Um dos temas mais importantes do Cálculo é a análise das relações entre quantidades

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1 c a p í t u l o u m FUNÇÕES Esta jóia do pensamento matemático moderno, a noção de função. Thomas J. McCormack Ensaísta e Tradutor Científi co Um dos temas mais importantes do Cálculo é a análise das relações entre quantidades físicas ou matemáticas. Tais relações podem ser descritas em termos de gráficos, fórmulas, dados numéricos ou palavras. Neste capítulo, desenvolveremos o conceito de função, que é a idéia básica subjacente a quase todas as relações matemáticas e físicas, não importando como são epressas. Estudaremos as propriedades de algumas das funções mais básicas que ocorrem no Cálculo, incluindo as funções polinomiais, trigonométricas, trigonométricas inversas, eponenciais e logarítmicas. Para os leitores que gostariam de estudar as aplicações mais a fundo, fornecemos uma seção opcional que introduz o uso de curvas de regressão para modelar dados do mundo real. Concluímos o capítulo com uma discussão de curvas do plano que são melhor descritas utilizando um par de funções. (Esse material relativo a curvas paramétricas pode ser adiado até mais tarde, se for conveniente.) Foto: O desenvolvimento do Cálculo nos séculos XVII e XVIII foi motivado pela necessidade de entender fenômenos físicos como as marés, as fases da Lua, a natureza da luz e a gravidade.. FUNÇÕES Nesta seção definiremos e desenvolveremos o conceito de função, que é o objeto matemático básico utilizado por cientistas e matemáticos para descrever relações entre quantidades variáveis. As funções desempenham um papel central no Cálculo e em suas aplicações. DEFINIÇÃO DE UMA FUNÇÃO Muitas leis científicas e muitos princípios de Engenharia descrevem como uma quantidade depende de outra. Em 67, essa idéia foi formalizada por Leibniz, que cunhou o termo função para indicar a dependência de uma quantidade em relação a uma outra, conforme a definição a seguir... DEFINIÇÃO Se uma variável depende de uma variável de tal modo que cada valor de determina eatamente um valor de, então dizemos que é uma função de. Quatro maneiras usuais de representar funções são: Numericamente com tabelas Geometricamente com gráficos Algebricamente com fórmulas Verbalmente

2 Cálculo Tabela.. VELOCIDADES DE QUALIFICAÇÃO NAS 500 MILHAS DE INDIANÁPOLIS ANO t VELOCIDADE S (milhas/hora) 987 5, ,98 989, ,0 99, 99,8 99, ,0 995,60 996, ,6 998, ,79 000,7 00 6,07 00, 00,75 00,0 O método de representação muitas vezes depende de como surgiu a função. Por eemplo: A Tabela.. mostra a velocidade de qualificação S para a pole na corrida de 500 milhas de Indianápolis como uma função do ano t. Há eatamente um valor de S para cada valor de t. A Figura.. é um registro gráfico de um terremoto feito por um sismógrafo. O gráfico descreve a defleão D da agulha do sismógrafo como uma função do tempo T decorrido desde o instante em que o abalo deiou o epicentro do terremoto. Há eatamente um valor de D para cada valor de T. Algumas das mais conhecidas funções surgem de fórmulas; por eemplo, a fórmula C = πr epressa o comprimento da circunferência C de um círculo como uma função do raio r do círculo. Há eatamente um valor de C para cada valor de r. Algumas vezes, as funções são descritas em palavras. Por eemplo, a Lei da Gravitação Universal de Isaac Newton é, freqüentemente, enunciada da seguinte forma: A força gravitacional de atração entre dois corpos no Universo é diretamente proporcion al ao produto de suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre eles. Esta é a descrição verbal da fórmula: F = G m m r na qual F é a força de atração, m e m são as massas, r é a distância entre os corpos e G é uma constante. Se as massas são constantes, então a descrição verbal define F como uma função de r. Há eatamente um valor de F para cada valor de r. D Tempo do tremor de terra,8 minutos Chegada das Chegada das ondas P ondas S 9, minutos Ondas de superfície Tempo em minutos T Figura.. Entrada Figura.. Peso W (libras) Figura.. f Programa de Computador Saída Idade A (anos) Na metade do século XVIII, o matemático suíço Leohnard Euler (pronuncia-se oiler ) concebeu a idéia de denotar funções pelas letras do alfabeto, tornando possível, desse modo, trabalhar com funções sem apresentar fórmulas específicas, gráficos ou tabelas. Para entender a idéia de Euler, pense numa função como sendo um programa de computador que toma uma entrada, opera com ela de alguma forma e produz eatamente uma saída. O programa de computador é um objeto por si só, assim podemos dar-lhe um nome, digamos ƒ. Dessa forma, a função ƒ (o programa de computador) associa uma única saída a cada entrada (Figura..). Isso sugere a definição seguinte... DEFINIÇÃO Uma função ƒ é uma regra que associa uma única saída a cada entrada. Se a entrada for denotada por, então a saída é denotada por ƒ() (leia-se ƒ de ). Nessa definição, o termo única significa eatamente uma. Assim, uma função não pode produzir duas saídas diferentes com a mesma entrada. Por eemplo, a Figura.. mostra um gráfico de dispersão de pesos versus idade para uma amostra aleatória de 00

