7 Formulação para a Simulação da Zona Plástica

Transcrição

1 73 7 Formulação ara a Simulação a Zona Plástica 7.1. Equações básicas O moelo numérico é formulao em termos e ois camos. Um camo interola eslocamentos no contorno Γ, ao como funções u = u ao longo e Γ (7.1) i in n e n arâmetros noais e eslocamentos [ n ] = n R localizaos ao longo e Γ. Eles têm suorte local e satisfazem as conições e eslocamentos no contorno como remissa. Um seguno camo interola tensões elásticas no omínio Ω, como mostrao na Equação (7.2), aa como uma série e funções e n = n * arâmetros e força * * = [ ] n m R. Eles têm suorte global e satisfazem as equações e equilíbrio no omínio, como uma remissa. Eles oem ser soluções funamentais em termos e funções e tensão e Westergaar generalizaas ou e Kelvin. O algoritmo roosto é alicao à solução e roblemas com zonas lásticas equenas ao reor as ontas as trincas, istribuías entro e um coro biimensional e contorno aberto ou fechao. O roblema numérico é formulao a artir o otencial e Hellinger- Reissner, baseao no suosto e ois camos, como imlementao or Pian (1964) e generalizao or Dumont (1989), conuzino assim a uas equações matriciais que exsam conições e equilíbrio noal e e comatibiliae. Dumont (2011) mostra que uma simles, e matematicamente consistente forma e exsar essas equações é em termos e ois rincíios e trabalho virtuais ineenentes entre si. No entanto, uma vez que a maioria os roblemas a mecânica a fratura é aa ela conição e contorno e Neumann, a ente análise é trita ara este caso articular, no qual aenas o rinciio os trabalhos virtuais em termos e eslocamentos é necessário.

2 74 Assume-se que a solução articular elástica que corone às forças e coro b i é conhecia. O fenômeno elasto-lástico é simulao or meio e um conjunto e equações globalmente alicaos ao coro elástico, com uma correção ara as forças o omínio inicialmente esbalanceaas routo as zonas lásticas, como ilustrao na esquera a Figura 30. Num eterminao instante a análise numérica, a exsão o camo e tensões no omínio é = + = + (7.2) e m m one é uma solução articular elástica que corone às forças e coro b i e = é o camo elástico exsao como uma série e soluções m m funamentais m multilicao or arâmetros e força m, que são as variáveis esconhecias. Além isso, o camo e tensões, ara o qual em rincíio não existe exsão analítica, é subtraío ara levar em conta a zona lástica. Em seguia, que é iferente e zero entro e um conjunto e subomínios Ω l, em torno as ontas as trincas, e = 0 no omínio comlementar Ω Ω l. Para forças e tração t i alicaas em Γ Γ (conições e contorno tio Neumann). O rincíio os trabalhos virtuais e eslocamentos é escrito como ( ), + δui j Ω = tiδ ui biδ ui Ω Γ + Ω Γ (7.3) Ω Isto corone a uma formulação inicial e tensões, tal como referio na literatura técnica. Aós substituições e u i e m e acoro com as interolações assumias, integrano or artes e alicano o teorema e Green, a equação acima torna-se ( ) δ δ δ T T T T T H = + U (7.4) one = u Ω (7.5) n in, j Ω l é um vetor e eslocamentos noais, equivalente ao camo e tensões as zonas lásticas e ( n n = uin ti n j )Γ (7.6) Γ

