MAT I Solução dos Exercícios para os dias 20, 25 e 27/08/ Simbolize as sentenças a seguir, definindo as letras de proposição usadas.

Transcrição

1 MAT I Solução dos Exercícios para os dias 20, 25 e 27/08/04 1. Simbolize as sentenças a seguir, definindo as letras de proposição usadas. a. A B, onde A:= Alfredo gosta de dançar e B:= Alfredo gosta de tocar violão. b. A B, onde A:= Bernardo vai comprar um livro de fantasia e B:= Bernardo vai comprar um disco de rock. c. A (B C), onde A:= Clarisse vai à festa, B:= Clarisse vai usar um vestido branco e C:= Clarisse vai usar um vestido rosa. d. (A B) (A C), onde A:= vai chover, B:= Daniel vai visitar sua avó e C:= Daniel vai à praia. e. A B, onde A:= Eliana vai comprar um carro novo e B:= seu pai vai lhe dar dinheiro. f. A B (C D), onde A:= a festa está animada, B:= Fernando está de saída, C:= é cedo e D:= Gilda deverá chegar. g. (A B) A B, onde A:= Hélio vai ganhar na loteria e B:= Hélio vai viajar. 2. Convenções: A: Isabela é atriz; B: Juliana é bonita; C: Leandro canta bem; D: Marcelo é desenhista. a. Isabela é atriz. Mas Isabela não é atriz ou Juliana não é bonita. b. Se Isabela é atriz ou Juliana é bonita, então Leandro não canta bem. c. Se Isabela é atriz, então Juliana é bonita ou Leandro canta bem. d. Se Isabela é atriz, então Juliana é bonita e Leandro canta bem, ou Marcelo é desenhista. e. Isabela é atriz e Juliana é bonita. Ou Leandro canta bem e Marcelo é desenhista. f. Dizer que se Isabela é atriz então Juliana é bonita é equivalente a dizer que Isabela não é atriz ou Juliana é bonita. g. Se Isabela é atriz, então Juliana é bonita. Se Leandro canta bem, então Marcelo não é desenhista. Isabela é atriz ou Leandro canta bem. Portanto, Juliana é bonita ou Marcelo não é desenhista. h. Se Isabela é atriz, então Juliana é bonita. Se Juliana é bonita, então Leandro canta bem. Portanto, se Isabela é atriz, então Leandro canta bem. 3. Silogismo disjuntivo: P Q P P Q (P Q) P (P Q) P Q V V F V F V V F F V F V F V V V V V F F V F F V 4. A contrapositiva de um condicional é equivalente ao condicional: A B A B A B B A A B B A V V F F V V V V F F V F F V F V V F V V V F F V V V V V 1

2 5. A recíproca de um condicional não é equivalente ao condicional: A B A B B A A B B A V V V V V V F F V F F V V F F F F V V V 6. Identifique o antecedente e o conseqüente de cada proposição a seguir e simbolize-a. Depois escreva sua recíproca em português. a. A B, onde A:= Ana Paula vai à festa é o antecedente e B:= Carlos vai à festa é o conseqüente. Recíproca: Se Carlos for à festa, então Ana Paula também vai. b. A B, onde A:= haverá contratação de novos funcionários é o antecedente e B:= há verba no orçamento é o conseqüente. Recíproca: Se houver verba no orçamento, haverá contratação de novos funcionários. c. A B, onde A:= Brenda vai à festa é o antecedente e B:= Daniel vai à festa é o conseqüente. Recíproca: Se Daniel for à festa, então Brenda também vai. d. A B, onde A:= vai sair o empréstimo bancário é o antecedente e B:= haverá aquisição de novos equipamentos é o conseqüente. Recíproca: Uma condição necessária para a aquisição de novos equipamentos é sair o empréstimo bancário. Outra forma da recíproca: Se houver aquisição de novos equipamentos, então saiu o empréstimo bancário. e. A B, onde A:= Eliane vai comprar um carro é o antecedente e B:= seu pai vai lhe emprestar o dinheiro é o conseqüente. Recíproca: Eliane vai comprar um carro se seu pai lhe emprestar o dinheiro. Outra forma da recíproca: Se seu pai lhe emprestar o dinheiro, então Eliane vai comprar um carro. f. A B, onde A:= um animal está contaminado é o antecedente e B:= o rebanho inteiro será sacrificado é o conseqüente. Recíproca: Se o rebanho inteiro for sacrificado, então um animal estava contaminado. 7. Silogismo hipotético: A B C A B B C A C (A B) (B C) (A B) (B C) (A C) V V V V V V V V V V F V F F F V V F V F V V F V V F F F V F F V F V V V V V V V F V F V F V F V F F V V V V V V F F F V V V V V 8. A A é uma tautologia e A A é uma contradição: 2