3 Capítulo / Funções estudantes universitários. Esse gráfico de dispersão não descreve o peso W como uma função da idade A, pois há alguns valores de A com mais de um valor correspondente de W. Isso é esperado, uma vez que duas pessoas com a mesma idade não têm, necessariamente, o mesmo peso. Tabela VARIÁVEIS INDEPENDENTES E DEPENDENTES Para uma dada entrada, a saída de uma função f é denominada valor de f em, ou imagem de por f. Muitas vezes denotamos a saída de uma função por uma letra, digamos, e escrevemos = f() Essa equação epressa como uma função de ; a variável é denominada variável independente ou argumento de f, e a variável é denominada variável dependente de f. Essa terminologia tem o objetivo de sugerir que está livre para variar, mas, uma vez dado um valor específico para, o valor correspondente de está determinado. Por enquanto, consideramos apenas funções em que as variáveis independente e dependente são números reais, caso em que dizemos que f é uma função real de uma variável real. Adiante consideraremos outros tipos de funções. Eemplo A Tabela.. descreve a relação funcional = f() em que ƒ(0) = ƒ associa = a = 0 ƒ() = ƒ associa = a = ƒ() = ƒ associa = a = ƒ() = 6 ƒ associa = 6 a = Eemplo A equação = + está na forma = f() em que a função f é dada pela fórmula f() = + Leonhard Euler (707-78) Euler foi, provavelmente, o mais prolífico de todos os matemáticos. Foi dito que Euler fazia matemática tão facilmente quanto a maioria dos homens respira. Ele nasceu em Basel, Suíça, e era filho de um ministro protestante, o qual, por sua vez, já estudara Matemática. O gênio de Euler se desenvolveu cedo. Ele freqüentou a Universidade de Basel e, aos 6 anos, Obteve simultaneamente os títulos de Bacharel em Artes e Mestre em Filosofia. Enquanto estava em Basel, teve a sorte de ser orientado um dia por semana pelo notável matemático Johann Bernoulli. Sob a pressão do pai, começou a estudar Teologia. Contudo, o fascínio pela Matemática era muito grande e, aos 8 anos, começou a pesquisar. Não obstante, a influência do pai era muito forte e seus estudos teológicos persistiram, e assim por toda a vida Euler foi profundamente religioso e simples. Em períodos diferentes, lecionou na Academia de Ciências de São Petersburgo (Rússia), na Universidade de Basel e na Academia de Ciências de Berlim. A energia e a capacidade de trabalho de Euler eram praticamente ilimitadas. Seus trabalhos acumulados formam mais de 00 volumes in-quarto (folha de papel dobrada duas vezes) e acredita-se que muito de seu trabalho tenha sido perdido. É particularmente espantoso que nos últimos 7 anos de sua vida, quando mais produziu, estava cego! A memória impecável de Euler era fenomenal. Mais cedo em sua vida, memorizou a Eneida de Virgílio e, com 70 anos, era capaz de recitar a obra inteira. Além disso, podia dar a primeira e a última sentença de cada página do livro memorizado. Sua habilidade em resolver problemas de cabeça era inacreditável. Ele solucionava de cabeça grandes problemas do movimento lunar que frustravam Isaac Newton e, em certa ocasião, fez um complicado cálculo de cabeça para encerrar uma discussão entre dois estudantes, cujos cálculos diferiam na qüinquagésima casa decimal. A partir de Leibniz e Newton, os resultados em Matemática se desenvolveram rápida e desordenadamente. O gênio de Euler deu uma coerência à paisagem Matemática. Ele foi o primeiro matemático a trazer toda a força do Cálculo para resolver problemas da Física. Ele fez contribuições importantes a virtualmente todos os ramos da Matemática bem como à teoria da óptica, dos movimentos planetários, da eletricidade, do magnetismo e da mecânica geral.

4 Cálculo Para cada entrada, a saída correspondente é obtida substituindo nessa fórmula. f(0) = (0) (0) + = ƒ associa = a = 0 f(,7) = (,7) (,7) + = 7,7 ƒ associa = 7,7 a =,7 f( ) = ( ) + = 8 ƒ associa = 8 a = GRÁFICOS DE FUNÇÕES Se ƒ for uma função de uma variável real a valores reais, então o gráfico de ƒ no plano é definido como sendo o gráfico da equação = ƒ(). Por eemplo, o gráfico da função ƒ()= é o gráfico da equação = que aparece na Figura... Essa figura também mostra os gráficos de algumas outras funções básicas, possivelmente conhecidos. Na próima seção, vamos discutir técnicas para a construção de gráficos de funções usando computadores e calculadoras. Como é imaginário para valores negativos de, não há pontos no gráfi co de = na região em que < 0. = 7 6 = 8 6 = = / Figura = = f() (, f()) = f() Figura..5 A coordenada de um ponto no gráfico de = f() é o valor de f na coordenada correspondente. Os gráficos podem fornecer informação visual importante sobre uma função. Por eemplo, como o gráfico de uma função f no plano é o gráfico da equação = f(), os pontos do gráfico são da forma (, f()), ou seja, a coordenada de um ponto do gráfico de f é o valor de f na coordenada correspondente (Figura..5). Os valores de para os quais f() = 0 são as coordenadas dos pontos nos quais o gráfico de f intersecta o eio (Figura..6). Esses valores são denominados zeros de f, raízes de f() = 0 ou pontos de corte de = f() com o eio. O TESTE DA RETA VERTICAL Nem toda curva no plano é o gráfico de uma função. Por eemplo, considere a curva na Figura..7, que é cortada em dois pontos distintos (a, b) e (a, c) por uma reta vertical. Essa curva não pode ser o gráfico de = ƒ(), qualquer que seja a função ƒ; pois senão teríamos ƒ(a) = b e ƒ(a) = c

5 Capítulo / Funções 5 = f() o que é impossível, uma vez que ƒ não pode atribuir dois valores diferentes para a. Assim, não eiste uma função ƒ cujo gráfico seja a curva dada. Isso ilustra o seguinte resultado geral, denominado teste da reta vertical. 0 Figura..6 f tem zeros em, 0, e. (a, c) (a, b) a Figura..7 Esta curva não pode ser o gráfico de uma função. Veja no Apêndice G da internet uma revisão sobre círculos... TESTE DA RETA VERTICAL Uma curva no plano é o gráfi co de alguma função ƒ se e somente se nenhuma reta vertical intersecta a curva mais de uma vez. Eemplo O gráfico da equação + = 5 () é um círculo de raio 5, centrado na origem, e assim eistem retas verticais que cortam o gráfico mais de uma vez. Isso também pode ser visto algebricamente resolvendo () para em termos de : =± 5 Essa equação não define como uma função de, pois o lado direito tem valores múltiplos no sentido de que um valor de no intervalo ( 5, 5) produz dois valores correspondentes de. Por eemplo, se =, então = ±, assim (, ) e (, ) são dois pontos do círculo na mesma reta vertical (Figura..8). Entretanto, se considerarmos o círculo como a união dos dois semicírculos: = 5 e = 5 cada um dos quais define como uma função de (Figura..9). + = 5 6 (, ) 6 = 5 6 = (, ) Figura..8 Figura..9 A união dos semicírculos é o círculo completo. A FUNÇÃO VALOR ABSOLUTO Lembre-se de que o valor absoluto ou grandeza de um número real é definido por Símbolos tais como + e são enganosos, uma vez que é tentador concluir ser + positivo e negativo. Porém, isso não precisa ser assim, pois pode ser positivo ou negativo. Por eemplo, se for negativo, digamos =, então = é positivo e + = é negativo. = {, 0, < 0 O efeito de considerar o valor absoluto de um número é tirar fora o sinal menos, se o número for negativo, ou deiá-lo como está, se for não-negativo. Assim, 5 =5, =, 0 =0 7 7 Uma discusão mais detalhada das propriedades de valor absoluto é dada no Apêndice E da internet. Porém, por conveniência, vamos dar o resumo a seguir de suas propriedades algébricas.

