3 Modelo Matemático com Ângulos seqüenciais - início do movimento

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1 7 Moelo Matemático com Ângulos seqüenciais - início o movimento Um coro no esaço tem seis graus e liberae, três e translação e três e rotação. Este trabalho se restringe à inâmica e rotação o coro, consierano como fio um sistema referencial que translaa com origem no centro e massa o rotor. Limita-se ortanto o estuo à rotação ao reor o centro e massa. Para os três graus e liberae (rotação ura escolhe-se três coorenaas generalizaas na forma e ângulos seqüenciais. No Giroscóio e laboratório aresentao no Caítulo e utilizao ara a visualização e comortamento, o rotor é suortao or ois anéis (ou quaros (susensão carânica. A artir a base fia caa anel acrescenta um grau e liberae ao movimento, e um grau e liberae rovém o rório rotor, em um total e três graus e liberae. Embora eistam três coros, a inâmica este sistema é escrita com aenas três coorenaas generalizaas. O roblema básico que será estuao neste trabalho consiste em um coro (rotor, com uma velociae angular inicial, e quantiae e movimento angular constante alinhaas na mesma ireção (eio z, quano é imactao or uma força eterna instantânea em ireção erenicular ao eio z (imacto que ocorre sobre um os quaros carânicos. O imacto gera uma muança instantânea na ireção a quantiae e movimento angular, iniciano um movimento cônico o eio e simetria (e s em torno o eio a quantiae e movimento angular. Figura.: uantiae e movimento angular urante o imacto.

2 8 Para entener o rocesso e imacto, ois sistemas referenciais são consieraos: o rimeiro ( com eios (,, z, one z está alinhao com o eio e simetria o rotor (e s, e o seguno (F com eios (,, z one a quantiae e movimento angular (eois o imacto tem a ireção z. Antes o imacto a quantiae e movimento angular escrita no S ( é: H G H G Deois o imacto a quantiae e movimento angular mua e osição e agora é mais fácil escrevê-la no S (F: F h G h G e F são os sistemas referenciais aresentaos na Eq. (. e Eq. (.. O coro (rotor ossui simetria orém não é aissimétrico. Consierano um S (S fio ao coro resulta uma matriz e inércia iagonal, visto que os routos e inércia são toos nulos. Os momentos rinciais e inércia serão esignaos or I, I, I. Usano a matriz e transformação e coorenaas, Eq. (.4, obtém-se a matriz e inércia no S (. A B IG T IG T I B C (. S S S One: A cos γ + sin γ (. B ( cosγ sinγ (. C sin γ + cos γ (.4 I I I I (.5 Pela equação e Euler M H t, consierano um imacto e uração muito equena oe-se escrever: M t H. Com a matriz e inércia e o vetor velociae angular é ossível obter a quantiae e movimento angular o coro (ou o rotor no Giroscóio no S (. Trabalha-se neste S orque convenientemente ele foi efinio eois o imacto.

3 9 ω ω ω ω z ( ω + ω ( ω ω A B I h I ω B + C I (.6 ωz I G G Se o imacto acontece aenas no eio (Figura., ele rouz a seguinte variação a quantiae e movimento angular, a Eq.(.6: M t H ( ω + ω ( ω ω A B I H B + C I H z ωz I Daqui se obtém a variação a velociae angular: C M t ω I B M t ω ω z I (.7 Se o imacto acontece aenas no eio ele rouz a seguinte variação a quantiae e movimento angular, a Eq.(.6: H ( ω + ω ( ω ω A B I M t H B + C I H z ωz I Obteno-se a variação a velociae angular: B M t ω I A M t ω ω z I (.8 Em ambos os casos, imacto em e, o valor a quantiae e movimento angular no eio z não mua orque ω z, e a velociae angular já eistente ω z Ω no eio z não muará evio ao imacto. Deois o imacto aenas as comonentes a velociae angular nos eios e variarão e serão: ω ω e ω ω... Coro no Esaço As equações e movimento são obtias or métoos iferentes, uma vez aroveitano as integrais e quantiae e movimento e energia no caso em que são constantes, outra vez utilizano a formulação e Lagrange. Neste caitulo valemo-nos os ângulos carânicos ara escrever o movimento o coro

