Guided Search MIMO Detectors aided by Lattice Reduction under Correlated Channels

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1 Guided Search MIMO Detectors aided by Lattice Reduction under Correlated Channels Y. M. Mostagi, J. C. Marinello Filho and T. Abrão, Senior Meber, IEEE Abstract The conventional detector (atched filter) becoes inefficient in MIMO systes deanding high data throughput and/or subject to interference and/or under correlated channels. The bit error rate perforance or syste capacity under conventional detection will be substantially degraded when the spatial diversity provided by ultiple antennas cannot be fully exploited and the detection process is unable to efficiently separate the signal fro each antenna. The solution discussed in this paper seeks to establish ore efficient detectors for MIMO systes with the aid of the Lattice Reduction technic. These detectors use inforation fro the interfering signals in a way to iprove the signal detection in the antenna of interest, thus providing advantages over the conventional syste, at the expense of increasing coplexity. The focus of this paper consists in coparing the characteristics of three sub-optial detectors, previously analyzed in [1], based on the axiu-likelihood function and the guided search principle. Especially, the coplexity vs perforance trade-off for the sphere detector (SD), the QR decoposition-based detector (QRD) the greedy search detector (GSD) and its variants aided by the Lattice Reduction are copared. We have considered the perforance-coplexity tradeoff as a ain figure-of-erit of sub-optial MIMO detectors under Rayleigh correlated fading channels. Keywords Multiuser coherent detection, MIMO systes, ML estiation, sub-optiu detection, search algoriths, Lattice Reduction. I. INTRODUÇÃO ISTEMAS de counicação co últiplas antenas no Stransissor e receptor (MIMO - ultiple input ultiple output) estão presentes nos padrões odernos de telecounicações, coo por exeplo o LTE []. Nesses sisteas, o processo de detecção de sinais convencional (filtro casado ao sinal recebido e cada antena) torna-se ineficiente e situações que deande alta vazão (throughput) de dados e/ou e condições de operação sob canais óveis típicos. A consequente degradação de desepenho neste processo de detecção convencional se deve à cobinação dos efeitos da interferência do sinal entre antenas, da possível correlação entre os sinais recebidos co desvaneciento, entre outros. Assi, o desepenho do detector convencional ou a capacidade do sistea serão degradados substancialente quando a diversidade espacial proporcionada pelas últiplas antenas não puder ser aproveitada eficienteente, devido à correlação dos desvanecientos do canal MIMO. Para auentar o throughput e/ou o desepenho e teros de taxa de erro de bit (BER - bit error rate) e sistea MIMO, deve-se cobinar a diversidade espacial a outros tipos Y. M. Mostagi, Universidade Estadual de Londrina (UEL), Londrina, Paraná, Brasil, yuri.ostagi@gail.co J. C. Marinello, Universidade Estadual de Londrina (UEL), Londrina, Paraná, Brasil, zecarlos.ee@gail.co T. Abrão, Universidade Estadual de Londrina (UEL), Londrina, Paraná, Brasil, taufik@uel.br de diversidade, tais coo a teporal, a de frequência, a ultiusuário, entre outras, alé do aproveitaento das condições instantâneas de canal para alterar dinaicaente a orde de odulação (odulação adaptativa). Neste trabalho, explora-se a diversidade espacial cobinada à diversidade de recepção ultiusuário. Assi, utiliza-se versões sub-ótias eficientes para o detector de áxia verossiilhança (MLD - axiu likelihood detector), os quais utiliza inforações de todas as antenas de fora a elhorar a detecção do sinal individual e cada antena e assi cobinar de fora eficiente os sinais de cada antena (diversidade espacial), proporcionando vantagens sobre o sistea convencional e MLD. O detector ótio, que consiste de u receptor convencional seguido de u detector de sequência de áxia verossiilhança, é ipraticável devido ao fato de sua coplexidade auentar exponencialente e relação ao núero de antenas (ou usuários). Por isso, novos étodos vê sendo propostos a fi de contornar estas desvantagens, entre os quais os detectores sub-ótios ultiusuários baseados e estrutura lineares para canais MIMO [3], [4]. Adeais, u detector para sisteas MIMO baseados na técnica de relaxação sei-definida foi proposto e [5]. Redução Treliça (LR - Lattice Reduction) é u conceito ateático utilizado para resolver diversos probleas envolvendo treliças de pontos. No caso do processaento de sinais, a constelação forada pelos síbolos de u sinal odulado pode ser visto coo ua treliça; desta fora, co o LR busca-se elhores foras de se representar ua dada treliça [6]. No universo da detecção de sinais e canal MIMO, a LR pode ser utilizada para elhorar o condicionaento da atriz do canal, peritindo-se assi que se use detectores ais siples, e consequenteente enos coplexos coputacionalente, antendo-se u desepenho aceitável, ou, tabé, diinuindo a coplexidade de detectores quase ótios. O foco deste trabalho são os detectores sub-ótios de busca guiada para sisteas MIMO baseados na função de áxia verossiilhança. Entre estes, destaca-se o detector esférico (SD - sphere detector), o detector baseado na decoposição atricial linear QR (E álgebra atricial linear, a decoposição ou fatorização QR de ua atriz resulta na decoposição da atriz A e u produto de atrizes, A=QR, sendo Q ua atriz ortogonal e R ua atriz triangular. A decoposição QR é aplaente utilizada pra resolver o problea linear de ínios quadrados, sendo a base de construção do algorito QR de deterinação dos autovalores.) (QRD - QR Decoposition) e o algorito de busca greedy (GSD - greedy search detector), be coo sua associação à redução treliça, de fora a elhorar o desepenho do sistea de counicação e/ou diinuir a coplexidade destes detectores

