MAT Laboratório de Matemática Primeira Lista de Exercícios Professora Barbara Valério

Transcrição

1 MAT Laboratório de Matemática Primeira Lista de Exercícios Professora Barbara Valério 1. Dado o seguinte esquema: D o estudante comete erros, C há motivação para o estudo, F o estudante aprende a matéria, simbolizar: (a) Se o estudante não comete erros, aprende a matéria. Solução: D F (b) O estudante aprende a matéria se, e somente se, há motivação para o estudo. (c) Se não há motivação para o estudo, então o estudante comete erros ou não aprende a matéria. (d) Se o estudante comete erros, então, se não há motivação para o estudo, o estudante não aprende a matéria. (e) Não há motivação para o estudo se e somente se o estudante comete erros e não aprende a matéria 2. Considere as frases abaixo: I. Se um politíco tem muito dinheiro, então ele pode ganhar as eleições. II. Se um politíco não tem muito dinheiro, então ele pode não ganhar as eleições. III. Se um politíco pode ganhar as eleições, então ele tem muito dinheiro. IV. Se um politíco não pode ganhar as eleições, então ele não tem muito dinheiro. V. Um politíco não pode ganhar as eleições se ele não tem muito dinheiro. a) Assumindo que I é verdadeiro, quais das outras afirmações são verdadeiras? b) Qual é a negação de I? E a sua recíproca? Qual é a contra positiva? c) Assumindo que V é verdadeiro, quais das outras afirmações são verdadeiras? d) Qual é a negação de V? E a sua recíproca? Qual é a contra positiva? Atenção: Não se prova que um argumento é válido mostrando que sua conclusão é verdadeira. Deduzimos uma conclusão quando: a conclusão deve ser verdadeira

2 se as premissas são verdadeiras, ou seja, há uma relação entre as premissas e a conclusão. Veja o exemplo de uma conclusão não válida : Premissa: Todos os mamíferos são mortais. Todos os cães são mortais. Conclusão: Os cães são mamíferos. (Conclusão não válida) 3. Decida quais das afirmações são válidas. a) Todos os girassóis são amarelos e alguns pássaros são amarelos, logo nenhum pássaro é girassol. b) Alguns livros são verdes e algumas coisas verdes são comestíveis, logo alguns livros são comestíveis. c) Como todos os peixes são mamíferos, todos os mamíferos são aves e existem minerais que são peixes, concluimos que existem minerais que são aves. d) Todos os homens são mortais. O presidente é um homem. Conclusão o presidente é mortal. 4. Em cada caso abaixo, a tese foi concluída das hipóteses. Verifique se o raciocínio está correto. a) Hipóteses: Todo homem bem sucedido usa terno da marca TERNOX. Pedro usa ternos da marca TERNOX. Tese: Pedro é bem sucedido. b) Hipóteses: As mulheres adoram os homens que usam ternos da marca TER- NOX. Pedro usa ternos da marca TERNOX. Tese: As mulheres adoram Pedro. c) Hipóteses: Arnaldo é mais alto do que João. João é mais alto do que Carlos. Tese: Arnaldo é mais alto do que Carlos. d) Hipóteses: Todo cantor de rock tem cabelos compridos. Nenhum presidente de banco é cantor de rock. Tese: Nenhum presidente de banco tem cabelos compridos. e) Hipóteses: Alguns neoróticos são felizes. Algumas pessoas felizes não são ambiciosas. Tese: Alguns neoróticos não são ambiciosos. f) Hipóteses: Todos os estudantes são pessoas. Todos os universitários são estudantes. Tese: Todos os universitários são pessoas.