4 4 seguino o raciocínio e rotações seqüenciais. A matriz e inércia e um coro, escrita em seu rório S, oe ser aresentaa como: S I I I G I (.9 Usano a matriz e transformação e coorenaas, Eq. (.4, oe-se levar a matriz e inércia ao S(, conforme Eq.(.. A velociae angular a artir e rotações seqüenciais elementares, usano Eq.(. e Eq.(.4 é obtia no S( como: α cos β ω β α sin β + γ (. Deois o imacto, o vetor quantiae e movimento angular volta a ficar F constante e escrito no S (F vale: h [ h ] G G T. A quantiae e movimento angular no S (F se calcula a artir a velociae angular a Eq.(., e a matriz e inércia a Eq.(.. h Cte T h T T I ω (. F F F G G G É conveniente trabalhar com equações aimensionais. O rocesso e normalização as equações começa ela efinição a quantiae e movimento angular no instante eois o imacto. Define-se a quantiae e movimento angular o coro eois o imacto h G I v. O temo será muao e segunos ara um valor aimensional τ ν t, one v reresenta uma velociae angular equivalente (instantaneamente eois o imacto []. A reresentação a erivaa em relação ao temo aimensional τ, é: α vα β v β γ vγ (. esolveno a Eq.(., alicano o roceimento e normalização usano as erivaas a Eq.(., e utilizano o raciocínio o roblema inverso o item..5 no Caítulo, obtém-se o sistema e equações e movimento. γ cos β Csin β Bsin β cosαcosβ α C B cosαsinβ cosβ (. β Bcosβ Acosβ sinα

5 4 A energia cinética se calcula utilizano a velociae angular a Eq.(. e F a quantiae e movimento angular inicial eois o imacto: [ h ] este valor é constante urante o movimento. T T F F C G G h, E ω h ω T h (.4 A energia cinética na sua forma aimensional é efinia como: EE E C h G v EE β sinα + γ cosα cos β (.5 As equações e movimento obtias ara escrever a inâmica o coro no esaço or este caminho são e rimeira orem, seno ortanto necessárias aenas conições iniciais e osição (ângulo inicial []. A energia cinética também oe ser reresentaa aenas com os ângulos, substituino na Eq.(.5 as velociaes a Eq.(., resultano: EE (cosαcos β + + γ α + γ α β + γ α γ α β ( cos sin sin cos sin ( sin sin cos cos sin G G T (.6 As equações e Lagrange nos ermitem chegar às equações e movimento or outro caminho: inicia-se a análise ela energia cinética, a Lagrangeana no caso é comosta aenas ela energia cinética e rotação. A energia cinética e um coro, escrito no seu rório S (S, é calculaa seguino o raciocínio as rotações elementares (item.. o Caítulo. α cos β cosγ + β sin γ S ω α cos β sin γ + β cosγ (.7 α sin β + γ Com esta velociae angular e a matriz e inércia a Eq.(.9 se obtém a energia cinética escrita no S (S: S T S S E C ω IG ω ( ( ( ( α cos βcosγ βsinγ αcos βsin γ βcos γ αsin β γ EC I + + I + + I + (.8 No sistema conservativo as equações e Lagrange se alicam facilmente: EC EC EC EC EC EC t α α t β β t γ γ Os resultaos as equações anteriores nos fornecem equações e movimento e seguna orem o coro. Aqui também se trabalha com equações aimensionais, usano o mesmo roceimento e normalização anterior, e a

6 4 mesma hiótese anterior: h G I v e τ ν t, obteno-se acelerações angulares. α v α β v β γ v γ Normalizano, simlificano e arranjano as equações obtias or Lagrange, temos: α {( + B cosβ γ α + ( + Csinβ α β cos β ( C( ( ( γ β B cosβ sinβ α } (.9 { β + γ β + + β β α ( B ( A( cos sin ( ( B sinβ α β ( A( cosβ γ α } (. γ {( B cos β ( β + ( + B sin β cos β γ α cos β (( ( sin β cos β B cosβ α ( C( ( sin D cos + + β + β α β ( C ( sinβ γ β } + + (. One os arâmetros e são os valores e momentos e inércia normalizaos escritos na Eq.(.5. Também os arâmetros A, B e C foram aresentaos antes: Eq.(., Eq.(. e Eq.(.4. O novo arâmetro D se escreve: ( D ( cos γ sin γ (. A energia cinética a Eq.(.8 oe-se escrever na sua forma aimensional, seguino o critério e normalização anterior ara energia cinética na Eq.(.5, resulta: ( cos cos sin ( cos sin cos ( sin EE α β γ + β γ + α β γ + β γ + α β + γ (. As equações Eq.(.5 e Eq.(., reresentam o mesmo valor e energia cinética o coro no esaço, elas têm formas iferentes or que foram escritas em sistemas referenciais iferentes, mas no cálculo numérico resulta o mesmo valor.

