Escola Secundária com 3ºCEB de Lousada

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1 Escola Secundária com ºCEB de Lousada Ficha de Trabalho de Matemática do º ano ssunto: Soluções da ficha de preparação para a ficha de avaliação de Matemática y Considera a equação Resposta: y y y y Resposta: É equação do tipo y k b logo o gráfico é uma recta que não passa pela origem do referencial ( função afim) Sendo k > a função é crescente e a ordenada na origem é - logo a recta irá cortar o eio das ordenadas em - ou seja passa pelo ponto ( ) Calculando um outro ponto para o gráfico sendo por eemplo y ssim a recta irá passar também pelo ponto de coordenadas ( ) Resposta: ode resolver-se a equação começando por escrevê-la na forma canónica e de seguida multiplicar as soluções obtidas ssim ( ) ± ( ) ± S roduto das raízes (B) Nota: Também é possível apresentar a resposta a este item começando por verificar que como a a soma das b c soluções é e que o produto das soluções é ssim teria sido desnecessária a resolução do item a a s abcissas de e B Resposta: Na obtenção da abcissa do ponto B somos levados a recorrer ao Teorema de itágoras para descobrirmos o valor eacto da diagonal do quadrado que originou a utilização do compasso no desenho do arco ssim sendo d essa diagonal fica: d d 8 Deste modo e sabendo que o arco tem centro em a abcissa de B é 8 Do mesma maneira teremos de recorrer ao Teorema de itágoras para descobrirmos o raio do arco de circunferência usado na marcação do ponto Deste modo d 8 d Logo tem de abcissa - Escreve a equação da função de proporcionalidade directa cujo gráfico verifica: Resposta: Se é uma função de proporcionalidade directa a sua epressão terá de ser do tipo y k Logo y y y Resposta: Também será do tipo y k ssim y Resposta: Finalmente y O canário que pia e come Resolve a equação dada em ordem a c Resposta: p ( c ) p c p c c p Resposta: Substituindo p por fica: c c 8 O canário come oito vezes por dia Resposta: Depois de verificarmos a fórmula para diversos valores detectamos que para ele comer um número natural de vezes tem de piar um número ímpar de vezes

2 Resposta: É equação do tipo y k b em que b Resta determinar o valor de k substituindo na fórmula y k b o par ordenado ssim fica: k k Logo a equação será y Sabendo que a recta passa pelos pontos ( ) e ( ) o gráfico é o que está representado ao lado Resposta: 8 s funções f e g 8 Indica se são verdadeiras ou falsas 8 Resposta: Verdadeiro 8 Resposta: Falso ois sendo uma recta que não passa pela origem do referencial a função é apenas afim por se tratar de uma recta 8 Resposta: Falso s funções são crescentes como tal têm declive positivo 8 Resposta: Verdadeiro ordenada na origem é o ponto de coordenadas ( b) 8 Resposta: Falso ois o declive das rectas é positivo Sistema de equações: Resposta: y ( y) y y y y y ( ) 8 8 S {( ) } Em relação à figura ao lado que está representada num referencial sabe-se que: Resposta: ( ) e B ( ) Em relação ao perímetro do triângulo [ OBB ' ] indica: Resposta: O triângulo [ ' ] pelo Teorema de itágoras o comprimento dos lados [ OB ] e [ OB ' ] OBB é isósceles ssim será necessário calcular que têm as mesma dimensão Sabendo que MB e que OM fica: OB MB MO Logo OB Sendo assim erímetro OB OB' BB ' M Resposta: erímetro Resposta: Sendo uma função do tipo y k basta determinar o valor de k Deste modo função poderá ficar definida por y Considera o conjunto ] ] Resposta: (C) ] [ k y logo k Resposta: Se subiu duas unidades vai passar pelo ponto de coordenadas ( ) e além disso terá o mesmo valor de k Sendo assim será dada pela equação: y

