Transformadas aritméticas relacionadas com a função zeta de Riemann

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1 Transformadas aritméticas relacionadas com a função zeta de Riemann Hélder Lima Orientado por: Semyon Yakubovich Programa Novos Talentos em Matemática Transformadas aritméticas relacionadas com a função zeta de Riemann 1

2 Função zeta de Riemann (ζ(s)) ζ(s) = ζ(s) = p primo 1 n s, Re s > p s, Re s > 1 (a igualdade entre as duas fórmulas acima pode ser vista utilizando o Teorema Fundamental da Aritmética e a expansão em série de Taylor da expressão dentro do produtório) (1 2 1 s ( 1) n 1 )ζ(s) = n s, Re s > 0 Transformadas aritméticas relacionadas com a função zeta de Riemann 2

3 Função zeta de Riemann (ζ(s)) A função zeta de Riemann satisfaz a seguinte equação funcional: ζ(s) = 2 s π s 1 sin( πs )Γ(1 s)ζ(1 s) 2 Esta equação vai nos permitir prolongar ζ(s), obtendo uma função analítica em todo o plano complexo, excepto no ponto s = 1 onde a função ζ(s) tem um pólo simples. Transformadas aritméticas relacionadas com a função zeta de Riemann 3

4 Hipótese de Riemann (curiosidade) A hipótese de Riemann é um dos Millenium Prize Problems. É uma conjectura relacionada com a distribuição dos zeros de ζ(s), que diz que os zeros não triviais de ζ(s) se encontram todos na recta vertical {s C : Re(s) = 1 2 }. O problema reduz-se à faixa crítica: {s C : 0 < Re(s) < 1}. Transformadas aritméticas relacionadas com a função zeta de Riemann 4

5 Funções aritméticas Função de Möbius (µ(n)): µ(1) = 1 µ(n) = ( 1) k, se n é o produto de k primos distintos µ(n) = 0, se a decomposição de n como produto de primos contém algum primo elevado a uma potência maior do que 1 Esta função tem a seguinte propriedade: n > 1, d n µ(d) = 0 Transformadas aritméticas relacionadas com a função zeta de Riemann 5

6 Funções aritméticas Fórmula de inversão de Möbius: A função de Möbius fornece-nos uma fórmula que relaciona duas funções f e g denidas no conjunto dos números naturais. Seja f uma função denida para todo o n N e dena-se a função g : n N, g(n) := d n f (d) Então temos que: n N, f (n) = d n µ( n d )g(d) Transformadas aritméticas relacionadas com a função zeta de Riemann 6

7 Funções aritméticas Função divisora de Dirichlet (d(n)): n N, d(n) denota o número de divisores (naturais) de n. Esta função pode ser generalizada por d k (n)(k N) que, para qualquer n N, indica o número de formas diferentes de escrever n como o produto de k factores naturais. (d(n) = d k (n), para k = 2) Transformadas aritméticas relacionadas com a função zeta de Riemann 7

8 Funções aritméticas σ a (n)(a C): n N, σ a (n) := d n d a (d(n) = σ a (n), para a = 0) a(n) denota o maior divisor ímpar de n Função de Euler(ϕ(n)): ϕ(n)= {m N : m n e (m, n) = 1} Transformadas aritméticas relacionadas com a função zeta de Riemann 8

9 Funções aritméticas ω(n) representa o número de factores primos distintos de n Ω(n) representa a soma das potências de cada primo na decomposição em factores primos de n Se n = k i=1 pa i i, com 1 i k : p i primo e a i N então: ω(n) = k e Ω(n) = k i=1 a i Função de Liouville (λ(n)): λ(n) = ( 1) Ω(n) Transformadas aritméticas relacionadas com a função zeta de Riemann 9

10 Identidades de Ramanujan (ζ(s)) 2 = d(n) n s, Re(s) > 1 (ζ(s)) k = d k (n) n s, Re(s) > 1 (k N) Transformadas aritméticas relacionadas com a função zeta de Riemann 10

11 Identidades de Ramanujan 1 ζ(s) = µ(n) n s, Re(s) > 1 ζ(s) ζ(2s) = µ(n) n s, Re(s) > 1 Transformadas aritméticas relacionadas com a função zeta de Riemann 11

12 Identidades de Ramanujan ζ(2s) ζ(s) = λ(n) n s, Re(s) > 1 ζ(s)ζ(s a)ζ(s b)ζ(s a b) ζ(2s a b) = σ a (n)σ b (n) n s, Re(s) > max{1, Re(a) + 1, Re(b) + 1, Re(a + b) + 1} Transformadas aritméticas relacionadas com a função zeta de Riemann 12

13 Identidades de Ramanujan ζ(s)ζ(s a) = σ a (n) n s, Re(s) > max{1, Re(a) + 1} (ζ(s)) 2 ζ(2s) = 2 ω(n) n s, Re(s) > 1 Transformadas aritméticas relacionadas com a função zeta de Riemann 13