7 4... Conição inicial o coro no esaço Inicialmente as equações e movimento são e rimeira orem, Eq.(., seno necessárias aenas as conições iniciais e osição: α, β e γ. A Figura. aresenta um esquema o imacto. estringimo-nos a uas ireções, imacto em ( H e imacto em ( H, que oem ser as comonentes e um imacto qualquer ortogonal ao eio e simetria o rotor (e s. O ângulo γ não eene o imacto, mas em um rotor sem aissimetria sua osição angular na rotação rória influencia na inâmica o movimento resultante. Este ângulo moifica a ireção a configuração inercial o rotor, or eemlo: se γ a inércia teria a ireção e a ireção, se γ 9 a inércia teria a ireção e a ireção (one e refere-se a vetores em (. As equações e seguna orem, Eq.(.9, Eq.(. e Eq.(. são integraas com conições iniciais e osição e velociae: α, β, γ, α', β' e γ'. O resultao eve ser igual ao as equações e rimeira orem, Eq.(., cuja solução se inicia com uma osição inicial mas cujas equações efinem as velociaes no instante inicial: γ cos β C sin β B sin β cosα cos β α C B cosα sinβ cos β β B cosβ A cosβ sinα (.4 Na comaração os ois sistemas eve haver igualae e energia cinética e e quantiae e movimento angular. Analisam-se agora soluções ara ois casos em articular, imactos na ireção o eio ou em forma isolaa. Primeiro Caso. Se o imacto acontece no eio ( H, os ângulos que escrevem a osição inicial são: α, β e γ qualquer. Os valores as velociaes angulares iniciais são: γ cosα α C B β B A sinα (.5 A energia inicial que será constante urante o movimento, nas uas formas aresentaas nas Eq.(.5 e Eq.(., é resectivamente: A EE β sinα + γ cosα + sin α (.6

8 44 ( cos sin ( sin cos ( EE α γ + β γ + α γ + β γ + γ (.7 Até agora a osição o ângulo γ não tem um valor esecífico, este valor eene tanto a energia inicial quanto as velociaes iniciais. Eerimentalmente inclusive seria um esafio sincronizar um imacto com uma osição angular efinia ara o rotor. Para simlificar as equações, convenientemente trabalha-se com γ, os arâmetros aimensionais iniciais: A, B e C. Então, as conições inicias recalculaas com α, β e γ serão: γ cosα α (.8 β sinα EE + sin α A energia é obtia através a Eq.(.7: (.9 sinα EE ( α + ( β + ( γ ( + + ( cosα sin α+ cos α + sin α (. A energia aimensionalizaa aumenta com a intensiae o imacto se <. A velociae γ' cosα é efinia aós imacto, e oe ser utilizaa como um inicaor a intensiae o mesmo. Para β a velociae angular γ' cosα ω z vai servir como um arâmetro e controle o comortamento o sistema na terminologia a inâmica não linear. Seguino o raciocínio a Eq.(.8, ela toma um valor normalizao iferente em caa intensiae e imacto. Utilizano e rotações seqüenciais (item.. o Caitulo é fácil obter a velociae angular inicial no S(, Eq.(.. Lembrano que ω z não mua e valor ( ω z urante o imacto, e as velociaes ω e ω eram nulas antes o imacto, então eois o imacto: ω ω e ω ω. ( α cos β ω ω β ω α sin ( β + γ ω z Substituino estas variações e velociae na Eq.(.8, temos: ω αcos β I (. B M t A M t ( ω β (. I