3 75 é um vetor e forças noais equivalentes. A matriz mn in Γ m j H H = u n Γ (7.7) acaba or ser a mesma matriz otencial o métoo convencional os elementos e n n contorno (que vem as soluções funamentais e Kelvin) e U = [ ] R é a u mn exsão matricial a transformação a artir os arâmetros e força interna m introuzios na Equação (7.2) nos arâmetros e eslocamentos noais Equação (7.1). n a U = (7.8) Outra exsão útil obtia a artir a Equação (7.4) (aós cancelar ( ) T δ ) é T 1 = H + F (7.9) one F tem o significao e uma matriz e flexibiliae: F = (7.10) Os esenvolvimentos que levam às Equações (7.4)-(7.10) e esecialmente às exsões matriciais e U e F são exlicaos na róxima seção Derivação o termo iual ara o calculo iterativo As equações (7.4)-(7.8) são o ultao os esenvolvimentos a artir a Equação (7.3) ( ) δui, j tiδ ui biδ u Ω Γ i Ω ( ) + Ω = Γ + Ω + δu Ω = tδu Γ + bδu Ω + δu Ω i, j i i i i i, j Ω Γ Ω Ω + η jδui Γ (, j +, j ) ui ti ui bi Γ δ Ω = δ Ω Γ + Γ Ω ( ) ( ) δ H = δ + δu Ω n mn m n n n Ω l i, j ( ) δ H = δ + δ u Ω n mn m n n n m im, j Ω l (7.11) δu Ω + δu i Ω l i, j one ois termos se anulam evio à conição e equilíbrio, j = em Ω. Sublinhaos e sublinhaos ulos são usaos ara ientificar os termos coronentes ao longo as transformações. bi H mn, como efinio na Equação Ω

4 76 (7.7) ara a aroximação e tensões inicaas na Equação (7.2), é a mesma matriz otencial o métoo convencional os elementos e contorno quano são usaas as soluções funamentais e Kelvin. Nesse caso, o seguno termo sublinhao na equação acima mostra que, j = m, j m = δim m, one δ im é uma função elta generalizaa, geral no omínio aberto. Para soluções funamentais aas ela função e tensão e Westergaar a Equação (4.1),, = 0 em Ω. Já que os arâmetros noais e força interna j m, referio às soluções funamentais e Kelvin ou Westergaar, só se alicam fora o omínio e intese Ω, a exsão e H mn na Equação (7.7) é justificaa, com integrais singula fortes ou fracas que são trataas e forma aequaa. II P P e ( ) = E e ε ε = Eε O P I = Eε = ε ε ε Figura 30. Curva tensão-eformação ara a análise elasto-lástica em termos e tensões iniciais (esquera); e suerfície e escoamento em termos e tensões rinciais, P, (Dumont e ( ) com o estao e tensões reentao elo onto ( ) I II Mamani, 2013). Em formato matricial, a ultima linha a Equação (7.11) leva a ( ) δ δ δ T T T T H = + (7.12) O ultao final inicao na Equação (7.11) é obtio aós uma transformação crucial, que tem justificativa variational e auxilia na teoria o métoo híbrio os elementos e contorno (Dumont e Aguilar, 2011). Já que os eslocamentos δ u i não são aos no omínio, e acoro com a efinição a Equação (7.1), eve-se assumir que entro e uma faixa e erros numéricos e iscretização I II

5 77 δu = δ Ω (7.13) i, j muim, j em contuo, δ u i corone a eslocamentos noais δ que tomam arte nas seguintes transformações e oe ser levaa a cabo no contexto o métoo e colocação, convencional os elementos e contorno (Brebbia et al, 1984): 1 Hδ = Gδ t G Hδ = δ t T 1 T T 1 L G Hδ = L δ t L G Hδ = δ one K = contorno, T 1 L G H é efinio como um tio e matriz e rigiez. (7.14) Finalmente, uma as equações básicas o métoo híbrio os elementos e H T δ = δ (7.15) que também é obtia como uma seguna variação a Equação (7.12), é combinaa com a Equação (7.14) ara chegar a δ ( ) δ T T 1 = H L G H (7.16) Substituino ara δ, como ao acima, na Equação (7.12), leva à Equação (7.4), com a matriz e eslocamentos. ( ) 1 T 1 T U = L G H H (7.17) A Equação (7.9), que é aequaa ara o rocesso iterativo roosto, é finalmente obtia com a efinição a matriz e flexibiliae ( ) T 1 T F : F = HU = HL G (7.18) Deeneno a imlementação, mesmo que soluções funamentais e Kelvin e e Westergaar sejam utilizaas ara iferentes artes o contorno, as inversas inicaas evem ser avaliaas em termos e matrizes articionaas e, eventualmente recorrer aos conceitos e inversas generalizaas. Em caa iteração e um eterminao asso o contorno a zona lástica eve ser obtio Algoritmo e busca linear ara a obtenção a fronteira lástica Seja uma função ( ) f r efinia no intervalo r = [ r1, r2 ], one é garantia uma solução ara f ( r ) = 0. Uma rimeira aroximação é o onto e coorenaa r 3, o