2 MIMO, especialente quando houver a cobinação de elevada orde de odulação e núero de antenas. O SD-MIMO apresenta, e situações de interesse prático, desepenho equivalente ao do detector MLD, as co enor coplexidade. No entanto, e situações de baixa relação sinal-ruído (SNR - signal-to-noise ratio), a coplexidade do SD resulta elevada. O princípio de funcionaento do SD foi ostrado e [7]; e [8] foi proposto a utilização do algorito SD na detecção e sisteas MIMO. E [3] e [9] foi analisada a coplexidade do SD e foras de reduzi-la se coproeter substancialente seu desepenho. O detector para canais MIMO baseado na decoposição (QRD-M) foi analisado e [10], e odificações fora introduzidas e [11] a fi de se diinuir sua coplexidade. E [1], o detector greedy (GSD) foi epregado na detecção ultiusuário e sisteas de últiplo acesso. E canais MIMO, o GSD foi epregado no problea de detecção subótia e [13] e co saídas soft e [14]. E seguida o GSD foi utilizado na detecção sob diversas configurações de canal [15], [16]. O LR teve sua utilização e sisteas MIMO proposta e [17]. E [18], foi realizada ua análise coparada de desepenho e coplexidade coputacional entre dois detectores auxiliados por LR e outros detectores clássicos da literatura. Já e [19] u étodo de redução de treliça coplexo adequado para sisteas MIMO foi proposto. E [0] é explorado e proposto u étodo LR de reduzida coplexidade. Por fi, e [1] ua análise ais aprofundada é realizada. Iportante aspecto considerado neste trabalho é o canal MIMO co desvaneciento correlacionado. Ua vez que as diensões físicas requeridas pelos dispositivos óveis são restritivas, a distância entre antenas e ua eso terinal óvel tabé torna-se restritiva. Por exeplo, sisteas de counicação se fio MIMO operando na faixa de frequência UHF requere distâncias entre antenas da orde de dezenas de centíetros para se obter a condição de canais espacialente descorrelacionados. Assi, a obtenção de sisteas de counicação MIMO se fio capazes de acoodar u grande núero de antenas co exploração do áxio ganho de diversidade (ou alternativaente áxio ganho de ultiplexação) torna-se u desafio. U cenário de canal MIMO correlacionado causa efeitos danosos sobre taxa de dados atingível, be coo sobre o desepenho [], requerendo potência de transissão adicional para atingir esos índices de qualidade de serviço (QoS). Este cenário torna-se u problea, ua vez que o uso de receptores operando sob elevado SNR e baixo ruído de fase resulta e elevados custos de ipleentação e operacionais [3]. Portanto, detectores MIMO eficientes, os quais apresenta ótio coproisso desepenho-coplexidade, capazes de operar siultaneaente sob adequadas taxas de erro de bit (BER), restrições de potencia de transissão e canais correlacionados são de interesse prático. II. MODELO DO SISTEMA O canal MIMO linear é definido por u transissor genérico que transite siultaneaente (e u período de síbolo, T s ) síbolos, s 1,...,s, de u alfabeto finito ou constelação D. No receptor, te-se n sinais, y 1,...,y n, u e cada antena receptora, recebidos coo ua cobinação linear dos síbolos de entrada ais o ruído aditivo. Costua-se assuir que a quantidade de sinais recebidos nas n antenas excede a quantidade dos síbolos transitidos nas antenas, ou seja, n. Co isto, garantese que as equações utilizadas no processo de detecção não serão subdeterinadas [4]. Convenienteente, o canal MIMO linear é descrito na fora atricial coo y= Hs+ v (1) n sendo H n a atriz do canal e v o ruído aditivo. Os vetores s D n e y representa os síbolos transitidos e os sinais recebidos, respectivaente [4]. A eq. (1) pode ser expandida para elhor copreensão do sistea: Se H, s, y e v são atrizes e vetores de valores coplexos, então pode ser convenienteente re-escritos coo: sendo R{.} e I{.} os operadores partes real e iaginária, respectivaente [5]. Ua vez que o foco deste trabalho é a detecção e canais MIMO, inicialente, a atriz H será considerada perfeitaente conhecida no receptor cujos valores coplexos são descritos por ua distribuição Rayleigh para o ódulo e unifore para a fase; e seguida, serão considerados canais co desvaneciento correlacionados. Os síbolos transitidos fora odelados coo variáveis aleatórias independentes e identicaente distribuídas (i.i.d.) sobre o alfabeto da constelação D. O ruído foi odelado por ua distribuição Gaussiana coplexa circularente siétrica, de édia zero e variância σ. O objetivo do receptor é estiar s a partir de y e H. A. Modelo de Canal MIMO Correlacionado O canal MIMO co desvaneciento é odelado por ua distribuição Rayleigh plano para o ódulo. Adicionalente, a correlação espacial entre as antenas de transissão e de recepção pode ser descrita a partir do odelo de correlação de Kronecker [6]: H= R Rx G R Tx ()