9 45 Substituino as velociaes iniciais a Eq.(.5 na equação anterior, ara um valor e γ qualquer, relaciona-se o ângulo inicial e a magnitue e imacto o momento imulsivo: M t sinα (. I Este resultao mostra que um valor e imacto na ireção ositiva o eio gera um ângulo ositivo α. Seguno Caso. Se o imacto acontece no eio ( H, os ângulos que escrevem a osição inicial são: α, β e γ qualquer. As velociaes angulares iniciais neste caso são: γ cos β C sin β B sin β cos β α C B sinβ cos β β B cosβ A cosβ (.4 A energia cinética inicial normalizaa ara este caso, na forma a Eq.(.5: C EE γ cos β + sin β (.5 Para simlificar as equações trabalha-se com γ, os arâmetros aimensionais iniciais: A, B e C. Então, as conições inicias recalculaas com α, β e γ serão: γ cos β sin β cos β α sinβ cos β β cosβ A energia inicial: (.6 EE + sin β (.7 A energia cinética o coro reresentaa ela Eq.(. tem a mesma forma a Eq.(.7 quano for simlificaa eois substituir nela as conições iniciais o caso. Com o mesmo raciocínio o rocesso e imacto ( ω ω e ω ω, elicao no caso anterior. Substituino estas variações e velociae na Eq.(.7, temos: C M t ( ω αcos β I B M t ω β (.8 I

10 46 Substituino as velociaes iniciais a Eq.(.6 na equação anterior, ara um valor e γ qualquer, relaciona-se o ângulo inicial e a magnitue e imacto o momento imulsivo: M t sin β (.9 I Este resultao mostra que ara um valor e imacto na ireção ositiva o eio gera um ângulo negativo β... Sistema conservativo Se negligenciarmos qualquer tio e atrito no Giroscóio, orém consierarmos a inércia os seus quaros, teremos um sistema conservativo e três coros e três graus e liberae. Os coros que comõem o sistema estão reresentaos na Figura.. As equações e movimento serão obtias elas equações e Lagrange, manteno as coorenaas generalizaas usaas em rotações seqüenciais. A energia cinética total o sistema é a soma as energias cinéticas e caa coro. Por ser a energia cinética um escalar seu valor é calculao em qualquer S, mas a reresentação as equações oe muar seguno o S. Convenientemente calcula-se a energia e caa coro no seu rório S. Não há variação e energia otencial. O cálculo a energia cinética o quaro eterno se faz no S(, neste S a matriz e inércia é constante no temo, os routos e inércia são nulos ela simetria. I Et I I I z (.4 O quaro eterno aenas tem um grau e liberae, a sua velociae angular é: ω Et α A energia cinética o quaro eterno é: ECEt (.4 α I (.4

11 47 O cálculo a energia cinética o quaro interno se faz no S (, este coro tem geometria muito arecia à e um anel elgao (Fig.., ela simetria os routos e inércia são nulos. I Int I I (.4 I z O quaro interno tem ois graus e liberae, calcula-se sua velociae angular meiante as uas rimeiras rotações seqüenciais. ω Int α cos β β (.44 α sin β A energia cinética o quaro interno é: ECInt α cos β I + β I + α sin β I (.45 z O rotor tem três graus e liberae, e a energia cinética o rotor no S (S está reresentaa or Eq.(.8. A energia cinética total o sistema é: E α I + α cos β I + β I + α sin β I CSist z ( ( α ( ( cos β cos γ β sin γ α cos β sin γ β cos γ α sin β γ + I + + I + + I + (.46 Alica-se a equação e Lagrange à energia cinética o sistema, ara caa ângulo, a seguinte forma: ECSist ECSist ECSist ECSist ECSist ECSist t α α t β β t γ γ As equações e movimento o sistema são normalizaas elo mesmo rocesso anterior, Eq.(., ara trabalhar em forma aimensional. Para simlificar as equações o quaro interno tem a istribuição inercial e um anel elgao, I I e I I z I. Deois e arranjar e simlificar as equações e movimento temos: α ( ( ( ( A + cos β + + sin β + cos β C + { B ( B ( + + cos β γ α cos β sin β α ( ( + C cosβ sinβ α β (( C ( cosβ γ β } (.47