14 Identidades de Ramanujan (ζ(s)) 3 ζ(2s) = d(n 2 ) n s, Re(s) > 1 (ζ(s)) 4 ζ(2s) = d 2 (n) n s, Re(s) > 1 Transformadas aritméticas relacionadas com a função zeta de Riemann 14

15 Identidades de Ramanujan ζ(s 1) ζ(s) = ϕ(n) n s, Re(s) > s 1 2 s ζ(s 1) = a(n) n s, Re(s) > 2 Transformadas aritméticas relacionadas com a função zeta de Riemann 15

16 Transformada de Mellin f (s) = Inversa: c0 +i 0 f (t)t s 1 dt f (t) = f (s)t s ds, c 0 = Re(s) c 0 i f (t) = f (s)t s ds, C = {s C : Re(s) = c 0 } C Transformadas aritméticas relacionadas com a função zeta de Riemann 16

17 Transformada de Möbius C = {s C : Re(s) = c 0 }, c 0 > 1 g(x) = 1 ζ(s)f (s)x s ds = 2πi C f (xn) Inversa: f (x) = 1 g (s) 2πi C ζ(s) x s ds = µ(n)g(xn) Transformadas aritméticas relacionadas com a função zeta de Riemann 17

18 Transformada de Möbius Composta: M k (g) = 1 ζ k (s)g (s)x s ds = 2πi C Inversa da Composta: (M k ) 1 (g) = 1 g (s) 2πi C ζ k (s) x s ds = d k (n)g(xn) f k (n)g(xn), com f 1 (n) = µ(n) e f k+1 (n) = d n µ( n d )f k(d), k N Transformadas aritméticas relacionadas com a função zeta de Riemann 18

19 Mais uma transformada... C = {s C : Re(s) = c 0 }, c 0 > 1 Inversa: g(x) = 1 (1 2 1 s )ζ(s)f (s)x s ds = 2πi C f (x) = 1 2πi C g (s) (1 2 1 s )ζ(s) x s ds = ( 1) n 1 f (xn) k=0 2 k µ(n)g(xn) Transformadas aritméticas relacionadas com a função zeta de Riemann 19

20 Mais uma transformada... Composta: (M ) k (g) = 1 (1 2 1 s ) k ζ k (s)g (s)x s ds = 2πi C k ( ) k = 2 m d k (n)g(xn2 m ) m m=0 Inversa da Composta: ((M ) k ) 1 (g) = 1 g (s) 2πi C (1 2 1 s ) k ζ k (s) x s ds = ( ) m + k = 2 m 1 f k (n)g(xn2 m ) k 1 m=0 Transformadas aritméticas relacionadas com a função zeta de Riemann 20

21 Fórmula de Müntz Observe-se a seguinte fórmula de Müntz que engloba a função zeta de Riemann (em que f é uma função arbitrária com propriedades adequadas): ζ(s) y s 1 f (y)dy = 0 0 x s 1 ( f (nx) 1 x 0 f (v)dv)dx, com s C tal que 0 < Re(s) < 1 Transformadas aritméticas relacionadas com a função zeta de Riemann 21

22 Fórmulas análogas à de Müntz Caso ζ(s) ζ(2s) Para s C tal que Re(s) = c 0 > 1 temos que: Mas, se tivermos 1 2 < c 1 < 1: µ(n) f (xn) = 1 2πi µ(n) f (xn) = 1 ζ(s) 2πi c 0 >1 ζ(2s) f (s)x s ds = 1 2πi c 0 >1 1 2 <c 1<1 ζ(s) ζ(2s) f (s)x s ds ζ(s) ζ(2s) f (s)x s ds + res s=1 ( ζ(s) ζ(2s) f (s)x s ) Transformadas aritméticas relacionadas com a função zeta de Riemann 22

23 Fórmulas análogas à de Müntz Caso ζ(s) ζ(2s) Como as funções ζ(2s), f (s) e x s são analíticas no ponto s = 1 que, por sua vez, é um pólo simples da função zeta de Riemann, conclui-se que ζ(s) ζ(2s) f (s)x s tem um pólo simples em s = 1 logo: res ( ζ(s) s=1 ζ(2s) f (s)x s ) = lim (s 1) ζ(s) s 1 ζ(2s) f (s)x s Note-se agora que res s=1 ζ(s) = 1 e que, como s = 1 é um pólo simples da função zeta de Riemann, tem-se que res s=1 ζ(s) = lim s 1 (s 1)ζ(s). Então lim s 1 (s 1)ζ(s) = 1. Transformadas aritméticas relacionadas com a função zeta de Riemann 23