3 sendo a atrix G ( n) é coposta por eleentos i.i.d de valores coplexos Gaussianos, gij CN(0,1), as atrizes R Tx ( ) e R Rx ( n n) representa a correlação espacial do canal MIMO observada no lado do transissor e receptor, respectivaente. Os eleentos r ij destas atrizes são dadas, e teros do índice de correlação noralizada ρ, entre a i-ésia e j-ésia antena, respectivaente por:: r Rx, ij = ρ ( i j ) r Tx, ij = ρ ( (3) i j ) = n, abas as atrizes de correlação Assi, se siplifica-se, podendo ser re-escritas coo: III. DETECTOR DE MÁXIMA VEROSSIMILHANÇA O detector de áxia verossiilhança ou detector ótio operacionaliza, a partir da eq. (1), o teste de todas as possibilidades de síbolos transitidos e cada antena, ou seja, aplica todos os possíveis valores de s a ua função de iniização, estiando assi o síbolo transitido, sendo o escolhido aquele que apresentar a enor distância Euclidiana e relação ao sinal recebido. Esta função de iniização é expressa a seguir sˆ = in D y Hs (5) s sendo ŝ o vetor de inforação transitido estiado, s o vetor de inforação candidato, D a diensão do espaço de sinais (taanho da constelação) e. é a distância Euclidiana. A eq. (5) pode ser elhor entendida a partir do exeplo nuérico ostrado a seguir. Neste exeplo utiliza-se u canal MIMO co = n = e odulação BPSK (Binary Phase-Shift Keying), i.e., D =. Considerando que o vetor de inforação s, a atriz do canal H e o vetor de ruído aditivo v seja dados, respectivaente, por: Assi, a partir da eq. (1) é possível obter o vetor recebido y Considerando, neste exeplo, que a atriz de canal seja perfeitaente conhecida no receptor, através da eq. (5), o (4) detector ML realiza o teste de todas as possibilidades de vetores-candidatos a fi de encontrar aquele que resulta na enor distância Euclidiana e então o escolhe coo a solução do problea; nuericaente, a distância Euclidiana para cada vetor-candidato neste siples exeplo nuérico resulta: Assi, o vetor de enor distância Euclidiana será selecionado coo o vetor recebido estiado sˆ = s, sendo este 1 idêntico ao vetor transitido s. A partir deste exeplo, torna-se evidente a coplexidade apresentada pelo detector de áxia verossiilhança. Neste caso, cobinando-se odulação BPSK, e = n = antenas, há quatro vetores-candidatos de diensão. E u sistea co = n = 3 antenas, a quantidade de vetores-candidatos de diensão 3 saltaria para oito; para = n = 4 este núero seria dezesseis, ou seja, este étodo resulta e coplexidade exponencial e relação ao núero de antenas e ao taanho da constelação. Se o taanho da constelação e cada coponente de s é D (por exeplo, na odulação QPSK, D = 4) e existe antenas transissoras, o detector deve fazer ua busca sobre u conjunto de taanho D. E odulações de elevada orde (16-QAM ou aior), essa coplexidade se torna proibitiva eso para u núero ediano de antenas transissoras [7]. IV. REDUÇÃO TRELIÇA A Redução Treliça é u conceito ateático utilizado para resolver diversos probleas envolvendo treliças de pontos. No caso do processaento de sinais, a constelação forada pelos síbolos de u sinal odulado pode ser visto coo ua treliça; desta fora, co o LR busca-se elhores foras de se representar ua dada treliça. No universo da detecção de sinais e canal MIMO, a LR pode ser utilizada para elhorar o condicionaento da atriz do canal, peritindo-se assi que se use detectores ais siples, e consequenteente enos coplexos coputacionalente, antendo-se u desepenho aceitável. Na fase de pré-detecção, ou seja, antes do detector ser utilizado é realizada esta redução, que gera ua atriz uniodular que ultiplicada por H fornecerá coo resultado ua atriz de coeficientes de canal odificada que apresenta colunas ais próxias da condição de ortogonalidade, isto devido ao fato desta representar ua base de sinais de enor correlação entre eleentos e relação a atriz H original [6]. Existe inúeras definições de redução treliça dependendo do critério de redução adotado. Alguas dessas definições resulta e distintas técnicas de ipleentação LR, entre estas, destaca-se a redução de Minkowski [8]- [30], a redução de Herite-Korkine-Zolotareff [31], [3], a redução de Gauss [33], a redução de Lenstra-Lenstra-Lovász [34], [35], a redução de Seysen [36] e a redução de Brun [37], [38]. A redução de Lenstra-Lenstra-Lovász (LLL ou L 3 ),

4 segundo [6], apresenta u bo coproisso entre a qualidade dos resultados e a coplexidade; por isso, o algorito LLL foi escolhido para ser aplicado neste trabalho. O LLL utiliza-se da decoposição QR e de reflexões, translações e trocas de colunas da atriz que se deseja reduzir de fora iterativa até que se obtenha ua base reduzida. O algorito depende do parâetro δ, co 1/4< δ 1, a escolha do parâetro δ afeta a qualidade da base reduzida e a coplexidade coputacional. Maiores valores de δ resulta e bases elhores ao preço de ua aior coplexidade coputacional, ua escolha cou é δ = 3/4, confore sugere [6]. Assi, através deste algorito obté-se a atriz uniodular T, co esta atriz, então, é feita a transforação do vetor de síbolos transitidos, s, e a atriz de coeficientes de canal, H para foras de base reduzida: 1 z= T s (6) (7) Através da eqs. (6)-(7), te-se a fora atricial do canal MIMO co a atriz de canal de base reduzida : Assi, co esta fora atricial equivalente para descrever o canal te-se, a partir do problea