UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA MODELAGEM E ANÁLISE DE UM COMPRESSOR ALTERNATIVO LINEAR PARA REFRIGERAÇÃO Dirtação ubmtida à UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA ara a obtnção do grau d MESTRE EM ENGENHARIA MECÂNICA EMÍLIO RODRIGUES HÜLSE Florianóoli, abril d 8

2 ii UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA MODELAGEM E ANÁLISE DE UM COMPRESSOR LINEAR PARA REFRIGERAÇÃO DOMÉSTICA EMÍLIO RODRIGUES HÜLSE Eta dirtação foi julgada adquada ara a obtnção do título d MESTRE EM ENGENHARIA ESPECIALIDADE ENGENHARIA MECÂNICA ndo arovada m ua forma final. Prof. Alvaro T. Prata, Ph.D. - Orintador Prof. Frnando Cabral, Ph.D. - Coordnador do Curo BANCA EXAMINADORA Prof. Arcanjo Lnzi, Ph.D. - Pridnt Prof. Antônio Fábio Carvalho da Silva, Dr.Eng. Prof. Céar Joé Dcham, Ph.D.

3 iii Et trabalho é ddicado à minha família; mu ai, Júlio Céar Suzana Rodrigu Hül; mu irmão, Digo Juliano;

4 iv À minha oa Eluza lo carinho, comrnão comanhirimo, a mu filho Eduardo lo momnto d algria.

5 v AGRADECIMENTOS À Whirlool S.A. Unidad d comror (Embraco), lo grand aoio oortunidad d conciliar a atividad rofiionai o dnvolvimnto oal. Ao rofor Alvaro Toub Prata, la ddicação, comtência alavra d incntivo na hora mai aroriada durant a orintação dt trabalho. Ao quiador Manfrd Krugr, la comrnão aoio. Ao quiador Ditmar Lili Paulo Rogério Carrara Couto, la contribuiçõ dada a t trabalho. Ao rofor Arcanjo Lnzi, Antônio Fábio Carvalho da Silva Céar Joé Dcham or comorm a banca aminadora. Ao amigo colga Gutavo Wbr Ricardo Macil, comanhiro d longa jornada durant a aula do curo d ó-graduação. A todo o colga da Embraco lo ambint d trabalho agradávl d incntivo à clência. A todo qu d alguma forma contribuíram ara a ralização dt trabalho.

6 vi SUMÁRIO LISTA DE FIGURAS...viii LISTA DE TABELAS...i SIMBOLOGIA...ii RESUMO... v ABSTRACT...vi INTRODUÇÃO... REVISÃO BIBLIOGRÁFICA Modlagm d comror Modlagm d atuador linar Modlagm do roblma d lubrificação Método da quadratura difrncial... 3 MODELAGEM DO COMPRESSOR LINEAR Modlagm da dinâmica do itão Modlagm da força dvido ao atuador linar Modlagm trmodinâmica do comror Modlagm da dinâmica da válvula Modlagm do coamnto atravé da válvula Modlagm da ulaçõ d ucção dcarga O ronador d Hlmholtz Pulação no itma d ucção Pulação no itma d dcarga Coficint d amortcimnto do fluido no gargalo MODELAGEM DO PROBLEMA DE LUBRIFICAÇÃO Modlo fíico Eura local do film fluido Carrgamnto obr o itão Modlo do coamnto na folga itão cilindro Modlo do coamnto no canai d alimntação Modlo ara força d atrito vicoo obr o itão Modlo ara quilíbrio dinâmico do itão dntro da folga DESEMPENHO DO COMPRESSOR LINEAR Critério d dmnho... 55

7 5. Prda d nrgia Prda d maa METODOLOGIA DE SOLUÇÃO Obtnção do camo d rão Cálculo da força momnto Procdimnto ara olução da quaçõ da dinâmica do itão Vazão máica na trmidad do itão Força d atrito vicoo obr o itão RESULTADOS E DISCUSSÕES Gração da malha Rultado ara itão tático Etudo da malha ara cao tático Comaração com rultado rimntai Influência da folga radial Influência do diâmtro do canai d alimntação Influência do arranjo d orifício d inuflamnto Rultado ara comror linar Etudo da malha Avaliação do intrvalo d tmo Rultado ara o comror linar Efito da condição d oração Efito da folga radial Efito do diâmtro do canai d alimntação Efito do diâmtro do itão CONCLUSÕES... 7 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS... APÊNDICE MÉTODO DA QUADRATUDA DIFERENCIAL... 5 APÊNDICE CAMPOS DE PRESSÃO DO PISTÃO PNEUMÁTICO... 3 vii

8 viii LISTA DE FIGURAS Figura. Ciclo d rfrigração or comrão d vaor... Figura. Diagrama P-h, ara um ciclo adrão d rfrigração... Figura.3 Rrntação do mcanimo do comror altrnativo bila manivla... 3 Figura.4 Rrntação do mcanimo do comror altrnativo linar... 4 Figura.5 Equma d lubrificação lo rório rfrigrant... 5 Figura 3. Sitma mcânico quivalnt grau d librdad... 5 Figura 3. Diagrama d coro livr itão cilindro... 6 Figura 3.3 Circuito quivalnt do atuador linar... 7 Figura 3.4 Volum d control no cilindro... 9 Figura 3.5 Válvula com grau d librdad... 3 Figura 3.6 Diagrama d coro livr da válvula com grau d librdad... 4 Figura 3.7 Válvula coamnto atravé d orifício quivalnt... 5 Figura 3.8 Ronador d Hlmholtz... 9 Figura 3.9 Sitma d ucção do comror... 3 Figura 3. Sitma d dcarga do comror Figura 3. Intração ntr o modlo matmático Figura 4. Dimnõ rinciai do mancal do itão Figura 4. Orintação do itão dntro do cilindro... 4 Figura 4.3 Gomtria ara folga itão cilindro dnvolvida... 4 Figura 4.4 Sção gnérica do mancal... 4 Figura 4.5 Sção do mancal no lano ηζ... 4 Figura 4.6 Equilíbrio d força obr o itão Figura 4.7 Domínio d olução (folga itão cilindro lanificada) Figura 4.8 Rrntação do canal d alimntação do mancal Figura 5. Fluo d otência no comror Figura 5. Diagrama indicado (rão v. volum)... 6 Figura 5.3 Prda na taa d vazão máica Figura 6. Dicrtização do domínio d olução... 68

9 Figura 6. Volum d control tíico Figura 6.3 Equma d aroimação da rõ na fac... 7 i Figura 7. Cilindro com trê orifício d inuflamnto: (a) dfaado; (b) alinhado Figura 7. Cilindro com quatro orifício d inuflamnto: (a) dfaado; (b) alinhado Figura 7.3 Equma da malha ara orifício alinhado... 8 Figura 7.4 Equma da malha ara orifício dfaado... 8 Figura 7.5 Força d utntação máima comaração com dado rimntai Figura 7.6 Influência da folga radial itão cilindro obr a caacidad d carga Figura 7.7 Influência do diâmtro do canai d alimntação obr a caacidad d carga, ara vária folga radiai Figura 7.8 Influência do diâmtro do canai d alimntação obr a vazão máica, ara vária folga radiai Figura 7.9 Influência do arranjo d orifício obr a força d utntação m função do ângulo d alicação do carrgamnto Figura 7. Carrgamnto obr o itão do comror linar m função da oição do itão Figura 7. Efito da malha na cntricidad do too ao longo d um ciclo d comrão... 9 Figura 7. Efito da malha na cntricidad da aia ao longo d um ciclo d comrão... 9 Figura 7.3 Efito da malha na vazão máica d inuflamnto ao longo d um ciclo d comrão... 9 Figura 7.4 Malha no onto morto infrior... 9 Figura 7.5 Malha no onto morto urior... 9 Figura 7.6 Diagrama P V ara o comror linar Figura 7.7 Diagrama Maa Volum ara o comror linar Figura 7.8 Pulação d rão no itma d ucção movimnto da válvula ara o comror linar Figura 7.9 Pulação d rão no itma d dcarga movimnto da válvula ara o comror linar Figura 7. Ecntricidad do too do itão ao longo do ciclo d dlocamnto, ara vária condiçõ d oração Figura 7. Ecntricidad da aia do itão ao longo do ciclo d dlocamnto, ara vária condiçõ d oração... 98

10 Figura 7. Inuflamnto d rfrigrant no itão ao longo do ciclo d dlocamnto, ara vária condiçõ d oração Figura 7.3 Prão no cilindro ao longo do ciclo d dlocamnto, ara vária condiçõ d oração Figura 7.4 Órbita do too do itão, ara vária folga radiai ntr o itão o cilindro Figura 7.5 Órbita da aia do itão, ara vária folga radiai ntr o itão o cilindro Figura 7.6 Órbita do too do itão, ara vário diâmtro d alimntação... Figura 7.7 Órbita da aia do itão, ara vário diâmtro d alimntação... 3 Figura 7.8 Prda d maa ara comror linar... 4 Figura 7.9 Prda d nrgia ara comror linar... 5 Figura 7.3 Corrnt létrica no atuador linar ara comror linar... 5 Figura 7.3 Órbita do itõ do comror linar... 6 Figura A. Malha DQM ara domínio rtangular... 5 Figura A. Prfil da variávl ψ ao longo da linha média... Figura A.3 Erro drivada rimira variávl ψ na fac... Figura A.4 Placa com inuflamnto cntral... 3 Figura A.5 Rgião d influência do onto d inuflamnto... 5 Figura A.6 Rultado da laca com inuflamnto cntral atravé do DQM... 6 Figura A.7 Prão ao longo da linha cntral da laca... 6 Figura A.8 Prão ao longo da linha cntral da laca rgião róima a borda... 7 Figura A.9 Função δ(r) m função do arâmtro c ara vária malha... 8 Figura A. Prão na linha cntral, comarativo DQM volum finito... 3 Figura A. Camo d rão na folga lanificada ara t/t,... 3 Figura A. Camo d rão na folga lanificada ara t/t, Figura A.3 Camo d rão na folga lanificada ara t/t, Figura A.4 Camo d rão na folga lanificada ara t/t, Figura A.5 Camo d rão na folga lanificada ara t/t, Figura A.6 Camo d rão na folga lanificada ara t/t, Figura A.7 Camo d rão na folga lanificada ara t/t, Figura A.8 Camo d rão na folga lanificada ara t/t,

11 i LISTA DE TABELAS Tabla 7. Caractrítica gométrica do itão do comror linar tíico... 8 Tabla 7. Ditribuição d volum ara malha (d acordo com a figura 7.3)... 8 Tabla 7.3 Efito da malha obr a olução ara itão tático... 8 Tabla 7.4 Efito do arranjo quantidad d orifício d inuflamnto obr vazão d inuflamnto força d utntação média Tabla 7.5 Caractrítica fíica do comror linar Tabla 7.6 Efito da malha obr alguma grandza d intr... 9 Tabla 7.7 Efito do intrvalo d tmo obr alguma grandza d intr Tabla 7.8 Prda ara o comror linar Tabla 7.9 Condiçõ d oração do comror Tabla 7. Efito da folga obr a tabilidad dinâmica do mancal... Tabla 7. Efito do diâmtro do canai d rtrição obr a tabilidad dinâmica do mancal... Tabla 7. Caractrítica gométrica d doi comror linar... 4 Tabla A. Rultado numérico ara DQM + trmo font ditribuído... 9 Tabla A. Rultado numérico ara volum finito + trmo font concntrado... 9

12 ii SIMBOLOGIA Alfabto Latino: A Ára do itão [m²] A Ára ftiva d coamnto obr a válvula [kg] B Ára ftiva d força obr a válvula [kg] c Folga radial média ntr o itão o cilindro [m] Vlocidad do om no mio [m/] c Calor cífico a rão contant [J/kgK] cv Calor cífico a volum contant [J/kgK] Ecntricidad no too do itão [m] Ecntricidad na aia do itão [m] Ff Força d atrito vicoo ntr o itão o cilindro [N] Fm Força magnética grada lo atuador linar [N] Fo Força d carrgamnto alicada obr o itão [N] Fr Força d utntação do itão [N] h Entalia do gá na câmara d comrão [J/kg] Eura local do film fluido na folga itão-cilindro I Corrnt létrica do atuador linar [A] Kr Rigidz da mola ronant do comror linar [N/m] K Rigidz da mola d unão do comror linar [N/m] Lmot Indutância do atuador linar [H] m Maa d gá dntro do cilindro [kg/] m& Vazão máica d gá [kg/] M Númro d Mach do coamnto M c Maa do comror linar aociada ao cilindro [kg] M Maa do comror linar aociada ao itão [kg] M o Momnto d carrgamnto alicada obr o itão [N.m] M r Momnto d utntação do itão [N.m] [m]

13 iii Prão [Pa] Pcil Prão na câmara d comrão [Pa] P Prão na aia do itão [Pa] R Raio do ião [m] R Contant do gá rfrigrant [J/kgK] Rr Ritência aociada à rda riférica do atuador linar [Ω] Rbob Ritência da bobina do atuador linar [Ω] R f Ritência aociada à rda na lâmina do atuador linar [Ω] T Tmratura do gá na câmara d comrão [ C] Tw Tmratura da ard da câmara d comrão [ C] y i Ditância intantâna ntr too do itão laca válvula [m] Y Dlocamnto do itão m rlação a ua oição d rouo [m] Yc Dlocamnto do cilindro m rlação a ua oição d rouo [m] Yo Ditância d rouo ntr too do itão laca d válvula (in-to) [m] v Volum cífico do gá na câmara d comrão [m³/kg] V Volum da câmara d comrão [m³] Vm Volum morto do comror [m³] Vmot Tnão contra-ltromotriz do atuador linar [V] V Vlocidad rlativa ntr o itão o cilindro [m/] w Dlocamnto da válvula [m] Alfabto Grgo: α Contant do atuador linar [N/A ou V/m] ρ Dnidad [kg/m 3 ] ξ Coficint d amortcimnto da válvula [kg/m 3 ] Coordnada na dirção circunfrncial do mancal numático η Rndimnto Coordnada na dirção aial do mancal numático γ Razão d calor cífico do gá

14 iv µ Vicoidad aboluta do gá [Pa.] τ Tnão d cialhamnto no gá [Pa] µ Vicoidad aboluta do gá [Pa.] Índic: i,j Localização do onto da malha comutacional na dirção circunfrncial aial, rctivamnt. P Volum d control ob dicrtização N,S,E,W Localização do onto no cntro do volum d control ao nort, ul, lt ot, rctivamnt, do volum ob dicrtização. n,,,w Localização do onto na fac nort, ul, lt ot, rctivamnt, do volum ob dicrtização * Valor da variávl no intant d tmo antrior.

15 v RESUMO Comror linar utilizam um atuador linar ara acionar o itão dirtamnt m u movimnto altrnativo, liminando vário mancai qu convrtm o movimnto rotativo m altrnativo no comror convncionai. Adicionalmnt, a rnça d carga latrai é minimizada orqu a força d comrão qu atua no mcanimo tá alinhada com o io d movimntação. Como a única urfíci d dlizamnto é a intrfac itão cilindro, é oívl utilizar o rório rfrigrant como fluido lubrificant. A aração ntr o itão o cilindro é garantida lo dvio d uma quna quantidad d rfrigrant a alta rão da câmara d dcarga ara a folga ntr o itão o cilindro. A vazão máica dviada dv r otimizada ara garantir qu não haja contato ntr o itão o cilindro m qu o dmnho global do comror ja nalizado. Um modlo matmático foi dnvolvido ara analiar a dinâmica d um mancal a gá com canai d comnação. El inclui o fito da gomtria itão-cilindro, oição do orifício d inuflamnto d rfrigrant condiçõ d oração. Um código comutacional foi dnvolvido d forma a obtr a trajtória do itão avaliar ua tabilidad. Um comror linar orando com R34a foi analiado o rultado motram qu o itão é batant távl qu a vazão máica rdida a rda or fricção ão muito quna.