12 48 β ( ( ( ( A + cos β + + sin β + cos β C + (( ( + + B sinβ cos β α β + A + ( ( D cos β + + sin β + cos β cos β γ α (( A( cos ( β A ( ( (( { + β + β β β α + + β + cos sin cos sin cos sin cos B } + β + β γ β (.48 γ {(( ( A + cos β + ( + sin β + cos β ( C + ( ( ( sin β cos β cos β β + C + A B (( C ( ( A ( D sin β cos β ( ( D( C + + sin β + cos β + cos β α β (( cos ( sin ( sin cos + A + β β + β + β ( ( ( + C+ B cos β α Bsin β cos β γ α (( C ( D sinβ cosβ γ β } (.49 One os arâmetros A, B, C e D foram aresentaos anteriormente, Eq.(., Eq.(., Eq.(.4 e Eq.(.. Os momentos e inércia e o rotor foram aresentaos na Eq.(.5. O valor é o momento e inércia normalizao o quaro eterno no eio (Eq.(.4, os valores e são os momentos e inércia o quaro interno, Eq.(.4, e são efinios a seguinte forma: I I I I I I I z I (.5 A equação aimensional a energia cinética, seguino o mesmo raciocínio a Eq.(.5, é: Sist ( EE α + α cos β + β + α sin β + α cos βcosγ + β sin γ + ( α β γ + β γ + ( α β + γ (.5 cos sin cos sin A quantiae e movimento angular também funamental ara entener o rocesso e imacto, é a soma as quantiaes e movimentos angulares e caa coro o sistema. Convenientemente calculamos a quantiae e movimento

13 49 angular no S(, isto iminui a comleiae o cálculo numérico. A quantiae e movimento angular o rotor se calcula com a velociae angular a Eq.(. e a matriz e inércia a Eq.(.. H ot Aα cos β + B β I B α cos β + C β (.5 α sin β + γ A quantiae e movimento angular o quaro interno se calcula com a velociae angular a Eq.(.44 e a matriz inércia a Eq.(.44. H Int I α cos β I β (.5 I zα sin β A velociae angular a Eq.(.4 e a matriz e inércia a Eq.(.4 nos fornecem a quantiae e movimento angular o quaro eterno no S(, o asso seguinte é levá-lo ao sistema referencial ( meiante a matriz transformação e coorenaas a Eq.(.4. H Et I α cos β (.54 I α sin β Finalmente, a quantiae e movimento angular o sistema resulta a soma os vetores as Eq.(.5, Eq.(.5 e Eq.(.54. H Sist ( ( cos I Aα cos β + B β + I α cos β + Iα cos β I B α β + C β + I β I ( α sin β + γ + Izα sin β + I α sin β (.55 A equação anterior é normalizaa elo mesmo rocesso antes aresentao na Eq.(., e os valores os momentos e inércia aimensionais as Eq.(.5 e Eq.(.5. A quantiae e movimento angular o sistema na forma normalizaa: H Sist ( A + + α cos β + B β ( C + β + B α cos β ( + + α sin β + γ (.56 Teno a quantiae e movimento angular o sistema no S ( oe-se reresenta-la em qualquer outro sistema referencial. A reresentação no S(F é articularmente útil ara observar a variação o vetor no esaço acomanhano o movimento.

14 5... Conição inicial o sistema conservativo As equações que escrevem o movimento são e seguna orem, seno necessárias ortanto conições iniciais e osição e velociae mas, ara elas escreverem o resultao e um imacto eve-se ter em conta os asectos iscutios no item... Os ângulos iniciais (α, β e γ aarecem a efinição os ois S imeiatamente eois o imacto, e as velociaes iniciais são obtias a muança o vetor quantiae e movimento angular. No instante inicial (eois o imacto a quantiae e movimento angular é a mesma aresentaa na Eq.(., transformano-a ao S (, e eois e assano-a elo rocesso e normalização resulta na forma aimensional: ( β cos ( α sin ( α ( β cos( α sin H ( T T h (.57 cos F F Sist t G Igualano as equações Eq.(.56 e Eq.(.57 obtêm-se as velociaes angulares inicias. sin β cosα + C sin β cosα + B sinα α ( C + A + cos β B β (( ( ( sin β cosα + + sinα + A sinα A + ( ( C γ A (( + ( + C + A + {(( ( C cos β cos cos ( (( C sin cos B sin sin } (.59 + β α β α + α β (.6 Com as velociaes inicias em função os ângulos inicias, as conições iniciais ossíveis ficam comletamente efinias. No caso o coro no esaço a magnitue o imacto fica comletamente efinia elo ângulo inicial, e no caso o sistema vale a mesma conclusão. Seguino o raciocínio as conições iniciais o imacto, Eq.(.6, e usano a quantiae e movimento angular ara o sistema conservativo a Eq.(.56, temos a equação que relaciona a magnitue o imacto com o ângulo inicial. Por eemlo, no imacto em ( H, os ângulos que escrevem a osição inicial são: α, β (ara um valor e γ qualquer, então:

15 5 B M t (( + ( + C + A + ( ω αcos β I ( (( + ( + C + A + A + + M t ω β I Substituino as velociaes iniciais a Eq.(.58 e Eq.(.59 chega-se a: M t sinα I Para o imacto no eio ( H chega-se ao mesmo resultao a Eq.(.9. Portanto a magnitue o imacto fica efinia elo ângulo inicial... Sistema com atrito Não consierano o atrito com o meio que envolve o aarelho, a issiação se limita ao atrito que eiste entre os coros comonentes o Giroscóio. Consiera-se viscoso este atrito ara efeito e reresentação matemática. Continuano a usar rotações seqüenciais trabalha-se com os quatro S a Eq.(.. Atente-se que o S ( é soliário ao quaro eterno, o S ( ao quaro interno e o S (S ao rotor. Em muitas ocasiões, nas fórmulas, faz-se referencia ao S em lugar o coro. Para elicitar as forças entre os coros, as equações e movimento serão obtias elas leis e Newton e Euler, os três coros o sistema serão analisaos isolaamente (Figura.. Eistem momentos ou forças internas e ação e reação nas uniões (mancais os coros que comõem o sistema, estas forças relacionam as equações obtias na análise e caa coro, e finalmente, se obtêm as equações e movimento o Giroscóio. Inicia-se a análise elo quaro eterno, este coro tem aenas um grau e liberae e a sua velociae angular foi aresentaa na Eq.(.4. O quaro eterno interage com o sistema fio (F elo mancal que há na sua base (Fig..5. A equação que relaciona uma comonente o momento (torque o quaro interno sobre o quaro eterno é: ( Atrito M M I α (.6 F

16 5 One ( M é o momento o quaro interno sobre o quaro eterno (comonente o eio comum entre o S (F e S (, Atrito M é o momento F resistivo no mancal que fica na base o quaro eterno, I foi efinia na Eq.(.4. O momento resistivo evio ao atrito viscoso com coeficiente entre (F e (: Atrito M CF α F C F (.6 A equação Eq.(.6 reresentaa no S(, oe ser escrita como: ( M I α + C α (.6 F Continua-se a análise elo quaro interno, a velociae o quaro interno foi aresentaa na Eq.(.44. O momento (torque o quaro eterno sobre o quaro interno através os mancais, no S(: ( M M C β (.64 ( z M De forma equivalente o momento no quaro eterno evio ao quaro interno, no S(, oe se escrever e forma geral como: M M ( ( M M ( z (.65 O atrito viscoso também está resente no mancal que une o quaro interno e o rotor. Os momentos oriunos o rotor sobre o quaro interno no S(: M S M ( S ( M S C S γ (.66 O momento no quaro interno será calculao utilizano a lei e Euler. O onto e referência inicao or inica o centro e massa o quaro interno, que, ao esconsierar imrecisões e fabricação, coincie com o centro e massa o rotor (S. H M H + ω% H (.67 t