de otiização descrito na eq. (5), ua nova função de iniização para o detector MLD e os outros que se segue, os quais utiliza esta esa função para operare: A partir de (9), a técnica de redução treliça (LR) poderá ser agregada às estruturas de detecção aqui analisados. V. DETECTORES SUB-ÓTIMOS DE BUSCA GUIADA A. Detector MIMO por Decoposição QR Partindo da eq. (5), aplica-se a decoposição QR [39] [40] à atriz do canal H H = Q R 0 (8) (9) (10) n n sendo Q ua atriz ortogonal, R ua atriz triangular superior, e 0 ua atriz de zeros de diensão (n ). A decoposição QR de H é ua redução ortogonal para ua fora triangular superior. Da relação H = QR e da não singularidade de R, conclui-se que as colunas de Q fora ua base ortonoral para ( H), sendo (.) o operador T espaço vetorial de ua atriz. Assi, a atriz P = QQ é a projeção ortogonal e ( H). H Note-se que Q Q = I, sendo {.} H o operador conjugado transposto e I a atriz identidade. Assi, pré-ultiplicando H y Hs e (5) por Q resulta e ua estrutura e fora de árvore de profundidade devido à propriedade triangular da atriz R. y Hs = y QRs = Q H y Rs (11) H Para siplificar, seja x = Q y. Assi, a nova função de iniização torna-se: sˆ ML = in x Rs (1) s Após a aplicação da decoposição QR e da pré-ultiplicação H por Q, o Algorito M, descrito a seguir, é aplicado para detectar os síbolos de aneira sequencial [10]. 1) Algorito M: A partir do últio eleento de s, i.e., s, são calculadas as étricas para todos os possíveis valores de s a partir de x r s ˆ,, (13) sendo r, o (,)-ésio eleento de R. E seguida, as étricas destes nós são ordenadas e soente os M nós co as enores étricas são antidos, o restante é descartado. Os nós sobreviventes são estendidos e ais C nós cada u, resultando e MC raos, destes, soente os M raos co enor étrica são antidos e expandidos novaente e ais C raos cada, e assi sucessivaente, até que a últia caada () seja atingida. A Fig. 1 exeplifica o processo para u sistea co = n = 3, M = raos e odulação quaternária, ou seja, C = 4. Note que na figura são ilustradas 3 caadas (dado = 3), que se abre cada ua e 4 possíveis síbolos (dado C = 4), dentre os quais são escolhidos (dado M = ) referentes as enores étricas e cada caada. As étricas dos raos são calculadas utilizando a função de iniização odificada, eq. (1). Para u copriento da árvore i, 1 i, a étrica para cada rao é: x + i 1 R + i 1s i, (14) sendo x i o i-ésio eleento de x, R i a i-ésia linha de R e si o vetor co os nós apropriados do rao e particular. Figura 1. Exeplo algorito M, co = n = 3, M = e C = 4. Núeros fora dos círculos indica síbolos da constelação (nós), aqueles dentro dos círculos refere-se às étricas acuuladas até o respectivo nó. Os círculos sólidos indica os M nós escolhidos pelo algorito e cada nível, enquanto os tracejados representa os nós excluídos da busca. As linhas tracejadas indica os raos não expandidos. O círculo duplo indica a solução obtida. Partindo-se da raiz, são expandidos os 4 possíveis síbolos da constelação naquela caada, dentre os quais apenas os nós referentes as enores étricas são antidos. A partir destes nós, são expandidos novaente ais 4 raos para cada síbolo da constelação a partir de cada u, sendo novaente antidos apenas os referentes as enores étricas. O processo se repete até chegar a últia caada, quando apenas o rao refente a enor étrica é dado coo solução do algorito.

5 B. Detector Esférico O detector esférico (SD), realiza ua busca sobre os pontos s da alha que se encontra dentro de ua hiperesfera de raio d, centrada no vetor recebido y [9]. Reduz-se assi o espaço de busca e consequenteente a coplexidade coputacional final. O SD deterina quais pontos da constelação estão dentro da esfera de busca; no entanto, se para isso o detector tiver que testar a distância de todos os pontos s para deterinar quais estão dentro da esfera de raio d, então haverá ua busca exaustiva, cuja coplexidade pode-se tornar proibitiva dependendo da diensão do problea. Ebora seja difícil deterinar os pontos da treliça dentro de ua esfera -diensional, é trivial fazê-lo no caso unidiensional = 1. Assi, pode-se ir da diensão k para a diensão k+1. Isso significa que todos os pontos na esfera de diensão e raio d pode ser deterinados iterativaente ao se deterinar todos os pontos contidos e esferas de diensões enores (1,,..., ) e co o eso raio d. Consequenteente, o étodo de busca do SD pode ser representado por ua árvore, coo no caso do QRD-M, sendo que os raos do k-ésio nível da árvore corresponde aos pontos da treliça que se encontra dentro da esfera de raio d e diensão k [41]. U esboço de funcionaento da busca no SD para u sistea co = n = 3, raio de busca d = 6 e odulação binária pode ser visto na Fig.. Foralizando o problea SD, ter-se-á que o ponto Hs pertencerá à esfera de raio d se e soente se d y Hsˆ (15) Figura. Árvore de busca do detetor esférico co d = 6; núero ao lado de cada rao indica seu copriento; núeros inscritos nos nós indica étricas acuuladas; círculo duplo indica a solução ótia; raos não visitados estão pontilhados. Partindo-se da raiz, os nós são expandidos e cada caada, obtendo-se raos referentes a cada possível síbolo da constelação, e então calculadas suas étricas parciais (copriento do rao). Caso essa étrica parcial exceda d, aquele rao deve ser cortado extrapola a