Programa Novos Talentos em Matemática 2010 Fundação Calouste Gulbenkian. Por: Diogo Pernes (estudante 3º ano MIEEC/FEUP) Seminário Diagonal

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Gabriela Moreira Mendonça
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1 Programa Novos Talentos em Matemática 2010 Fundação Calouste Gulbenkian Por: Diogo Pernes (estudante 3º ano MIEEC/FEUP) Seminário Diagonal c/ orientação do Prof. SemyonYakubovich FCUP, 13 de Abril de 2011

2 Números Complexos Análise Complexa Função Gama e Função Hipergeométrica Transformada de Mellin

3 Preliminares números complexos Considerando o conjunto: E definindo as operações: Obtemos o corpo dos números complexos.

4 Preliminares números complexos Designando por o número complexo, vem. Assim, podemos escrever cada na forma. A chamamos parte real de e a damos o nome de parte imaginária de.

5 Preliminares números complexos Plano Complexo:

6 Números Complexos Análise Complexa Função Gama e Função Hipergeométrica Transformada de Mellin

7 Preliminares análise complexa Caminho definição: Aplicação contínua,, de um intervalo fechado, não reduzido a um ponto, que toma valores em e é continuamente derivável por bocados.

8 Preliminares análise complexa Singularidades Isoladas definição:, analítica em aberto e conexo ( derivável em ). diz-se singularidade isolada de se existe um disco aberto centrado em tal que todos os pontos deste disco, excepto, estão em, ou seja:

9 Preliminares análise complexa Série de Laurent: aberto contido em e centrado em., para todo o num disco Ao coeficiente chamamos resíduo de em.. Se, então diz-se pólo simples de e, nesse caso:

10 Preliminares análise complexa Teorema dos Resíduos:, onde é um caminho fechado, sem intersecções e orientado positivamente.

11 Números Complexos Análise Complexa Função Gama e Função Hipergeométrica Transformada de Mellin

Preliminares função gama e função hipergeométrica Função Gama definição: Algumas propriedades : 1. 2.

12 Preliminares função gama e função hipergeométrica Função Gama definição: Algumas propriedades : é inteira. 4. é analítica em todo o plano complexo, excepto em, onde tem pólos simples com resíduo.

13 Preliminares função gama e função hipergeométrica Função Hipergeométrica definição onde

14 Números Complexos Análise Complexa Função Gama e Função Hipergeométrica Transformada de Mellin

15 Preliminares transformada de Mellin Definição: Obs: Transformada Inversa:

16 Preliminares transformada de Mellin Algumas propriedades: 1.. Obs: A um integral da forma representada no 1º membro chamamos integral de convolução de Mellin. 2. Se na região, então na região..

17 Definição Fórmula geral de inversão Um caso particular interessante

18 A nossa transformada definição onde (função de Bessel da primeira espécie)

19 Definição Fórmula geral de inversão Um caso particular interessante

20 A nossa transformada fórmula geral de inversão A transformada de Mellin do núcleo é conhecida: Usando a propriedade 1. da T.Mellin, vem Portanto,,.

21 A nossa transformada fórmula geral de inversão determina-se agora pela inversa da T.Mellin: onde

22 A nossa transformada fórmula geral de inversão A função integranda tem pólos simples em e, Usando uma expansão assimptótica para (fórmula de Stirling), prova-se que o integral correspondente a converge condicionalmente na faixa:

23 A nossa transformada fórmula geral de inversão O Teorema de Slater ([2]) permite-nos tratar este integral como se estivesse definido sobre um caminho fechado. poles

24 A nossa transformada fórmula geral de inversão Assim,

25 A nossa transformada fórmula geral de inversão Fazendo umas continhas, obtém-se: Chegámos, finalmente, à expressão geral do núcleo da transformada inversa!

26 Definição Fórmula geral de inversão Um caso particular interessante

27 A nossa transformada um caso particular interessante Atendendo a que, no caso temos: Como calcular a fórmula de inversão? Uma possibilidade óbvia é substituir por na fórmula que encontrámos para.

28 A nossa transformada um caso particular interessante Vamos usar um método alternativo Atendendo a que onde

29 A nossa transformada um caso particular interessante Temos: Agora, queremos encontrar, se existirem, e tais que:

30 A nossa transformada um caso particular interessante Este sistema de equações lineares com 2 incógnitas e 4 equações é possível e determinado se e só se (é impossível para outros ). A solução é e, logo:

31 A nossa transformada um caso particular interessante Prova-se que: Pelo que obtemos, finalmente:

32 Fórmula de inversão para inteiro. Será possível exprimir como composição de outras transformadas? Quais? Propriedades de e possível aplicação na resolução de equações diferenciais. MAS PARA QUE É QUE ISTO SERVE?

33 [1] SMIRNOV, Gueorgui, Curso de Análise Complexa, Escolar Editora, [2] O.I. MARICHEV, Handbook of Integral Transforms of Higher Transcendental Functions: Theory and Algorithmic Tables, Ellis Horwood Limited, 1983.

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