6 6 Cálculo.. PROPRIEDADES DO VALOR ABSOLUTO Se a e b são números reais, então (a) a = a Um número e seu negativo têm o mesmo valor absoluto. (b) ab = a b O valor absoluto de um produto é igual ao produto dos valores absolutos. (c) a/b = a / b,b =0 O valor absoluto de uma razão é a razão dos valores absolutos. (d) a + b a + b A desigualdade triangular. 5 = Figura..0 DOMÍNIO DA TECNOLOGIA Verifi que () usando uma calculadora gráfi ca para mostrar que as equações = e = têm o mesmo gráfi co. O gráfico da função ƒ() = pode ser obtido representando separadamente as duas partes da equação {, 0 =, < 0 Para 0, o gráfico de = é o raio de inclinação com seu ponto final na origem e, para < 0, o gráfico de = é o raio de inclinação também com seu ponto final na origem. Combinando as duas partes, obtemos o gráfico em forma de V da Figura..0. Valores absolutos guardam relações importantes com raízes quadradas. Para ver isso, lembre-se de que, pela Álgebra, todo número real positivo tem duas raízes quadradas, uma positiva e a outra negativa. Por definição, o símbolo denota a raiz quadrada positiva de. Para denotar a raiz quadrada negativa, precisamos escrever. Por eemplo, a raiz quadrada positiva de 9 é 9 =, enquanto a raiz quadrada negativa é 9 =. (Não cometa o erro de escrever 9 =±.) Ao simplificar as epressões da forma é necessário cuidado, pois nem sempre é verdade que =. Essa equação é correta se for não-negativo, porém falsa para negativo. Por eemplo, se =, então = ( ) = 6 = = Uma afirmação que é correta para todos os valores reais de é = () FUNÇÕES DEFINIDAS POR PARTES A função valor absoluto ƒ() = é um eemplo de uma função definida por partes, no sentido de que a fórmula para ƒ muda dependendo do valor de. Eemplo Esboce o gráfico da função definida por partes pela fórmula 0, f() =, <<, - Figura.. - Solução A fórmula para ƒ muda nos pontos = e = (denominados pontos de mudança para a fórmula). Um bom procedimento para elaborar os gráficos de funções definidas por partes é fazê-lo separadamente sobre os intervalos determinados pelos pontos de mudança e depois nos próprios pontos. Para a função ƒ deste eemplo, o gráfico é o segmento da reta horizontal = 0 sobre o intervalo (, ), o semicírculo = sobre o intervalo (, ) e o segmento da reta = sobre o intervalo (, + ). A fórmula para ƒ especifica que a equação = 0 se aplica ao ponto de mudança [assim, = ƒ( ) = 0] e que a equação = se aplica ao ponto de mudança [assim, = ƒ() = ]. O gráfico de ƒ está na Figura...

7 Capítulo / Funções 7 Na Figura.., no ponto de mudança =, a bola sólida está na reta enquanto a bola vazia está no semicírculo, enfatizando que o ponto está na reta e não no semicírculo. Não há ambigüidade no ponto =, pois as duas partes do gráfi co juntam-se continuamente aí. Eemplo 5 Aumentando a velocidade na qual o ar passa sobre a pele de uma pessoa, aumenta também a taa de evaporação da umidade da pele, produzindo uma sensação de resfriamento. (Por isso utilizamos ventiladores no verão.) O índice de sensação térmica em um dado instante (definido pelo Serviço Nacional de Meteorologia dos EUA) é a temperatura em graus Fahrenheit a uma velocidade de vento de milhas por hora que produziria a mesma sensação de resfriamento sobre a pele eposta que a combinação de temperatura do ar e velocidade do vento no dado instante. Uma fórmula empírica, isto é, baseada em dados eperimentais, para o índice de sensação térmica W a F com uma velocidade do vento de v milhas por hora é {, 0 v W = 0,6 55,68,07v, <v Um gráfico de W(v) gerado por computador é dado na Figura... Sensação térmica W (ºF) Velocidade v (milhas/h) Figura.. Sensação térmica versus velocidade do vento a ºF. Poder-se-ia argumentar que um quadrado físico não pode ter um lado de comprimento nulo. Contudo, muitas vezes é matematicamente conveniente permitir comprimentos iguais a zero, e assim o faremos neste teto. DOMÍNIO E IMAGEM Se e estão relacionados pela equação = f(), então o conjunto de todas as entradas permitidas (os valores de ) é denominado domínio de f, e o conjunto de todas as saídas (os valores de ) que resultam quando varia sobre o domínio é denominado imagem de f. Por eemplo, se f é a função definida pela tabela no Eemplo, então o domínio é o conjunto {0,,, } e a imagem é o conjunto {,,, 6}. Às vezes, considerações físicas ou geométricas impõem restrições sobre as entradas permissíveis de uma função. Por eemplo, se denota a área de um quadrado de lado, então essas variáveis estão relacionadas pela equação =. Embora essa equação produza um único valor de para cada número real, o fato de que os comprimentos devem ser números não-negativos impõe a eigência que 0. Quando uma função está definida por uma fórmula matemática, a fórmula em si pode impor restrições sobre as entradas permissíveis. Por eemplo, se = /, então = 0 não é uma entrada válida, pois divisão por zero não está definida, e se =,, então valores negativos de não são entradas válidas, pois produzem valores imaginários de e havíamos concordado em considerar somente funções reais de variável real. Em geral, temos a seguinte definição...5 DEFINIÇÃO Se uma função de variável real a valores reais for definida por uma fórmula e se não houver um domínio eplicitado, então deve ser entendido que o domínio consiste em todos os números reais para os quais a fórmula dê lugar a um valor real. Isso é denominado domínio natural da função.

8 8 Cálculo Imagem = f() Domínio Figura.. A projeção de = f() sobre o eio é o conjunto de valores permissíveis para f e a projeção sobre o eio é o conjunto de valores correspondentes. Veja no Apêndice A uma revisão sobre trigonometria. O domínio e a imagem de uma função f podem ser identificados projetando o gráfico de = f() sobre os eios coordenados, como mostra a Figura... Eemplo 6 Encontre o domínio natural de (a) ƒ () = (b) f() = /[( )( )] (c) ƒ () = tg (d) f() = Solução (a) A função ƒ tem valores reais para todo real, assim seu domínio natural é o intervalo (, + ). Solução (b) A função ƒ tem valores reais para todo real, eceto = e =, onde ocorrem divisões por zero. Dessa forma, o domínio natural é { : = e = } =(, ) (, ) (, + ) Solução (c) Uma vez que ƒ() = tg = sen / cos, a função ƒ tem valores reais eceto onde cos = 0, e isso ocorre quando for um múltiplo inteiro ímpar de π/. Assim, o domínio natural consiste em todos os números reais, eceto =± π, ±π, ±5π,... = Solução (d) A função ƒ tem valores reais, eceto quando a epressão dentro do radical for negativa. Assim, o domínio natural consiste em todos os números reais tais que = ( )( ) 0 Essa desigualdade é satisfeita se ou (verifique), de modo que o domínio natural de ƒ é (, ] [, + ) =, 0 Em alguns casos eplicitamos o domínio ao definir uma função. Por eemplo, se f() = é a área de um quadrado de lado, então podemos escrever f() =, 0 para indicar que tomamos o domínio de f como sendo o conjunto dos números reais não-negativos (Figura..). Figura.. O EFEITO DE OPERAÇÕES ALGÉBRICAS SOBRE O DOMÍNIO Epressões algébricas são, freqüentemente, simplificadas cancelando fatores comuns no numerador e no denominador. Entretanto, deve-se tomar cuidado com tais simplificações, pois elas podem alterar o domínio. Eemplo 7 O domínio natural da função f() = consiste em todos números reais, eceto =. Contudo, fatorando o numerador e cancelando o fator comum ao numerador e ao denominador, obtemos f() = ( )( + ) () = + ()