esfera). Dessa fora, pode-se reduzir consideravelente o espaço de busca, e consequenteente a coplexidade da detecção, se perda de desepenho. Deve-se então quebrar o problea principal e subprobleas, ou seja, ao invés de tentar deterinar os pontos da constelação que se encontra dentro da hiperesfera de busca, e então deterinar os pontos dentro de últiplas esferas unidiensionais; para isso, aplica-se a decoposição QR à H e (15) e faz-se a pré-ultiplicação por Q H coo e (1), obtendo-se: x Rsˆ d (16) assi, o núcleo do SD consiste de u étodo de enueração, proposto e [7], que enuera os possíveis síbolos dentro do raio da esfera. Este étodo de enueração é baseado na observação condicional: (17) k sendo pl o vetor coposto pelos últios k k coponentes de p. Assi, a cada nova iteração o algorito executa ua busca de profundidade k na árvore de busca de níveis: para k = 1, p será coposto pela coponente de p; l k para k =, p será coposto pelas coponentes e -1 de l k p, e assi por diante. Ainda, graças à estrutura triangular superior de R, o valor p lk dependerá apenas de s ˆl k, onde k sˆ l é o vetor coposto pelos últios k coponentes deŝ. k Portanto, estabelecendo-se que para algu vetor sˆ de índice k, p > d, qualquer outro vetor para o qual lk poderá ser excluído da busca. O SD utiliza esta observação para enuerar de aneira eficiente todos os pontos na hiperesfera dada pela eq. (16). Após esta enueração o vetor de possíveis síbolos é salvo, e aqueles que apresentare o enor valor de acordo co o critério da equação do MLD odificada (1) será o escolhido coo síbolo de saída do algorito. 1) Escolha do Raio da Esfera: Para alcançar a aior eficiência possível co o SD, o raio da esfera de busca (d) torna-se u parâetro crítico a ser cuidadosaente ajustado, ou ainda o raio inicial de busca, no caso de ua versão iterativa do algorito co raio de busca atualizável a cada iteração. Definir d de aneira cuidadosa é essencial, pois, caso este seja uito grande a busca ainda terá coplexidade exponencial co o núero de usuários, não apresentando vantage sobre o detector ML. Por outro lado, caso o raio seja uito pequeno o algorito terá grande chance de não encontrar nenhu ponto dentro da esfera. Diferentes étodos para definição do raio de busca tê sido discutido na literatura [5], [3]. Ua definição siples para d consiste e atribuir a etade da distância entre dois síbolos da constelação, ou seja, a distância entre u síbolo da constelação e o liite da região de decisão [5]. Obviaente este étodo é ais adequado para constelações quadradas. Já e [3] foi proposto que d seja definido pela distância entre a estiativa de Babai e o vetor recebido x, ou seja, d = x Hsˆ, sendo ˆ B sb = H x, co {.} a pseudoinversa de ua atriz. O SD pode ser dotado de u sistea de poda (pruning): toda vez que o algorito chega até o nó final de u rao da árvore de busca co ua étrica acuulada M, supõe-se que a solução de (1) deva estar dentro da esfera x Rsˆ M. Então, caso M < d pode-se fazer d = M, e continuar o algorito co u raio de busca enor. Co isso, a árvore de

6 busca sofrerá sucessivas podas que diinuirão a quantidade de nós visitados e relação ao algorito original [4]. Neste sistea, o raio inicial é definido coo d =, e ele é atualizado toda a vez que o algorito encontrar u nó cuja distância Euclidiana e relação ao vetor recebido seja enor do que o raio de busca atual. Co isso, as tarefas críticas de decidir qual será o raio inicial, e definir ua função de atualização para o raio, são eliinadas. C. Detector MIMO Guloso Coo ocorre aos outros dois algoritos aqui apresentados, o detector de busca gulosa (greedy search detector - GSD) inicia o processo de detecção realizando ua decoposição QR da atriz de canal H, operando igualente sobre a esa função de otiização, eq. (1). O GSD utiliza-se da característica triangular superior da atriz R para calcular a distância Euclidiana passo-a-passo, da antena até a antena u, confore o gráfico de fluxo esqueatizado na Fig. 3. O étodo GSD é organizado e estágios, cada estágio representa ua antena; e cada estágio existe C nós; cada nó está conectado a C nós do estágio anterior e a C nós do estágio posterior, co exceção do estágio 1, pois não possui u estágio anterior e assi é conectado ao nó raiz, be coo o estágio, o qual não possui u estágio posterior e por isso é conectado ao nó final. Entre os nós te-se a distância Euclidiana parcial, ou seja, a étrica dos nós anteriores soados à étrica do nó atual, até que ao final do estágio te-se a étrica total dos vetores candidatos. Figura 3. Gráfico de fluxo do GSD para u sistea genérico de antenas transissoras e odulação co C síbolos; nós representa síbolos da odulação utilizada. Tendo coo referência o problea descrito e (1), a distância Euclidiana do vetor recebido ao vetor candidato, por exeplo, e u sistea co = n = 3, é dada por: Δ= δ 1 δ δ 3 = x 1 x x 3 R 11 R 1 R 13 0 R R R 33 s 1 s s 3 Para este caso ainda, as étricas parciais serão dadas por: δ = x R s (18) , x ( Rs R3s3), (19) δ = + δ = x ( R s + R s + R s ) Duas etapas distintas são executadas no processo de detecção GSD: a) etapa de redução de nós e, e seguida, b) etapa de extensão de raos [14]. Na prieira é feita ua redução da quantidade de nós através de ua busca e árvore análoga à realizada pelos algoritos QRD e SD anteriorente