- Proposta de Resolução -

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1 5. as Olimpíadas Concelhias da atemática inal do Barlavento - Proposta de Resolução - Categoria: A (7º, 8º e 9º ano) 9 de Abril de 009 Parte I: scolha últipla Soluções: Questão Resposta correcta 1. (C). () 3. (C) Cotação da Parte I: rradas N.º de respostas: Certas Proposta de Resolução inal do Barlavento 009 1

2 Proposta de resolução das questões da Parte I (scolha últipla) 1. Utilizando, por eemplo, um diagrama em árvore, chegamos à conclusão que são 1 os códigos diferentes que a Ana pode construir. Designando por barra fina, barra média, barra espessa Obtemos os seguintes códigos: Diagrama de árvore: As opções não assinaladas encontram-se repetidas. Resposta (C) Proposta de Resolução inal do Barlavento 009

3 . Através de uma tabela, poderemos facilmente chegar à resposta pretendida: Números entre Nº de noves Números entre Nº de noves Números entre Nº de noves 0 e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e Total ntre 0 e 009 eistem 601 algarismos 9. Resposta () 3. Se e G são pontos médios de [BD] e [AC], respectivamente, então [DC] forma um quadrado. A [HI] = A [IG] e portanto A [D] = m. ntão tem-se que A [DC] = 4 m e A [ABCD] = 8 m. Resposta (C) Proposta de Resolução inal do Barlavento 009 3

4 Parte II: Resposta Aberta Regras gerais para a correcção de todos os problemas A resolução dum problema que contenha apenas a resposta correcta, será cotada com 1 Ponto A resolução dum problema que, na sequência dum raciocínio errado, apresenta a resposta correcta, será cotada com 0 Pontos As resoluções elaboradas na base de raciocínios correctos, mas que contêm erros, serão avaliadas de acordo com os critérios adoptados pelos professores nomeados para a correcção do respectivo problema. Recomenda-se que cada erro menor seja penalizado em 1 Ponto Proposta de Resolução inal do Barlavento 009 4

5 Proposta de resolução do problema 4 Cotação: 10 Pontos 4.Três amigas, a Carmo, a argarida e a Rita foram a um baile com vestidos de cores diferentes. Uma vestiu azul, outra branco e a outra preto. Chegando ao baile, o anfitrião perguntou quem era cada uma delas. A de azul respondeu: A Carmo está de branco. A de branco disse: u sou a argarida. A de preto acrescentou: A Rita está de branco. Como o anfitrião sabe que o que a Carmo diz é sempre verdade, ele foi capaz de identificar correctamente quem era cada uma das amigas. Quais são as cores dos vestidos da Carmo, da argarida e da Rita? Proposta: Analisemos cada uma das afirmações das amigas: Cor do vestido de quem fez a afirmação Azul Branco Preto Afirmação A Carmo está de branco u sou a argarida A Rita está de branco Conclusão A amiga com vestido azul não é a Carmo, caso contrário teria dito A Carmo está de azul, uma vez que não mente A amiga com vestido branco também não é a Carmo pois se fosse teria dito u sou a Carmo Por eclusão de partes, a amiga com o vestido preto só pode ser a Carmo. Como a Carmo diz sempre a verdade, a Rita tem o vestido branco e por sua vez a argarida tem o azul. Resposta: O vestido da Carmo é preto, o da Rita é branco e o da argarida azul. Critérios de correcção: Concluir que a amiga de vestido azul não é a Carmo.. pontos Concluir que a amiga de vestido branco não é a Carmo.. pontos Concluir que a amiga de vestido preto é a Carmo... pontos Concluir que a Rita tem o vestido branco.... pontos Concluir que a argarida tem o vestido azul.. 1 ponto Resposta... 1 ponto Proposta de Resolução inal do Barlavento 009 5

6 Proposta de resolução do problema 5 Cotação: 10 Pontos 5. O Simão gastou tudo o que tinha no bolso em cinco lojas. m cada uma gastou 1 a mais do que a metade do que tinha ao entrar. Quanto tinha o Simão no bolso à partida? Primeira Proposta: Consideremos que o Simão tinha euros no bolso à partida. Recorrendo a uma tabela, vemos o que em cada loja o que o Simão gastou e o dinheiro com que ficou. Loja Gastou icou com 1ª ª 3ª 4ª 5ª = + 6 = = = = Como o Simão gastou tudo o que tinha, depois da 5ª loja ficou com zero euros: 6 3 = 0 6 = 0 = 6 ou Como o Simão gastou tudo o que tinha, a soma de tudo o que gastou é euros: = = = 6 = 6 Resposta: O Simão tinha no bolso 6. Proposta de Resolução inal do Barlavento 009 6