6 78 qual é ao ela interseção a reta que une os ontos e coorenaas [ r1, f ( r 1)] e [ r2, f ( r 2 )] com o eixo r. Matematicamente r 3 é ao or r = r 3 2 f ( r2 )( r2 r1 ) f ( r ) f ( r ) 2 1 (7.19) cuja interretação geométrica é mostraa na arte esquera a Figura 31. f(x) x 3 x 2 x 1 x Figura 31. Busca linear (Regula-Falsi) e rocesso e iscretização a zona lástica (Aatao e Dumont e Mamani, 2013). Daa a função f ( x, y) = ( x, y) (7.20) eq em termos e uma tensão equivalente ( x, y ) (Von Mises, or exemlo) e a tensão e escoamento uniaxial, o algoritmo roosto ara efinir a fronteira lástica é o seguinte: Passo 1. Definir os ns seto circula com centro na onta a trinca e abertura θ = 2π ns. Loo ara n = 1.. ns (Para caa setor circular) Passo 2. A artir a Equação (7.20) obter a função e variável r 1 1 f ( r) = f r cos θ n, r sin θ n 2 2 Passo 3. Definir o intervalo [ r1, r 2] e tal forma que f ( r1 ) f ( r 2) < 0. Poe-se inicializar com r 1 = 0. Loo ara k = 1.. NumMaxIter (Busca linear) Passo 4. Calcular r 3 ela Equação (7.19), e sua ectiva função f ( x 3) Passo 5. Se f ( r1 ) f ( r 3) < 0 então assignar r 2 r 3, caso contrario assignar r 1 r 3. Passo 6. Se Erro < Tolerancia salvar r( n) = r1 e fim loo k, caso contrario retornar ao Passo 4. eq.

7 79 Fim o loo n. O contorno a zona lástica está elimitao elos ontos r ( n) ara n 1.. = ns. Seno seu equivalente em coorenaas cartesianas cuja origem coincie com a onta a trinca 1 1 [ xn, yn ] = r( n) cos θ n,sin θ n, ara n = 1.. ns. (7.21) Solução iterativa o roblema não linear seguinte A Equação (7.9) é alicaa recursivamente no contexto o algoritmo Passo 0. Dao o vetor e forças noais equivalentes, e a rimeira estimativa o vetor iual e eslocamentos noais equivalentes (0) (que é igual a zero ara o rimeiro incremento e carga), efinir i = 0 e avaliar ( ) = H + F (7.22) T 1 (0) (0) Passo 1. Para ontos raialmente istribuíos ao reor as ontas a trinca avaliar as tensões iuais ( i + 1) aas a artir a Equação (7.2), = + (7.23) e ( i+ 1) m m( i) ( i+ 1) e e tal forma que ( i + 1) é no máximo igual à tensão e escoamento o material, e acoro com algum critério e escoamento também teno-se em conta o eventual enurecimento o material, como ilustrao na Figura 30. Passo 2. Avaliar a melhor estimativa o vetor iual e eslocamentos noais equivalentes: = Ω (7.24) ( i+ 1) u Ω in, j( i) ( i+ 1) l Passo 3. Avaliar a melhor estimativa o vetor iual e arâmetros noais e tensão: ( ) = H + F (7.25) T 1 ( i+ 1) ( i+ 1) i+ Passo 4. Calcular o erro e convergência ε = ( 1) ( i) ( i+ 1)