16 vi ABSTRACT Linar comror u a linar actuator to driv th iton dirctly in it rcirocating motion, liminating vral baring that convrt a rotation into a rcirocating motion in convntional rcirocating comror. Additionally, th rnc of id load i minimizd bcau th main forc in th mchanim ar alignd to th ai of motion. Sinc th only liding urfac i th iton cylindr intrfac, it i oibl to u th rfrigrant ga a a lubricant. Th aration btwn iton and cylindr i rovidd byaing a mall ma flow of rfrigrant at high rur from th dicharg chambr. Th ratio of ma flow circulatd back into th cylindr hould b otimizd to avoid iton-cylindr contact, without affcting th ovrall rformanc of th comror. A mathmatical modl i dvlod to lor th dynamic of a caillary comnatd ga lubricatd iton for a linar comror. It tak into account th ffct of iton-cylindr gomtry, oition of th ga ort and orating condition. A corronding comutr rogram i dcribd which rdict th iton trajctory and valuat it tability. Rult ar rntd for a rfrnc ca of a linar comror, which u R34a rfrigrant. It i found that th iton i vry tabl and th rquird rfrigrant ma flow byad and friction lo ar both ngligibl.

17 CAPÍTULO INTRODUÇÃO O itma d rfrigração mcânico têm voluído muito, aando a fazr art do dia a dia da ocidad. Sja ara o armaznamnto d alimnto, conforto humano, control d tmratura m laboratório, mai rcntmnt, m itma d comutador, o itma d rfrigração tão mr rnt. O rinciai método d rfrigração mcânica ão: comrão d vaor, aborção d vaor, ciclo d ar jção d vaor. No ntanto, a grand maioria da intalaçõ d rfrigração, dd rfrigrador domético até grand itma indutriai, ua o rincíio d comrão d vaor, qu atravé da vaoração d um líquido a baia tmratura rão roduz o fito d rfrigração com a rtirada d calor do ambint. Figura. Ciclo d rfrigração or comrão d vaor. Em 834, Prkin roô o arranjo d um itma d rfrigração or comrão d vaor ilutrado na figura.. Baicamnt o itma conta d quatro comonnt rinciai: vaorador, comror, condnador dioitivo d anão. Faz art ainda do itma d rfrigração a tubulação qu concta lmnto d forma a contituir um itma fchado. O fluido rfrigrant, no tado líquido aturado, é forçado a vaorar numa tmratura mai baia do qu aqula do ambint a r rfrigrado, dvido à ação conjunta

18 Caítulo Introdução do comror do dioitivo d anão. Durant a vaoração, calor é rtirado do ambint ou ubtância a rfrigrar, roduzindo aim o fito d rfrigração. No tado d vaor, o fluido rfrigrant é comrimido, lvando a ua tmratura rão, forçado ara o condnador. No condnador o fluido rfrigrant rjita calor ara um mio trno, condnando voltando ao tado líquido. O líquido rfrigrant volta ntão ao dioitivo d anão o roco rt. O tado trmodinâmico do fluido rfrigrant odm r obrvado no diagrama P-h (rão ntalia) da figura.. Figura. Diagrama P-h, ara um ciclo adrão d rfrigração. O diagrama P-h arntado é dnominado d ciclo adrão, dvido à rnça d fluido rfrigrant aturado na aída do condnador. Da dcrição antrior obrva- o al imortant do comror no itma d rfrigração: dlocar o fluido rfrigrant atuar obr a difrnça d rão ntr a dua linha do itma. Aim, o conumo d nrgia m um ciclo d rfrigração tá rlacionado à otência conumida lo comror ( W & ). O fabricant d comror invtm m dnvolvimnto, rincialmnt na ára d ficiência, ruído cuto. Invtm também na introdução d novo fluido d trabalho mno agrivo ao mio ambint, o qu lva à ncidad d novo rojto. A indútria d rfrigração é muito rionada la ocidad m rlação a acto ambintai d conumo d nrgia, uma vz qu ignificativa arcla do conumo d nrgia létrica é dndida ara rfrigração conforto térmico. O comror utilizado na indútria d rfrigração odm r claificado m doi tio rinciai: comror rotodinâmico comror d dlocamnto oitivo. c

19 Caítulo Introdução 3 O comror rotodinâmico forncm quantidad d movimnto ao fluido qu ao coar or um difuor é tranformada m rão. Ito od r fito com coamnto radial ou aial. A maioria do comror rotodinâmico utilizado m rfrigração é do tio d coamnto radial ão conhcido como comror cntrífugo. O comror d coamnto aial ão uado m circuntância ciai, rincialmnt m intalaçõ d liqufação d gá natural. No comror d dlocamnto oitivo a comrão do vaor é ftuada mcanicamnt or um lmnto d comrão. Vaor é introduzido no comror tndo o u volum diminuído. Durant o roco d comrão, a rão do rfrigrant aumnta até atingir o valor djado m guida é librado na linha d dcarga. O comror d dlocamnto oitivo odm r claificado m: altrnativo, croll, rotativo d alhta rotativo d arafuo. No comror altrnativo, o lmnto d comrão é um itão altrnativo, nquanto qu no comror rotativo o lmnto d comrão od r uma alhta, rolo ou lóbulo. No comror croll a comrão ralizada la intração d uma iral orbitant cntricamnt contra uma iral fia. Dntr o comror altrnativo tmo o mcanimo baado no concito d bila manivla mai rcntmnt o comror baado m atuador linar ocilant (comror linar). Figura.3 Rrntação do mcanimo do comror altrnativo bila-manivla.

20 Caítulo Introdução 4 O comror altrnativo tradicionai uam um itma bila manivla ara convrtr o movimnto rotativo do motor létrico no movimnto altrnativo ncário ara acionar o itão. Para tal ncitam d uma éri d art móvi mancai d dlizamnto qu acarrtam rda or atrito. Além dio, o fato d o io d movimnto rincial do itão, or conqüência, d atuação da força d comrão não tar alinhado com o acionamnto gra força latrai qu rciam r cuidadoamnt tratada ara vitar roblma d confiabilidad do mcanimo. Por outro lado, o comror linar utilizam um atuador linar ara movimntar dirtamnt o itão, com io liminando a ncidad do mancai do io, cêntrico bila, vito qu a única urfíci dlizant é a intrfac itão cilindro (figura.4). Mai ainda, a gração d força latrai é minimizada oi todo o forço tão alinhado com o io rincial d movimntação, lvando a uma conidrávl rdução na rda or atrito. Figura.4 Rrntação do mcanimo do comror altrnativo linar. No comror linar, uma mola é utilizada ara obtr o curo do itão com um quno imulo do atuador linar, acumulando nrgia no itma maa mola ara rmitir

21 Caítulo Introdução 5 a comrão do rfrigrant. Logo, o movimnto do itão tm uma dinâmica rória, dndndo do balanço d força obr l. Em função da quna força latrai atuando no itão, é romiora a utilização d lubrificação do itão lo rório fluido rfrigrant. Na nova concção, o comror ora m ólo lubrificant o qu, além d rduzir cuto, limina roblma aociado a ua circulação lo itma. Uma ftiva aração ntr o itão o cilindro od r obtida lo inuflamnto d rfrigrant a alta rão drivado da câmara d dcarga do comror, conform ilutrado na figura.5. Figura.5 Equma d lubrificação lo rório fluido rfrigrant. O rtorno do gá rfrigrant lo mancai dv r mantida dntro d nívi adquado ara vitar contato do itão com a ard do cilindro, orém m aftar civamnt o dmnho do comror. Dntro dt contto, o rnt trabalho buca rarar um modlo numérico ara o comror linar, qu aont o u dmnho a artir d dado contrutivo arâmtro rimntai (ára ftiva d coamnto d força), incluindo também a rda trmodinâmica a rda mcânica dcorrnt da utilização do mancal numático na intrfac itão cilindro. O objtivo do rnt trabalho é roduzir uma frramnta comutacional ara a análi do dmnho d comror linar, dando ênfa ao modlamnto do mancal numático ua intração com o itma dinâmico contituído lo

22 Caítulo Introdução 6 dlocador (itão) atuador (cilindro). Outro objtivo do trabalho é invtigar a tabilidad do itão m rlação ao mancal numático. Para tanto rão utilizado modlo matmático já validado ara o comonnt do comror imilar ao comror altrnativo convncional, como itma d válvula filtro acútico, introduzido novo modlo ara a dinâmica do mcanimo m conjunto com o atuador linar. Dta forma rá oívl uma análi da máquina atravé do conumo d nrgia, diagrama indicado (rão v. volum), caacidad d rfrigração, coficint d dmnho, rda trmodinâmica (or anão do gá, or tranfrência d calor, or vazamnto) rda létrica. A dtrminação da rda mcânica d vazamnto la folga itão-cilindro, bm como a tabilidad da órbita do itão, tão dirtamnt ligada a olução do coamnto do rfrigrant no aço da folga itão cilindro da dinâmica do itão dntro da folga. E coamnto rá modlado atravé da quação d Rynold da lubrificação m conjunto com o balanço d força obr o comonnt.

23 CAPÍTULO REVISÃO BIBLIOGRÁFICA A guir é ralizada uma rvião da litratura obr a modlagm d comror rincialmnt m rlação à dinâmica d um itma ronant linar, atuador linar mancal numático.. Modlagm d comror Uyk (984) dnvolvu um rograma d imulação numérica ara o funcionamnto d um comror hrmético altrnativo. Tal rograma conidra a alhta da válvula como lâmina flívi, além d incluir o fito do batnt obr a movimntação da válvula. Também é conidrado o vazamnto d gá atravé da folga ntr o itão o cilindro, o rfrigrant têm ua roridad avaliada como um gá ral. A rda d nrgia d maa foram idntificada, também foi utilizado um coficint d dmnho qu tablc uma comaração unificada ntr comror trabalhando ob difrnt condiçõ. O arâmtro contrutivo d funcionamnto mai imortant odm r altrado d forma a rmitir uma análi comlta d ua influência obr o dmnho do comror. Dando continuidad ao trabalho d Uyk, Manur (986) invtigou o fito da ulaçõ d gá no itma d ucção d dcarga do comror, modlando o tubo a cavidad itnt como itma maa mola rctivamnt. Prata t al. (99) ralizaram uma análi nrgética d um comror hrmético altrnativo. Para o gá rfrigrant dntro do cilindro do comror utilizou- uma formulação intgral da rimira li da trmodinâmica, incluindo a variaçõ no tmo do fluo d maa nrgia. O trabalho acima citado rão tomado com onto d artida ara adatação imlantação do modlo qu difrnciam o comror linar do comror altrnativo convncional. Pérz-Sgarra t al. (994) dnvolvram um modlo unidimnional tranint ara todo o comror utilizaram o método do volum finito ara rolvr a quaçõ da continuidad, quantidad d movimnto nrgia ao longo d todo o caminho do gá.

24 Caítulo Rvião Bibliográfica 8 Dcham t al. () dnvolvram um modlo comutacional unidimnional ara o coamnto do rfrigrant no itma d ucção d um comror conidrando a quaçõ da continuidad, quantidad d movimnto nrgia, comarando a mtodologia com a ulação do gá forncida lo modlo acútico com rultado rimntai. Comror linar ão objto d tudo dd a década d 97, orém no último ano o dnvolvimnto d novo concito d atuador d matriai magnético timularam a volução da tcnologia. O aumnto da articiação da ltrônica no acionamnto do comror vm rmitindo maior facilidad ara o control do atuador. Cadman Cohn (969) m um trabalho ioniro dnvolvram formulação ara rojto análi d um comror linar baado m uma aroimação linar ara a carga do comror. Também dnvolvram rograma d imulação conidrando a não linaridad cauada la comrão anão do gá no cilindro. Um rotótio foi contruído com ba na imulaçõ ralizada o tt d oração motraram boa concordância com a timativa fita. Polman t al. (978) rtomaram o aunto analiando a tabilidad da oição média do itão m um comror linar d dula atuação, ito é, com dua câmara d comrão oota. E comror utiliza ana a mola gá ara criar o itma ronant. Pollak t al. (978) modlaram matmaticamnt como um itma maa mola d um grau d librdad um comror linar d um cilindro, conidrando um amortcimnto quivalnt contituído do trabalho d comrão, rda m válvula rda or fricção. A mola gá foi modlada como uma mola quivalnt atuando m arallo com uma mola mcânica. Um rocdimnto itrativo foi adotado ara o cálculo do dlocamnto do itão, já qu o amortcimnto a mola gá quivalnt ão também função do dlocamnto. Eta mtodologia imlificada é adquada ara rvr o comortamnto do comror m rgim rmannt. E trabalho já motravam a imortância da frqüência d oração do comror ara o u dmnho. A máima ficiência é alcançada quando a frqüência d oração é igual à frqüência d ronância do itma maa mola formado lo kit mcânico itão. Cho Kim () modlaram o comror linar como um itma maa mola com doi grau d librdad, ito é, conidrando aradamnt a maa do itão do

25 Caítulo Rvião Bibliográfica 9 cilindro. Com t modlo conguiram rvr o aarcimnto d uma bifurcação do dlocamnto, ito é, há dua amlitud oívi ara o dlocamnto do itão, dndndo a tnão obr o motor tá crcndo ou diminuindo. Et comortamnto é rado ara itma ronant cuja mola arnta aumnto da rigidz com o aumnto da dformação.. Modlagm d atuador linar Bolda Naar (99) fizram uma rvião obr atuador linar ua alicaçõ. Arntaram tio configuraçõ báica ua vantagn dvantagn. Rdlich t al. (996) analiaram vário tio d atuador linar, com uma ênfa no atuador d imã móvi. O circuito létrico quivalnt é arntado, bm como uma comaração do rndimnto do atuador m função da otência conumida. Algun método d control d curo ão indicado. Von Dokonal (3) m ua dirtação d mtrado arntou uma modlagm tórica ara o atuador linar d intr ara comror d rfrigração. Sugriu um modlo analítico imlificado ara o rojto, análi uo m imulaçõ dinâmica. O modlo é comarado com rultado or imulação d lmnto finito, motrando boa concordância. Clark t al. (3) aminaram a influência d corrnt araita no dmnho dinâmico d um atuador linar ara comror d ar. Também motraram a influência da forma d onda da tnão, comarando tnão noidal com uma onda quadrada..3 Modlagm do roblma d lubrificação Dvido ao u acto contrutivo, o comror linar oibilitam o uo d uma lubrificação numática nt contto algun trabalho rrntativo na litratura obr mancai a gá rão agora rviado. Gro Zachmanaglou (96) utilizaram o método da rturbaçõ ara olucionar o roblma d mancai radiai infinito ara fluido comrívi. Kazimirki Trojnarki (98) invtigaram a influência da configuração do furo d alimntação no dmnho d mancai lubrificado a gá. Utilizaram o método da

26 Caítulo Rvião Bibliográfica difrnça finita ara olucionar a quação d Rynold m mancai numático radiai com orifício rto com rco. Gommd Etion (993) arntaram um modlo ara análi dinâmica d itõ m anéi, lubrificado a gá. E modlo lva m conta a quaçõ da dinâmica tanto do itão quanto da bila, juntamnt com a quação d Rynold a quação da nrgia. Tian Boni (995) dnvolvram um método qua analítico ara timar a roridad dinâmica tática d mancai radiai híbrido, alicando a toria d quna rturbaçõ ara a oição vlocidad do rotor. O método dnvolvido arntou boa concordância com método do lmnto finito até rlaçõ d cntricidad do rotor d.6, com tmo comutacional muito mnor. Fourka t al. (996) analiaram a tabilidad d mancai d cora numático utilizando um modlo não linar baado no método do lmnto finito, cujo itma d quaçõ rultant foi rolvido lo método d Nwton-Rahon, m conjunto com a quação da dinâmica do mancal. O limit d tabilidad do mancal aim calculado arntaram boa concordância com rultado rimntai. Fourka Boni (997) invtigaram a utilização d orifício canai oroo ara alimntação do film lubrificant m mancai d cora numático. O autor avaliaram acto gométrico como númro localização d furo, bm como rmabilidad d matriai oroo na caacidad d carga rigidz d um mancal d cora circular. A mtodologia mrgada foi a mma mncionada no artigo d Fourka t al. (996). Frnand (996) arntou um modlo dinâmico ara o itão d um comror altrnativo convncional, conidrando a força hidrodinâmica a força d atrito vicoo rcida lo ólo lubrificant, a força rcida la bila, a força rcida lo gá rfrigrant m comrão o momnto aociado a a força. A força hidrodinâmica é calculada la intgração do camo d rõ obtido la olução da quação d Rynold na folga itão cilindro lo método do volum finito. Para a olução da quaçõ da dinâmica foi utilizado o método d Nwton-Rahon. Yohimoto t al. (999) avaliaram a utilização d mancai arotático alimntado or orifício d comnação ara a contrução d quiamnto d rcião, dtrminaram numérica rimntalmnt o comortamnto dt dioitivo frnt a inclinaçõ ntr a urfíci do mancal; acto contrutivo do orifício d oração do mancal também foram conidrado.