apresentados. Esta busca reduz a quantidade de vetores candidatos confore ilustrado na Fig.4, ilustrado para o caso = n = 3. Figura 4. Gráfico de fluxo para o estágio de redução de nós do GSD de u sistea co = n = 3 e odulação quaternária. Esta etapa reduz os nós possíveis do sistea, reduzindo assi a coplexidade. Os nós poderão ser eliinados nesta etapa co base e suas respectivas étricas parciais, eq. (19). Tendo e ãos o conjunto de nós resultante do processo de redução, a etapa de extensão de raos produz os candidatos que serão de fato avaliados pelo algorito, resultando aquele de enor distância Euclidiana total. A etapa seguinte consiste na extensão dos raos, i.e., do últio estágio até o prieiro, o algorito realiza trocas do síbolo do estágio e questão pelos outros possíveis síbolos, sendo assi capaz de forar ua lista de vetores da qual selecionará aquele que elhor satisfaça o problea e (1). VI. ANÁLISE DE DESEMPENHO E COMPLEXIDADE Considerando u sistea MIMO co = n = 4 antenas, odulação de alta orde 16-QAM e sistea de counicação sujeito ao desvaneciento Rayleigh plano, siulações Monte- Carlo fora realizadas tendo e vista coparar o desepenho e a coplexidade dos três detectores MIMO subótios, i.e., detector decoposição QR (QRD), detector esférico (SD) detector de busca gulosa (GSD), co e se o auxílio da redução treliça (LR). Tais resultados nuéricos fora obtidos co o auxílio do siulador ateático Matlab. Fora caracterizadas as seguintes figuras de érito: a) desepenho e teros de taxa de erro de síbolo SER SNR b) efeito da correlação do canal MIMO sobre o desepenho SER SNR c) coplexidade dos detectores SNR. A relação sinal-ruído adotada inclue as regiões de baixa, édia e alta SNR, i.e., SNR [0, 6] db A. Desepenho dos Detectores MIMO Na Fig. 5 são apresentadas as curvas de taxa de erro de síbolo (SER - sybol error rate) e relação ao increento da SNR. Diferenteente do resultado apresentado e [1], na

7 qual a odulação de baixa orde QPSK foi adotada, neste trabalho, o detector GSD apresentou desepenho uito abaixo do aceitável, eso na versão auxiliada pelo LR a elhora no desepenho foi praticaente nula, já o detector QRD-M apresentou desepenho ML para M = 18, coo pode ser visualizado nesta esa figura. No entanto, adotando-se M = 17, o desepenho QRD-M apresentou-se insuficiente, eso co o auxílio da redução LR, houve apenas ua arginal elhoria de desepenho. O SD anteve o desepenho ML, coo esperado. Assi, na versão auxiliada por LR, o aior ganho esperado na estrutura LR-SD é relativo à sua coplexidade de ipleentação. B. Efeito da Correlação Espacial do Canal MIMO A Figura 6.a apresenta os desepenhos dos detectores investigados neste trabalho, e teros de SER SNR, para canais edianaente correlacionados ( ρ = 0,5 ), enquanto a Figura 6.b apresenta a esa figura de érito quando considerado canal forteente correlacionado ( ρ = 0, 9 ). Pode-se notar que o desepenho da estratégia greedy, co e se LR, peranece consideravelente pobre nos cenários investigados. Nota-se tabé que a estratégia QRD-M, co M=17, co e se LR, passa a apresentar u desepenho substancialente degradado para essas configurações. Por outro lado, as técnicas SD e QRD-M para M=18, co e se LR, continua a apresentar desepenhos satisfatórios. De ua fora geral, percebe-se que o auento do índice de correlação entre antenas iplica inevitavelente e ua deterioração de desepenho desses detectores. Para os detectores baseados nas estratégias SD e QRD-M co M=18, e ua SER alvo de 10-3, a perda de SNR quando se passa da condição de canal descorrelacionado para a condição de canal MIMO edianaente correlacionada é de aproxiadaente 3 db. Por outro lado, quando se passa do cenário edianaente correlacionado para forteente correlacionado, essa perda de SNR é ainda uito aior, para 11dB, evidenciando a condição de canal uito ais desfavorável ao processo de counicação. Figura 6. SER para os detectores QRD-M, GSD e SD e sistea co = n = 4 e odulação 16-QAM e canais MIMO a) edianaente correlacionados, ρ = 0,5; b) forteente correlacionado, ρ = 0, 9, confore odelo da seção II.A. C. Coplexidade Coputacional A coplexidade dos algoritos de detecção MIMO co ou se auxílio LR foi analisada e teros de operações reais necessárias. Os três algoritos aqui discutidos faze uso da decoposição QR coo parte de seus respectivos processos de busca pelo elhor vetor candidato. A coplexidade da técnica LR encontra-se na prieira linha da Tabela I; ua vez que o algorito utilizado para realizar a redução treliça utiliza da decoposição QR, pode-se notar que sua coplexidade é uito próxia da coplexidade da decoposição e si (segunda linha). Assi, a coplexidade final dos detectores MIMO sub-ótios auxiliados por LR será a soa da coplexidade do detector e questão à coplexidade da decoposição QR e à coplexidade da redução treliça. Evidencia-se através dos resultados apresentados na Tab. I que a coplexidade da decoposição QR, da orde de 3 ( ), é doinante na deterinação da coplexidade das funções de busca centrais dos algoritos QRD-M e GSD, as quais apresenta coplexidade da orde de ( ) e ( C ), respectivaente. Alé disto, o SD, e seu elhor caso (enor coplexidade), i.e., operando na região de elevada SNR, apresenta coplexidade da orde de ( ). Figura 5. SER para os detectores QRD-M, GSD e SD e sistea co = n = 4 e odulação 16-QAM.