8 80 Se ε tolerance, a convergência foi atingia. Parar o rocesso iterativo. Caso contrário, se i < número máximo e iterações, alocar i i + 1 e ir ara o Passo 1. Caso contrário, interromer o rocesso com a mensagem e aviso que a convergência não foi alcançaa. O algoritmo aentao acima oeria não convergir ara valo altos e, o qual coroneria a zonas lásticas granes, a estimativa inicial oeria estar bem longe a solução final. Neste caso, o inicao Passo 0 realmente eve coroner a um nível e carga anterior, ara o qual as Equações (7.2) e (7.9) são satisfeitas como ultao e um ciclo e iteração anterior. A carga é então incrementaa com, e o algoritmo é alicao mais uma vez, assim, sucessivamente até que o nível e carga esejao é alcançao. A avaliação e ( i + 1) na Equação (7.23) ara um onto ao reor a onta a trinca exige que a osta elástica as tensões m m( i) + e as coronentes tensões equivalentes sejam rimeiramente obtias. O critério e Von Mises é utilizao, o esquema o lao esquero a Figura 30 reenta uma tensão uniaxial equivalente, inicano que o onto em análise está entro a zona e e lastificação. Daa a lei elasto-lástica o material, o onto ( ε, ) a curva tensão-eformação e a tensão iual são obtias. A avaliação subsequente e oe ser levaa a cabo através e uma interolação linear e caa termo o tensor, ara um onto qualquer a zona lástica, como = ( m m + ) (7.26) Isto corone a trazer toos os termos o tensor e tensão roorcionalmente à suerfície e escoamento, tal como reentao elo onto P no gráfico o lao ireito a Figura 30 (suerfície e escoamento ara estao lano e tensões e critério e Von Mises), ara um onto e tensão P (, ) ao em termos e tensões rinciais, com o vetor P interretao como o termo iual. Este é o roceimento atualmente imlementao. Uma alternativa, rovavelmente mais aequaa, consiste em trazer o onto e tensão P (, ) P I I II II

9 81 ara P, tal como consta na Figura 30, e moo que P é a menor istância e (, ) P à suerfície e escoamento (Simo e Taylor, 1985). Este seguno I II roceimento não é tão simles e imlementar em comaração com a Equação (7.26), que eve ser testao em um futuro róximo. São eseraos ultaos com maior taxa e convergência esecialmente ara o estao lano e eformações, o qual tem uma suerfície e escoamento mais alongaa a suerfície e escoamento o que no estao lano e tensões. P 7.5. Avaliação numérica o termo iual A avaliação numérica o vetor iual e eslocamentos noais equivalentes, como introuzio na Equação (7.5) e usao no algoritmo a Seção 7.4, é realizaa no sistema olar e coorenaas ilustrao à ireita a Figura 31, e acoro com o umo o último arágrafo a Seção 7.4 ara a avaliação e. Para este roósito, o contorno a zona lástica ao reor e caa onta e trinca eve ser rimeiramente avaliao, utilizano o esquema e busca linear Regula-falsi mostrao na Seção 7.3, ao longo os ontos nos sucessivos seto circula o sistema local e coorenaas ola ara comarar a tensão equivalente, eterminao em função o critério e Von Mises, com o valor e escoamento o material. A Figura 32 mostra o arão e convergência tíico o algoritmo ara 3 e 36 seto circula, numa investigação numérica o erro relativo a avaliação o comrimento raial a zona lástica, ara o moo I, roblema e estao lano e eformações e uma trinca reta no omínio aberto submetio a uma tensão uniaxial remota e = 50MPa. A menos que inicao e outra forma, neste e yy nos exemlos osterio, o comrimento a trinca será 2A = 0.02m, o móulo e elasticiae E = 210GPa, o coeficiente e Poisson ν = 0.3, e a tensão e escoamento = 235MPa. O arão e convergência observao, que é o mesmo, ineenentemente o número e elementos usaos na iscretização a trinca, oe ser consierao satisfatório. A Figura 33 aenta o erro e convergência na avaliação o vetor iual e eslocamentos equivalentes, como aentao na Equação (7.5), ara um