9 Capítulo / Funções = Figura..5 5 (a) (b) = Figura..6 5 = Figura..7 + = Como o lado direito de () tem um valor de f() =, mas f() não está definido em (), vemos que a simplificação algébrica alterou a função. Geometricamente, o gráfico de () é a reta da Figura..5a, enquanto o gráfico de () é a mesma reta, mas com um buraco em =, já que a função não está definida nesse ponto (Figura..5b). Resumindo, o efeito geométrico do cancelamento algébrico foi eliminar um buraco do gráfico original. As alterações no domínio de uma função que resultam de simplificações algébricas são, às vezes, irrelevantes para o problema que estamos tratando, podendo ser ignoradas. Contudo, se o domínio deve ser preservado, devemos impor eplicitamente as restrições sobre a função simplificada. Por eemplo, se quisermos preservar o domínio da função no Eemplo 7, devemos epressar a forma simplificada da função como Eemplo 8 f() = +, = Encontre o domínio e a imagem de (a) f() = + (b) f() = ( + )/( ) Solução (a) Como nenhum domínio foi eplicitado, o domínio de ƒ é o domínio natural [, + ). À medida que varia sobre o intervalo [, + ), o valor de varia sobre o intervalo [0, + ); assim, o valor de f() = + varia sobre o intervalo [, + ), que é a imagem de ƒ. O domínio e a imagem estão destacados nos eios e da Figura..6. Solução (b) A função ƒ dada está definida para todos os reais, eceto = ; assim, o domínio natural de ƒ é { : = } =(, ) (, + ) Para determinar a imagem, é conveniente introduzir uma variável dependente = + Embora o conjunto de valores possíveis de não seja imediatamente evidente dessa equação, o gráfico de (5), que aparece na Figura..7, sugere que a imagem de ƒ consiste em todos, eceto os reais =. Para ver isso, vamos resolver (5) para em termos de : ( ) = + = + = + ( ) = + = + Agora fica evidente pelo segundo membro da equação que = não está na imagem; caso contrário, teríamos uma divisão por zero. Nenhum outro valor de é ecluído por essa equação; dessa forma, a imagem da função ƒ é { : = } =(, ) (, + ),, que está de acordo com o resultado obtido graficamente. (5) O DOMÍNIO E A IMAGEM EM PROBLEMAS APLICADOS Em aplicações, considerações físicas freqüentemente impõem restrições sobre o domínio e a imagem de uma função.

10 0 Cálculo Eemplo 9 Uma caiinha aberta é feita de pedaços de papelão com 6 por 0 cm, cortando fora quadrados do mesmo tamanho dos quatro cantos e dobrando para cima os lados (Figura..8a). (a) Seja V o volume da caia que resulta quando os quadrados tiverem lados de comprimento. Determine uma fórmula para V como uma função de. (b) Encontre o domínio de V. (c) Use o gráfico de V dado na Figura..8c para estimar a imagem de V. (d) Descreva em palavras o que o gráfico diz sobre o volume. Solução (a) Conforme mostra a Figura..8b, a caia resultante tem dimensões 6 por 0 por, logo o volume V() é dado por V()= (6 )(0 ) = Solução (b) O domínio é o conjunto dos valores de, enquanto a imagem é o conjunto dos valores de V. Uma vez que é uma medida de comprimento, deve ser não-negativa, e uma vez que não podemos cortar quadrados com lados maiores do que 8 cm (por quê?), os valores de no domínio devem satisfazer 0 8 Solução (c) A partir do gráfico de V versus na Figura..8c, estimamos que os valores de V na imagem satisfazem 0 V 75 Note que se trata de uma aproimação. Mais adiante mostraremos como determinar eatamente a imagem. Solução (d) O gráfico nos mostra que a caia com volume máimo ocorre para um valor de entre e cm e que o volume máimo é de aproimadamente 75 cm. Além disso, o volume decresce em direção a zero quando se aproima de 0 ou 8. 6 cm 0 cm 0 6 Volume V da caia (cm ) Lado do quadrado cortado (cm) Figura..8 (a) (b) (c) Nas aplicações que envolvem tempo, as fórmulas para as funções são, freqüentemente, epressas em termos de uma variável t, cujo valor inicial é considerado como sendo t = 0. Eemplo 0 Às 8h05min da manhã, um carro é detectado a uma velocidade de 0 m/s por um radar que está posicionado no acostamento de uma estrada reta. Supondo que o carro mantenha uma velocidade constante entre 8h05min e 8h06min da manhã, determine uma função D(t) que epresse a distância percorrida pelo carro durante esse intervalo de tempo, como uma função do tempo t.

11 Capítulo / Funções Distância D (m) Figura..9 Figura..0 Rastreamento pelo radar h05min Tempo t (s) 8h06min O círculo está achatado porque unidade no eio é menor do que unidade no eio. Nas aplicações em que as variáveis sobre os dois eios têm unidades não-relacionadas (p.e., centímetros sobre o eio e segundos sobre o eio ), então nada se obtém requerendo que as unidades tenham igual comprimento; escolha os comprimentos que tornem o gráfi co tão claro quanto possível. Solução Seria incômodo usar como variável t o tempo em horas; assim, vamos medir o tempo decorrido em segundos, começando com t = 0 às 8h05min e terminando com t = 60 às 8h06min. Em cada instante, a distância percorrida (em metros) é igual à velocidade do carro (em metros por segundo) multiplicada pelo tempo decorrido (em segundos). Então, D(t) = 0t, O gráfico de D versus t está na Figura t 60 QUESTÕES DE ESCALAS E DE UNIDADES Em problemas geométricos nos quais desejamos preservar a verdadeira forma de um gráfico, é necessário usar unidades de igual comprimento em ambos os eios. Por eemplo, fazendo o gráfico de um círculo em um sistema de coordenadas em que a unidade no eio dos é menor do que a unidade no eio dos, o círculo será achatado verticalmente, resultando em uma elipse (Figura..0). Também devemos usar unidades iguais quando aplicamos a fórmula da distância: d = ( ) + ( ) para calcular a distância entre os pontos (, ) e (, ) no plano. Porém, há situações nas quais é inconveniente ou impossível apresentar um gráfico usando unidades de igual comprimento. Por eemplo, consideremos a equação = Se quisermos mostrar a parte do gráfico no intervalo, então não há problemas em usar unidades iguais, pois varia somente entre 0 e 9 naquele intervalo. Entretanto, se quisermos mostrar a parte do gráfico sobre o intervalo 0 0, então ocorre um problema em manter unidades de igual comprimento, uma vez que os valores de variam entre 0 e 00. Nesse caso, a única maneira razoável de mostrar todo o gráfico sobre o intervalo 0 0 é comprimir a unidade de comprimento ao longo do eio, conforme ilustrado na Figura... Figura EXERCÍCIOS DE COMPREENSÃO. (Ver página 6 para respostas.). Seja f() = + +. (a) O domínio natural de f é. (b) f () =. (c) f (t ) =. (d) f () = 7 se =. (e) A imagem de f é.. Os segmentos de retas no plano formam letras, conforme indicado. (a) Se o eio é paralelo à letra I, quais das letras representam o gráfico de = f() para alguma função f?