3 Resposta: Sendo a função decrescente o seu declive será negativo e corta o eio das ordenadas em factos que nos levam a ecluir as opções () (D) No cálculo do k podemos usar o ponto de coordenadas ( ) ssim substituindo na fórmula y k b vem k k Logo a opção correcta é (C) y Resposta: Substitui-se y por e fica 8 (C) 8 Resposta: O termo geral (epressão geradora) dos círculos brancos é n O termo geral dos círculos pretos é n e o termo geral do número total de círculos é n Sendo assim a ª figura terá: círculos pretos e círculos na totalidade Então Considera as equações do tipo k k IR Resposta: Substituindo k por - fica: ± ± ( ) S { } equação é impossível Resposta: equação tem duas soluções reais distintas se > Logo ( ) k > k 8 > k > k 8 Resposta: Na resolução deste problema iremos recorrer a um sistema de equações Sendo o número de cadernos de tamanho e y o número de cadernos de tamanho fica: y y y y y ( y) y 8 y y y 8 y Foram vendidos cadernos de tamanho e cadernos de tamanho [ ] Resposta: Os triângulos BC e [ EFC ] são semelhantes pois têm de um para o outro dois ângulos iguais Sendo assim como 8 é o dobro de então Opção (C) 8 é o dobro de ou seja S {( ) } Na figura seguinte está representada a planificação de um cubo Resposta: Opção () Na figura seguinte está representada num referencial Oy a circunferência que tem como centro o ponto ( ) e que contém o ponto D ( 8) Resposta: rimeiro vamos indicar as coordenadas dos pontos em falta: B ( ) e ( ) C ssim é possível saber B CD 8 e CB Logo [ ] CD B BCD CB 8 [ BCD] 8 Resposta: equação da recta C terá de ser do tipo y k b com b e k < Utilizando as coordenadas de para o cálculo do declive fica: k k equação da recta C é dada pela equação: y Resposta: Diminuindo o número de dias em que se pretende asfaltar a auto-estrada o número de operários terá de aumentar ssim e tratando-se de uma situação de roporcionalidade inversa d o k k k o Opção (C)

4 Resolve as seguintes equações Resposta: ( ) S ( ) S ( ) ( ) ( ) ( ) ± S S { } S Sofia resolveu a equação a equação Resposta: rimeiro é necessário resolver a equação de º grau ssim ( ) ( )( ) Logo os casos possíveis são ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { } Determina a probabilidade dos acontecimentos: Resposta: Sabendo que se podem fazer produtos ( ) ( ) então ( ) Resposta: ( ) ( ) então ( ) B Resposta: ( ) C Resposta: ( ) D O Rui saiu de casa às horas da manhã Seja f a função que a cada valor de t faz corresponder a distância em metros do Rui à sua casa no instante t : Resposta: Gráfico ao lado Resposta: [ ] [ ] 8 ' f D Df Resposta: ( ) f Às horas e minutos o Rui estava a metros de casa Resposta: equação ( ) t f traduz o seguinte problema Qual foi o intervalo de tempo ( contado em minutos após as horas) durante o qual o Rui permaneceu no café? [ ] CS Resposta: ( ) { } CS t f