10 82 número iferente e seto circula (ireção angular o lao ireito a Figura 31), utilizano-se como valor alvo o ultao numérico com 64 seto. O roblema é o mesmo o arágrafo anterior com oito ontos e Gauss na ireção raial e um elemento e trinca no gráfico à esquera e 16 elementos e trinca à ireita. Uma análise semelhante e convergência (também ara um e 16 elementos e trinca na iscretização) é feita na Figura 34 ara um número variável e ontos e Gauss na ireção raial, utilizano como valor alvo o ultao com 32 ontos. São usaos 16 elementos e trinca na iscretização. A convergência a quaratura numérica na ireção raial arece merecer uma melhora, ao que há um termo afetao or r, que não oe ser tratao com recisão em termos e Gauss-Legenre. Uma vez que este termo oe ser avaliao analiticamente, esta é uma as muanças numéricas e imlementação ara ser introuzia numa róxima oortuniae. Figura 32. Estuo e convergência ara a avaliação a zona lástica, em termos e regula-falsi, ara três seto angula, como mostrao na arte ireita a Figura 31 (Dumont e Mamani, 2013). Integration error 1.E+00 1.E-01 1.E E-03 1.E-04 1.E-05 1.E-06 1.E Number of sectors along Integration error 1.E+00 1.E-01 1.E-02 1.E-03 1.E-04 1.E-05 1.E-06 1.E-07 1.E-08 1.E Number of sectors along Figura 33. Convergência na avaliação o vetor iual e eslocamentos equivalentes *, como introuzio na Equação (7.5), ara 1 (esquera) e 16 elementos e trinca e um número ccente e seto (ireção angular) (Dumont e Mamani, 2013).

11 83 1.E+00 1.E+00 Integration error 1.E-01 1.E-02 1.E-03 1.E-04 1.E Number of raial Gauss oints 16 Integration error 1.E-01 1.E-02 1.E-03 1.E Number of raial Gauss oints 16 Figura 34. Estuos e convergência ara a avaliação o vetor iual e * eslocamentos equivalentes, como introuzios na Equação (7.5) ara 1 (esquera) e 16 elementos e trinca e iferentes números e ontos e Gauss na ireção raial (Dumont e Mamani, 2013) Simulação confiável o camo e tensões ao reor a onta a trinca O uso as funções e tensão e Westergaar como soluções funamentais já foi emonstrao, levano a ultaos globais recisos ara estruturas elásticas biimensionais, ara suerosições e trincas elíticas retas (Loes, 1998, 2002; Dumont e Loes, 2003) ou, mais recisamente ara trincas curvas, trincas semielíticas (Mamani, 2011; Dumont e Mamani, 2011), como escritos na Seção 4. As referências anterio também emonstraram que os roblemas e omínios limitaos oem ser simulaos ela combinação e funções e tensão e Westergaar ara trincas e entalhes com soluções funamentais e Kelvin ara o caso geral e ara os efeitos e camos istantes. No entanto, a alta recisão ou reentação realística o estao e tensões ao reor a onta a trinca é aina uma questão em aberto, uma vez que não foi convincentemente aboraa na literatura técnica. Então, ao invés e tentar executar e aentar ultaos relacionaos com geometrias e conições e carga comlicaas, o que é quase simles e imlementar no esquema roosto, é aconselhável alicar estes esenvolvimentos ara o roblema mais simles na literatura, ou seja, o caso e uma simles trinca reta num omínio biimensional aberto submetia a uma tensão constante uniaxial ou biaxial no camo istante. Neste caso, a solução roosta or Westergaar é exata ara materiais elásticos homogêneos e isotróicos, mas não ara a simulação correta as zonas lásticas. Os seguintes exemlos numéricos aboram inicialmente o estao elástico ao reor a onta a trinca no contexto roosto or Dumont e Mamani (2011), ou seja, usano somente elementos e forma semielítica, a fim e mostrar quão

