von Mangoldt: { Λn def log p se n = pr é potênia do primo p = 0 aso ontrário Uma maneira de interpretar a função πx é omo uma soma πx = n x a n onde atriuímos peso a n = se n é primo e peso a n = 0 aso ontrário. Com uma atriuição de pesos um pouo diferente, a la von Mangoldt, ψx def = n x Λn, o eorema dos Números Primos adquire uma forma partiularmente simples: eorema.3 eorema dos Números Primos, tris ψx lim x x = É esta a forma do teorema que iremos provar. As equivalênias entre as três formas será mostrada mais tarde. Por enquanto, aredite em mim, pois é verdarde!

2 Prova miojo fia pronto em 3 minutos! Agora vou mostrar uma prova ozinhada do eorema dos Números Primos. Iniialmente, preisamos de alguma forma onetar a Análise om primos. Mas isto é fáil: qualquer matemátio da esquina sae fazer isto, espeialmente se este matemátio se hama Euler. Considere a seguinte série ζs def = que onverge asolutamente para Rs >, diria Euler se ele souesse falar Português. Só relemrando: se s = σ + it, om σ, t R, definimos def = n σ e log n it = n σ ost log n + i sint log n de modo que = n σ. Diria ainda Euler, note que = + p s + p s + p 3s + soma = da PG p s pois expandindo o produto do termo entral, pela fatoração únia em primos, otemos otemos ada parela / da série definindo ζs exatamente uma únia vez. Assim, temos ζs = p s para Rs > A função ζs pode ser estendida a uma função meromorfa em todo o semi-plano Rs > 0, om um únio polo simples em s = e resíduo. A ideia ásia é aproximá-la por uma integral que onverge nesta região. emos onde ada função = dx x s + n+ n φ def = n+ n dx x s ζs s = φ x s dx é analítia, e φ sup x [n,n+] n s x s /n Rs+ e portanto a soma dos φ s onverge para uma função analítia em Rs > 0. Note ainda que no semi-plano Rs > a função zeta não possui zeros pois se s = σ + it, om σ, t R e σ >, ζs = p s + p σ + p σ + p σ + p 3σ + = ζσ > 0 Mas qual a relação entre a função zeta e o eorema dos Números Primos? Para ver isto, na fatoração de Euler asta tomar o logaritmo ou, mais preisamente, a derivada logarítmia de zeta: d def log ζs = ds ζs Para Rs > temos ζs = e assim p s ζs = ζs = ζs = Λn d ds log p s = log p p s + p s + p 3s + log p p s p s Em outras palavras, o eorema dos Números Primos onsiste em estimar a soma dos oefiientes da série de Dirihlet de ζ s/ζs. Isto é feito em dois atos: o primeiro onsiste em expressar a soma destes oefiientes em sua versão integral, utilizando o

3 3 Lema. runamento Sejam > e y > 0 números reais. emos Mais preisamente, temos +i i def ds = lim s +i i = +i { se y > i = 0 se 0 < y < + O y O log y y log y se y > se 0 < y < Assim, é de se esperar que, para > e x > 0 não inteiro, +i i ζs xs = +i i = Λn Λn +i i xs x/ ds s manora suspeita mas otimista = n x Λn = ψx trunamento Emora a manora suspeita não se justifique, a versão mais preisa om erro do trunamento ainda permite esrever ψx utilizando a integral de ζ s/ζs. O segundo ato ontém a passagem mais deliada de todo o argumento, pois utiliza a ontinuação analítia de ζs na região 0 < Rs e a seguinte versão fraa da hipótese de Riemann. A hipótese de Riemann originalmente afirma que, nesta região, ζs = 0 Is = /; mas isto deixo omo exeríio para o leitor! eorema. Poor man s Riemann Hypothesis Existe uma onstante > 0 tal que. Rs log Is + ζs 0. ζ s ζs = Olog para Rs log +, Is Utilizando as estimativas aima, uma integração de ontorno padrão que invade a região 0 < Rs ompleta a demonstração do teorema: eorema.3 Flipping Seja x = N para algum N N e seja omo no teorema anterior. Sejam ainda 0, a = log +, < < Então. ψx = +i i ζs xs + O x logx + O x log x. +i i ζs xs x = x + Oxa log 3 + O log x log