24 Fórmulas análogas à de Müntz Caso ζ(s) ζ(2s) Portanto, podemos calcular: res ( ζ(s) s=1 ζ(2s) f (s)x s ) = lim (s 1) ζ(s) s 1 ζ(2s) f (s)x s = Daqui se conclui que: = f (1)x 1 ζ(2) = 6 π 2 x µ(n) f (xn) = 1 ζ(s) 2πi 1 2 <c ζ(2s) f (s)x s ds + 6 π 1<1 2 x 0 f (v)dv 0 f (v)dv Transformadas aritméticas relacionadas com a função zeta de Riemann 24

25 Fórmulas análogas à de Müntz Caso ζ(s) ζ(2s) Portanto: 1 ζ(s) 2πi 1 2 <c ζ(2s) f (s)x s ds = 1<1 µ(n) f (xn) 6 π 2 x 0 f (v)dv Aplicando agora a transformada de Mellin obtém-se uma igualdade análoga à fórmula de Muntz: ζ(s) ζ(2s) 0 y s 1 f (y)dy = 0 x s 1 ( µ(n) f (xn) 6 π 2 x 0 f (v)dv)dx Transformadas aritméticas relacionadas com a função zeta de Riemann 25

26 Fórmulas análogas à de Müntz Caso ζ2 (s) ζ(2s) Para s C tal que Re(s) = c 1 > 1 temos que: Mas, se tivermos 1 2 < c 0 < 1: 2 ω(n) f (xn) = 1 2πi 2 ω(n) f (xn) = 1 ζ 2 (s) 2πi c 1 >1 ζ(2s) f (s)x s ds = 1 2πi c 1 >1 1 2 <c 0<1 ζ 2 (s) ζ(2s) f (s)x s ds ζ 2 (s) ζ(2s) f (s)x s ds + res s=1 ( ζ2 (s) ζ(2s) f (s)x s ) Transformadas aritméticas relacionadas com a função zeta de Riemann 26

27 Fórmulas análogas à de Müntz Caso ζ2 (s) ζ(2s) Como as funções ζ(2s), f (s) e x s são analíticas no ponto s = 1 que, por sua vez, é um pólo simples da função zeta de Riemann, conclui-se que ζ 2 (s) ζ(2s) f (s)x s tem um pólo duplo em s = 1 logo: res ( ζ2 (s) s=1 ζ(2s) f (s)x s ) = lim s 1 d =... = 6 π 2 x ds (s ζ2 (s) 1)2 ζ(2s) f (s)x s = 0 (ln( A12 v 2πx (em que γ é a constante de Euler-Mascheroni e A é a constante de Glaisher-Kinkelin) ) γ) f (v)dv Transformadas aritméticas relacionadas com a função zeta de Riemann 27

28 Fórmulas análogas à de Müntz Caso ζ2 (s) ζ(2s) Daqui se conclui que: 1 2πi 1 2 <c 0<1 = 2 ω(n) f (xn) 6 π 2 x 0 0 ζ 2 (s) ζ(2s) f (s)x s ds = (ln( A12 v 2πx ) γ) f (v)dv Aplicando agora a transformada de Mellin obtém-se mais uma igualdade análoga à fórmula de Muntz: ζ 2 (s) y s 1 f (y)dy = ζ(2s) 0 = x s 1 ( 2 ω(n) f (xn) 6 (ln( A12 v ) γ) f (v)dv)dx π 2 x 2πx 0 Transformadas aritméticas relacionadas com a função zeta de Riemann 28

29 Fórmulas análogas à de Müntz Mais 2 casos Com um raciocínio semelhante aos utilizados anteriormente obtemos mais 2 igualdades análogas á fórmula de Muntz: ζ 3 (s) ζ(2s) y s 1 f (y)dy = x s 1 ( 0 0 d(n2 )f (xn) R 3 ) dx ζ 4 (s) ζ(2s) y s 1 f (y)dy = x s 1 ( d (n)f (xn) R 4 ) dx com: R 3 = res ( ζ3 (s) s=1 ζ(2s) f (s)x s ) = 1 2 lim d 2 s 1 ds ((s ζ3 (s) 2 1)3 ζ(2s) f (s)x s ) R 4 = res ( ζ4 (s) s=1 ζ(2s) f (s)x s ) = 1 6 lim d 3 s 1 ds ((s ζ4 (s) 3 1)4 ζ(2s) f (s)x s ) Transformadas aritméticas relacionadas com a função zeta de Riemann 29

30 Referências: S. B. Yakubovich, Integral and series transformations via Ramanujan's identities and Salem's type equivalences to the Riemann hypothesis E. C. Titchmarsh, The Theory of the Riemann Zeta-function O. I. Marichev, Handbook of integral transforms of higher transcendental functions T. M. Apostol, Introduction To Analytic Number Theory Transformadas aritméticas relacionadas com a função zeta de Riemann 30