8 TABELA I. COMPLEXIDADE DO DETECTORES MIMO, EM TERMOS DE OPERAÇÕES REAIS: REDUÇÃO TRELIÇA, ETAPA DE DECOMPOSIÇÃO QR (COMUM) E COMPLEXIDADE DAS DEMAIS ETAPAS DOS TRÊS DETECTORES MIMO. TÉCNICA COMPLEXIDADE LR 3 5 QR M C QRD-M ( ) GSD ( + 7 ) + ( ) SD ( 5 ) + Cγ C C Elaborando ais, observe-se que ua vez que a decoposição QR é ua etapa cou aos três detectores, a coplexidade desta etapa cou é destacada na ª linha da Tab. I. Para as deais etapas, o QRD-M apresenta coplexidade fixa e relação à SNR, dependendo apenas do taanho M, quantidade de antenas transissoras,, e orde da odulação, C. Obviaente, quanto aior o M, ais raos serão expandidos, aior a coplexidade e elhor é a qualidade da solução encontrada pelo algorito QRD-M. Por sua vez, o detector de busca gulosa GSD tabé apresenta coplexidade fixa e relação à SNR, sendo dependente apenas da quantidade de antenas transissoras e da orde da odulação. A coplexidade do detector esférico SD é variável, estocástica e dependente das condições do canal e do nível de ruído [9], alé da quantidade de antenas e da orde de odulação. Dependendo da cobinação destes fatores, a coplexidade do SD pode ser increentada de polinoial quadrática (elhor caso) a exponencial [4]. Por isso, constitui ua tarefa árdua e bastante coplexa a obtenção de ua expressão fechada para descrever a coplexidade do SD. A expressão obtida aqui é ua aproxiação siplificadora, poré suficiente para a análise proposta neste trabalho. Assi, na Tab. I, alé dos parâetros e C, na análise de coplexidade do SD considerou-se o parâetroγ, o qual representa a dependência da coplexidade SD co as condições do canal (ou nível de ruído), sendo portanto 1 γ SNR. Assi, para ua análise ais copleta acerca da coplexidade do detector esférico, o leitor deve consultar [4]. E [43] os autores faze ua análise extensiva para a coplexidade de vários detectores MIMO sub-ótios. Meso que soando a coplexidade do LR à do SD, o que aparenteente elevaria a coplexidade final, na prática não é o que acontece, devido às características anteriorente citadas do SD, pois devido à redução treliça a atriz de canal reduzida é ais próxia da ortogonalidade, fazendo co que seja necessárias enos expansões de raos para que o algorito encontre a solução ML ou uito próxia à ML. Isso pode ser observado na Fig. 7, a qual ostra, de fora copleentar à Tab. I, as operações equivalentes obtidas através dos tepos coputacionais para as ipleentações e Matlab dos três detectores. Tais tepos coputacionais fora convertidos e núeros de operações reais equivalentes, dividindo-se tais tepos pelo tepo édio necessário à realização de ua operação soa real. Figura 7. Coplexidade a partir do tepo coputacional equivalente, e relação da SNR. Sistea co = n = 4 e odulação 16-QAM. Neste gráfico, pode-se observar a vantage do LR-SD sobre o SD; por exeplo, para SNR = 6dB, o LR-SD realizou aproxiadaente 0% enos operações. E níveis de SNR u pouco ais baixos, essa proporção é antida, enquanto que para a região de baixa SNR, a diferença é u pouco enor, as o LR-SD sepre apresenta vantage e teros de redução coputacional. Para os deais detectores, há ua coplexidade constante e relação à SNR, confore explicitado anteriorente; portanto, co a aplicação do LR, suas coplexidades apresentara-se ligeiraente aiores; isso é devido ao acréscio de operações causado pelo LR, o qual não é copensado pela quantidade de raos expandidos, pois nestes detectores a quantidade de raos expandidos é fixa. No caso do QRD-M esperava-se, entretanto, que co o auxilio do LR fosse possível utilizar u valor de M enor para diinuir a coplexidade ao eso tepo que este antivesse desepenho ML. Assi, pode-se conjecturar que sob u sistea co ua aior orde de odulação e/ou quantidade de antenas o resultado e teros de redução de coplexidade ou elhoria de desepenho, quando auxiliado por LR, seria ais satisfatório. Meso assi, e situações de baixa SNR, sua coplexidade ainda é enor do que a do SD e do LR-SD, podendo ser ua opção para u sistea que opera nesta faixa de SNR. Os dados obtidos, tanto e relação ao desepenho quanto e relação à coplexidade, nos perite concluir que dentre os detectores MIMO analisados, o SD anté-se coo a elhor opção. Co o auxilio do LR, a sua coplexidade é reduzida substancialente, tornando ainda ais vantajosa sua utilização e sisteas de counicação práticos. D. Ipleentabilidade: Detector MIMO de Busca Guiada Híbrido SD QRD-M Sabe-se que o desepenho alcançado pelo detector esférico é copatível co o alcançado pelo detector de áxia verossiilhança [3]. Coo ostrado na subseção VI.A, os detectores baseados na estratégia SD e na estratégia QRD-M co M=18 apresentara desepenhos satisfatórios e equivalentes. Poré, foi ostrado na subseção VI.B a existência de ua grande diferença entre os detectores MIMO sub-ótios sob o ponto de vista da coplexidade coputacional. Enquanto o detector baseado na estratégia QRD-M co M=18 se ostrou enos coplexo para regiões de baixa SNR (abaixo de 6 db confore indicado na