27 Caítulo Rvião Bibliográfica Kwan Pot () avaliaram numricamnt a influência do rro d fabricação, na caacidad d carga rigidz d mancai arotático rtangular, atravé do método do lmnto finito. O rro avaliado foram rro d forma na urfíci do mancal rro d forma gométrico no orifício d alimntação. Um trabalho com fort rlação com o rnt tudo é o d Couto (), qu trata do modlamnto invtigação numérica d um itão numático ara comror d rfrigração atravé do método d lmnto finito, ara rolvr a quação d Rynold na folga itão cilindro. Et or ua vz também faz rfrência ao trabalho d Frita t al. (999), qu fizram um tudo rliminar obr mancai numático também atravé do método d lmnto finito. Chn Lin () analiaram a tabilidad dinâmica d mancai arotático rtangular com ranhura. Maa d tabilidad do mancal foram grado ara difrnt rõ d alimntação, caractrítica gométrica do mancal folga ntr a urfíci do mancal. Talukdr Stowll (3) tudaram rimntalmnt o limit d tabilidad d mancai arotático radiai com admião dula. O fator d intr foram o diâmtro do orifício d alimntação, a rofundidad do rco d alimntação a maa do mancal. Rlataram boa concordância com a timativa tórica dionívi, ma fito d amortcimnto trno rigidz do aarato rimntal foram aontado como crítico ara mlhorar a rrodutibilidad do rultado. Rnn Hiao (4) rouram um novo modlo ara o cálculo do fluo d maa atravé d orifício d rtrição ara a alimntação d mancai arotático. O modlo rooto é comarado com dado rimntai com imulaçõ numérica do coamnto, com boa concordância. Lo t al. (5) invtigaram o dmnho d mancai arotático o fito da rão d alimntação, diâmtro do orifício d rtrição, folga média razão d cntricidad obr a rigidz, caacidad d carga vazão do lubrificant no mancal, rolvndo a quação d Rynold atravé d difrnça finita utilizando o método d Nwton ara tratar a ua não linaridad. O itma d quaçõ rultant é rolvido itrativamnt com um método d obr-rlaação variávl, mlhorando a convrgência mmo ara folga no mancal batant quna. Wang Wang (5) analiaram numricamnt a dinâmica d mancai arodinâmico curto. A quação d Rynold é rolvida lo método d difrnça finita, dtrminando o camo d rõ qu gra a força d ração do gá. Um modlo dinâmico

28 Caítulo Rvião Bibliográfica do rotor é rolvido ao longo do tmo a órbita do cntro do rotor é dtrminada, motrando a itência d um comortamnto riódico da ua trajtória, m função d arâmtro adimnionai..4 Método da quadratura difrncial Divro método numérico ão oívi ara rolvr a quação d Rynold. O mai comun ão lmnto finito, volum finito difrnça finita, conidrado cláico, com ficiência robutz comrovado. E método baiam na divião do domínio da olução, com o uo d um grand númro d onto ara obtr rultado com a rcião ncária. Rcntmnt outro método têm ido utilizado ara a olução d quaçõ difrncia arciai não linar, dtacando- o método da quadratura difrncial. A guir algun trabalho nvolvndo t método rão rviado. Bllman t al. (97) lançaram a ba ara o dnvolvimnto d método o alicaram m roblma d valor inicial unidimnionai. A quadratura difrncial conit m aroimar a drivada arciai d uma função m rlação a um io d coordnada or um omatório ondrado do valor daqula função m todo o onto dicrto naqula dirção. Io rmit rduzir a quantidad d onto d divião, tornando o método mai ficint ráido comutacionalmnt. Civan Slicvich (983) tndram o método da quadratura difrncial ara roblma d valor d contorno bidimnionai. Emlificaram o método olucionando a quação d Poion ara algun roblma tt, comarando o rultado com aqul dionívi na litratura rovnint do método d difrnça finita volum finito. Shu Richard (99) modificaram o método da quadratura difrncial rmitindo maior librdad na colha da coordnada do onto d divião do domínio, roondo fórmula d rcorrência ara a dtrminação do coficint d ondração do valor da função. Emlificaram o método rooto rolvndo a quação d Navir- Stok ara o coamnto bidimnional incomrívl obr um cilindro, comarando o rultado com valor rimntai numérico dionívi na litratura. Malik Brt (994) arntaram a alicação do método d quadratura difrncial ara a olução da quação d Rynold ara mancai radiai com fluido incomrívl comrívl m rgim rmannt. O rultado do método foram comarado com

29 Caítulo Rvião Bibliográfica 3 olução analítica ara mancai infinito com método d difrnça finita lmnto finito, com maior rcião mnor forço comutacional. Malik Brt (996) arntaram uma dcrição dtalhada uma rvião hitórica do método da quadratura difrncial. Enumraram ainda uma tna bibliografia dionívl até ntão na litratura. Malik Brt (997) rtomaram a alicação da quadratura difrncial ara roblma d lubrificação hidrodinâmica arntando uma análi tranint d um mancal radial lubrificado a gá. A quadratura difrncial motrou- novamnt mai ficint do qu o método d lmnto finito n roblma.

30 CAPÍTULO 3 MODELAGEM DO COMPRESSOR LINEAR Um do rinciai objtivo do rnt trabalho é dnvolvr uma frramnta comutacional ara análi numérica do dmnho d um comror linar, a artir da quaçõ matmática qu govrnam o roblma. Um modlo matmático báico dv contr i conjunto d quaçõ acolada: a) Equaçõ da dinâmica da câmara d comrão, rlacionando o volum do cilindro com o tmo; b) Equação do circuito létrico do atuador linar, rlacionando a força d acionamnto a corrnt létrica com o tmo; c) Equaçõ trmodinâmica forncndo a maa d gá, rão tmratura intantâna no cilindro; d) Equaçõ d coamnto do gá atravé da válvula d ucção dcarga; ) Equaçõ da dinâmica da válvula qu dfinm a dflõ da alhta; f) Equaçõ da ulação do gá no tubo volum do itma d ucção dcarga. Dv- também adicionar a modlo matmático um conjunto d quaçõ rrntando o coamnto na folga ntr o itão o cilindro atravé do canai d alimntação do mancal numático. Uma vz dtrminada a variávi d funcionamnto do comror torna- oívl idntificar o mcanimo d rda qu aftam o u dmnho. A guir dcrv- a linha d raciocínio da modlagm dinâmica do comror linar. 3. Modlagm da dinâmica do itão O itão do comror linar difr do itão do comror rcíroco com bila manivla or não arntar um curo dfinido m função d arâmtro gométrico. Para dfinir o curo rcorrido lo itão no comror linar é ncário um balanço d força na dirção aial, conform indicado na figura 3. no diagrama d coro livr indicado na figura 3..

31 Caítulo 3 Modlagm do comror linar 5 O comror rá modlado como um itma maa mola com doi grau d librdad. Nt cao, divid- a maa do conjunto mcânico m dua art, uma aociada ao cilindro M c outra aociada ao itão M. Figura 3. Sitma mcânico quivalnt grau d librdad. Conctando o cilindro ao itão aarc a mola ronant K r, lmnto lático ronávl or acumular a nrgia grada lo atuador linar fazr a convrão d nrgia otncial ara nrgia cinética do itão. Da mma forma, o atuador linar é ronávl la força d atração / rulão F m ntr o cilindro o itão, grando o movimnto ocilatório do itma. Também atuam obr o comonnt do itma a força d comrão aociada à rão na câmara d comrão P cil à rão d ucção P além da força d atrito vicoo F f na folga ntr o itão o cilindro. Finalmnt, ligando o conjunto mcânico à carcaça aarc a unão do comror, rrntada la rigidz K na figura 3.. Para crvr a quaçõ da dinâmica d cada lmnto é útil dnhar o diagrama d coro livr d cada art, adicionando um trmo rlativo à força d inércia, conform indicado na figura 3..

32 Caítulo 3 Modlagm do comror linar 6 ( Y Y ) F Kr m A P c M M ( ) c Kr Y Yc Fm A P cil Ff M & Y A P cil Ff K r Y c M & Y c A P Figura 3. Diagrama d coro livr itão cilindro. O omatório d força atuando no itão é dado or, M Y & K r ( Y Y ) + A ( P P ) F F c cil f m (3.) o omatório d força obr o cilindro dado or, M Y & + K Y c c c + K r ( Y Y ) A ( P P ) + F + F c cil f m (3.) O comror, m quilíbrio tático, arnta uma ditância inicial Y ntr o too do itão a laca d válvula conhcida como in-to. Adicionalmnt é conhcido o volum morto idal do comror V m, nglobando, or mlo, o rco na laca ara alojamnto da válvula outro dtalh contrutivo. Dada a oição intantâna do itão do cilindro, o volum da câmara d comrão od ntão r calculado la rão V ( t) Vm + A ( Y + Y Y ) (3.3) c 3. Modlagm da força dvido ao atuador linar O atuador linar od r modlado atravé d um circuito létrico quivalnt, conform Rdlich t al. (996) Lili (), ilutrado na figura 3.3.

33 Caítulo 3 Modlagm do comror linar 7 R bob R r Lmot V rd R f V mot ~ I Figura 3.3 Circuito quivalnt do atuador linar. Alicando a Li d Kirchoff no circuito quivalnt, tmo qu o omatório da quda d tnão d cada comonnt dv r igual a tnão imota trnamnt: L I& + ( R + R ) I + V V (3.4) mot r bob mot rd ond: Vrd Rbob R r R f Lmot Vmot I Tnão da rd [V] Ritência da bobina [Ω] Prda otência dvido ao fluo magnético diro na trutura do comror, modlada como uma ritência quivalnt [Ω] Prda d otência no frro grada lo movimnto do imã rmannt do atuador, modlada como uma ritência quivalnt [Ω] Indutância do motor [H] Tnão contra-ltromotriz grada no atuador linar [V] Corrnt no motor [A] Nt onto dv- licitar a rlaçõ itnt ara o atuador linar. A quaçõ (3.), (3.) (3.4) ão acolada rolvida imultanamnt forncndo a oição do itão, cilindro a corrnt do comror. Aumindo qu o fluo magnético é uma função linar da oição do atuador, od- motrar qu a tnão contra-ltromotriz grada lo atuador é

34 V mot Caítulo 3 Modlagm do comror linar 8 dy α (3.5) dt ond: α dy dt Contant do atuador [V/m ou N/A] Vlocidad rlativa ntr o magnto a bobina, qu vm a r a vlocidad rlativa ntr o itão o cilindro [m/] Nt mmo cao, a força grada lo atuador od r ra or F m αi (3.6) ond: α I Contant do atuador [V/m ou N/A] Corrnt qu aa lo atuador [A] A rda létrica corrondnt à indução d corrnt araita grada la movimntação do magnto (variação do camo magnético) ão modlada or uma ritência quivalnt R f qu é aociada à tnão contra-ltromotriz grada lo atuador atravé da rão P f Vmot (3.7) R f A rda létrica aociada à corrnt araita grada la variação do camo magnético do tator ão modlada como uma ritência quivalnt atravada la corrnt do atuador d acordo com P I (3.8) r R r análoga, atravé d A otência diiada la ritência létrica da bobina é calculada d manira

35 P bob R bob Caítulo 3 Modlagm do comror linar 9 I (3.9) atuador conform A otência útil forncida lo atuador é calculada a artir da força vlocidad do dy Putil Fm (3.) dt Finalmnt o rndimnto do atuador linar od ntão r calculado or P util η at (3.) Putil + Pf + Pr + Pbob 3.3 Modlagm trmodinâmica do comror Para modlar o roco d comrão do gá no intrior do cilindro od- fazr um balanço d nrgia intgral gundo a rimira li da trmodinâmica, conform de Q & + W & (3.) dt Figura 3.4 Volum d control no cilindro.