4 4 Assim, existe uma onstante > 0 tal que e portanto lim x ψx/x =. Bem, vejamos agora os detalhes! ψx = x + Ox exp log x 3 Provas honestas 3. Equivalênias entre as diversas formas do eorema dos Números Primos A título de exemplo, vamos mostrar que ψx πx lim = lim x x x x/ log x = deixando a outra equivalênia omo exeríio para o leitor. emos ψx = Λn = log x log p log x = πx log x log p n x p x p x de modo que Por outro lado, se < y < x, ψx x πx x/ log x omando y = x log x, temos πx πx = πy + x log x + ψx log x log x y<p x Basta agora tomar o limite quando x. πy + y<p x πx x/ log x log p log y y + ψx log y log x + ψx log x x log x log log x 3. runamento Suponha iniialmente que y >. Basta fazer uma integração em torno de um retângulo de vérties a±i e ± i om a < 0. Como /s possui um únio polo em s = 0 e resíduo no interior deste retângulo, temos +i i + a+i +i + a i a+i + i a i = e estimativas e a i i = a i a+i a+i +i a y σ dσ y log y ya 0 quando a a donde o resultado segue. A prova no aso em que 0 < y < é análoga, agora om a > ; oserve que neste aso /s é analítia no interior do retângulo.

5 5 3.3 Flipping Vejamos iniialmente omo esrever ψx em sua versão integral. Note que, para Rs >, temos Λn log n n 0 quando N n N de modo que +i i n x/ ou n x Λn n N onverge uniformemente em Rs >. Assim, ζs xs = +i i Λn = x/n Λn Λn + O logx/n n x xs = +i Λn i x/ ds s Vamos estimar o termo de erro. Dividimos a soma em dois pedaços: o primeiro ontendo os termos para os quais logx/n log n x/ ou n x: x/n Λn logx/n x log log n x log x n = O x dx x = O O segundo termo é x/ n x x/n Λn logx/n logx N x/ logx = O x log x +i Vejamos agora omo mostrar que i ζs du logn + 0.5/u + x logn + 0.5/N + N+ du log u/n xs s ds é assintotiamente igual a x. Para isto, onsidere a integral em torno do retângulo de vérties ± i e a ± i. Lemrando que ζs = s + possui um polo simples om resíduo em s = e que ζs 0, o únio polo simples de ζs xs s interior deste retângulo é s =, om resíduo Portanto +i i s lim s ζ ζs xs ζ ss s = lim xs s s ζss s = x xs ζs + a+i xs +i ζs + a i xs a+i ζs + i xs a i ζs = x Agora fazemos algumas estimativas. emos a i a+i ζs xs = ζs xs i Finalmente a i ζs xs a+i +i ζ a + it x a ζa + it a + it dt = O x a a Para onluir o teorema, asta fazer as esolhas = + log x 3.4 Poor man s Riemann Hypothesis a ζ σ + i ζσ + i xσ 0 = exp log x dt + x a log x dσ = O log x log no dt = Ox a log 3 t Esta é a estimativa mais deliada da prova. A prova agora emprega um engenhoso truque, devido a Mertens, aseado na identidade os θ + os θ = + os θ 0