12 Cálculo (b) Se o eio é perpendicular à letra I, quais das letras representam o gráfico de = f() para alguma função f?. Use o gráfico de = f() em aneo para completar cada item. (a) O domínio de f é. (b) A imagem de f é. (c) f ( ( ) =. (d) f ) =. (e) As soluções de f () = são = e = A tabela a seguir dá a previsão de cinco dias de temperaturas máimas e mínimas em graus Celsius ( C). SEGUNDA TERÇA QUARTA QUINTA SEXTA MÁXIMA MÍNIMA (a) Suponha que e denotem, respectivamente, as previsões de temperaturas máima e mínima para cada um dos cinco dias. Será uma função de? Se for, dê o domínio e a imagem dessa função. (b) Suponha que e denotem, respectivamente, as previsões de temperaturas mínima e máima para cada um dos cinco dias. Será uma função de? Se for, dê o domínio e a imagem dessa função. 5. Sejam c, l e A o comprimento, a largura e a área de um retângulo, respectivamente, e suponha que a largura do retângulo seja a metade do comprimento. (a) Se c é epresso como uma função de l, então c =. (b) Se A é epressa como uma função de c, então A =. (c) Se l é epressa como uma função de A, então l =. EXERCÍCIOS. Recurso Gráfi co. Use o gráfico abaio para responder as seguintes questões, fazendo aproimações razoáveis onde for necessário. (a) Para quais valores de vale =? (b) Para quais valores de vale =? (c) Para quais valores de vale =? (d) Para quais valores de vale 0? (e) Quais são os valores máimo e mínimo de e em quais valores de eles ocorrem?. Em cada parte da figura abaio, determine se o gráfico define como uma função de. (a) (b) Figura E-. Use a tabela abaio para responder as questões propostas no Eercício. Tabela E (c) Figura E- (d). Em cada parte, compare os domínios naturais de f e de g. (a) f() = + + ; g() = (b) f() = + ; g() = +

13 Capítulo / Funções ENFOCANDO CONCEITOS (b) Quando a renda média atingiu seu valor mínimo e qual foi a renda média quando isso ocorreu? Cigarros 5. Use o gráfico do consumo de cigarros na figura abaio para responder as seguintes questões, fazendo aproimações razoáveis onde for necessário. (a) Quando o consumo anual de cigarros atingiu mil por adulto pela primeira vez? (b) Quando o consumo anual de cigarros por adulto atingiu seu ponto mais alto e qual seu valor? (c) A partir do gráfico, pode-se saber quantos cigarros foram consumidos em um dado ano? Se não, quais informações adicionais você precisaria para fazer essa determinação? (d) Quais os fatores prováveis do aumento do consumo anual de cigarros por adulto? (e) Quais os fatores prováveis do declínio no consumo anual de cigarros por adulto? Fonte: U.S. Department of Health and Human Services. Figura E-5 CONSUMO ANUAL DE CIGARROS POR ADULTO - EUA Começa o marketing maciço dos cigarros de Fim dos Desmobilização Guerra filtro anúncios pós-guerra da Coréia transmitidos Taa federal dobrada Grande depressão Segunda Guerra Relatórios iniciais vinculando o cigarro ao câncer Doutrina da moderação Primeiro relatório do Departamento de Saúde Não-fumantes começam a eigir direitos Advertências alternadas nos maços (c) A renda média estava diminuindo durante os dois anos do período entre 999 e 00. Ela estava diminuindo mais rapidamente durante o primeiro ou o segundo ano daquele período? Eplique seu raciocínio. Renda Familiar Média nos EUA Fonte: U.S. Census Bureau, Jul 00 Figura E-7 Renda Familiar Média nos EUA em Milhares de Dólares Constantes de Use o gráfico da renda média do Eercício 7 para responder as seguintes questões, fazendo aproimações razoáveis onde for necessário. (a) Qual foi o crescimento anual médio da renda média entre 99 e 999? (b) A renda média cresceu durante o período de seis anos entre 99 e 999. A renda média cresceu mais rapidamente durante os três primeiros anos ou durante os últimos três anos desse período? Eplique seu raciocínio. (c) Considere a afirmação: Depois de anos de declínio, a renda média deste ano foi finalmente maior do que a do ano passado. Em que ano essa afirmação estaria correta? 6. Use o gráfico do consumo de cigarros do Eercício 5 para responder as seguintes questões, fazendo aproimações razoáveis onde for necessário. (a) Quando o consumo anual de cigarros caiu para mil por adulto? (b) Entre o ano do primeiro relatório do Departamento de Saúde e o ano de 970, quando foi atingido o mínimo do consumo anual de cigarros por adulto? (c) O que foi maior, a taa de crescimento do consumo per capita de cigarros durante a Segunda Guerra ou a taa de crescimento entre o fim da Segunda Guerra e o começo da Guerra da Coréia? (d) Há indícios de que o consumo per capita de cigarros vá acabar caindo aos níveis anteriores da Segunda Guerra? 7. O gráfico a seguir mostra a renda familiar média nos EUA (ajustada pela inflação) entre 985 e 00. Use-o para responder as seguintes questões, fazendo aproimações razoáveis onde for necessário. (a) Quando a renda média atingiu seu valor máimo e qual foi a renda média quando isso ocorreu? 9. Encontre f(0), f(), f( ), f(), f( ) e f(t). (a) f() = (b) f() =, >, 0. Encontre g(), g( ), g(π), g(,) e g(t ). (a) g() = + (b) g() = { +,, < - Determine o domínio natural da função algebricamente e confirme seu resultado com o gráfico produzido por seus recursos de fazer gráficos. [Nota: Ajuste seu recurso gráfico para radianos quando se tratar de funções trigonométricas.]. (a) f() = (b) g() = (c) G() = + 5 (d) f() = (e) h() = sen

