- Proposta de Resolução -

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Isaac Barroso
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4. as Olimpíadas Concelhias da Matemática Final do Barlavento - Proposta de Resolução - Categoria: (7º, 8º e 9º ano) 16 de bril de 2008 Parte I : Escolha Múltipla Soluções: Cotação da Parte I:

Então o termo com 2009 algarismos terá 2008 = 251 repetições do padrão 12345432. Como o algarismo 1 aparece uma vez 8 em cada padrão e uma vez no final do termo, então teremos 251+1=252 algarismos 1.

1 4. as Olimpíadas Concelhias da Matemática Final do Barlavento - Proposta de Resolução - Categoria: (7º, 8º e 9º ano) 16 de bril de 2008 Parte I : Escolha Múltipla Soluções: Cotação da Parte I: Questão: Resposta Correcta: 1 (B) 2 (E) 3 (B) Certas Erradas Nº de respostas: Proposta de resolução das questões da Parte I : Escolha Múltipla 1. Se decompusermos o quadrado em triângulos geometricamente iguais, encontramos 50 triângulos no total. O número de triângulos sombreados é 30. Logo a parte sombreada é 30 = 3. Resposta (B) Dos termos da sequência reparamos que existe uma regularidade em que há um padrão: que se repete, acabando cada um dos termos da sequência com o algarismo 1. Cada padrão tem 8 algarismos. Então o termo com 2009 algarismos terá 2008 = 251 repetições do padrão Como o algarismo 1 aparece uma vez 8 em cada padrão e uma vez no final do termo, então teremos 251+1=252 algarismos 1. Resposta (E) 3. formiguinha parte do centro do círculo e desloca-se a velocidade constante. À medida que o tempo passa: 3ºtroço 2ºtroço 1º troço: a distância d da formiguinha ao centro vai aumentando. 1ºtroço 2º troço: Quando chega à fronteira do círculo (circunferência com o mesmo raio do círculo), percorre o arco de circunferência assinalado na figura mantendo-se a uma distância constante do centro do círculo (igual ao raio). 3º troço: Quando a formiga chega ao fim do arco assinalado na figura regressa ao centro do círculo. À medida que se aproxima do centro a distância d da formiguinha ao centro vai diminuindo até que se anula. Resposta (B) Pág.1 de 5

2 Parte II : Resposta berta Regras gerais para a correcção de todos os problemas resolução dum problema que contenha apenas a resposta correcta, será cotada com 1 Ponto resolução dum problema que, na sequência dum raciocínio errado, apresenta a resposta correcta, será cotada com 0 Pontos s resoluções elaboradas na base de raciocínios correctos, mas que contêm erros, serão avaliadas de acordo com os critérios adoptados pelos professores nomeados para a correcção do respectivo problema. Recomenda-se que cada erro menor seja penalizado em 1 Ponto Pág.2 de 5

3 Proposta de resolução do problema 4 O João tem de descobrir um código de 3 algarismos diferentes B C. Ele sabe que B é maior do que, que é menor do que C e ainda: B B + + C C = B x x C = Qual é o código que o João procura? Proposta: Sabe-se que B x x C = única maneira de obter 210 como produto de três algarismos diferentes é 210=7 5 6 Como B B + + C C = podemos escrever =188 Ele sabe que B é maior do que, que é menor do que C e que o código é BC Logo =5. R: ssim, temos duas possibilidades para o código BC: 567 ou 576. Calcular os três números cujo produto é Pontos Verificar que a soma dá Pontos Justificar que é Pontos Encontrar as soluções do código...2 Pontos Resposta...1 Ponto Pág.3 de 5

4 Proposta de resolução do problema 5: No desenho ao lado, o triângulo [BC] é rectângulo em B e os lados do polígono (região escura) são paralelos ou coincidem com algum dos catetos do triângulo. Calcula x de modo que a área do polígono seja igual à do triângulo x 2 B C Uma Proposta: condição dada pelo problema: polígono = triângulo Para determinar a área do polígono podemos decompô-lo em dois rectângulos como mostra a figura. área do polígono é igual à soma da área do rectângulo de 5 por x+2 com a área do rectângulo de medidas 10 por 2. polígono = 5 ( x + 2 ) = 5x = 5x + 30 triângulo ( x ) x + 30 = = x + 30 = 5x x+ 30 = 10x x = 30 x = 6 R: Para que a área do triângulo seja igual à área do polígono x é 6. Indicar a condição que traduz o problema...1 Ponto Exprimir em função de x a área do polígono...2pontos Exprimir em função de x a área do triângulo....2 Pontos Escrever a equação que traduz o problema....1 Ponto Resolver a equação....3 Pontos Dar resposta ao problema Ponto Pág.4 de 5

5 Propostas de resolução do problema 6: Utilizando um balancé, a mãe de 4 irmãos gémeos, B, C e D resolvem tentar descobrir quem é mais pesado que quem. Para comparar os seus pesos fez três experiências e registou os resultados das suas observações: Na primeira experiência verificou que: +B>C+D. Na segunda experiência verificou que: D+B=C+. Na terceira experiência verificou que: +D<C. Indique por ordem decrescente os pesos dos quatro irmãos. Proposta: Como +B>C+D e D+B=C+, podemos concluir que : + B+ D+ B> C+ D+ C+ 2B> 2C B> C Como D+B=C+ então C= D+B-. Substituindo C em +B>C+D e resolvendo em ordem a vem: + B> D+ B + D 2> 2D > D Como +D<C então podemos concluir que C > Como B >C e C> e >D então podemos concluir que B >C>>D. R: B >C>>D. Concluir que B>C...3 Pontos Concluir que >D...3 Pontos Concluir que C<...2 Pontos Concluir que B>C>>D Pontos Pág.5 de 5

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