6 6 que implia para t e σ > reais utilizando a expansão 3R ζ σ ζσ 4Rζ σ + it ζσ + it Rζ σ + it ζσ + it 0 R ζ σ + it ζσ + it = ΛnRn σ it = Λnn σ ost log n Para relaionar a desigualdade aima om os zeros de ζs, vamos oter algumas estimativas para os três termos em. A ideia ásia é utilizar a seguinte deomposição em frações pariais ζs = s + B s + n n s + onde B é uma onstante e perorre todos os zeros não trivias de ζs i.e., om 0 R. Esta fórmula é disutida mais tarde, por hora vejamos omo ela enerra a prova do teorema. Menionamos que existem maneiras mais elementares de deduzir estimativas um pouo piores, mas já sufiientes para demonstrar o eorema dos Números Primos, porém um tanto traalhosas ver por exemplo o livro do Landau itado na iliografia. Então, por preguiça, vou apresentar esta prova mais simples. Seja σ e t reais om 0 σ e t. Para s = σ + it temos s + n n n t n + + n n> t s = Olog t 4n de modo que ζs = s + + Olog t Agora suponha σ >. Como 0 R, temos R 0 e R s = a + i om a, R, otemos Logo, de, temos R ζ σ ζσ σ + O R ζ σ + it ζσ + it R + Olog t = + Olog t σ + it σ a R ζ σ + it Olog t ζσ + it Ou seja, para alguma onstante A > 0, temos 3 σ 4 + Olog t 0 σ a A log t σ σ a 0, para um zero não trivial Se agora a = δ para algum δ > 0, tomando σ = +4δ otemos A log t /0δ δ / log t + para alguma onstante > 0. Isto mostra que ζs 0 na região Rs log Is +, Is Vamos agora oter uma estimativa para ζ s/ζs. Iniialmente, tome s = + it em : ζ + it ζ + it = + it + + Olog t

7 7 Como ζ + it/ζ + it Λn/n = O, otemos + it + = Olog t Esta expressão permite oter algumas estimativas sore a distriuição dos zeros não triviais de ζs. Por exemplo, omo R 0 e R +it /5 se t I, temos que #{ é zero não trivial e t I } = Olog t Da mesma forma, se t I, omo R +it /5 t I, temos t I = Olog t t I Vamos retornar à estimativa para ζ s/ζs. Sutraindo de fiamos om ζ s ζs = s + Olog t + it = t I s + it + Se t I, omo Rs 0 temos s + it t I Por outro lado, se t I e Rs t I t I s + Olog t + it = Olog t t I, Is, log + omo já saemos que R log I + log +, temos s + it s + log + + Como a quantidade de s satisfazendo t I é Olog, otemos ζ s ζs log + Olog + Olog = Olog 4 Mais sore Zeta Por fim, algumas palavras sore omo oter a deomposição em frações pariais da função zeta. Como este material é relativamente padrão dos livros de eoria dos Números e Análise Complexa e omo a Nelly está me orando urgentemente este material, aqui vou só fazer alguns omentários. Primeiramente, temos a famosa eorema 4. Equação Funional A função ζs se estende a uma função meromorfa em todo o plano omplexo. A função é inteira e satisfaz a equação funional Ξs = ss π s/ Γs/ζs Ξs = Ξ s Aqui, Γs denota a função gama de Euler. Prova Ver Conway, VII, 8, p. 87 ou Neukirh, VII, p. 49.

8 8 Como Γs possui polos simples em s = 0,,, 3,..., temos da equação aima que ζ n = 0 para n =,, 3,..., os hamados zeros triviais. Como vimos, qualquer outro zero de ζs pertene à região 0 < Rs < e são simétrios em relação à reta Rs = / pela equação funional. A hipótese de Riemann onjetura que na verdade todos estes zeros pertenem à reta Rs = /. Agora um resultado geral de funções inteiras ver Conway, XI, p. 79 implia que eorema 4. emos a fatoração Ξs = e A+Bs s e s/ onde perorre todas as raízes triviais e não triviais de Ξs. A deomposição em frações pariais é otida tomando-se a derivada logarítmia da expressão aima e separando os zeros triviais e não triviais. 5 Referênias. J. H. Conway, Funtions of One Complex Variale, Springer-Verlag.. A. A. Karatsua, Basi Analyti Numer heory, Springer-Verlag. 3. E. Landau, Handuh der Lehre von der Verteilung der Primzahlen, Chelsea. 4. J. Neukirh, Algerai Numer heory, Springer-Verlag.