UALG 2015/16 Matemática Discreta Exercícios de Teoria de Números. 80. Converta os seguintes números para o sistema decimal:

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1 80. Converta os seguintes números para o sistema decimal: (a) (b) (c) (d) (e) A9B1 12 (f) 10F 16 (g) 13B3 12 (h) A2D Converta o número x do sistema de numeração de base α para o sistema de numeração de base β, quando: (a) x = , α = 2, β = 16 (b) x = , α = 2, β = 8 (c) x = , α = 2, β = 4 (d) x = , α = 3, β = 9 (e) x = 751, α = 8, β = 2 (f) x = 3AC3A, α = 16, β = 2 (g) x = 3701D, α = 16, β = 4 (h) x = 38064, α = 9, β = 3 (i) x = 32012, α = 4, β = Converta o número 1297 do sistema decimal para os sistemas de base: (a) 2 (b) 4 (c) 7 (d) 12 (e) Determine a base b do sistema de numeração tal que: (a) 95 = 235 b (b) = 280 b (c) 211 b = 34 2b (d) o número 164 se escreve como b (e) 31 b é o dobro de 16 b (f) 31 b +13 b = 110 b (g) os números 34 b, 63 b e 112 b estão em progressão aritmética (h) os números 154 b, 200 b e 213 b estão em progressão aritmética (i) os números 6 b, 20 b e 60 b estão em progressão geométrica 31

2 84. No sistema decmal, determine os números que se escrevem: (a) com três algarismos na base 9 e com dois algarismos na base 13. (b) com três algarismos no sistema de base 12 e com quatro algarismos no sistema de base Que valor se deve atribuir a x para que x04 5 = 10xx 4? 86. Dois números do sistema decimal representam-se por 74 em dois sistemas cujas bases diferem de três unidades. Sabendo que a soma dos referidos números é 141, determine essas bases. 87. Determine dois números no sistema decimal que diferem de 20 unidades no sistema de base 5 e cuja soma é de 521 no sistema de base Sabendo que um número inteiro z se escreve com dois algarismos tanto no sistema de base 5 como no sistema de base 7, e que podemos passar de um sistema para o outro invertendo a ordem dos algarismos, determine o número z. 89. Efectue as operações: (a) 9A13B BA 12 (g) 9A13B 12 41BA 12 (b) 9A13B BA 13 (h) 9A13B 13 41BA 13 (c) 9A13B BA 16 (i) 9A13B 16 41BA 16 (d) (j) (e) (k) (f) (l) Efectue as operações: (a) (d) (b) 1A89 16 B3 16 (e) AC2B (c) (f) E C 16 32

3 91. Encontre o quociente e o resto de: (a) /101 2 (e) 14C4CAB 16 /51 16 (b) /101 2 (f) /22 7 (c) /101 2 (g) 1AA /23 12 (d) /101 4 (h) 457C 13 /1B Resolva os seguintes sistemas de equações lineares: x+y = (a) 2x y = 14 6 (b) x+y +z = x+2y = 54 6 x+3z = (c) x+y +2z +w = 19BFD 16 x+z = AC x y w = 67EE 16 8y = (d) x+y +z +w = y +z +w = z +w = z +w =

4 93. Determine todos os divisores de 30, 35, 45 e Verifique se é divisível por 2, 4, 8, 16 e/ou Verifique se é divisível por 5, 25, 125 e/ou Verifique se os seguintes números são divisíveis por 3 e/ou 9: (a) (b) (c) (d) Verifique se os seguintes números são divisíveis por 11: (a) (b) (c) (d) (e) (f) Seja a = r n r 1 r 0. Mostre que 4 a se e só se 4 (2r 1 +r 0 ). 99. Determine x e y tal que: (a) 7xx5xx é divisível por 2, 3 e 9. (b) 2x3x2 é divisível por 4 e 11. (c) 3x6y é divisível por 22 mas não por 4. (d) 2x45y é divisível por 72. (e) 10x8 é divisível por 7. (f) 2xy é divisível por 5 e Para o sistema de base 8, estabeleça critérios de divisibilidade para 2, 3, 4, 5, 6 e Determine x e y tal que: (a) x43y 8 é múltiplo de 7 8 e 6 8. (b) 1x1y 8 é múltiplo de 5 8 e Sendo x e y inteiros, mostre que se 2 (x+y) então 2 (x y) Determine: (a) O número de divisores de (b) O número da forma 3 10 k com 18 divisores. 34