36 Caítulo 3 Modlagm do comror linar Para um volum d control dfinido la câmara d comrão, conform ilutrado na figura 3.4, tm- Q& + W& t VC r r ρ dv + ρv da (3.3) SC A nrgia cífica é dada la rão, V u + + gz (3.4) o trabalho obr o volum d control indicado na figura 3.4 é dado or r r W& σ nnv da (3.5) SC E trabalho od r dividido m dua art, a rimira aociada a vazão máica na frontira do volum d control a gunda aociada ao trabalho ftuado ara movimntar o limit do volum d control, d acordo com r r dv W& ( ρ v) V da (3.6) dt SC Subtituindo a rõ (3.4) (3.6) na quação (3.3) drzando a variaçõ d nrgia cinética otncial aociada a nrgia do gá, tm- dv Q& dt t VC r r ρ udv + ρ( u + v) V da (3.7) SC Da dfinição d ntalia h u + v odmo avaliar a vazõ máica atravé da urfíci d control liminar a intgrai da quação (3.7), rultando m ( mu) dv d Q & m& h + m& dhd m& f h f dt dt + (3.8)

37 Caítulo 3 Modlagm do comror linar Dnvolvndo a drivada da nrgia intrna m rlação ao tmo, rulta m ( mu) d dt du dm m + u (3.9) dt dt Da quação da conrvação da maa, tm- dm dt m& m& m& (3.) d f Subtituindo a rõ (3.9) (3.) na quação (3.8) agruando o trmo mlhant, rulta m, Q& dv dt du m dt m& ( h u) + m& ( h u) + m& ( h u) d d f f (3.) A ntalia do gá qu ai la válvula d dcarga la folga itão cilindro é a rória ntalia do gá dntro do volum d control, logo h h u v,, d f + dv du Q & m m& ( h u) + ( m& d m& f )v dt dt + (3.) A roridad trmodinâmica nrgia intrna cífica od r dfinida m função da tmratura do volum cífico do gá na câmara d comrão, ito é, ( T v) u f,. A drivada da nrgia intrna m rlação ao tmo od r ntão r crita como: du dt u dt u dv + (3.3) T dt v dt v T A variação da nrgia intrna cífica m rlação à tmratura a volum contant, é a rória dfinição d calor cífico a volum contant, c v. A drivada da

38 Caítulo 3 Modlagm do comror linar nrgia intrna cífica m rlação ao volum cífico, a tmratura contant, od r avaliada com o auílio da quação d Gibb-Duhn da rlaçõ d Mawll, u du Td dv v v T T T T v v T (3.4) tmo, tm- Subtituindo (3.4) (3.3) m (3.) iolando a drivada da tmratura com o dt dt mc v Q& dv dt + m& ( h u) ( m& + m& ) d f v c v T T v dv dt (3.5) Lmbrando qu v V / m, a drivada do volum cífico od r avaliada atravé da alicação da rgra da cadia, dv dt dv V dm (3.6) m dt m dt Novamnt alicando a quação da conrvação da maa (3.) m (3.6) ubtituindo o rultado na quação (3.5) tm-, aó agruar algun trmo mlhant, dt dt Q & + m& dv ( h h) T + T v( m& m& m& ) d f mcv T v dt T v (3.7) A tranfrência d calor ntr a ard do cilindro o gá od r calculada lo li d Nwton Q ha ( T T ) &. Para avaliar o coficint d troca d calor or c w convcção h, od- colhr uma da vária corrlaçõ itnt na litratura. No rnt trabalho rá utilizada a corrlação d Annand (963). Finalmnt, a taa d variação da tmratura do gá dntro da câmara d comrão é calculada la guint rão,

39 dt dt Caítulo 3 Modlagm do comror linar 3 ( ) B( t)t A t (3.8) ond, B A mc ( t) [ ha T + m& ( h h) ] v c dv ( t) ha + v ( m& m& m& ) c d f mcv T v dt T v w (3.9) 3.4 Modlagm da dinâmica da válvula A válvula d comror hrmético d rfrigração ão normalmnt válvula d alhta fita d aço mola. O movimnto da válvula od r modlado como a uroição do u modo d vibração livr é uma boa aroimação adotar a rrntação d um itma maa-mola com grau d librdad ilutrado na figura 3.5, conform rcomndado m Sodl (7). Figura 3.5 Válvula com grau d librdad. Pod- ntão rrntar a válvula d alhta como uma laca rígida, com maa M uortada or mola com rigidz ftiva K. O amortcimnto quivalnt od r rrntado lo coficint C d amortcimnto vicoo. Tanto a válvula d ucção como a d dcarga ão modlada da mma forma.

40 d força, Caítulo 3 Modlagm do comror linar 4 Um diagrama d coro livr ilutrado na figura 3.6 rmit o guint balanço M w& Cw& Kw + F (3.3) Kw M w& C& w F w Figura 3.6 Diagrama d coro livr da válvula com grau d librdad. A olução da quação (3.3) rqur o conhcimnto da força qu atua obr a alhta, qu rulta da difrnça ntr a rõ a juant a montant do coamnto da vazão máica atravé da válvula. Uma rão ara avaliação da força od r dada na forma F ( u d ) B (3.3) ond u d ão rctivamnt a rõ a montant juant do coamnto B é um coficint qu rrnta a ára ftiva d força, qu od r dtrminado tanto rimntalmnt quanto numricamnt, conidrando um dlocamnto da alhta arallo ao anto da válvula, conform Dcham t al. (). A quação (3.3) od ntão r crita como ( ) u d B w& + ξω w& + ω w (3.3) M ond, ω K M Frqüência natural da válvula [rad/] C ξ Coficint d amortcimnto Mω

41 Caítulo 3 Modlagm do comror linar Modlagm do coamnto atravé da válvula O coamnto do gá atravé da válvula d ucção dcarga rultam numa vazão máica ara dntro ara fora do volum d control do cilindro. Em um rimiro momnto o movimnto da válvula é comandado la difrnça d rão ntr a câmara d ucção, comrão dcarga. A artir do momnto m qu a válvula tão abrta qum aa a r o agnt ronávl m mantê-la m tal oição é ntão o rório camo d rão do coamnto do rfrigrant. O modlamnto comlto d coamnto é batant comlo, ma um modlo imlificado od r contruído admitindo alguma imlificaçõ: a) Ecoamnto unidimnional intróico; b) A quaçõ d rgim rmannt odm r alicada ara calcular a oição intantâna da válvula durant o ríodo tranint do coamnto; c) A olução do coamnto ara o rgim rmannt é a mma ara o rgim tranint; d) A condiçõ a montant da válvula odm r conidrada como d tagnação; ) A caractrização do coamnto não é a mma ara fluo normal fluo rvro; f) A válvula abrta od r tratada intantanamnt como um orifício iml, com uma crta ára ftiva d aagm. Figura 3.7 Válvula coamnto atravé d orifício quivalnt. Sja um orifício rrntado como na figura 3.7 conidrando a condiçõ d tagnação a montant tm-, d acordo com a ª Li da Trmodinâmica, V h u h + (3.33)

42 Para um gá rfito, Caítulo 3 Modlagm do comror linar 6 h u ( T T ) h c (3.34) u R c c v (3.35) c γ (3.36) c v (3.3), Utilizando a rõ (3.34) a (3.36) od- liminar a ntalia na quação V γ γ R ( T T ) u (3.37) Também ara um gá rfito, a vlocidad do om é dada or c γ RT (3.38) Da dfinição do numro d Mach da quaçõ ( ), rulta m M V Tu c γ T (3.39) tm- Para um roco adiabático rvrívl d um gá rfito atravé do orifício, γ γ u u (3.4) T T O númro d Mach od ntão r calculado or, γ γ u M (3.4) γ

43 Caítulo 3 Modlagm do comror linar 7 A vazão máica atravé do orifício é dada or, A Mc A V m ρ ρ & (3.4) ond A é ára ftiva d coamnto, qu da mma forma qu a ára ftiva d força B, od r dtrminada tanto rimntalmnt como numricamnt. Utilizando a rlaçõ (3.38) (3.4) tm- R γ γ γ γ ρ T A m u & (3.43) Uando a quação (3.4) lmbrando qu ara um roco adiabático rvrívl, od- crvr u u ρ ρ γ (3.44) R R γ γ γ γ γ γ γ T A T m u u u u u u & (3.45) Rarranjando convnintmnt a quação (3.45) tm-: ( ) γ γ γ γ γ + R u u u u T A m& (3.46) A quação (3.46) é válida ara M<, ou ja, coamnto ubcritíco. Para o coamnto crítico, fazndo M na quação (3.4) obtém-, + γ γ γ u crit c r (3.47)

44 Caítulo 3 Modlagm do comror linar 8 A vazão máica na condição val, γ γ + ( ) γ ( ) γ crit A u rc r ( γ ) RT c u m& (3.48) Para o coamnto ubônico, ou ja, M<, admit- qu d, ntão, ( γ ) γ γ + γ γ m& A r RT r (3.49) u u ond, d r (3.5) u A quaçõ (3.48) (3.49) ão utilizada ara dtrminar a vazão máica atravé da válvula, na condiçõ crítica ubcrítica, ja durant o coamnto no ntido normal, ja quando houvr coamnto rvro na válvula. A ára ftiva d coamnto A ão aroimada or olinômio m função da abrtura da válvula. Et olinômio odm r obtido atravé d imulaçõ numérica do coamnto ou baado m dado rimntai ão dtrminado d acordo com o ntido do coamnto (normal ou rvro). 3.6 Modlagm da ulaçõ d ucção dcarga A ulaçõ d ga no itma d ucção dcarga influnciam na caacidad d rfrigração ficiência do comror, aftando dirtamnt o nchimnto vaziamnto do cilindro. D manira gral, o itma d ucção dcarga ão contituído d uma ou mai cavidad intrligada or quno gargalo. Quando ocorr uma úbita dcarga d gá numa cavidad, a maa qu coa atravé do gargalo d aída dv r aclrada. A inércia da maa d gá rit a a olicitação, cauando uma lvação da rão dntro da cavidad. Por outro lado, uma vz iniciado o movimnto do gá no gargalo, a maa tnd a continuar u movimnto, rovocando uma quda d

45 Caítulo 3 Modlagm do comror linar 9 rão no intrior da cavidad. A rtição d roco rulta no roco ocilatório rnt no itma d ucção dcarga O ronador d Hlmholtz Qualqur forma gométrica qu conita m uma cavidad d ard rígida ligada a um quno gargalo, quando ocuada or um fluido comrívl, od r tratada como um ronador d Hlmholtz. Hlmholtz contatou qu, o fluido contido dntro do ronador ncontra- m movimnto ocilatório, a arcla localizada no intrior do gargalo comorta- como um tamão rígido qu vibra como um todo, como uma maa, nquanto o fluido comrívl do rrvatório roduz um fito d mola. Um diagrama d coro livr ara a força qu atuam obr o tamão d fluido localizado no gargalo é arntado na figura 3.8. Um dlocamnto oitivo da maa contida no gargalo roduz uma altração no volum do ronador dada or dv Aε (3.5) ond A é a ára d aagm do gargalo ε o u dlocamnto. Figura 3.8 Ronador d Hlmholtz. Aim, aumindo- qu o roco d comrão ja linar, od- crvr

46 d dv Caítulo 3 Modlagm do comror linar 3 Aε Ko Ko (3.5) Vo Vo ond, d A ε Ko Vo Flutuação d rão na cavidad [Pa] Ára quivalnt da ção tranvral do gargalo [m²] Dlocamnto do tamão d fluido [m] Módulo d laticidad volumétrica [Pa] Volum inicial [m³] Por convniência d notação, ubtituir--á d or, ond continua ndo intrrtado como uma flutuação da rão média da cavidad. Multilicando- ambo o lado da quação (3.5) la ára A tm-, A A K ε (3.53) o Vo rão, A força d inércia qu rit ao dlocamnto da maa no gargalo é dada la m& ε ( ρ LA & )ε (3.54) o ond, ρo L Dnidad média do fluido [kg/m³] Comrimnto ftivo do gargalo [m] O fluido róimo ao gargalo movimnta- juntamnt com o tamão rígido, d forma qu um trmo d corrção dv r adicionado ao comrimnto gométrico do gargalo L g. Sgundo Sodl (7), o comrimnto ftivo do gargalo od r calculado or πa L Lg + (3.55)

47 Caítulo 3 Modlagm do comror linar 3 S a ção tranvral do gargalo for variávl, dv- utilizar uma ção cilíndrica quivalnt calculada atravé d, A Lg g L (3.56) d A ( ) A diiação d nrgia cauada lo atrito vicoo od r rrntada or um amortcimnto quivalnt C. Ecrvndo ntão o balanço d força ara o tamão tm-, o ( ρ LA )& ε + C& ε + ε o K A & (3.57) V o ronador, tm-, Dfinindo ξ como a razão d amortcimnto ω n como a frqüência natural do C C ξ (3.58) mω ρ LAω K n A o n A o ω v co (3.59) ρ olvo LVo ond, c o K ρ o Vlocidad do om no mio [m/] o trmo obtém-, Subtituindo a quaçõ (3.58) (3.59) na quação (3.57) ragruando o & ε + ξω ε + ω ε (3.6) n & n Obrv- qu ta quação é a mma utilizada ara dcrvr o comortamnto vibratório d um itma maa mola com grau d librdad.

48 Caítulo 3 Modlagm do comror linar Pulação no itma d ucção O itma d ucção do comror linar m tudo od r modlado como ndo comoto or dua câmara d amortcimnto uma câmara d anão arada diota conform motrado na figura 3.9. Um balanço d força m cada lmnto d maa fornc, ( ) + o A C A L ε ε ρ & & & (3.6) ( ) 3 + o A C A L ε ε ρ & & & (3.6) o A C A L ε ε ρ & & & (3.63) Figura 3.9 Sitma d ucção do comror. A altraçõ d volum m cada câmara ão dada or, t o A Q dt dv ε (3.64) o A A dv ε ε (3.65)

49 o3 A ε A3 ε Caítulo 3 Modlagm do comror linar 33 dv 3 (3.66) A vazão volumétrica Q atravé da válvula d ucção é dada or Q m& ρ (3.67) o ond m& é a vazão máica atravé da válvula d ucção. Do ronador d Hlmholtz, quação (3.5), admitindo- qu a maa cífica ρ ja contant, od- crvr a guint quaçõ ara a flutuaçõ d rão na cavidad t K o A ε m& dt V (3.68) o ρo K ( A ε A ) (3.69) o ε Vo K ( A ε A ) (3.7) o ε Vo3 O módulo d laticidad volumétrica K o od r ubtituído la guint rão nvolvndo a vlocidad do om c o a maa cífica ρ o, K ρ (3.7) o c o o Fazndo a ubtituição da quaçõ d flutuação da rão (3.68) a (3.7) na quaçõ d balanço d força obr a maa do gargalo (3.6) a (3.63) obtém-, ρ L o A && ε + C & ε + c o + coρo A A ε ρo A ε Vo Vo Vo co A V o t m& dt (3.7)

50 Caítulo 3 Modlagm do comror linar o o o o o o o o V A A c V V A c C A L ε ρ ε ρ ε ε ρ & && o o o V A A c ε ρ (3.73) o o o o o o o V A A c V A c C A L ε ρ ε ρ ε ε ρ & && (3.74) Pulação no itma d dcarga O itma d dcarga do comror linar m tudo od r modlado como ndo comoto or uma câmara d anão uma câmara d amortcimnto arada or um gargalo, mai um tubo ancóico, dioto conform motrado na figura 3.. Figura 3. Sitma d dcarga do comror. Sodl (7) contatou qu ara uma amla varidad d comror, o tubo d dcarga od r modlado como mi-infinito (tubo ancóico), admitindo qu a onda d rão m u intrior jam totalmnt diiada. A quaçõ qu imulam a ulação d ga no itma d dcarga odm r obtida d manira mlhant à obtida ara o itma d ucção. O balanço d força no lmnto d maa no gargalo fornc,

51 ρ L od Caítulo 3 Modlagm do comror linar 35 ( ) A & ε & ε (3.75) d A d d Cd d + d d d A altraçõ d volum ão dada or: t dvo d ε ( Qd Qin ) dt A d d (3.76) od A dεd A dε d dv (3.77) ond Q d Q in ão a vazõ volumétrica atravé da válvula d dcarga dviada ara inuflamnto na folga itão cilindro, rctivamnt. A quaçõ (3.76) (3.77) odm r crita, m trmo da rõ, or rctivamnt, t c od & d (3.78) Vo d ( m ) d m& in dt ρod A d d ε c ρ ( A ε A ) (3.79) od od d d d dε d Vo d Ma, dvido ao tubo mi-infinito (ancóico) od- crvr, & (3.8) d ρ odcodε d Combinando- a quaçõ (3.79) (3.8), tm-, c ρ ρ c & ε ( A ε A ε ) (3.8) od od od od d d d d d Vo d Multilicando- a quação (3.8) or A d, tm- cod ρod A dε d cod ρod A d A dεd ρ odcod A & dε d + (3.8) V V od od A ubtituição d (3.78) (3.79) m (3.75) rulta m:

52 Caítulo 3 Modlagm do comror linar 36 ρ && ε + C & + + dεd cod ρod A d ε d + Vod Vo d od L d A d d c od ρod A V d od A d ε d cod A V od d t ( m& m& ) d in dt (3.83) Coficint d amortcimnto do fluido no gargalo É rcomndávl qu o coficint d amortcimnto do fluido no gargalo jam obtido m laboratório. No ntanto, io nm mr é oívl, otou- aqui or uma abordagm tórica conform roota m Ingard Iing(967). A rão no intrior da cavidad o é dada or uma quação da forma: L.7 4 & ε + +.7& o R ε D (3.84) ond, R ε& L D Ritência d urfíci [Pa] Vlocidad do fluido no gargalo [m/] Comrimnto ftivo do gargalo [m] Diâmtro do gargalo [m] Sab- qu, τ R (3.85) & ε ond a tnão d cialhamnto τ é dada or, µ τ 8 & ε (3.86) D

53 obtém-, Caítulo 3 Modlagm do comror linar 37 Subtituindo a quação (3.86) na quação (3.85) o rultado na quação (3.84) o µ L & ε & ε D D (3.87) do gargalo rulta m Multilicando- ambo o lado da quação (3.87) la ára da ção tranvral F r L.7 8πµ D + +.7& ε & ε D (3.87) Da rória dfinição do coficint d amortcimnto obtém- F C r (3.88) ε& timado la rlação Portanto, o coficint d amortcimnto ara cada um do gargalo od r L.7 C 8πµ D + +.7& ε D (3.89) Nt caítulo arntou- um conjunto d quaçõ báica ara a modlagm d um comror linar, contndo a quaçõ da dinâmica da câmara d comrão, força do atuador linar válvula d ucção dcarga, a quaçõ trmodinâmica ara o roco d comrão coamnto atravé da válvula a quaçõ ara a ulaçõ do gá no itma d ucção dcarga do comror. Para fchar o roblma ainda é ncário formular a modlagm do roblma da lubrificação na folga ntr o itão o cilindro, qu é dtalhada no caítulo 6. A intração ntr o modlo matmático rooto é ilutrada na figura 3..