14 Cálculo. (a) f() = (b) h() = (c) G() = (d) f() = + (e) h() = cos. (a) f() = (b) g() = (c) h() = + (d) G() = + (e) H () = sen. (a) f() = (b) g() = 9 (c) h() = + (d) G() = (e) H() = sen ENFOCANDO CONCEITOS 5. (a) Se você tivesse uma máquina que pudesse registrar a população mundial continuamente, você esperaria obter um gráfico da população versus o tempo que fosse uma curva contínua (não-interrompida)? Eplique o que poderia causar interrupções na curva. (b) Suponha que um paciente de um hospital receba uma injeção de um antibiótico a cada oito horas e que entre as injeções a concentração C de antibiótico na corrente sangüínea decresce à medida que ele é absorvido pelos tecidos. Como poderia ser o gráfico de C versus o tempo decorrido? 6. (a) Caso você tivesse uma máquina que pudesse medir a temperatura de um quarto continuamente por um período de horas, você esperaria obter um gráfico contínuo (não-quebrado) da temperatura versus o tempo? Eplique seu raciocínio. (b) Se você tivesse um computador que pudesse acompanhar continuamente o número de caias de cereal nas prateleiras de um supermercado durante uma semana, você esperaria obter um gráfico de curva contínua (sem interrupções) do número de caias versus o tempo? Eplique seu raciocínio. 7. Um bote balança para cima e para baio sob a ação de ondas fracas. De repente é atingido por uma onda grande e afunda. Esboce um gráfico aproimado da altura do bote acima do fundo do mar como uma função do tempo. 8. Um copo com café quente está sobre a mesa. Você despeja leite frio nele e espera por uma hora. Esboce um gráfico aproimado da temperatura do café como uma função do tempo. 0. Use a equação = + para responder as seguintes questões. (a) Para quais valores de vale =? (b) Para quais valores de vale = 0? (c) Para quais valores de vale 6? (d) Terá um valor mínimo? Um valor máimo? Se assim for, determine-os.. Conforme mostra a figura abaio, um pêndulo de comprimento constante L faz um ângulo θ com sua posição vertical. Epresse a altura h como uma função do ângulo θ.. Epresse o comprimento L da corda de um círculo com raio de 0 cm como função do ângulo central θ (veja a figura abaio). L u Figura E- h L u Figura E- 0 cm - Epresse a função na forma por partes, sem usar valores absolutos. [Sugestão: Pode ser útil gerar o gráfico da função.]. (a) f() = + + (b) g() = +. (a) f() = + 5 (b) g() = + 5. Conforme mostra a figura abaio, uma caia aberta deve ser construída de uma folha retangular de metal com 8 por 5 cm, cortando fora quadrados com lados de comprimento de cada canto e dobrando os lados. (a) Epresse o volume V como uma função de. (b) Encontre o domínio de V. (c) Esboce o gráfico da função V obtida em (a) e estime a imagem dessa função. (d) Com palavras, descreva como o volume V da caia varia com e discuta como poderiam ser construídas caias com volumes máimo e mínimo. 8 cm 5 cm 9. Use a equação = para responder as questões. (a) Para quais valores de vale = 0? (b) Para quais valores de vale = 0? (c) Para quais valores de vale 0? (d) Terá um valor mínimo? Um valor máimo? Se assim for, determine-os. Figura E-5 6. Repita o Eercício 5 supondo que a caia seja construída da mesma maneira a partir de uma folha quadrada de metal com 6 cm de lado.

15 Capítulo / Funções 5 7. Uma firma de construções acrescentou uma área retangular de mil metros quadrados à sua sede. Três lados da área estão cercados. O lado da sede que é adjacente à área mede 00 metros e uma parte desse lado é utilizada como o quarto lado da área acrescentada. Sejam e as dimensões da área retangular, onde é medido paralelamente à sede, e L o comprimento da cerca necessária para essas dimensões. (a) Encontre uma fórmula para L em termos de e. (b) Encontre uma fórmula que epresse L somente em termos de. (c) Qual é o domínio da função em (b)? (d) Esboce o gráfico da função em (b) e estime as dimensões da área retangular que minimizem a quantidade de cerca necessária. 8. Conforme mostra a figura abaio, uma câmara é montada em um ponto a 900 m da base de lançamento de um foguete. Quando lançado, o foguete sobe verticalmente e o ângulo de elevação da câmera é constantemente ajustado para seguir a base do foguete. (a) Epresse a altura como uma função do ângulo de elevação. (b) Determine o domínio da função em (a). (c) Gere o gráfico da função em (a) e use-o para estimar a altura do foguete, quando seu ângulo de elevação for π/ 0,785 radianos. Compare essa estimativa com a altura eata. [Sugestão: Numa calculadora gráfica, use as características trace e zoom, que são úteis.] Câmera Camera u mft Foguete Rocket Figura E-8 9. Uma companhia de sopa deseja fabricar uma lata na forma de um cilindro circular reto que tenha capacidade para 500 cm de líquido. O material para a tampa e a base custa 0,0 centavos/cm, enquanto o material para a lateral custa 0,0 centavo/cm. (a) Estime o raio r e a altura h da lata que custa menos para ser fabricada. [Sugestão: Epresse o custo C em termos de r.] (b) Suponha que a tampa e a base de raio r são tiradas de folhas quadradas, cujos lados têm comprimento r, e os retalhos são descartados. Levando em conta o custo das folhas quadradas, você esperaria que o custo da lata de menor custo seja maior ou menor do que em (a)? Eplique. (c) Estime o raio, a altura e o custo da lata em (b) e determine se sua conjectura estava certa. 0. Um construtor de dependências esportivas quer colocar uma pista de corrida de um quarto de milha 96 metros em torno de um campo de futebol americano, conforme a figura a seguir. O campo de futebol tem 08 metros de comprimento (incluindo as zonas finais) por 8 metros de largura. A pista consta de duas retas e dois semicírculos. (a) Mostre que é possível construir a pista de um quarto de milha em torno do campo de futebol. [Sugestão: Encontre a menor pista que pode ser construída em torno do campo de futebol.] (b) Seja L o comprimento de uma das partes retas (em metros) e uma distância (em metros) entre a lateral do campo e a parte reta da pista. Faça um gráfico de L versus. (c) Use o gráfico para estimar o valor de que produz a parte reta mais curta e então ache eatamente esse valor. (d) Use o gráfico para estimar o comprimento da maior parte reta possível e encontre eatamente esse comprimento. 8m Figura E-0 08m - (i) Eplique por que a função ƒ tem um ou mais buracos em seu gráfico e estabeleça os valores de nos quais esses buracos ocorrem. (ii) Determine uma função g cujo gráfico seja idêntico ao de ƒ, mas sem buracos.. f() = ( + )( ) ( + )( ). f() = +. Em 00, o Serviço Nacional de Meteorologia dos EUA introduziu um novo índice de sensação térmica (WCT). Para uma dada temperatura eterna T em graus Fahrenheit e velocidade do vento igual a v milhas por hora, o índice de sensação térmica WCT é a temperatura em graus Fahrenheit a uma velocidade de vento de milhas por hora que produziria a mesma sensação de resfriamento sobre a pele eposta que a combinação de temperatura eterna T e velocidade do vento v. Utilizando um modelo mais preciso de resfriamento devido ao vento, a nova fórmula é dada por { T, 0 v WCT = 5,7 + 0,65T 5,75v 0,6 + 0,75Tv 0,6, <v onde T é a temperatura em F, v é a velocidade do vento em milhas por hora e WCT é a temperatura equivalente em F. Encontre o índice de sensação térmica até o grau mais próimo se T = 5 F e (a) v = milhas/hora (b) v = 5 milhas/hora (c) v = 6 milhas/hora Fonte: Adaptado de UMAP Module 658, Windchill, de W. Bosch e L. Coob, COMAP, Arlington, MA. -6 Use a fórmula para o índice de sensação térmica descrita no Eercício.. Encontre a temperatura do ar até o grau mais próimo se o WCT for de 60ºF e a velocidade do vento for de 8 milhas/h.