17 5 A matriz e inércia o quaro interno foi aresentaa na Eq.(.4, e eois foi simlificaa assumino uma geometria e um anel elgao. Nestas conições a quantiae e movimento angular o quaro interno, Eq.(.5, se escreve como: I α cos β H I β (.68 I α sin β A matriz associaa til (item. o Caítulo à velociae angular o quaro interno, mostraa na Eq.(.44, é escrita como: αsinβ β ω% α sin β α cos β (.69 β α cos β E, ara comletar a Eq.(.67, eriva-se o vetor quantiae e movimento angular a Eq.(.68, resultano: I ( α cos β α β sin β H I β (.7 I ( α sin β + α β cos β Substituino as três ultimas equações anteriores na Eq.(.67 temos: M I ( α cos β α β sin β I ( I I sin ( + ( β + α β cos β I α sin β α β cos β I I α β cos β (.7 Outro caminho ara chegar ao momento no quaro interno, é ela soma os momentos que eercem o quaro eterno e o rotor. M M + M (.7 S Calcula-se o momento o quaro eterno sobre o quaro interno no S(, transformano a Eq.(.64 o S ( ara (: ( ( ( z M M cos β + M sin β ( M M T M C β (.7 ( ( z ( z M M cos β M sin β Os momentos e ação e reação entre o quaro interno e eterno são: M M (.74

18 54 Igualano a comonente no eio a Eq.(.74 com a Eq.(.6 obtia a análise o quaro eterno: ( ( M M I α C α (.75 F Na Eq.(.7 substitui-se as equações Eq.(.7 e Eq.(.66: I ( α cos β α β sin β ( sin ( + ( M S ( I β + I I α β cos β M + M S I α sin β α β cos β I I α β cos β C S γ Então o momento o quaro eterno sobre o quaro interno no S(: M ( I ( α cos β α β sin β M S ( I β ( I I α sin β cos β M S ( sin cos ( cos + I α β + α β β I I α β β C S γ Passano o momento anterior ao S(: ( (.76 (.77 cos β sin β M T M M (.78 sin β cos β Consierano aenas a comonente em o momento M no S(, Eq.(.78, obtém-se o mesmo resultao que a Eq.(.75, ( ( ( S I α C α I α cos β α β sin β M cos β F ( I ( ( I I CS + α sin β + α β cos β α β cos β γ sin β (.79 Arranjano a equação anterior tem-se: ( S ( M cos β α I + I cos β + I sin β + C α C γ sin β ( AF BC I I α β cosβ sin β (.8 Consierano o momento o quaro eterno sobre o quaro interno no S (, Eq.(.77, a comonente no eio eve ser igual à comonente a Eq.(.64, eliminano com isso mais uma incógnita. ( ( sin cos S I β + I I α β β M C β (.8 Arranjano a equação anterior: ( M I β + ( I I α sin β cos β + C β (.8 S

19 55 O último coro analisao é o rotor, S (S. A velociae o rotor no S ( foi aresentaa na Eq.(., e a matriz e inércia na Eq.(.. O momento o quaro interno sobre o rotor, elo efeito e ação e reação na Eq.(.66, oe ser calculao também ela lei e Euler: ( M S ( M M M H + ω% H C S γ S S S S S (.8 A quantiae e movimento angular ser simlificaa como: A α cos β + B β h H S I B α cos β C β h + α sin β + γ h z H S é a mesma a Eq.(.5, e oe (.84 A matriz associaa til a velociae angular foi aresentaa na Eq.(.69. O routo a matriz associaa ela quantiae e movimento angular simlificaa a Eq.(.84, á como resultao: h α sin β + h z β ω% H S h α sin β hz α cos β (.85 h β + h α cos β Deriva-se a forma simlificaa o vetor quantiae e movimento angular, Eq.(.84, e junto com a Eq.(.85, substitui-se na Eq.(.8 ara obter o momento o quaro interno sobre o rotor. ( M S h h α sin β + h z β ( M S h + h α sin β hz α cosβ C hz h β h α cos β S γ + (.86 Estas são as incógnitas que faltavam nas equações: Eq.(.8 e Eq.(.8. uano se substitui as incógnitas na Eq.(.86 obtemos as equações que escrevem o movimento o sistema. Ao analisar a rimeira linha a Eq.(.86, recisa-se multilicar elo termo cosβ ara que a incógnita fique igual à a Eq.(.8: ( S ( z M cos β + h h α sin β + h β cos β (.87 As outras linhas a Eq.(.86 são:

20 56 ( M + h + h α sin β h α cos β (.88 S z C γ + h h β + h α cos β (.89 S z Agora, faltam aenas as erivaas e h, h e h z, que são obtias erivano a Eq.(.84 o que inclui os arâmetros aresentaos nas equações Eq.(., Eq.(. e Eq.(.4. Consierano algumas rorieaes os arâmetros A, B, C e D, com: A B γ, C B γ, B D γ, as erivaas são: ( γ βα βαβ βα γ β β h I B cos Asin + Acos + D + B (.9 ( γ βα βαβ βα γ β β h I D cos Bsin + Bcos + B + C (.9 ( h z I sin β α + α β cos β + γ (.9 Substituino toas as incógnitas que aresentam as equações: Eq.(.8, Eq.(.8, Eq.(.9, Eq.(.9 e Eq.(.9 nas equações finais: Eq.(.87, Eq.(.88 e Eq.(.89, obtêm-se as equações e movimento: ( (( + + ( + ( + I Acos β + I + I cos β + I sin β α + I Bβ cos β I B αγ cos β A C I I I α β cosβ sinβ D I β γ cosβ ( I B α sin β cos β + C F α C S γ (.9 ( ( ( ( I C+ I β + I B αcos β + I A+ + I I sin β cos β α + I b γ β ( αγ β β (.94 + I D cos + C ( ( ( I γ + I αsin β + I D αβcos β + I Bcos β α I B β + C S γ (.95 Estas equações evem ser normalizaas, com o mesmo rocesso efinio anteriormente, as erivaas se alteram e acoro com a Eq.(., e as inércias aimensionais com as Eq.(.5 e Eq.(.5. Um novo arâmetro resulta o rocesso e normalização ara o coeficiente e atrito viscoso, em sua forma normalizaa se escreve: C C C k, k, k (.96 F S F S vi vi vi Finalmente, as equações o movimento que escrevem a inâmica o Giroscóio, na sua forma aimensional, são:

21 57 α ( ( ( ( A + cos β + + sin β + cos β C + { B ( B ( + + cos β γ α cos β sin β α ( ( + C cosβ sinβ α β (( C ( cosβ γ β ( C sin β ks γ B cos β k β ( C kf α } (.97 β ( ( ( ( A + cos β + + sin β + cos β C + (( ( + + B sinβ cos β α β + A + ( ( D cos β + + sin β + cos β cos β γ α (( A( cos ( β A ( ( (( { + β + β β β α + + β + cos sin cos sin cos + β + β γ β + β β γ sin cos B B cos sin ks ( Acos β sin β cos β k β B cos β kf α } (.98 γ {(( ( A + cos β + ( + sin β + cos β ( C + ( ( ( sin β cos β cos β β + C + A B (( C ( ( A ( D sin β cos β ( ( D( C + + sin β + cos β + cos β α β (( cos ( sin ( sin cos + A + β β + β + β ( ( ( + C+ Bcos β α Bsin β cos β γ α (( C ( D sin cos (( C ( β β γ β + ( ( A + cos β + + sin β + + cos β k γ S ( } + B cos β sin β k β C + sin β k α F (.99

22 58 A eressão matemática ara a energia cinética aimensional o Giroscóio é a mesma escrita na Eq.(.5. A análise a conição inicial é a mesma que no caso o sistema conservativo, orque o sistema é o mesmo e orque no rocesso e imacto o atrito não está envolvio. Então as velociaes iniciais em função os ângulos iniciais são as eressões matemáticas: Eq.(.58, Eq.(.59 e Eq.( Trajetória o eio o rotor Uma forma elegante e observar o movimento consiste em acomanhar a trajetória e um onto o eio o rotor (eio e simetria (e s orém não e aissimetria, vetor e coorenaas (,,z. Antes o imacto o eio ermanece fio no esaço e or conseqüência as coorenaas (,,z ficam constantes, eois o imacto o eio assa a aresentar movimento e nutação e recessão. Convenientemente trabalha-se com um vetor unitário, cuja trajetória esacial é sobre uma esfera e raio unitário. sin β cos β sinα z cos β cosα (. Estas coorenaas ajuam muito na visualização o movimento, estano escritas no S(F. No instante inicial, antes o imacto, o valor é: r(,,. Finalmente, com isto se oem efinir claramente os ois laos o hemisfério, um quano z> e o outro quano z<. Esta istinção será muito imortante quano consieramos a estabiliae o sistema e rocurarmos efinir as bacias e atração. Um movimento instável será causaor e asseio este vetor elos ois hemisférios.