54 Caítulo 3 Modlagm do comror linar 38 Eq. da força do atuador linar Eq. da dinâmica da câmara d comrão Eq. do coamnto na folga itão-cilindro Eq. do coamnto na válvula d ucção Eq. trmodinâmica no cilindro Eq. do coamnto na válvula d dcarga Eq. da ulaçõ d gá no itma d ucção Eq. da ulaçõ d gá no itma d dcarga Eq. da dinâmica da válvula d ucção Eq. da dinâmica da válvula d dcarga Figura 3. Intração ntr o modlo matmático.

55 CAPÍTULO 4 MODELAGEM DO PROBLEMA DE LUBRIFICAÇÃO 4. Modlo fíico A rdução do forço latrai obr o itão do comror linar rmit a utilização d fluido lubrificant d baia vicoidad, como o rório rfrigrant. O lubrificant é alimntado continuamnt or orifício tratgicamnt ditribuído no cilindro ligado ao rrvatório d alta rão (câmara d dcarga do comror) or canai d alimntação d modo a roiciar uma mlhor caacidad d carga do mancal atravé d um mcanimo d autocomnação da rão, conform dcrito m Hamrock (4). Na figura 4. arnta- um itma tíico com itão cilindro rovido d um mancal a gá. O itão, com raio R comrimnto L i, é acionado lo movimnto altrnativo do atuador linar, não indicado na figura, dlizando dntro d um cilindro d comrimnto L cil com uma folga radial c. O movimnto é riódico, cuja frqüência dnd do quilíbrio dinâmico do itma mcânico dfinido la maa do comonnt, rigidz da mola ronant rõ atuando obr o cilindro o itão. Figura 4. Dimnõ rinciai do mancal do itão.

56 Caítulo 4 Formulação do roblma d lubrificação 4 A rõ cil uc, no too aia do itão rctivamnt, ão conhcida, ndo cil função da oição do itão uc é contant. A folga ntr o itão o cilindro é alimntada com rfrigrant atravé d um conjunto d orifício dioto rgularmnt no cilindro intrligado or canai d alimntação. O gá rfrigrant inuflado faz o al d fluido lubrificant, arando a urfíci do itão cilindro atravé do camo d rõ na folga radial. A orintação do itão no intrior do cilindro é arntada na figura 4., juntamnt com o itma d coordnada XYZ utilizado ara ua localização dntro do cilindro. A origm d itma d coordnada é no too do cilindro. O itão od movimntar livrmnt dntro da folga, m qualqur dirção. Para dfinir ua oição ão ncária dua coordnada, a cntricidad no too na aia do itão, a inclinaçõ m rlação ao io X ou atravé d ua comonnt na dirçõ X Z, rctivamnt, z, z. Figura 4. Orintação do itão dntro do cilindro. A vlocidad do itão na dirção y é dada or V, aumida oitiva no ntido ara o PMI o cilindro é aumido m rouo. Um outro itma d coordnada ξηζ é utilizado ara o cálculo do camo d rão na folga itão cilindro, com origm olidária no too do itão colocado na

57 Caítulo 4 Formulação do roblma d lubrificação 4 urfíci do cilindro. Como a folga é muito mnor qu o diâmtro do itão, da ordm d :, o fito d curvatura ão drzado o aço ntr o itão o cilindro od r lanificado conform indicado na figura 4.3. Figura 4.3 Gomtria ara folga itão-cilindro dnvolvida. 4. Eura local do film fluido A ura local do film fluido h é a ditância qu ara a dua urfíci é função tanto d ξ como η. Conform indicado na figura 4.4, m uma ção qualqur aralla ao lano z do mancal, odmo tablcr a guint rlação, h c ξ ξ co z n (4.) R R Figura 4.4 Sção gnérica do mancal.

58 Caítulo 4 Formulação do roblma d lubrificação 4 A cntricidad ão conhcida no too na aia do itão ara um dado intant d tmo odm r utilizada ara dfinir a comonnt z m uma ção qualqur, atravé d uma iml roorção. Figura 4.5 Sção do mancal no lano ηζ. Com ba na figura 4.5 od- dizr qu, η, ara (4.) η L man, ara L (4.3) ( L L ) L + i man (4.4) Li ond, o comrimnto do mancal L man é função da oição do itão y i dntro do cilindro, Li y i + Li < Lcil L man (4.5) Lcil y i y i + Li Lcil A cntricidad m uma ção qualqur do mancal é dada or ( η ) η + (4.6) L i

59 Caítulo 4 Formulação do roblma d lubrificação 43 Finalmnt ubtituindo- a quação (4.6) na quação (4.) a rão ara a ura do film lubrificant od r dtrminada or h + z + z (4.7) R R Li R R η ξ ξ ( ) η c ξ ξ ξ η co n co n, Li 4.3 Carrgamnto obr o itão O comror linar idalmnt arnta o mcanimo alinhado com o io d movimnto, orém m função da tolrância d fabricação rro d montagm é oívl qu ita um atravamnto do itão m rlação ao cilindro durant u funcionamnto. O rório atuador linar od também grar carrgamnto latral momnto obr o itão. Na figura 4.5 é ilutrada a ditribuição d força momnto obr o itão, dnotado or F o M o. O carrgamnto F o M o ão, a rincíio, conhcido a artir d rimnto ou imulação numérica imoto ao roblma. E carrgamnto vão grar um camo d rõ no film lubrificant qu ocua a folga radial qu rultam no momnto M r na força F r (não indicado na figura), atuando obr o cntro d gravidad do itão anulando o carrgamnto imoto. Figura 4.6 Equilíbrio d força obr o itão.

60 Caítulo 4 Formulação do roblma d lubrificação Modlo do coamnto na folga itão cilindro O coamnto ntr a urfíci do itão cilindro é govrnado la quaçõ d Navir-Stok, ma d acordo com a Toria da Lubrificação a quaçõ odm r imlificada obrvando- a guint hiót, conform arntado m Prata (99) Hamrock (4): (a) O fito da força d camo ão ignorado; (b) A força d inércia ão dconidrada; (c) A rão não varia rndicularmnt à folga radial; (d) Condição d não dlizamnto do fluido lubrificant na urfíci ólida; () Ecoamnto laminar; (f) Fluido lubrificant é um gá rfito; (g) Ecoamnto iotérmico drza- a variação da vicoidad com a rão. Logo, a vicoidad é conidrada contant. Utilizando- a hiót imlificativa na quaçõ d Navir-Stok ara a dirçõ ξ η, od- motrar qu + + ζ η ξ µ ξ u u u (4.8) + + ζ η ξ µ η v v v (4.9) ma, ζ η ξ << u u u ζ η ξ << v v v (4.) ntão, ζ µ ξ u ζ µ η v (4.)

61 tm- Caítulo 4 Formulação do roblma d lubrificação 45 Intgrando- a quaçõ (4.) ao longo da ura do film lubrificant ζ u + Cζ + C µ ξ ζ µ η v + C3ζ + C4 (4.) Como a urfíci do cilindro tá arada m rlação ao itma d coordnada a urfíci do itão mov- com vlocidad V na dirção η, tm- como condiçõ d contorno, ζ u v ζ h u v V (4.3) Alicando a condiçõ d contorno na quaçõ (4.), tm- C h ; µ ξ C ; h V C3 + µ η h ; C 4 (4.4) m Subtituindo- a rõ da contant (4.4) na quaçõ (4.) rulta ζ hζ u µ ξ ζ hζ v V µ η + ζ h (4.5) A rõ antrior rão agora utilizada juntamnt com a quação da conrvação da maa, dada or ( ρu) ( ρv) ( ρw) ξ + η + ζ (4.6) A quação (4.6) intgrada ao longo da ura d film lubrificant fornc h h h ( ρu) ( ρv) ( ρw) ξ dζ + η dζ + ζ dζ (4.7)

62 Caítulo 4 Formulação do roblma d lubrificação 46 Para o último trmo da quação (4.7) tm- h ( ρw) dζ ( ρw) h ( ρw) (4.8) ζ ond w é a vlocidad na dirção ζ junto à urfíci do cilindro w h junto à urfíci do itão. Na urfíci do cilindro, a vlocidad no ntido da folga é zro m todo o domínio ond a urfíci é fia, cto na rgiõ d inuflamnto qu coincidm com o furo d alimntação, cuja vlocidad dnd do fluo d maa inuflado. Na urfíci do itão, w h rrnta a vlocidad com qu o itão aroima ou afata do cilindro. Aim, matmaticamnt a condiçõ antrior traduzm m, m& ρ (4.9) ( w) ( ) A furo h ρ w h ρ (4.) t Como h é limit d intgração é função d ξ η, faz- uo, na olução da intgrai do rimiro gundo trmo da quação (4.7), da Rgra d Libnitz ara difrnciação d intgrai, ou ja, b( α ) b( α ) d df db da F( α β ) dβ dβ F( α b) F( α a) dα, +,, (4.) dα dα d α a( α ) a( α ) Rarranjando o trmo da rão (4.), tm- b( α ) a( α ) b( α ) df d dβ F dα dα a( α ) db da ( α, β ) dβ F( α, b) + F( α, a) dα d α (4.) (4.7) rulta m, Comarando a rão (4.) com o rimiro trmo do lado dirito da quação

63 Caítulo 4 Formulação do roblma d lubrificação 47 ( ) ( ) ( ) ( ),,, ξ ρ ξ ξ ρ ζ ζ ξ ρ ξ ζ ξ ρ u h h u d u d u h h + (4.3) Ma a vlocidad na dirção circunfrncial do itão é nula (o itão não gira obr u io), ntão o gundo o trciro trmo no lado dirito da quação (4.3) ão nulo, rultando m ( ) 3 h d h d u h h ξ µ ρ ξ ζ ζ ζ ξ µ ρ ξ ζ ξ ρ (4.5) ond foi utilizada a rão ara u dada la quação (4.5). Da mma forma, comarando a rão (4.) com o gundo trmo do lado dirito da quação (4.7) rulta m ( ) ( ) ( ) ( ),,, η ρ η η ρ ζ ζ η ρ η ζ η ρ v h h v d v d v h h + (4.6) A vlocidad aial da urfíci m ζ é nula, oi é a vlocidad do cilindro a vlocidad m ζ h é a rória vlocidad do itão V. Logo, fazndo uo da quação (4.5) ara v, rulta m ( ) η ρ ζ ζ ζ ζ η µ ρ η ζ η ρ + h V d h V h d v h h η ρ ρ η µ ρ η h V h V h 3 ( ) η ρ η µ ρ η h V h 3 (4.7) Subtituindo a quaçõ (4.8), (4.5) (4.7) na quação (4.7) rarranjando algun trmo chga- finalmnt à quação d Rynold ara a folga ntr o itão o cilindro,

64 Caítulo 4 Formulação do roblma d lubrificação 48 ρh ξ 3 + ρh ξ η 3 V µ η ( ρh) η + m& A furo h ρ t (4.8) A comribilidad do fluido dv r incororada ao modlo fíico, ara avaliação da dnidad frnt à variação da rão. Aumindo um comortamnto d gá rfito, a dnidad do fluido lubrificant od r ra or ρ /( RT ) crvr a quação (4.8) como:, o qu rmit V 3 3 h + h µ ξ ξ η η ( h) η + RT m& A furo h t (4.9) A quação d Rynold dv r rolvida no domínio d olução arntado na figura 4.7. Et domínio é a urfíci lanificada do cilindro ota ao itão. Figura 4.7 Domínio d olução (folga itão cilindro lanificada). Como condiçõ d contorno ara a quação (4.3), conidra- qu o camo d rõ é contínuo na trmidad circunfrncial do domínio, ou ja, ξ ξ πr (4.3) qu a rõ intantâna na too na aia do itão ão rcrita, conform

65 Caítulo 4 Formulação do roblma d lubrificação 49 ( t) ( t) η cil (4.3) ( t) ( t) η L ucção (4.3) 4.5 Modlo do coamnto no canai d alimntação O canal d alimntação é obtido atravé do tornamnto d ranhura hlicoidai na urfíci trna do cilindro, conform ilutrado na figura 4.8. O cilindro ntão é inrido ob rão no bloco do comror, formando o canai. Figura 4.8 Rrntação do canal d alimntação do mancal. Cada canal comunica- com um único orifício d inuflamnto tm comrimnto L. O canal oui uma ção aroimada or uma corda d um círculo o u diâmtro quivalnt D h é dfinido atravé d D h 4A ca (4.33) P ca ond A ca é a ára da ção tranvral do canal d alimntação P ca é o u rímtro molhado. O inuflamnto d rfrigrant rá modlado como trmo font na quação d Rynold, no volum localizado obr o onto d alimntação, conform arntado na

66 Caítulo 4 Formulação do roblma d lubrificação 5 quação (4.9). E rfrigrant é dviado da câmara d dcarga do comror conduzido ao orifício d inuflamnto or canai d alimntação. A vazão máica d rfrigrant inuflada m cada orifício é dada or m& ρ u A (4.34) k k k ca ond, ρ k é a dnidad do rfrigrant uk é a vlocidad média do rfrigrant no canal d alimntação, dtrminada a artir d u k cm k (4.35) ond c é a vlocidad do om M k é o númro d Mach do coamnto m cada canal d alimntação. Em Saad (99), ara um coamnto comrívl unidimnional iotérmico m um duto d ção contant com atrito, o númro d Mach na ntrada do duto é dado la rão M γ 4 fl ln + D h (4.36) ond o índic rrnta a condiçõ d ntrada do duto o índic a condiçõ d aída, f é o fator d atrito, calculado la rõ, 64 f, ara R < ou R,364 f, ara R 5,5 R (4.37) ond R é o númro d Rynold do coamnto no canal d alimntação.