7 Critérios de correcção: screver a epressão do dinheiro que gastou na 1ª loja... pontos screver a epressão do dinheiro que gastou na ª loja... 1 ponto screver a epressão do dinheiro que gastou na 3ª loja... 1 ponto screver a epressão do dinheiro que gastou na 4ª loja... 1 ponto screver a epressão do dinheiro que gastou na 5ª loja... 1 ponto Resolver uma das equações pontos = 0 ou = Resposta ponto Proposta de Resolução inal do Barlavento 009 7

8 Segunda Proposta: Seja o dinheiro que o Simão tem ao entrar numa das lojas, então nessa loja gasta + 1 euros. Logo ao abandonar a loja restam 1 euros. Tendo em conta que ao sair da última loja o Simão não tem dinheiro ( 1 = 0 ), então saiu da quarta loja com euros. Quer isto dizer que o Simão saiu da terceira loja com 6 euros ( 1 =). Do mesmo modo é possível concluir que depois de sair da segunda loja o Simão tinha 14 euros ( 1 = 6 ) e que ao sair da primeira loja tinha 30 euros ( 1 = 14 ). ntão é possível concluir que o Simão inicialmente tinha 6 euros ( 1 = 30 ). Resumindo, se y é dinheiro que o Simão tinha ao abandonar uma loja então = ( y+ 1), onde o dinheiro que o Simão tinha ao entrar nessa loja. É portanto possível construir a seguinte tabela. Loja Dinheiro que tinha ao abandonar a loja (y) Dinheiro que tinha ao entrar na loja ( = ( y+ 1) ) 5ª 0 4ª 6 3ª 6 14 ª ª 30 6 Critérios de correcção: Obter a relação entre o dinheiro que o Simão tinha ao entrar numa das lojas e o dinheiro que tinha ao sair dessa loja pontos Calcular quanto dinheiro tinha o Simão ao entrar em cada uma das lojas 5 pontos Resposta ponto Nota: Se o aluno construir a tabela sem eplicar como chegou a a relação entre o dinheiro que o Simão tinha ao entrar numa das lojas e o dinheiro que tinha ao sair dessa loja, a resposta deverá ter uma cotação máima de 6 valores. Proposta de Resolução inal do Barlavento 009 8

9 Proposta de resolução do problema 6 Cotação: 10 Pontos 6. A figura mostra uma pista de kart com um formato especial. O triângulo CG é equilátero. Os lados [CG] e [C] foram divididos em três partes iguais e sobre estes foram construídos quadrados a partir de [BH] e de [DI]. A pista é composta por 4 arcos de circunferência: um com centro em H, outro com centro em I e dois com centro em C. O arco AB mede 90 m. Qual é o comprimento da pista? 1ª Proposta: Se arco AB tem 90 m, então os arcos GAB e D têm 180 m cada. Do arco GAB, que é uma semicircunferência de raio r, vem que πr = 180 πr = 180m. O arco BD é um seto de uma circunferência de raio r, e logo o arco BD é πr 180 = πr = = 60m O arco G é um seto de uma circunferência de raio 3r, logo o arco G é π (3r) 6πr = = πr = 180m. 6 6 O comprimento da pista é a soma do comprimento dos arcos GAB, D, BD e G: = 600m. Resposta: O comprimento da pista é de 600 m. Critérios de correcção: Concluir que o arco GAB tem 180 m. Concluir que o arco D tem 180 m.. screver uma epressão que envolva o raio Calcular o comprimento do arco BD... Calcular o comprimento do arco G Calcular o comprimento total da pista. Resposta... 1 ponto 1 ponto pontos pontos pontos 1 ponto 1 ponto Proposta de Resolução inal do Barlavento 009 9

10 ª Proposta: O arco BAG mede 180m, assim como o arco D. Como o arco AB mede 90 m, AH = HB = BC =CD e G C ˆ = 60º (o triângulo [CG] é equilátero) podemos usar raciocínio proporcional e logo o arco BD mede 60 m. Os triângulos [CG] e [BCD] são semelhantes porque o comprimento dos lados [CG] e [CB] assim como [C] e [CD] são directamente proporcionais (de razão 3) e o ângulo por eles formado é geometricamente igual (por ser comum aos dois triângulos). Logo o arco G tem o triplo do comprimento do arco BD, ou seja, 180 m. O comprimento da pista é a soma do comprimento dos arcos GB, D, G e BD: = 600 m. Resposta: O comprimento da pista é de 600 m. Critérios de correcção: Concluir que os arcos BAG tem 180 m ponto Concluir que o arco D tem 180 m.. 1 ponto Calcular o comprimento do arco BD... ponto Concluir que os triângulos CG e BCD são semelhantes... pontos Calcular o comprimento do arco G pontos Calcular o comprimento total da pista. 1 ponto Resposta... 1 ponto Proposta de Resolução inal do Barlavento