16 6 Cálculo 5. Encontre a temperatura do ar até o grau mais próimo se o WCT for de 0ºF e a velocidade do vento for de 8 milhas/h. 6. Encontre a velocidade do vento até a milha por hora mais próima se o WCT for de 5ºF com uma temperatura do ar de 0ºF. RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS DE COMPREENSÃO.. (a) [, + ) (b) 6 (c) t + (d) 8 (e) [, + ). (a) M (b) I. (a) (, ] (b) [, ] (c) (d) (e) ;. (a) sim; domínio: {5, 9,,, 5}; imagem: {, 5, 6, 8} (b) não 5. (a) c = l (b) A = c / (c) l = A/. GRÁFICOS DE FUNÇÕES UTILIZANDO CALCULADORAS E RECURSOS COMPUTACIONAIS Nesta seção discutiremos questões relacionadas à geração de gráfi cos de equações e de funções com recursos gráfi cos (calculadoras gráfi cas e computadores). Como os recursos gráfi cos variam amplamente, é difícil fazer afi rmações gerais sobre eles. Assim, em vários lugares desta seção pediremos ao leitor que localize em seu próprio recurso gráfi co detalhes específi cos sobre como ele opera. CALCULADORAS GRÁFICAS E SISTEMAS ALGÉBRICOS COMPUTACIONAIS O desenvolvimento de novas tecnologias tem mudado significativamente como e onde matemáticos, engenheiros e cientistas eecutam seu trabalho, bem como sua abordagem na solução de problemas. Entre as mais significativas inovações estão os programas designados por Sistemas Algébricos Computacionais (CAS), cujos eemplos mais comuns são o Mathematica, o Maple e o Derive. Os sistemas algébricos computacionais não apenas têm capacidade gráfica, mas, como o nome sugere, podem eecutar muitos dos cálculos simbólicos que ocorrem na Álgebra, no Cálculo e na Matemática Superior. Por eemplo, é trivial para um CAS eecutar a fatoração = ( + 5) ( ) ( + 8) ou a computação numérica eata ( ) = A tecnologia também tornou possível gerar, em segundos, gráficos de equações e funções, os quais no passado levariam horas para ser produzidos. A Figura.. mostra Gerado pelo Mathematica Gerado pelo Maple Gerado por calculadora Figura.. * Mathematica é um produto da Wolfram Research, Inc.; Maple é um produto da Waterloo Maple Software, Inc.; e Derive é um produto da Soft Warehouse, Inc.

17 Capítulo / Funções 7 os gráficos da função ƒ() = produzidos com vários recursos gráficos; os dois primeiros foram gerados com os programas Mathematica e Maple, e o terceiro com uma calculadora gráfica. As calculadoras gráficas produzem gráficos mais grosseiros do que a maioria dos programas de computador, mas têm a vantagem de ser compactas e portáteis. (a, d) (a, c) Figura.. [a, b] A janela [a, b] [c, d] (b, d) (b, c) DOMÍNIO DA TECNOLOGIA [c, d] Use seu próprio recurso computacional para gerar o gráfi co da função f() = na janela [, ] [, ]. JANELAS DE INSPEÇÃO Os recursos gráficos podem mostrar somente uma parte do plano em sua tela; assim, o primeiro passo ao fazer o gráfico de uma equação é determinar qual região retangular do plano desejamos ver eposta. Essa região é denominada janela de inspeção (ou retângulo de inspeção). Por eemplo, na Figura.., a janela de inspeção estende-se sobre o intervalo [, ] na direção e [, ] na direção. Assim, dizemos que a janela de inspeção é [, ] [, ] (leia [, ] por [, ] ). Em geral, se a janela de inspeção for [a, b] [c, d], então ela se estende entre = a e = b na direção e entre = c e = d na direção. Dizemos que [a, b] é o intervalo da janela e que [c, d] é o intervalo da janela (Figura..). Recursos gráficos diferentes denotam as janelas de inspeção de formas distintas. Por eemplo, os dois primeiros gráficos na Figura.. foram produzidos pelos comandos Plot [^ ^ *^, {,, }, PlotRange >{, }] (Mathematica) plot (^ ^ *^, =.., =..); (Maple) e o último gráfico foi produzido em uma calculadora gráfica, pressionando a tecla GRAPH, depois dando os seguintes valores às variáveis que determinam os intervalos e : Min =, Ma =, Min =, Ma = Gerado pelo Mathematica Gerado por calculadora gráfi ca Figura.. SINAIS REPRESENTANDO PONTOS NA ESCALA E GRADE DE RETAS Para ajudar a localizar pontos visualmente em uma janela de inspeção, os recursos gráficos fornecem métodos de representar pontos na escala, (também denominados sinais de escalas) sobre os eios coordenados ou outras localizações na janela. Em programas como o Mathematica e o Maple, há comandos específicos para designar o espaço entre os sinais na escala, porém, se o usuário não der o espaçamento, então o programa faz uma escolha por default. Por eemplo, nas duas primeiras partes da Figura.., os sinais sobre a escala foram escolhas por default. Em algumas calculadoras gráficas, o espaçamento entre os sinais sobre a escala é determinado por duas variáveis de escala (também denominados fatores de escala), os quais vamos denotar por Scl e Scl (A notação varia entre calculadoras.) Essas variáveis especificam o espaçamento entre os sinais sobre as escalas nas direções e, respectivamente. Por eemplo, na terceira parte da Figura.., a janela e os sinais sobre as escalas foram especificados pelos ajustes Min = Ma = Min = Ma = Scl = Scl = A maioria dos recursos gráficos permite variações na disposição e na localização desses sinais. Por eemplo, a Figura.. mostra duas variações dos gráficos da Figura..; a primeira foi gerada em um computador usando uma opção de colocar sinais e números sobre os lados da janela, e a segunda foi gerada em uma calculadora usando uma opção de desenhar uma grade de retas simulando papel gráfico.