12 84 comlicao o roblema realmente é. Posteriormente é investigaa a formação a zona lástica, com ultaos que oem ser avançaos, mas aina não conclusivos no sentio e que a convergência não oe ser garantia ara uma tolerância e erro arbitrariamente equena. A Figura 35 mostra a artir o too as tensões xx, yy e as tensões equivalentes e Von Mises ao longo o eixo vertical no intervalo y m m 4 4 = ( 10,10 ), localizaa 4 10 m à ireita a onta a trinca, ara a mesma trinca o roblema aentao na Seção 7.5, elasticamente analisaas ara várias iscretizações a trinca. O ultao com um elemento e trinca ( ne = 1) é, ara este roblema simles, a solução analítica. À ireita estão os erros coronentes. Toos os valo são aos ara 51 ontos istribuíos ao longo a linha vertical. Embora relevante na comosição a tensão equivalente, a tensão e cisalhamento não é aentaa nos gráficos. Uma reentação similar é mostraa na Figura 36, mas esta vez ara a linha vertical 2 2 ( 10 m,10 m) 100 vezes maior, também localizao somente 4 10 m à ireita a onta a trinca, ara as mesmas iscretizações a trinca. Devio às iferentes escalas, o comortamento a tensão mostrao na Figura 35 não oe ser olvio como arte os gráficos a Figura 36. No entanto, ambas as reentações mostram que não existe convergência monotônica o estao e tensões em relação à solução analítica, ois ocorrem algumas flutuações fortes. Elas são neste caso introuzias artificialmente, evio às iscretizações aotaas, que oem influenciar rasticamente no tamanho e na forma a zona lástica. Uma melhor estimativa o camo e tensões oeria ser obtia a artir o uso e elementos mistos, como mostrao na Seção 6.3, e cujo esenvolvimento na avaliação a zona lástica será aentao num trabalho futuro.

13 85 Figura 35. A artir o too: tensões xx, yy e a tensão equivalente e Von Mises eq (em MPa) ao longo o eixo vertical y ( 10 4 m,10 4 m) = localizaa a x 4 = 10 m à ireita a onta a trinca, ara varias iscretizações a trinca, com seus coronentes erros na arte ireita (Dumont e Mamani, 2013). Figura 36. A mesma reentação e tensões a Figura 35 aa uma reta vertical 100 vezes maior (Dumont e Mamani, 2013).

14 86 A Figura 37 mostra os contornos as zonas lásticas ara o mesmo roblema e trinca a Seção 7.5 obtia ara estao lano e eformações (esquera) e estaos lano e tensões (ireita) e uma análise uramente elástica (o rimeiro asso o algoritmo a Seção 7.4). O contorno é feito e 32 segmentos angula ara o algoritmo e busca regula-falsi exlicao na Seção 7.3. Para este roblema simles, o ultao com ne = 1 elemento e trinca é a analítica. Como eserao, o contorno ara o estao lano e eformações é menor o que ara o estao lano e tensões, esta iferença é mais acentuaa na ireção local x. Os ultaos com ne > 1 não mostram um arão claro e convergência, embora alguma recisão ossa ser obtia ara ne = 16. Os ultaos com um número maior e elementos e trinca são influenciaos elas singulariaes locais os elementos e trinca na vizinhança as ontas. Isto oe ser visto ara ne = 64 e articularmente ara ne = 256. Nesta última iscretização, os ois ontos noais mais róximos a onta a trinca estão localizaos a x 4 = m e x 3 = m. Então, embora um número ccente e elementos e trinca leva a uma melhor reentação o roblema, ara conições gerais e carregamento e geometria, a introução e singulariaes locais eterioraram o camo e tensões nas imeiações as ontas os elementos e trinca. Elementos e trinca com outras formas iferentes às semi-elíticas estão seno testaas (ver Seção 4), com ultaos satisfatórios tanto globais quanto locais, orém sem melhora significativa o rocesso iterativo e a convergência. Figura 37. Contornos e zona lástica obtios elasticamente ara o estao lano e eformações (esquera) e o estao lano e tensões (Dumont e Mamani, 2013).