9 Figura 7), o detector LR-SD apresentou enor coplexidade para os deais regiões de SNR. Visto que as técnicas QRD-M co M=18 e LR-SD alcançara desepenho ML, ua estratégia proissora do ponto de vista de engenharia consiste e cobinar abas estratégias, caracterizando u detector MIMO de busca guiada híbrido. Prieiraente o detector faz ua estiativa da SNR na qual o sistea está operando. Dependendo dos parâetros de counicação adotados, coo orde de odulação, e núero de antenas transissoras e receptoras, o detector então decide qual estratégia de detecção irá executar. Essa decisão é obtida coparando-se a SNR de operação co a SNR na qual as curvas referentes às coplexidades dos detectores se intercepta, a qual corresponde a SNR=6 db, para u sistea MIMO QAM, por exeplo. Obviaente, seria necessário ua etapa de ajuste inicial para configurar esses valores de SNR, para cada possível configuração de sistea MIMO (basicaente deterinado pelo núero de antenas no transissor e receptor). Este ajuste inicial, poré, não iplicaria e u auento de coplexidade do detector híbrido e condições norais de operação, dado que seria feito apenas quando a topologia do sistea MIMO fosse alterada. VII. CONCLUSÃO Co o intuito de encontrar alternativas para a coplexidade exponencial inerente ao detector MLD, três detectores sub-ótios adequados para sisteas MIMO fora analisados, e versões co e se o auxilio da técnica de redução treliça. Os algoritos QRD-M, GSD e SD para detecção e canais MIMO fora coparados e teros de desepenho SER SNR, be coo coplexidade coputacional, caracterizado pelo núero de operações reais necessárias. O elhor coproisso desepenhocoplexidade foi obtido pelo LR-SD, versão do detector esférico auxiliado pela técnica de redução treliça, o qual anteve desepenho ML, poré sua coplexidade final apresentou-se enor que a do SD, do QRD-M e do LR-QRD- M. Note-se que o detector de busca gulosa GSD resultou e substancial degradação de desepenho, ostrando-se inadequado para as condições de operação e configurações de sistea utilizados. Por outro lado, o QRD-M apresentou-se adequado do ponto de vista do coproisso desepenho coplexidade apenas para situações de baixa SNR, onde sua coplexidade ainda é enor que a do SD e do LR-SD. Adicionalente, tendo e vista que a estratégia ais eficiente dentre os detectores MIMO analisados depende da SNR de operação do sistea, este trabalho discutiu a ipleentação de u detector híbrido para sisteas MIMO, o qual seja capaz de escolher entre as estratégias LR-SD e QRD- M, co M=18, de acordo co as condições do canal counicação disponíveis. Copleentarente, neste trabalho analisou-se o ipacto da correlação espacial do canal MIMO sobre a degradação de desepenho dos três detectores MIMO sub-ótios. três casos de correlação espacial fora considerados: nula, (ρ = 0) édia (ρ = 0,5) e elevadíssia correlação (ρ = 0,9). A enor degradação no desepenho foi alcançado co o uso dos detectores MIMO QRD-M co M=18 e SD. De ua fora geral, o auento do índice de correlação entre antenas iplica e ua deterioração de desepenho e todos os detectores MIMO analisados. Assi, detectores SD e QRD-M co M=18, e ua SER alvo de 10-3, resultara e ua perda de SNR de de aproxiadaente 3 db quando o canal MIMO 4 4 passa da condição de descorrelacionado para edianaente correlacionado. Por outro lado, quando se passa do cenário edianaente correlacionado para forteente correlacionado, essa perda de SNR é ainda uito aior (11 db), evidenciando a condição de canal uito ais desfavorável ao processo de counicação. REFERÊNCIAS [1] Y. M. Mostagi, T. Abrão, and P. J. E. Jeszensky, Detectores guiados para sisteas MIMO: Abordagens esférica, decoposição QR e greedy, in XXIX Sipósio Brasileiro de Telecounicações - SBrT 11, 011. [] E. Mino, E. Torrecilla, L. del Apio, and I. 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His research interests includes physical layer aspect such ultiuser coherent detection, MIMO systes and search algoriths. José Carlos Marinello Filho received his B.S. in Electrical Engineering (Sua Cu Laude) fro Londrina State University, PR, Brazil, in Deceber 01, and his M.Sc. fro the sae institution in Noveber 014. He is currently working towards his Ph.D. at Londrina State University, Paraná, Brazil. His research interests include physical layer aspects, specially heuristic and convex optiization of 4G and 5G MIMO systes. Taufik Abrão (SM 1) received the B.S., M.Sc., and Ph.D. degrees in electrical engineering fro the Polytechnic School of the University of São Paulo, São Paulo, Brazil, in 199, 1996, and 001, respectively. Since March 1997, he has been with the Counications Group, Departent of Electrical Engineering, Londrina State University, Londrina, Brazil, where he is currently an Associate Professor of Counications engineering. In 01, he was an Acadeic Visitor with the Counications, Signal Processing and Control Research Group, University of Southapton, Southapton, U.K. Fro 007 to 008, he was a Post-doctoral Researcher with the Departent of Signal Theory and Counications, Polytechnic University of Catalonia (TSC/UPC), Barcelona, Spain. He has participated in several projects funded by governent agencies and industrial copanies. He is involved in editorial board activities of six journals in the counication area and he has served as TPC eber in several syposiu and conferences. He has been served as an editorial board of the IEEE COMMUNICATIONS SURVEYS & TUTORIALS since 013 and IET Journal of Engineering since 014. He is a eber of SBrT and a senior eber of IEEE since 01. His current research interests include counications and signal processing, specially the ulti-user detection and estiation, MC- CDMA and MIMO systes, cooperative counication and relaying, resource allocation, as well as heuristic and convex optiization aspects of 3G and 4G wireless systes. He has co-authored of ore than 170 research papers published in specialized/international journals and conferences.