3 9. Leis de De Morgan: a. (A B) (A B ): A A A A A A V F V F F V V F A B A B A B (A B) A B (A B) (A B ) V V F F V F F V V F F V F V V V F V V F F V V V F F V V F V V V b. (A B) A B : A B A B A B (A B) A B (A B) (A B ) V V F F V F F V V F F V V F F V F V V F V F F V F F V V F V V V 10. Negação de um condicional: 11. Dupla negação: A B B A B (A B) A B (A B) (A B ) V V F V F F V V F V F V V V F V F V F F V F F V V F F V A A A V F V F V F 12. Negação simbólica e em português das proposições do Exercício 2. a. [A (A B )] A (A B ) (por De Morgan) A ((A ) (B ) ) (por De Morgan) A (A B) (pela dupla negação) Em português: Isabela não é atriz. Ou Isabela é atriz e Juliana é bonita. b. [A B C ] (A B) (C ) (pelo Exercício 10) (A B) C (pela dupla negação) Em português: Isabela é atriz ou Juliana é bonita. Mas Leandro canta bem. c. [A B C] A (B C) (pelo Exercício 10) A B C (por De Morgan) Em português: Isabela é atriz, Juliana não é bonita e Leandro não canta bem. d. [A (B C) D] A [(B C) D] (pelo Exercício 10) A (B C) D (por De Morgan) A (B C ) D (por De Morgan) Em português: Isabela é atriz. Juliana não é bonita ou Leandro não canta bem. Marcelo não é desenhista. 3

4 e. [(A B) (C D)] (A B) (C D) (por De Morgan) (A B ) (C D ) (por De Morgan) Em português: Isabela não é atriz ou Juliana não é bonita. Leandro não canta bem ou Marcelo não é desenhista. f. [(A B) (A B)] {[(A B) (A B)] [(A B) (A B)]} (def. de ) {[(A B) (A B)]} {[(A B) (A B)]} (De Morgan) [(A B) (A B) ] [(A B) (A B) ] (Ex. 10) [(A B) A B ] [(A B) A B ] (De Morgan, dupla negação e Exercício 10) Em português: Se Isabela é atriz, então Juliana é bonita, mas Isabela é atriz e Juliana não é bonita. Ou então Isabela não é atriz ou Juliana é bonita, e Isabela é atriz e Juliana não é bonita. g. [(A B) (C D ) (A C) B D ] (A B) (C D ) (A C) (B D ) (Exercício 10) (A B) (C D ) (A C) B D (De Morgan, dupla neg.) Em português: Se Isabela é atriz, então Juliana é bonita. Se Leandro canta bem, então Marcelo não é desenhista. Mas Isabela é atriz ou Leandro canta bem. Além disso, Juliana não é bonita e Marcelo é desenhista. h. [(A B) (B C) (A C)] (A B) (B C) (A C) (Exercício 10) (A B) (B C) A C (Exercício 10) Se Isabela é atriz, então Juliana é bonita. Se Juliana é bonita, então Leandro canta bem. Mas Isabela é atriz e Leandro não canta bem. 13. Negação: a. (A B) A B, pelo Exercício 10. b. (A B ) A B, por De Morgan e pela dupla negação. c. ((A B) C ) (A B) C (A B ) C, onde usamos De Morgan duas vezes e a dupla negação. d. {A [(B C) D]} A [(B C) D] (pelo Exercício 10) A (B C) D (pelo Exercício 10) e. {[A (B C)] D} [A (B C)] D (pelo Exercício 10). f. [A (B C) ] A B C (pelo Exercício 10 e pela dupla negação). g. {(A B) C [A (B C) ] } [(A B) C ] [A (B C) ] (pelo Exercício 10 e pela dupla negação). 14. Vamos usar as seguintes notações: A:= meu cliente é inocente, B:= a faca estava na gaveta, C:= João viu a faca e D: o martelo estava no quarto. A simbolização fica: (A B) (B C) (C D) D A. Vamos denotar por P a proposição (A B) (B C) (C D) D. A tabela-verdade a seguir mostra que o argumento é válido, ou seja, a proposição P A é uma tautologia. 4

5 A B C D A B D A B B C C D P P A V V V V F F F V V V F V V V V F F F V V V F F V V V F V F F F V F V F V V V F F F F V V F V F V V F V V F V F V V V F V V F V F F V V V V F F V V F F V F V F V V V F V V F F F F V V V V V V V F V V V V F F V V V F V F V V F V F V V V F F V F V F V V F F V F V F V F V F F V F V V F V F V F F V V V V F F V V F V F F V F V V V F V F F V F F F V V V F F V V F V F F F F V V V F V V F V 5