67 Caítulo 4 Formulação do roblma d lubrificação 5 Tndo avaliado a vazão máica inuflada atravé do orifício, dv- vrificar a conrvação da maa, comarando a maa inuflada d rfrigrant com a maa qu tá ndo liminada la trmidad do itão, n furo m& k m& L m& m& η + + man η f (4.38) k ond m& f é a taa d variação da maa contida na folga m& η é a vazão máica calculada a artir da intgração da ditribuição da vlocidad aial ao longo da folga itão cilindro na trmidad do domínio (η η L man ) dada or πr h ( ρv ) m& dζdξ (4.39) η (4.5) rulta m Subtituindo na quação (4.39) a rão ara a vlocidad v dada la quação πr h ρ ζ hζ + ρvζ m& η dζdξ (4.4) µ η h Intgrando a quação (4.4) ao longo da ura da folga h tm- πr 3 ρh ρvh m& η dξ (4.4) µ η qu rmit calcular a vazão máica la trmidad da folga ntr o itão o cilindro. 4.6 Modlo ara força d atrito vicoo obr o itão Para a dtrminação da força d atrito vicoo, F f, dv- calcular a tnão d cialhamnto τ i na intrfac ntr o itão o film lubrificant. A tnão τ i ag na dirção

68 Caítulo 4 Formulação do roblma d lubrificação 5 aial a tnõ d cialhamnto na dirção circunfrncial ão drzada oi o itão não gira obr o u io. Aim, obrvando- a figura 4.3 tm- v τ i µ (4.4) ζ ζ h Drivando a comonnt v da vlocidad, forncida la quação (4.5) avaliando o valor da drivada m ζ h, rulta m v h V + ζ ζ µ h η h (4.43) Uando a quaçõ (4.4) (4.43) chga- a h V τ i + µ (4.44) η h A quação antrior quando intgrada m toda a ára da folga ntr o itão o cilindro rulta na rão da força d atrito vicoo, F f Lman πd h V + µ η h dξdη (4.45) Aqui o inal ngativo indica qu a força d atrito vicoo obr o itão tm ntido contrário à vlocidad ua vlocidad ao gradint d rão ao longo da folga radial ntr o itão o cilindro. 4.7 Modlo ara quilíbrio dinâmico do itão dntro da folga Como indicado na figura 4.4 o carrgamnto imoto obr o itão traduz m u dlocamnto dntro da folga itão cilindro. Para a nutralização d carrgamnto

69 Caítulo 4 Formulação do roblma d lubrificação 53 urgm forço hidrodinâmico dcorrnt do fito d inuflamnto d rfrigrant, fito cunha fito d film rmido. O forço hidrodinâmico odm r dtrminado la intgração do camo d rõ rovnint da olução da quação (4.9). Aó o camo d rõ tr ido dtrminado, a comonnt da força grada lo film fluido ão calculada atravé da guint rõ Lman πr ξ Fr ( ξ, η) co dξdη (4.46) R Lman πr ξ Frz ( ξ, η) n dξdη (4.47) R calculada or A comonnt do momnto aociado à força d ração do film fluido ão Lman πr ξ M r ( ξ, η)( η ycm ) n dξdη (4.48) R Lman πr ξ M rz + ( ξ, η)( η ycm ) co dξdη (4.49) R Em uma formulação comlta, balanço ntr o carrgamnto a força d utntação do film fluido gra uma aclração do itão ara uma nova oição dntro da folga, rrntada la aclração do cntro d maa aclração angular do itão (Prata t al., ). Ito ignifica rolvr um itma d 4 quaçõ difrnciai ordinária or um método itrativo, como or mlo, Rung-Kutta, ncitando- d vário ciclo até garantir uma condição d riodicidad ara a órbita do itão.

70 Caítulo 4 Formulação do roblma d lubrificação 54 No ntanto, uma formulação mai imlificada ond a maa do itão é dconidrada vm ndo utilizada com uco nt tio d roblma (Couto, ). O roblma da dinâmica do itão rum ntão a ncontrar um camo d rão qu dvido ao fito d film rmido, ito é, dvido à vlocidad radial do itão dntro da folga, ja caaz d anular a comonnt da força momnto do carrgamnto imoto. Uma vz ncontrada a vlocidad, a oição do itão dntro da folga no róimo intant, caractrizado la comonnt da cntricidad no too na aia, od r calculado or t t + * t t + * t t z z z + * t t z z z + * (4.5)

71 CAPÍTULO 5 DESEMPENHO DO COMPRESSOR LINEAR 5. Critério d dmnho O trmo mai utilizado na indútria d rfrigração ara avaliar o dmnho d comror ão o COP cofficint of rformanc EER nrgy fficincy ratio. O rimiro é dfinido como a razão ntr o calor rmovido, m Watt, a otência rqurida ara ralizar roco, também m Watt. O gundo, cuja dfinição é a mma, o calor rmovido é dado m BTU/h, nquanto qu a otência rqurida rmanc m Watt. E trmo, mbora dêm uma idéia da totalidad do dmnho do comror qu é útil ara a comaração claificação do mmo, imoibilitam uma análi dtalhada da rda d nrgia vazão máica qu rmitam um trabalho d otimização d rojto cujo rimiro ao é a idntificação do maior otnciai d ganho d dmnho. Torna- ntão ncário dnvolvr uma dfinição gnralizada comrniva d um trmo qu oa r uado ara rlatar o dmnho global do comror, qu também lv m conidração todo o fator individuai qu aftam t dmnho. Com t fim rão utilizado o trabalho d Pandya t al. (978) Uyk (98) o quai forncm a ba ara o dnvolvimnto arntado a guir. Em trmo grai o dmnho d uma máquina é a ua caacidad m cutar uma dtrminada tarfa. No cao d um comror, a tarfa é bombar a máima quantidad oívl d gá na condiçõ d ucção dada ara a condiçõ djada d dcarga com o mínimo conumo cifico d nrgia. Aim urgm doi critério d dmnho: A caacidad do comror qu é a taa d maa qu od r comrimida librada m dada condiçõ d oração. Um aumnto na vazão máica aumntará o dmnho. A utilização ftiva da nrgia forncida ao comror, qu é a nrgia conumida or unidad d maa librada. Um aumnto no conumo d nrgia rduzirá o dmnho. Combinando o doi critério acima obtém um coficint d dmnho ara um comror.

72 Caítulo 5 Dmnho do comror linar 56 Taa d maa Dmnho (5.) Enrgia conumida or unidad d maa librada Dfinindo ntão uma razão d dmnho ara o comror na forma dm Π dt (5.) Ent dm A razão d dmnho acima também od r crita na forma dm dm m E dt nt dm dt & Π E& (5.3) nt dm dt ond, m m& Ent E & nt - Maa librada [kg] - Vazão máica [kg/] - Enrgia forncida ao comror [J] - Potência létrica forncida ao comror [W] A razão d dmnho conform dfinida acima é uma grandza dimnional [kg..m - ] qu ra o dmnho do comror m trmo aboluto m contudo forncr uma idéia clara da oibilidad d otimização d dmnho. Para mlhorar a ituação é dfinido outro trmo, chamado ficiência d dmnho (η ), o qual é obtido la comaração da razão d dmnho ral com a razão d dmnho d um comror idal, ou ja, into d qualqur tio d rda. Utilizando- o ubcrito r i ara dignar a condiçõ ral idal, rctivamnt, tm-: & r m Π r E& (5.4) m& nt i Π i (5.5) Ei

73 Caítulo 5 Dmnho do comror linar 57 Ond E i é o trabalho cífico idal ntrgu ao fluido lo dlocamnto do itão. Aim, Π m& E m& E m& r r i r i r η i E& ntm& i E& (5.6) Π nt m& i Em última análi, a ficiência d dmnho rrnta a fração do dmnho idal qu um dado comror od atingir, m condiçõ rai d oração. Pod- dfinir, a artir da quação (5.6), uma ficiência d maa (η m ) uma ficiência d nrgia (η ), amba adimnionai, m& r η m (5.7) m& i m& E r i η E& (5.8) nt A ficiência d maa od r traduzida como a fração da vazão máica idal qu od r bombada lo comror, ob condiçõ rai d oração. Similarmnt, a ficiência d nrgia traduz- como a fração da otência ral conumida cao o comror tiv orado idalmnt. A quação (5.8) od r dcomota da guint forma, E& m& E E E& E& i r r i i ind i η E& nt E& i Er E& nt E& (5.9) i Er E ond, E & i E & ind E r Potência dionívl no io do atuador [W]. Potência ntrgu ao gá dntro do cilindro [W]; Trabalho cífico ral ntrgu ao gá dntro do cilindro atravé do dlocamnto do itão [J/kg];

74 Introduzindo a guint ficiência: Caítulo 5 Dmnho do comror linar 58 Eficiência Elétrica Eficiência Mcânica Eficiência Trmodinâmica E& i η at E& (5.) nt E& ind η mc E& (5.) i E i η tr (5.) Er A quação (5.6) od agora r rcrita da guint forma, η η η η η (5.3) P m tr mc at Aociada a cada uma dta ficiência tm- uma éri d rda qu odm r agruada m doi conjunto: rda d nrgia rda na vazão máica. A guir t doi gruo d rda ão analiado aradamnt. 5. Prda d nrgia a otência rdida. A figura 5. é uma rrntação do fluo d otência no comror, motrando A otência d ntrada létrica E & nt é forncida ao atuador linar do comror qu a tranforma m nrgia mcânica com uma ficiência η at, roduzindo uma otência E & i dionívl no io do atuador. A rda do atuador linar E & at já foram dicriminada no itm 3.. Também é oívl crvr qu: E & at ( η at ) E& nt (5.4) A otência d io E & i dionívl também ofr uma rda, dnominada rda mcânica E & m, até tranformar- m otência indicada E & ind.

75 Caítulo 5 Dmnho do comror linar 59 A rda mcânica nglobam toda a rda or fricção ocorrndo no mcanimo d tranmião mcânica. No cao do comror linar la dcorrm do amortcimnto trutural da mola ronant d unão, uualmnt drzívi, rincialmnt da rda d otência diiada dvido ao cialhamnto do fluido lubrificant na folga itão cilindro. η at η mc η tr Figura 5. Fluo d otência no comror. Ea rda d otência no mancal do itão é dada lo roduto ntr a força d atrito vicoo, F f, a vlocidad aial do itão, V. Aim, E & F V (5.4) m f Ea é a otência diiada intantanamnt no folga itão cilindro. A otência média diiada é dada la intgração dta quação ao longo d um ciclo comlto, rultando m T E& m FfVdt (5.5) T

76 Caítulo 5 Dmnho do comror linar 6 ond T é o ríodo d ocilação do comror. Dcontada ntão a rda no atuador linar E & at a mcânica E & m, tm- a otência indicada E & ind qu é ralmnt ntrgu ao gá dntro do cilindro. E & ind E& E& E& (5.6) nt l m Eta otência também é rrntada la ára fchada do diagrama (Prão v. Volum). Et diagrama é dnominado d diagrama indicado é traçado gundo a variaçõ intantâna d rão no intrior do cilindro. A figura 5. motra tal diagrama, qu rá utilizado ara idntificar a rda rtant, dnominada d rda trmodinâmica. Figura 5. Diagrama indicado (Prão v. Volum).

77 A maior art da otência indicada Caítulo 5 Dmnho do comror linar 6 E & ind é utilizada como otência ftiva E & f qu é rrntada la ára dfinida lo onto no diagrama P-V. Eta otência é ncária ara comrimir o gá a baia rão A rda ocorrndo n tágio ão: rda no itma d dcarga d ucção até a rão d dcarga d. E & vd rda no itma E & v. Tai rda ão ra na ára , rctivamnt, no diagrama P-V. E balanço d nrgia od r ra atravé d E & f E& E& E& (5.7) ind v vd Da mma forma, a maior art da otência ftiva E & f tranforma- m otência tórica E & to, corrondnt a ára dfinida lo onto no diagrama indicado. Para comror admit- qu o roco idai d comrão anão jam intróico aim, conhcndo- o volum morto ( V m V 4 ) a rõ d ucção dcarga atravé da quaçõ d, od- dtrminar o volum corrondnt ao onto, 3 γ ' 4 d V V (5.6) m& rv V ' V' + V V ' + (5.7) F γ 3' ' V d V (5.8) ond, γ Rlação d calor cífico (c /c v ) v V F Volum cífico do gá na ucção (m³/kg) Volum d gá admitido na condiçõ d ucção (m³) Frqüência do ocilação do comror [Hz]

78 Caítulo 5 Dmnho do comror linar 6 A ára dlimitada lo ciclo ral rrnta a nrgia qu é ntrgu ao fluido d trabalho a cada ciclo do atuador. A otência tórica od r calculada la rão, γ γ γ d E & to vm& r γ (5.9) ou la rão, to r ( h h ) E & m& (5.) d ond, h hd Entalia cífica na condição d ucção [J/kg] Entalia cífica na condição d dcarga [J/kg] Finalmnt a difrnça ntr a otência ftiva a tórica tá aociada ao mcanimo d tranfrência d calor da ard do cilindro itão ara o gá durant o roco d ucção início d comrão, também à irrvribilidad aociada ao coamnto do fluido no intrior do cilindro durant a comrão do gá (normalmnt drzívi). Ea rda, conhcida como rda d ucção comrão, odm r avaliada or E & c E& E& (5.) f to 5.3 Prda d maa Para comrndr a rda na vazão máica, dv- utilizar um concito lvmnt difrnt daqul uado na rda d nrgia, orqu nt cao nnhuma da rda é ralmnt drdiçada ara o ambint. O mcanimo d rda na vazão máica arnta- na forma d rdução da caacidad d rfrigração do comror. É oívl numrar a guint caua qu dtrminam rda na taa d maa ntrgu: volum morto, vazamnto, rfluo na válvula, aqucimnto do gá d ucção, rcirculação d gá

79 Caítulo 5 Dmnho do comror linar 63 rfrigrant lo mancal numático rtriçõ na válvula canalizaçõ, conform ilutrado na figura 5.3. m& i m& vm m& fu m& r m& a m& m m& r m& r Figura 5.3 Prda na taa d maa. O volum andido V r da figura 5. é o volum do cilindro quando a rão na câmara d comrão é igual a rão na linha d ucção. A rda na taa d maa aociada ao volum morto od r calculada or m& V ρ F (5.) vm r o ond ρ o é a dnidad do gá na câmara d ucção [kg/m³]. O vazamnto d rfrigrant atravé da folga itão-cilindro é a rória maa qu atrava o too do itão, obtida la intgração da vlocidad aial do coamnto ao longo da folga, conform a quação (4.4), πd 3 ρh ρvh m& fu + dξ µ η (5.) η

80 Caítulo 5 Dmnho do comror linar 64 Para obtr a rda na vazão máica aociada ao vazamnto atravé da folga ntr o itão o cilindro, dv- intgrar a quação (5.) ao longo d um ciclo comlto d ocilação do comror multilicá-la la frqüência d oração. Aim, T m& fu m fudt T & (5.3) No final do roco d ucção dcarga, dndndo da condiçõ d rão a montant a juant da rctiva válvula od ocorrr o rtorno do fluido do cilindro ara a câmara, no cao da ucção, ou da câmara ara o cilindro, no cao da dcarga. E coamnto rvro é conhcido como rfluo. A quaçõ (3.48) (3.49) dfinm a vazõ máica intantâna atravé da válvula. Uma vz caractrizado o coamnto rvro, a intgração da quaçõ ao longo do ciclo d ocilação do comror fornc o rfluo total d maa atravé da válvula. A rda na taa d maa aociada ao rfluo od r calculada or T m& r ( mvr mvdr )dt T & + & (5.4) ond, m& vr m& vdr Taa d maa qu rflui na válvula d ucção [kg/] Taa d maa qu rflui na válvula d dcarga [kg/] O fluido rfrigrant rovnint da linha d rtorno do rfrigrador ntra no comror a uma tmratura rlativamnt baia, ncontrando o ambint da carcaça do comror, cujo comonnt tão a uma tmratura mai alta. Como rultado, o gá ofr um aqucimnto tm aumntado u volum cífico or conqüência uma rdução da maa m circulação lo comror. Eta rda na taa d maa aociada ao aqucimnto do gá na ucção é dada or ρ m& a m& r (5.5) ρo