3 5. Decida qual dos argumentos a seguir são válidos e quais são falaciosos. Explique o raciocínio. (a) Todo corintiano gosta de futebol. João gosta de futebol, então João é corintiano. (b) Todo corintiano gosta de futebol. João é corintiano, então João gosta de futebol. (c) Todo corintiano gosta de futebol. João não é corintiano, então João não gosta de futebol. (d) Todo corintiano gosta de futebol. João não gosta de futebol, então João não é corintiano. 6. Em cada ítem verifique se a afirmação B é a negação lógica da afirmação A. Se estiver errado, dê a negação correta. a) A)Para todo brasileiro, existe um chinês que tem a mesma idade. B) Existe um brasileiro que não tem a mesma idade existe um chinês. b) A) Para todo x IR existe y IR tal que f(x) = y e g(y) = x. B) Para todo x IR não existe y IR tal que f(x) = y e g(y) = x. c) A) Um ser humano de menos de 20 kg ou é doente ou é criança. B) Um ser humano de menos de 20 kg não é doente e não é criança. d) A) Vou viajar para a praia ou para o campo nesta Páscoa. B) Não vou viajar para a praia ou para o campo nesta Páscoa. 7. Uma aventura de Alice. Alice, ao entrar na floresta, perdeu a noção dos dias da semana. O leão e o unicórnio eram duas estranhas criaturas que frequentavam a floresta. O leão mentia às segundas, terças e quartas feiras, e falava a verdade nos outros dias da semana. O unicórnio mentia às quintas, sextas e sábados, mas falava a verdade nos outros dias da semana. Problema I - Um dia Alice encontrou o leão e o unicórnio descansando à sombra de uma árvore. Eles disseram: Leão: Ontem foi um dos meus dias de mentir. Unicórnio: Ontem foi um dos meus dias de mentir. Apartir destas afirmações Alice descobriu qual era o dia da semana. Que dia era esse? Problema II - Em outra ocasião, Alice encontrou o Leão sozinho. Ele fez as seguintes afirmações:

4 A) Eu menti ontem. B) Eu mentirei daqui a três dias. Qual era o dia da semana? Problema III - Em qual dia da semana é possível o Leão fazer as seguintes afirmações? A) Eu menti ontem. B) Eu mentirei amanhã. Problema VI - afirmações? Em qual dia da semana é possível o Leão fazer as seguintes A) Eu menti ontem e mentirei amanhã. B) Eu menti ontem ou mentirei amanhã. C) Se eu menti ontem então mentirei de novo amanhã. D) Menti ontem se e somente se mentirei amanhã. 8. Extraído e adaptado de: Geometry Harold R. Jacobs., W. H. Freeman and Company I - Um aluno está resolvendo um teste com cinco questões do tipo verdadeiro ou falso. Ele fez as seguintes constatações: a) Se a resposta da preimeira questão é verdadeira, então a resposta da próxima é falsa. b) A resposta da última questão deve ser igaual a da primeira. c) A resposta da segunda questão é verdadeira. Teorema: A resposta da última questão é falsa. II - Kátia, Eliane e Júlia estavam conversando sobre quantos amigos Alexandre tem. Kátia disse que Alexandre tem pelo menos cinquenta amigos. Eliane diz que certamente Alexandre não tem tantos amigos assim, enquanto que Júlia afirma que Alexandre deve ter pelo menos um amigo. Se apenas uma das três está dizendo a verdade, quantos amigos Alexandre tem? Explique o seu raciocínio. III - Na história A princesa ou o tigre? de Frank Stockton, um jovem príncipe é forçado a escolher entre duas salas, numa delas está a princesa e na outra um tigre. Se ele escolher a sala que está a princesa, ele se casará com ela. Se ele escolher a

5 outra sala, ele será forçado a enfrentar um tigre feroz. A escolha do jovem não é revelada na história. Muitos quebra cabeças foram criados a partir deste tema. Num destes quebra cabeças, o rei colocou tabuletas sobre cada uma das portas das salas, dizendo ao príncipe que o que está escrito numa das tabuletas é verdade e o que está na outra é mentira. Descubra em que sala está a princesa, sabendo que os tabuleiros foram: Primeira sala: Nesta sala está a princesa e na outra está o tigre. Segunda sala: Em uma destas salas está a princesa e na outra está o tigre. 9. Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique suas respostas. (a) a b a 2 b 2, para a, b reias quaisquer; (b) x < 2 (x 2 + 1) 2 < 4, x IR; (c) x a a x a, onde a 0; (d) a + b = a + b, a, b, IR. 10. O que está errado na seguinte demonstração? Seja x = y. Então x 2 = xy x 2 y 2 = xy y 2 (x + y)(x y) = y(x y) x + y = y 2y = y 2 = Suponha o conjunto universo {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Determine o valor verdade de cada uma das proposições a seguir. Depois, negue cada ítem. i. ( x)( y)(x 2 > y); ii. ( x)( y)(x 2 > y); iii. ( x)( y)( z)(x + y > z); iv. ( x)( y)( z)(x + y > z);