18 8 Cálculo Eemplo A Figura.. mostra a janela [ 5, 5] [ 5, 5] com os sinais sobre a escala espaçados em 0,5 unidade na direção e 0 unidades na direção. Note que não há sinais visíveis na direção, pois o sinal da origem está coberto pelo eio e os demais na direção caem fora da janela. [ 5, 5] [ 5, 5] Scl = 0,5; Scl = 0 Figura.. Eemplo A Figura..5 mostra a janela [ 0, 0] [ 0, 0] com os sinais sobre a escala espaçados em 0, unidade nas direções e. Nesse caso, os sinais estão tão próimos que criam um efeito de retas mais grossas sobre os eios cooordenados. Quando isso ocorre, em geral aumentamos os fatores de escala para reduzir o número de sinais e torná-los legíveis. DOMÍNIO DA TECNOLOGIA Calculadoras com recursos gráfi cos têm valores por default para a janela e para os fatores de escala. Por eemplo, uma calculadora tem uma janela default de [ 0, 0] [ 0, 0] e fatores de escala default de Scl = e Scl =. Verifi que o manual para determinar os valores default de sua calculadora e como restaurar essa confi guração. Se estiver usando um programa de computador, verifi que o tutorial do mesmo para determinar os comandos que especifi cam o espaçamento entre os sinais sobre as escalas. Figura..5 0 = 9 COMO ESCOLHER UMA JANELA DE INSPEÇÃO Quando o gráfico de uma função se estende indefinidamente em alguma direção, nenhuma janela pode mostrá-lo todo. Em tais casos, a escolha da janela de inspeção pode afetar nossa percepção do gráfico. Por eemplo, a Figura..6 mostra um gráfico gerado em computador de = 9, e a Figura..7 mostra quatro vistas desse gráfico geradas em uma calculadora. Na parte (a), o gráfico cai completamente fora da janela; assim, ela aparece em branco (eceto por eios e sinais). Na parte (b), o gráfico está quebrado em duas partes, pois sai e entra na janela. Na parte (c), o gráfico parece uma linha reta, pois focalizamos em um pequeno segmento da curva Na parte (d), temos uma visão mais completa da forma do gráfico, pois a janela compreende todos os pontos importantes; isto é, o ponto mais alto e as intersecções com o eio. Figura..6 Para uma função cujo gráfico não se estenda indefinidamente em ambas as direções e, o domínio e a imagem da função podem ser usados para obter uma boa janela de inspeção, como mostramos no eemplo seguinte. Eemplo Use o domínio e a imagem da função f() = para determinar uma janela que contenha todo o gráfico. Solução O domínio natural de ƒ é [, ] e a imagem é [0, ] (verifique). Dessa forma, todo o gráfico está contido na janela de inspeção [, ] [0, ]. Por clareza, é preferível usar uma janela um pouco maior para evitar ter o gráfico muito próimo dos lados da mesma. Por eemplo, a janela [, ] [, ] dá o gráfico da Figura..8.

19 Capítulo / Funções 9 [, ] [, ] Scl =, Scl = (a) [, ] [, 5] Scl =, Scl = (b) [,5;,5] [, ] Scl = 0,; Scl = (c) Figura..7 Quatro vistas de = 9 [, ] [, 0] Scl =, Scl = (d) Figura..8 [, ] [, ] Scl =, Scl = Às vezes será impossível encontrar uma única janela de inspeção que eiba todas as características importantes de um gráfico, caso em que precisaremos decidir o que é mais importante para o problema à mão e escolher a janela de acordo. Eemplo Faça o gráfico da equação = + 8 nas seguintes janelas, discutindo as vantagens e desvantagens de cada uma. (a) [ 0, 0] [ 0, 0] com Scl = e Scl = (b) [ 0, 0] [ 0, 0] com Scl = e Scl = (c) [ 0, 0] [ 00, 0] com Scl = e Scl = 0 (d) [ 5, 5] [ 00, 0] com Scl = e Scl = 0 (e) [, ] [, ] com Scl = 0, e Scl = 0, Solução (a) A janela na Figura..9a cortou fora a parte do gráfico que intersecta o eio e mostra somente duas das três raízes reais possíveis para o polinômio cúbico dado. Para contornar esse problema, precisamos alargar a janela em ambas as direções e. Solução (b) A janela da Figura..9b mostra a intersecção do gráfico com o eio e as três raízes reais, mas cortou fora a parte do gráfico entre as duas raízes positivas. Além disso, os sinais na direção estão quase ilegíveis, por estarem muito perto um do outro. Precisamos estender a janela na direção de negativo e aumentar Scl. Como não sabemos o quanto estender a janela, são necessárias algumas tentativas para obter o que queremos. Solução (c) A janela na Figura..9c mostra todos os principais aspectos do gráfico. Porém, temos algum espaço desperdiçado na direção. Podemos melhorar a figura diminuindo a janela apropriadamente nessa direção.

20 0 Cálculo Solução (d) A janela na Figura..9d mostra todos os principais aspectos do gráfico sem muito desperdício de espaço. Entretanto, não oferece uma visão clara das raízes. Para obter uma visão mais próima das raízes, precisamos abandonar a idéia de mostrar todos os principais aspectos do gráfico e escolher as janelas que focalizem as raízes. Solução (e) A janela..9e epõe muito pouco do gráfico, porém mostra claramente que a raiz no intervalo [, ] é aproimadamente,. [ 0, 0] [ 0, 0] Scl =, Scl = (a) [ 0, 0] [ 0, 0] Scl =, Scl = (b) [ 0, 0] [ 00, 0] Scl =, Scl = 0 (c) Figura..9 [ 5, 5] [ 00, 0] Scl =, Scl = 0 (d) [, ] [, ] Scl = 0,; Scl = 0, (e) DOMÍNIO DA TECNOLOGIA Há situações nas quais queremos determinar a janela de inspeção, escolhendo o intervalo para a janela e permitindo que o recurso gráfi co determine um intervalo, o qual compreende os valores máimo e mínimo da função sobre o intervalo. A maioria dos recursos gráfi cos fornece algum método para fazer isso, assim, verifi que nas instruções para descobrir como fazê-lo. Permitir que o recurso gráfi co determine o intervalo da janela elimina muito da adivinhação do problema, como aquela na parte (b) do eemplo precedente. FAZENDO ZOOM O processo de aumentar ou diminuir o tamanho da janela de inspeção é denominado fazer o zoom. Ao reduzir o tamanho da janela, vemos menos do gráfico como um todo, mas muitos detalhes da parte mostrada; isso é denominado fazer o zoom para dentro. Ao contrário, aumentando o tamanho da janela, mais vemos o gráfico como um todo, porém, com menos detalhes da parte mostrada; isso é denominado fazer o zoom para fora. Muitas calculadoras fornecem um menu para os dois tipos de zoom por fatores fio. Por eemplo, em algumas delas o efeito total de ampliação ou redução é controlado atribuindo-se valores a dois fatores de zoom, Fact e Fact. Se Fact = 0 e Fact = 5 então, cada vez que um comando de zoom é eecutado, a janela de inspeção é ampliada ou reduzida por um fator de 0 na direção e um fator de 5 na direção. Com programas de computador, como o Mathematica e o Maple, o zoom é controlado ajustando-se diretamente os intervalos e ; contudo, há maneiras de automatizar isso através de programação.