15 O roblema não-linear: testes e roblemas e convergência A Figura 38 aenta os contornos a zona lástica ara o mesmo roblema lano a Seção 7.5, iscretizao com ne = 1 elemento e trinca, submetio a uma tensão uniaxial remota = 0.1 alicaa numa única etaa (à esquera), bem como em cinco etaas (ireita), e acoro com o algoritmo a Seção 7.4, o que emonstra a total coerência e ultaos entro o erro e convergência. O menor contorno no lao esquero (ara iter = 0 ) é a rimeira avaliação elástica. Toos os outros contornos coronem aos ultaos obtios aós a convergência o algoritmo não linear (11 iterações necessárias ara o contorno na esquera, or exemlo). yy A Figura 39 mostra os ultaos e uma investigação semelhante ao anterior aragrafo, exceto que são utilizaos ne = 16 elementos e trinca e a tensão uniaxial remota é = A razão ela qual foi alicaa uma menor yy carga é que a convergência não oe ser alcançaa com o algoritmo formulao na Seção 7.4, one a zona lástica é bem maior em comaração com o elemento e trinca. A coerência os ultaos está verificaa. A Figura 40 mostra os contornos a zona lástica ara o mesmo roblema lano e eformações a Seção 7.5, iscretizao com vários elementos e trinca e submetios a uma tensão uniaxial remota = 0.01, obtio or um material erfeitamente elasto-lástico (esquera), assim como or um material com enurecimento linear e rigiez E 5 (ireita). As zonas lásticas são maio ara um número maior e elementos e trinca. O contorno obtio aenas em termos e tensões elásticas, como iscutio nos casos a Figura 37, também é inicaa. Para este nível e carregamento equeno, o contorno obtio elasticamente ara ne = 1, que é o ultao exato, é ificilmente iscernível o contorno lástico final obtio eois e aenas uas iterações. yy

16 88 Figura 38. Contornos a zona lástica ara o estao lano e eformações. Trinca iscretizaa com ne = 1, carregamento uniaxial remoto e = 0.1, alicao em um asso (esquera) e em 5 assos (Dumont e Mamani, 2013). O mesmo roblema aentao acima é também mostrao no lao esquero a Figura 41 ara um material elasto-lástico com a curva tensãoeformação, quano, aataa a artir a relação e Ramberg-Osgoo (Ramberg e Osgoo, 1943), em termos e tensões e eformações equivalentes n ( ) 1 ε = 1 + α E, one α e n são arâmetros o material a ser obtios exerimentalmente, além e E e. O valor usual ara n é 5, aotao aqui. A curva reentaa ela equação acima não tem um onto e escoamento claro. Em tal caso, o coeficiente α oe ser avaliao ara ultar num eslocamento o escoamento e 0.2% a eformação: α E = α = E. Uma vez que um limite elástico claro é necessário na ente alicação, a relação e Ramberg-Osgoo é aataa como yy n ε = for, an ε = 1 + α 1 for E E (7.27) ela subtração o efeito o escoamento na relação tensão-eformação ara. Isto é mostrao à ireita a Figura 41. Os ultaos são semelhantes aos mostraos na Figura 40.

17 89 Figura 39. Contornos a zona lástica ara o estao lano e eformações. Trinca iscretizaa com ne = 16, carregamento uniaxial remoto e = 0.01, alicao em um asso (esquera) e em 5 assos (Dumont e Mamani, 2013). yy Figura 40. Contornos a zona lástica ara o estao lano e eformações. Trinca iscretizaa com vários elementos, carregamento uniaxial remoto e = 0.01, ara um material elasto-lástico erfeito (esquera) e ara um material elasto-lástico bi linear com rigiez e enurecimento e 5 E (Dumont e Mamani, 2013). yy

18 ε Figura 41. Contornos a zona lástica ara o estao lano e eformações. Trinca iscretizaa com vários elementos e trinca, carregamento uniaxial remoto e = 0.01 (esquera), como obtia or um material elasto-lástico (ireita) com uma yy curva tensão-eformação não-linear ara, ao e acoro com a relação e Ramberg-Osgoo (tensões em MPa) (Dumont e Mamani, 2013). A Figura 42 aenta os contornos a zona lástica meios ao longo os eixos horizontal (esquera) e vertical (ireita) a artir a onta a trinca, avaliaos elasticamente (rimeira iteração o algoritmo) ara ne = 16 elementos e trinca, tanto ara estao lano e eformações como estao lano e tensões, ara a laca trincaa introuzia na Seção 7.5, com a tensão uniaxial remota remota alicaa até 80% o limite elástico. O valor a zona lástica ao longo o eixo x rogrie raiamente com o carregamento alicao ara o roblema lano e tensão, tornano assim áreas e lásticação maio o que no caso e eformações lanas, como já foi visto na Figura 37. Figura 42. Zona lástica elasticamente calculaa ara vários níveis e carregamento remoto obtios com ne = 16 elementos e trinca, meios ao longo e y = 0 (esquera) e x = 0 (ireita) (Dumont e Mamani, 2013). Gráficos semelhantes são mostraos na Figura 43 ara simulações com aenas ne = 1 elementos e trinca e níveis e carga que aumentam só até 12% o