5 Seja g a função que a cada valor de t faz corresponder a distância em metros do Rui ao café no instante t : Resposta: Gráfico ao lado Resposta: equação ( t) g( t) f traduz o seguinte problema: Quais foram os instantes (contados em minutos após as horas) em que o Rui esteve a igual distância de casa e do café? CS { } Considera o produto dos números X - Completa a tabela ao lado: Determina a probabilidade de o produto obtido ser: Resposta: (Maior do que ) Resposta: (Menor do que -) Resposta: (Não positivo) z Resposta: z z z z z z z z CS 8 Rita e a Inês são amigas 8 Resposta: s f e g podem estar representadas na opção C opção não é a opção correcta pois no início do percurso a Rita ainda não tinha percorrido distância nenhuma opção B não é opção correcta pois as duas amigas percorreram a mesma distância situação que o gráfico não ilustra O gráfico D também não é correcto pois as amigas partem ao mesmo tempo 8 Resposta: ode resolver-se esta questão através de um sistema começando por determinar o tempo gasto d 8 pelas duas amigas a fazer a viagem ssim a Rita demorou v t h o correspondente a t t horas e minutos or sua vez a Inês fez o mesmo percurso em horas e minutos correspondendo a horas Deste modo conclui-se que a Inês se deslocou a uma velocidade de km/h Sendo distância a que a Rita se encontrava de ltavila e t o tempo que demorou até esse ponto vem: t 8 t 8 t Rita estava a 8 km de ltavila quando se encontrou com a Inêsdmite t t 8 Resposta: ( XL) Nº de T-shirts XL Considera os conjuntos: π e B Resposta: { } Resposta: B [ ] or eemplo Resposta: B[ π [

6 Do conjunto 8 ( ) π escolhe-se um número ao acaso Resposta: Não pertencem a Z os números π 8 e ( ) or isso são casos favoráveis em possíveis Logo Resposta: São irracionais os números π e 8 logo Resposta: O problema pode resolver-se recorrendo a um sistema de equações ssim o número de raparigas e y o número de rapazes fica: ( 8) ( y ) 8 y 8 ( ) S {( ) } Inicialmente estavam na festa raparigas e rapazes Resposta: O problema pode resolver-se recorrendo a um sistema de equações ssim o número de autocarros com lugares e y o número de autocarros com lugares fica : y y y y y y y 8 y y 8 y 8y y y S {( ) } Foram alugados autocarros de lugares e de lugares Na figura estão representados em referencial on Oy : Resposta: Tratando-se de uma recta que não passa pela origem do referencial a sua equação será do tipo y k b ara isso é necessário conhecermos as coordenadas de dois pontos ssim B ( ) ( ) e sendo o raio da circunferência Sabendo que b é a ordenada na origem então b Resta-nos agora determinar o valor do declive k substituindo na fórmula o par ( y) pelas coordenadas de um dos pontos indicados Usando para esse efeito as coordenadas de B fica: k k Logo a recta BD tem como equação y π Resposta: º Cálculo da área do quarto de -círculo π OC OD º Cálculo da área do triângulo[ COD ] [ OCD ] [ OCD] º Cálculo da área da região tracejada tquartocír culo triângulo Resposta: º Cálculo da área do triângulo [ ] tsombreada sombreada π B D BD [ BD ] [ BD] 8 π º Cálculo da área do semi-círculo [ CD] π º Cálculo da área da região sombreada tracejada triângulo semicírculo 8 π 8 tracejada

7 ( ) < Resposta: S É o ] [ < < < > empresa strolábio Resposta: O problema pode resolver-se recorrendo a um sistema de equações Sendo preço de cada bilhete em ortugal e y preço de cada bilhete em Espanha fica : y y y y y y 8 S {( ) } Em Espanha um bilhete custa euros Um bilhete Resposta: Sendo preço de cada bilhete na Holanda e em França fica custava em França Numa festa de aldeia foi montado um palco para realizar um espectáculo de dança Em frente montou-se uma plateia com cadeiras dispostas em filas Em cada fila as cadeiras foram encostadas umas às outras sem intervalos entre elas Na primeira fila colocaram cadeiras na segunda fila mais cadeiras do que na primeira na terceira fila mais cadeiras do que na segunda e assim sucessivamente rranjaram-se lugares Resposta: nº da fila 8 total Nº de cadeiras 8 plateia ficou com filas Resposta: s três primeiras filas têm lugares logo o número de casos favoráveis será: ssim Observação: Há um erro na ficha alínea está colocada fora do local Deve sair da posição inicial e passar a ser a alínea