5 104. Pela decomposição em factores primos: (a) Verifique se 5320 é divisível por 140 e/ou por 280. (b) Verifique se 2604 é divisível por 396 e/ou por 36. (c) Determine mdc(5320, 2604) e mmc(5320, 2604). (d) Determine o menor número x para o qual 5320 x é divisível por Determine todos os números inteiros x e y com x y e tais que: (a) x y = 1080 e mmc(x,y) = 180. (b) x+y = 60 e mdc(x,y) = 12. (c) x e 14 são primos entre si e mmc(x,y) = Escreva mdc(x,y) como combinação linear de x e de y para: (a) x = 252 e y = 198. (b) x = 218 e y = 88. (c) x = 345 e y = Encontre uma solução particular e escreva a solução geral para as seguintes equações Diofantinas que admitem soluções inteiras: (a) 252x+198y = 48. (b) 218x+118y = 10. (c) 345x+215y = 5. (d) 37x+44y = 21. (e) 143x+495y = 221. (f) 188x+24y = Pretende-se enviar uma carta por correio que deverá ter o valor de selo igual a 84 cêntimos. Só há selos de 6 e de 15 cêntimos. Quantos selos de cada tipo devemos usar de modo a obter o valor exacto de 84 cêntimos? Existe mais do que uma solução? Quantas? 109. Uma escola decide sensibilizar os alunos para a fome e empenha-se numa campanha que irá oferecer leite e bolachas às famílias mais necessitadas. O João dirige-se a uma loja onde um litro de leite custa 65 cêntimos e um pacote de bolachas custa 1 euro e 20 cêntimos. Com 10 euros, que quantidade de leite e bolachas é que o João pode oferecer? 35

6 110. Verifique se: (a) 186 6(mod6). (c) 13 5(mod9). (e) 22 1(mod8). (g) (mod11). (b) 233 3(mod10). (d) 271 5(mod7). (f) 384 0(mod4). (h) (mod13) Determine os valores de m para os quais se tem: (a) 26 6(modm). (b) 58 5(modm). (c) 13 13(modm) Determine o algarismo das unidades de: (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (j) (k) (l) Calcule o resto da divisão inteira de: (a) por 8. (b) por 5. (c) por 7. (d) por 4. (e) por 11. (f) por Verifique se é: (a) Divisível por 7. (b) Múltiplo de Mostre qu a 3 a(mod6), a Z. 36

7 116. Com o seu NIF: (a) Verifique se o algarismo de controlo está correcto (é um zero)? (b) Dê exemplos de erros que não sejam detectados pelo algarismo de controlo Complete o código: (a) ISBN do livro Homology de Saunders Mac Lane. (b) de barras de uma garrafa 33cl de água do Luso. (c) M de uma nota de 5 euros Relativamente aos códigos do exercício anterior, dê exemplos de erros que não sejam detectados pelo algarismo de controlo A Carla utilizou um produto p módulo 10 para codificar cada algarismo do PIN do seu cartão multibanco e escreveu-o na parte de trás do cartão: Ela não se lembra qual o factor p utilizado, mas tem 3 tentativas na caixa de multibanco antes de ficar sem o cartão. Quais são os 3 códigos que ela deve tentar? 120. Utilize o método das congruências lineares para criar uma lista de números (pseudo-) aleatórios que começa com x 0 = 3 em que m = 8, f = 5 e i = O proprietário de uma loja de roupa de bébé/criança está a ponderar a possibilidade de oferecer uma percentagem de desconto igual a três vezes a idade dos clientes. Mas antes, gostaria de fazer uma simulação. Deste modo, criou uma sequência aleatória de idades de crianças até aos 10 anos, possíveis clientes, com o método das congruências lineares (módulo m) com factor multiplicativo f = 7, incremento i = 4 e supondo que o primeiro cliente tem 8 anos. (a) Que valor de m deve ser utilizado? (b) Determine a sequência de idades dos primeiros 15 clientes. (c) Qual foi o desconto oferecido aos 8 o e 9 o clientes? (d) Que clientes obtêm o maior desconto? (e) Entre os primeiros 15 clientes, quantas crianças com 2 ou menos anos foram recebidas? (f) Quantos clientes irão ter 9% de desconto? 37

8 122. Organize as jornadas de um campeonato com: (a) 5 jogadores. (b) 6 jogadores Utilize a cifra de César para codificar as mensagens: (a) N~ao matem o mensageiro. (b) Tomorrow we attack the ship Utilize a cifra de César para descodificar as mensagens: (a) HXILC RPHXW SF. (b) DUHBR XVXUH? Faça uma tabela de (des)codificação cifra afim C 5P +8(mod26). Utilize esta cifra para: (a) codificar Traidor. (b) descodificar WVAHC VUWJA Descodifique as seguintes mensagens escritas em português que foram codificadas através de uma cifra afim C P +b(mod26): (a) ZMADQ BUFMQ EFMYQ ZEMSQ Y. (b) LZALA LSLMV ULLZA HZVIL ZJBAH. (c) JULNC GIMHI JLIRC GIXIG CHAI Descodifique as seguintes mensagens escritas em inglês que foram codificadas através de uma cifra afim C ap +b(mod26), sabendo que, num texto escrito em inglês, a letra mais frequente corresponde a E e a segunda mais frequente corresponde a T: (a) ASDTB YDXVJ AASDD WY. (b) XRWAO QXDJW CEWHX TWXXW JYHUH WHKTY QRXWZ XYQEQ EUTTG W. (c) USLEL JUTCC YRTPS URKLT YGGFV ELYUS LRYXD JURTU ULVCU URJRK QLLQL YXSRV LBRYZ CYREK LVEXB RYZDG HRGUS LJLLM LYPDJ LJTJU FALGU PTGVT JULYU SLDAL TJRWU SLJFE OLPU. 38