81 ond ρ é a dnidad do gá na ucção [kg/m³] Caítulo 5 Dmnho do comror linar 65 O inuflamnto d fluido lubrificant na folga itão-cilindro ara garantir o funcionamnto do mancal numático é obtido lo dvio d art do rfrigrant a alta rão na câmara d dcarga. A taa d maa inuflada m cada orifício do mancal numático é dada la quação (4.34) ua intgração ao longo d um ciclo d ocilação do comror fornc a rda na taa d maa dvido ao mancal numático: N T ( ρduk Aca ) m& m dt (5.6) T k ond, N ρd uk Aca Númro d orifício d inuflamnto do mancal numático Maa cífica do gá na dcarga [kg/m³] Vlocidad média do rfrigrant na ntrada do canal d alimntação [m/] Ára da ção tranvral do canal d alimntação do orifício [m²] A rda na taa d maa dvido a quda d rão no gargalo, orifício da válvula canalizaçõ od ntão r avaliada d forma a fchar o balanço com a taa d maa idal, ou ja, m & r m& m& m& m& m& m& m& (5.7) i r m a r fu vm

82 CAPÍTULO 6 METODOLOGIA DE SOLUÇÃO A trutura gral do código do rograma d imulação foi obtida a artir do trabalho d Uyk (984), voltado ara comror hrmético altrnativo do tio bilamanivla. A abordagm báica é a mma, difrindo na dtrminação do volum da câmara d comrão qu não é mai função d um ângulo d manivla, ma dcorrnt do quilíbrio dinâmico d força obr o itão, conform quaçõ (3.), (3.) (3.4). Para a olução dt itma d quaçõ difrncia otou- or utilizar o método d Eulr, ond a variávi no intant t+ t ão avaliada com ba no valor no intant t, d forma lícita. O inconvnint d r ncário utilizar incrmnto d tmo quno não é roblma m vita da caacidad d rocamnto do comutador atuai. Por outro lado, a facilidad d imlmntação da rotina d cálculo rmit um código mai iml d fácil organização. Rarranjando a quaçõ (3.), (3.) (3.4) d forma convnint, tm- Y&& t+ t M [ Kr ( Y Yc ) + A( Pcil P ) Ff Fm ] t (6.) c [ K Yc + Kr ( Y Yc ) A ( Pcil P ) + Ff Fm ] t Y && c + t+ t M I & t+ t L mot [ Vrd ( Rr + Rbob ) I α ( Y& Y& c )] t (6.) (6.3) A artir da vlocidad oiçõ no intant t, a nova vlocidad oiçõ do itão a corrnt do motor no intant t+ t ão ntão calculada or Y& Y t+ t t+ t Y& c t+ t Y& + t Y& t Y + t Y& t Y& + t Y& c t t+ t t+ t c t+ t (6.4) (6.5) (6.6) Y c Y t t c + t + t Y& (6.7) c t+ t

83 I I t t t + t + I& t+ t Caítulo 6 Mtodologia d olução 67 (6.8) O mmo rocdimnto é ralizado ara a outra quaçõ difrnciai qu fazm art do modlo como or mlo ara a tmratura intrna do cilindro, movimnto d válvula, vazão máica atravé da válvula ulaçõ d gá na câmara d ucção dcarga. 6. Obtnção do camo d rão Para qu oa calcular a força momnto dvido ao film lubrificant m cada oição do itão, bm como a maa inuflada no mancal a maa vazada ara dntro do cilindro atravé da aia do itão, dv- rimiro calcular o camo d rão qu ag m torno do itão ara a oição. Tal camo d rão é obtido la olução da quação d Rynold, na forma da quação (4.3). Em função da vantagn aociada ao método da quadratura difrncial ara a olução d quaçõ difrnciai arciai dcidiu- inicialmnt la ua alicação ao rnt roblma, aar d não tr ncontrado na litratura t método alicado a mancai arotático. Fz- ntão uma éri d tudo rimnto bucando viabilizar a alicação, ma o rultado foram infrutífro. Vrificou- qu a quadratura difrncial ncita qu o trmo font ja modlado como contínuo m todo o domínio, dificultando a alicação no rnt cao. O artigo d Rvlli t al. (4) motra uma alicação da quadratura difrncial na olução d um coamnto com a injção d contaminant ditribuída ao longo do domínio, rforçando a idéia qu a quadratura arnta roblma quando alicada a roblma com ingularidad, a mno qu ja utilizado o dint d ubdividir o domínio. Como uma forma d rgitro do forço ralizado aqui na alicação do método da quadratura difrncial, o Aêndic arnta um rumo do método, otncialidad limitaçõ. Dta forma, ara o rnt cao otou- la alicação do método do volum finito ara rolvr a quação d Rynold no mancal itão-cilindro, la facilidad d trabalhar com malha móvi. Baicamnt ara a olução da quação d Rynold atravé do método do volum finito faz- uma dicrtização do domínio d olução a folga radial ntr o itão

84 Caítulo 6 Mtodologia d olução 68 o cilindro lanificada dividindo-o m quno volum d control. Aim a configuração do domínio d olução dicrtizado fica como motrado na figura 6.. Figura 6. Dicrtização do domínio d olução. Conidra- um volum d control gnérico no domínio, conform motrado na figura 6.. Intgrando a quação (4.3) ao longo do volum d control da figura 6., tm- n w h ξ 3 dξdη + ξ n w h η 3 dξdη η n w ( h) V m& h µ + RT (6.9) η Afuro t Figura 6. Volum d control tíico.

85 Caítulo 6 Mtodologia d olução 69 Aó a intgração no volum indicado na figura 6., a quação (6.9) rulta m η w n ξ η η w n ξ η h 6 µ V[ ( h) n ( h) ] ξ µ RTm& + µ P ξ η A t (6.) ( h ) ( h ) + ξ ( h ) ( h ) ξ furo atravé d A drivada na fac do volum d control ão aroimada linarmnt ξ E P ( δξ ), ξ w P W ( δξ ) w (6.a) η n N P ( δη ) n, ξ P S ( δη ) (6.b) A quação d Rynold conform arntada na quação (6.) é uma quação difrncial não linar, vito qu o coficint da rõ no onto nodai também ão funçõ da rõ no rório onto nodai. Logo, um roco itrativo dv r tablcido ara a atualização d coficint conform a olução do itma d quaçõ linar vai avançando. A rõ na fac do volum d control ão também aroimada linarmnt, conform Patankar (98), ág. 44, lvando m conta o quma motrado na figura 6.3 avaliada com o valor d rão da itração antrior, d acordo com, w n ( f ) * f +, * E P ( f ) * f +, * W w w P ( f ) * f +, * N n n P ( f ) * f +, * S P f f w f n f ( δξ ) ( δξ ) (6.a) ( ) w ( δξ ) w δξ + (6.b) ( ) n ( δη ) n δη (6.c) ( ) ( δµ ) δη + (6.d)

86 Caítulo 6 Mtodologia d olução 7 Figura 6.3 Equma ara aroimação da rõ na fac. O trmo convctivo aociado à rõ na intrfac ão aroimado também linarmnt, orém avaliado na itração corrnt. Logo, ( h) ξ 6µ V h [ f + ( f ) ] ξ 6 µ V (6.3a) n n ( h) ξ 6µ V h [ f + ( f ) ] ξ N n 6 µ V (6.3b) S n P P O trmo dvido ao fluo d maa ó é calculado no volum ond itm o furo d inuflamnto no cilindro. Por convniência, faz- o lado do volum d control igual ao diâmtro do furo. É oívl aumir qu a ára do furo do volum d control ão iguai, tm- S ij ξ µ & η µ RTmij RTmij (6.4) Afuro & Evocando a quaçõ (4.34) a (4.36), rulta, m& ij ρ A od ca c od M ij od RT A ca γrt γ ln od ij od ij 4 fl + D h (6.5)

87 Caítulo 6 Mtodologia d olução 7 Subtituindo a quação (6.5) na quação (6.4) aó alguma imlificaçõ, tm- ij od S ij µ Aca od RT (6.6) 4 ln od fl + ij Dh (984): O trmo font dvido ao inuflamnto od r linarizado conform Patankar S S C + S φ S P P * P S + φ φ * φp * ( φ φ ) P P (6.7) Fazndo, C µ Aca od RT, C ln od + 4 fl / Dh, C (6.8) 3 / od tm- S C ln C C3 C 3 C ( C ln ) ( C ln ) 3 (6.9) Em uma forma mai comacta, S C K 3 ( K ) CC K K 3 (6.) ond, K K C (6.) 3 C ln (6.)

88 Caítulo 6 Mtodologia d olução 7 Subtituindo a quação (6.9) avaliada no intant d tmo antrior, na quação (6.6) liminando o índic ara a itração atual, tm- P P P P P P K K C C K C K K K C C K C K K C K S + * 3 3 * * * 3 3 * (6.3) A folga h od r avaliada conform a quação (4.8) ua drivada m rlação ao tmo é calculada atravé d + + R R L R R L t h z i z i ξ ξ η ξ ξ η n co n co & & & & (6.4) A vlocidad do itão dntro da folga foi dcomota na comonnt da vlocidad da cntricidad no too na aia, ( &, z & ) ( &, & ), rctivamnt. Finalmnt, a quação d Rynold intgrada od r colocada na forma adrão: C S S N N W W E E P P S a a a a a (6.5) ond, * 3 E h a δξ η (6.6a) * 3 w w w W h a δξ η (6.6b) n n n n n N f h V h a ξ µ δη ξ + 6 * 3 (6.6c) S f h V h a ξ µ δη ξ 6 * 3 (6.6d) * * 3 3 * P P P C K K C C K C K K C K S + (6.6) * 3 3 * P P P K K C C K C K S (6.6f)

89 Caítulo 6 Mtodologia d olução 73 hp a P ae + aw + an + as 6 µ V ξ ( hn h ) + µ ξ η + SP (6.6g) t A quação (6.5) motra qu a rão no cntro P do volum d control é função da rõ do volum d control vizinho. Cada volum tm uma quação como a aim obtém- um itma d n quaçõ n incógnita. E itma dv r rolvido ara qu o camo d rão na folga ja dtrminado. Dntr o divro algoritmo ara olução d itma linar otou- lo TDMA ara a dirção aial CTDMA, ou TDMA circular, ara a dirção circunfrncial. Para maior dtalh obr o uo dt método vr Patankar (98) Patankar t al. (977), rctivamnt. 6. Cálculo da força momnto D o do camo d rõ dicrtizado, ara uma dada oição vlocidad do itão, od- calcular a força momnto d utntação do mancal, conform quaçõ (4.46) a (4.49), atravé d uma intgração numérica obr o domínio dicrtizado. A rõ dicrtizada ara a comonnt da força momnto ão, F r NJ NI j i ξi i, j co ξ η R (6.7) M M r rz F rz NJ + NJ j i NJ NI NI NI j i j i ξi i, j n ξ η R ( y ) (6.8) ξi i, j η j cm n ξ η (6.9) R ( y ) ξi i, j η j cm co ξ η (6.3) R ond NI é o númro d volum d control na dirção ξ, NJ é o númro d volum d control na dirção η P i,j é a matriz qu rrnta o camo d rão. 6.3 Procdimnto ara olução da quaçõ da dinâmica do itão

90 Caítulo 6 Mtodologia d olução 74 Dconidrando a maa do itão, o roblma d dinâmica rum a ncontrar o valor da vlocidad do itão dntro da folga (fito d film rmido) qu, aliado ao fito d inuflamnto d gá, quilibr o carrgamnto imoto ao mancal. Ea vlocidad dntro da folga rá utilizada ara atualizar a oição do itão ara a róima itração. Pod- ntndr rocdimnto da guint forma. Obrvando qu cada comonnt da ração do film fluido é função linar da vlocidad dntro da folga, tm- ( &, &, &, & ) A & + A& + A3& + A4 A5 Fr f & A z z z z + ( &, &, &, & ) B& + B& + B3& + B4 B5 Frz f & B z z z z + ( &, &, &, & ) C& + C& + C3& + C4 C5 M r f & C z z z z + ( &, &, &, & ) D& + D& + D3& + D4 D5 M rz f & D z z z z + (6.3a) (6.3b) (6.3c) (6.3d) Cada conjunto d coficint [A], [B], [C], [D] rrnta a influência d cada comonnt da vlocidad radial do itão obr a força momnto d utntação do mancal. Para a dtrminação d coficint, o camo d rão é rolvido novamnt ara quna rturbaçõ m cada comonnt d vlocidad a força momnto rultant ão calculado armaznado. O rocdimnto rá mlificado a guir ara a comonnt F r, ndo mlhant ara a dmai raçõ do mancal. Fazndo, F & & & & * * * * r A + A z + A3 + A4 z + A5 (6.3a) F F F F * * * * ( + & ) + A& z + A3& + A4 z 5 * * * * + A ( & z + & z ) + A3& + A4 z 5 * * * * + A& z + A3 ( & + & ) + A4 z 5 * * * * + A& + A3& + A4 ( & + ) 5 & δ & (6.3a) r A + A & δ & (6.3a) r 3 A + A & δ & (6.3a) r 4 A + A & δ & (6.3a) r 5 A z z z + A ou m forma matricial,

91 Caítulo 6 Mtodologia d olução * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * r r r r r z z z z z z z z z z z z z z F F F F F A A A A A & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & δ δ δ δ (6.33a) o itma linar dado la quação (4.5) od r rolvido o coficint [A] dtrminado. Faz- o mmo roco ara a outra comonnt d ração rultando no coficint [B], [C] [D], [ ][ ] [ ] F rz B * & (6.33b) [ ][ ] [ ] M r C * & (6.33c) [ ][ ] [ ] M rz D * & (6.33d) Aumindo qu a cada intant d tmo o itão tja m quilíbrio, é ncário qu A A A A A F F z z o r & & & & (6.34a) B B B B B F F z z oz rz & & & & (6.34b) C C C C C M M z z o r & & & & (6.34c) D D D D D F M z z oz rz & & & & (6.34d) ond F o, F oz, M o M oz ão o comonnt da força momnto aociado ao carrgamnto imoto ao itão, conform ilutrado na figura 4.6. Finalmnt, o valor da comonnt da vlocidad radial do itão qu quilibram a carga imota ao mancal m um dado intant d tmo odm r dtrminado rolvndo o guint itma linar na forma matricial, D M C M B F A F D D D D C C C C B B B B A A A A oz o oz o z z & & & & (6.35)

92 Caítulo 6 Mtodologia d olução 76 A oiçõ do itão dntro da folga ão ntão calculada atravé d * + t & * + t & * + t & z z z (6.36) * + t & z z z Na qüência o camo d rão é rolvido mai uma vz, ara dtrminar o valor da caacidad d carga, vazamnto atravé do too aia do itão, vazão máica d inuflamnto força d atrito na folga itão cilindro, ara o intant t+ t. 6.4 Vazão máica na trmidad do itão O cálculo da vazão d lubrificant atravé da folga na trmidad do itão é fito analiticamnt atravé da quação (4.4). Numricamnt rão utilizada a rõ dada a guir. Vazão máica atravé do too do itão NI 3 too h i, too Vh m& + ξ R µ η too (6.37) T i Vazão máica atravé da aia do itão NI 3 aia h aia n i, NJ Vhn m& + ξ R µ η aia (6.38) T i 6.5 Força d atrito vicoo obr o itão

93 Caítulo 6 Mtodologia d olução 77 A força d atrito vicoo obr o itão é dada la quação (4.45). Numricamnt la rá dtrminada or um omatório obr todo o volum do domínio, conform a guint rão, F f NI NJ hi, j i, j+ η i, j V + µ h i j i, j η ξ (6.39)