19 91 limite e elasticiae, no caso e eformações lanas. Ambas as zonas lásticas elasticamente e lasticamente avaliaas (estes últimos são obtios aós a convergência o algoritmo a Seção 7.4) são aas ao longo os eixos horizontal e vertical, ara comaração. Simulações com ne = 16 elementos e trinca ultam em valo maio (e mais recisos) a zona lástica, mas a convergência oe ser alcançaa aenas ara baixos níveis e carga. Poe-se concluir a artir os ultaos mostraos na Figura 43 bem como e outras simulações mais gerais que as atuais (isto é, lasticamente avaliaas) zonas lásticas evoluem muito raiamente com o aumento os níveis e carga, o que oe exlicar a falta e convergência o algoritmo roosto quano a carga alicaa é alta. No entanto, é ossível também que as tensões são suetimaas em ontos muito róximos as ontas a trinca, singulariaes artificiais são introuzias elo moelo numérico, como mostrao na Figura 35, Figura 36 e Figura 37, já iscutios. Esta é uma questão em aberto, a ser investigaa no futuro róximo. Algumas avaliações relimina a zona lástica usano os elementos combinaos a Seção 6.3 ara iscretizar a trinca foram feitas, embora aentaram algumas melhoras o camo elástico e tensões não houve melhora significativa na convergência o rocesso iterativo. Figura 43. Zona lástica elasticamente e lasticamente calculaa ara vários níveis e carregamento remoto obtios com ne = 1 elementos e trinca, meios ao longo e y = 0 (esquera) e x = 0 (Dumont e Mamani, 2013) Consierações finais no cálculo a zona lástica Os elementos e onta a trinca imlementaos fornecem um meio simles e oeroso ara a escrição o camo e tensões ao reor a onta a trinca. Algumas melhorias tornaram-se obrigatórias a artir as investigações relimina escritas no ente trabalho quanto em relação ao comortamento local e lastificação. As trincas semielíticas, que arecem eficientes ara a

20 92 escrição o camo e tensões ao reor as ontas a trinca, evem ser combinaas com elementos e trinca e iferentes formas como mostraa na Seção 6.3, or exemlo, e moo que as singulariaes artificiais e tensão ossam ser evitaas ou minimizaas. As integrações na ireção raial ao longo os seto angula exigem a introução e r funções e eso que oem ser avaliaas analiticamente. Uma ossível conclusão, é que, ara as granes zonas e lastificação, erros e arreonamento oem se originar a artir o fato e que a carga é incrementaa, e na Equação (7.23) torna-se a iferença e ois termos muito granes ara r 0, enquanto que o termo iual na Equação (7.24), que, or efinição é o ultao e uma integral imrória, é avaliaa e forma imrecisa, o que imee a na Equação (7.25) convergir como as iterações sucessivas. O roceimento iterativo roosto ara a avaliação as zonas lásticas converge e forma satisfatória quano o contorno e lastificação é equeno em comaração com o comrimento o elemento usao ara reentar a onta a trinca, outra causa esta ivergência oeria ser o fato e trazer toos os termos o tensor e tensões roorcionalmente à suerfície e escoamento ao invés e trazer o onto e tensão (, ) moo que P P (Simo e Taylor, 1985). P ara P, tal como mostra a Figura 30, e I seja a menor istância e (, ) II P à suerfície e escoamento Uma técnica e linearização o roblema não linear aentao or Fernanes e Souza Neto (2013) oeria também ser estuao quano alicao ao contexto este trabalho. A solução é obtia a artir o oeraor tangente consistente alicao a um roblema não linear o métoo os elementos e contorno. I II