94 CAPÍTULO 7 RESULTADOS E DISCUSSÕES Nt caítulo arntam- o rultado obtido com o modlo dnvolvido no caítulo rcdnt. O rultado ão agruado m dua catgoria rinciai: rultado obtido durant o dnvolvimnto do rograma d olução do mancal numático rultado obtido ara o dmnho global do comror. A dicuõ do rultado rão arntada à mdida m qu o mmo form arntado. O dnvolvimnto do código comutacional acontcu m vária taa com o objtivo d aumntar o conhcimnto obr o fnômno nvolvido do u fito obr a caacidad d carga do itão. Primiramnt imlmntou- a rotina ara cálculo do camo d rõ na folga itão cilindro m cao tático, ito é, rcrvndo- a cntricidad do itão tndo como rota a vazão inuflada a caacidad d carga do mancal. O arâmtro invtigado foram o númro alinhamnto do orifício d inuflamnto, bm como o fito da malha obr o tmo comutacional convrgência do rultado. No dnvolvimnto da gunda art, o código comutacional do mancal numático foi intgrado como uma ubrotina no rograma d imulação do comror linar, ond ntão od- obrvar o dmnho do mancal na condiçõ dinâmica atravé do vazamnto la folga ntr o itão o cilindro, vazão máica d inuflamnto, força d atrito, órbita/tabilidad do itão ua influência obr o dmnho do comror linar. O arâmtro invtigado foram a folga ntr o itão o cilindro diâmtro do canai d alimntação diâmtro do itão. O fito da condiçõ d oração do comror linar obr a órbita do itão também foi avaliado. 7. Gração da malha Divra configuraçõ d orifício d inuflamnto rão ttada, contndo trê ou quatro orifício m cada ção t tão alinhado ou dfaado m cada linha d inuflamnto. A malha na dirção circunfrncial do itão é grada a artir da bitriz do ângulo formado ntr o qu convnciona como rimiro orifício da ção mai róima ao

95 Caítulo 7 Rultado dicuõ 79 too o último orifício da ção mai róima à aia do itão, conform ilutrado na figura z z (a) (b) Figura 7. Cilindro com trê orifício d inuflamnto: (a) dfaado; (b) alinhado. z z,5, (a) (b) Figura 7. Cilindro com quatro orifício d inuflamnto: (a) dfaado; (b) alinhado. A malha na dirção aial foi dividida m 3 rgiõ: too do itão, ntr orifício aia do itão, conform ilutrado na figura O arâmtro NYT, NYM NYS ão rctivamnt o númro d volum na rgião do too, ntr a linha d inuflamnto na rgião da aia. O arâmtro M é o númro d volum ntr doi orifício na mma ção d inuflamnto. Como o itão movimnta m rlação ao cilindro no qual tão contido o orifício d inuflamnto, a ditância da çõ d inuflamnto L L m rlação ao too do itão ão função da oição do itão y i. Portanto, a malha dv r atualizada a cada avanço d tmo da olução. A dicrtização d cada orifício m um único volum d control rmit qu o fluo d maa inuflado ja modlado como um trmo font quivalnt naqul volum. Além dio, é facilitada a gração aramtrizada da malha ua atualização d acordo com a

96 Caítulo 7 Rultado dicuõ 8 oição do itão m rlação ao orifício d inuflamnto. O comrimnto do itão é da ordm d grandza do comrimnto do cilindro, d forma a artir d uma crta oição y i art do itão fica dcobrto lo cilindro, rduzindo o tamanho do domínio d olução. Figura 7.3 Equma da malha ara orifício dfaado. Figura 7.4 Equma da malha ara orifício alinhado.

97 7. Rultado ara itão tático Caítulo 7 Rultado dicuõ 8 Nta taa bucou- ntndr o comortamnto do modlo d lubrificação numática ara carga tática do itão, m condiçõ adronizada d tt. Admit- qu a rõ no too na aia ão iguai à rão atmoférica qu o fluido lubrificant é o ar, com rão d alimntação d 6 bar (manométrica). A caractrítica gométrica adrão do itão m tudo ão arntada na tabla 7.. Para o cálculo o itão tá cntralizado m rlação ao cilindro. Tabla 7. Caractrítica gométrica do itão do comror linar tíico. Diâmtro / comrimnto do cilindro,3 Comrimnto do itão / comrimnto do cilindro,85 Númro d orifício or linha d inuflamnto 3 Arranjo do orifício d inuflamnto dfaado Diâmtro do orifício d inuflamnto / comrimnto do cilindro,6 Poição da linha d inuflamnto do too / comrimnto do cilindro,4 Poição da linha d inuflamnto da aia / comrimnto do cilindro,78 Poição do cntro d maa do itão / comrimnto do itão,9 Folga radial / diâmtro do canai d alimntação,438 Comrimnto / diâmtro do canai d alimntação Etudo da malha ara cao tático Para o tudo da malha ara o cao do itão numático tático, a ditribuição do volum obdcu ao quma dcrito na figura 7.3, atravé do arâmtro indicado na tabla 7.. O rultado ara a força d utntação máima taa d maa d inuflamnto máima obtido no tudo do rfino da malha ara o cao tíico ão motrado na tabla 7.3, juntamnt com o rro rcntuai m rlação ao valor obtido com a utilização da malha mai rfinada (5454).

98 Caítulo 7 Rultado dicuõ 8 Tabla 7. Ditribuição d volum ara malha (d acordo com a figura 7.3). Malha M NYT NYS NYM Na tabla 7.3 od r vrificado qu a difrnça ntr a força d utntação máima a taa d maa d inuflamnto máima ncontrada com a utilização da malha 33 m rlação a malha mai rfinada (5454) já ão conidrada atifatória frnt ao tmo comutacional rqurido la utilização da malha mai rfinada. Dta forma, no dmai cao imulado ara o itão do comror linar tático rá utilizada uma malha com 33 volum. Tabla 7.3 Efito da malha obr a olução ara itão tático. Malha Tmo Força utntação [N] Taa d maa inuflamnto [kg/] Comutacional Máima Erro Máima Erro 88 5% 49,76-7% 9, % 33 % 5,88-3% 9,5-6 -% 44 8% 5,97 -% 9,57-6 % 5454 Rf. 53,46 Rf. 9,6-6 Rf. 7.. Comaração com rultado rimntai Embora não tnha ido objto dta dirtação a contrução d uma bancada d tt rimntai ara a validação do modlo rooto, a mra Whirlool S.A. Unidad d Comror (Embraco ) gntilmnt cdu dado rimntai obr caacidad d utntação d carga d um itão mlhant ao utilizado na rnt imulação m função do ângulo d alicação da carga (Fldmann, 7), conform arntado na figura 7.5. A rlação ntr a folga radial o diâmtro do canai d alimntação é,6 a rlação ntr o comrimnto o diâmtro do canai d alimntação é A dmai caractrítica do itão ão a mma dcrita na tabla 7..

99 Caítulo 7 Rultado dicuõ 83 Força d utntação máima [N] Erimntal Numérico Ângulo d alicação da carga [Grau] Figura 7.5 Força d utntação máima comaração com dado rimntai. Obrva- qu o modlo rooto concorda com o valor máimo mdido ara a caacidad d carga do itão. O valor mnor da caacidad d carga mdido rimntalmnt odm tr ido cauada, or mlo, lo guint fator: Não houv control rigoroo obr o io do itão, d forma qu t rmanc arallo ao io do cilindro (mancal alinhado) durant a alicação da carga. Tamouco mdiu- a cntricidad durant a alicação da carga; Erro d forma no itão no cilindro odm conumir raidamnt a folga, lvando a caacidad d carga mnor; Canai d alimntação com vazão d inuflamnto digual dvido a tolrância d uinagm Influência da folga radial Um mancal arotático com canai d alimntação autocomnador funciona ob o rincíio d difrnça d rõ ntr o orifício d inuflamnto. Sm carga, o mancal rmanc cntralizado na aída do orifício d inuflamnto a rõ ão iguai, aim como a vazão máica d inuflamnto. À mdida qu o mancal é carrgado

100 Caítulo 7 Rultado dicuõ 84 radialmnt, o io dloca no ntido da carga, diminuindo a folga radial. O orifício localizado na rgião d mnor folga arntam um aumnto da rtrição ao coamnto, diminuindo a vazão no canai. Com a diminuição da vazão, ocorr um aumnto da rão na aída do orifício. Na rgião m qu há aumnto da folga radial ocorr o contrário, ito é, diminui a rtrição ao coamnto la folga, aumntando a vazão máica d inuflamnto diminuindo a rão na aída do orifício. Dta forma tablc um camo d rão aimétrico m torno do io, qu gra uma força caaz d anular a carga imota ao mancal. Sabidamnt a folga radial é um do arâmtro d rojto com maior influência obr a caacidad d carga d um mancal. Para o itão arotático io não é difrnt, conform od r vrificado na figura 7.6. Era- qu o itão normalmnt arnt um aumnto da caacidad d carga com a rdução da folga. Para a rnt configuração ito acontc até a folga radial d 3, µm, ond a força d utntação máima arnta u maior valor, aando a dcrcr com a diminuição da folga radial. O dcrécimo da força d utntação ara folga radiai quna od tar ligado ao dimnionamnto do canai d alimntação, cujo fito rá lorado na róima ção. 6,E-6 55,E-6 Força utntação máima [N] Força Vazão,E-6 9,E-7 8,E-7 7,E-7 6,E-7 5,E-7 4,E-7 Vazão máica inuflamnto [kg/] 5 3,E-7,E Folga Radial [µm] Figura 7.6 Influência da folga radial itão cilindro obr a caacidad d carga. Pod- dizr qu há uma folga radial ótima, ntr,5 3,5µm, ara a configuração d canai tíica. Na faia d folga radiai o itão arnta a maior

101 Caítulo 7 Rultado dicuõ 85 caacidad d carga, m qu haja um inuflamnto civo d fluido. A vazão máica d inuflamnto mr aumnta com o aumnto da folga radial. Val lmbrar qu o fito dinâmico não foram lvado m conta nta análi, qu t tudo rá rtido novamnt ara o itão movimntando ubmtido à carga condiçõ d oração Influência do diâmtro do canai d alimntação A imortância do corrto dimnionamnto do canai d alimntação ara uma dtrminada folga do mancal numático é ilutrada atravé na figura 7.7. Para uma dada folga, a força d utntação máima dnd do diâmtro do canai od obtr raticamnt o mmo nívi d força d utntação colhndo- o diâmtro do canal mai adquado. D uma forma gral, folga radiai maior ncitam d canai com maior diâmtro ara obtr o máimo dmnho. 6 Força utntação máima [N] Folga.5 µm Folga 3.5 µm Folga 5.5 µm Diâmtro do canai rtritor [µm] Figura 7.7 Influência do diâmtro do canai d alimntação obr a caacidad d carga, ara vária folga radiai Para uma dada folga, quando o canai d alimntação tão ubdimnionado não congu grar nívi d rão adquado, mmo com o aumnto da carga obr o

102 Caítulo 7 Rultado dicuõ 86 itão. Pod- dizr qu o fator limitant é a rda d carga do canal. Quando o canai d alimntação tão urdimnionado o mcanimo d autocomnação torna dficint, mmo com a movimntação do itão dntro do cilindro, a rão no orifício na rgião ond há aumnto da folga radial não cai a nívi uficint ara tablcr uma força rultant lvada. Pod- dizr qu nt cao o fator limitant é a rda d carga na folga radial. Do onto d vita d conumo d fluido lubrificant é mai intrant o mrgo d folga mnor, conquntmnt, canai d alimntação d mnor diâmtro, vito qu a vazão máica d inuflamnto arnta um aumnto acntuado com a folga o diâmtro do canai, conform ilutrado na figura 7.8. Vazão d inuflamnto máima [kg/] 4,5E-6 4,E-6 3,5E-6 3,E-6,5E-6,E-6,5E-6,E-6 5,E-7,E+ Folga.5 µm Folga 3.5 µm Folga 5.5 µm Diâmtro do canai rtritor [µm] Figura 7.8 Influência do diâmtro do canai d alimntação obr a vazão máica d inuflamnto, ara vária folga radiai Influência do arranjo do orifício d inuflamnto Outro fator d intr no rojto do mancal do itão é o númro a configuração do orifício d inuflamnto. Na figura 7.9 é motrado o fito do alinhamnto ou não do orifício, bm como do númro d orifício circunfrnciai obr a força d

103 Caítulo 7 Rultado dicuõ 87 utntação do itão m função do ângulo d alicação do carrgamnto θ, dfinido na figura 4.6 como o ângulo ntr o ntido da força d carrgamnto io oitivo. Na tabla 7.4 arnta- o conumo d gá inuflado ara cada arranjo d orifício tudado. O aumnto d 3 ara 4 orifício d inuflamnto or ção roorciona um aumnto da caacidad d carga do mancal d aroimadamnt %, à cuta d um aumnto d 3% na vazão máica d inuflamnto. Por razõ d aço dionívl ara a ranhura hlicoidai conform ilutrado na figura 4.8, é muito difícil a utilização d 5 ou mai orifício or ção. Força utntação [N] orifício dfaado 3 orifício alinhado 4 orifício dfaado 4 orifício alinhado Ângulo d alicação do carrgamnto [Grau] Figura 7.9 Influência do arranjo d orifício obr a força d utntação m função do ângulo d alicação do carrgamnto. Tabla 7.4 Efito do arranjo quantidad d orifício d inuflamnto obr vazão d inuflamnto força d utntação média. Arranjo orifício d inuflamnto Vazão máica inuflamnto [kg/] Força d utntação máima média [N] 3 orifício dfaado 9,59-7 5,4 3 orifício alinhado 9, ,5 4 orifício dfaado,37-6 6,8 4 orifício alinhado, ,7

104 Caítulo 7 Rultado dicuõ 88 Orifício d inuflamnto dfaado roorcionam uma força d utntação do itão mai uniform m rlação ao ângulo d alicação do carrgamnto, raticamnt indndnt dt. Orifício d inuflamnto alinhado roorcionam uma grand força d utntação quando o carrgamnto é alicado na bitriz do ângulo formado la linha aiai d inuflamnto, ma uma força d utntação bm mnor quando o carrgamnto é alicado dirtamnt obr uma linha aial d inuflamnto. 7.3 Rultado ara comror linar A gunda taa do dnvolvimnto do código comutacional conitiu m imlmntar a rotina ara a movimntação do itão incluindo o fito cunha d film rmido. O código comutacional foi rarado d forma a rcbr como arâmtro d ntrada a condiçõ d rão no too na aia do itão ntrada do canai d alimntação, vlocidad oição do itão, bm como o carrgamnto m função da oição. A imulação do itão foi ntão acolada ao código d imulação do comror linar, d forma a dtrminar a vazão máica d inuflamnto, o vazamnto lo too la aia do itão, bm como a órbita do itão no intrior do cilindro. Adicionalmnt à caractrítica gométrica mncionada na tabla 7., dfiniu como o comror linar adrão ara comaração aqul contndo a caractrítica da tabla 7.5. Tabla 7.5 Caractrítica fíica do comror linar. Rlação maa cilindro / maa itão 3 Rlação rigidz mola ronant / mola unão 48 3 Rlação in-to / comrimnto do cilindro,3 Tmratura d vaoração [ C] -3,3 Tmratura d condnação [ C] 54,4 Fluido rfrigrant R34a Vazão máica bombada [kg/],464-3 A carga imota ao itão foi dtrminada la mra Whirlool S.A. Unidad Comror m função d rro d alinhamnto do comonnt. Admit- uma carga d amlitud d N alicada ao itão m um ângulo d 3º a amlitud do

105 Caítulo 7 Rultado dicuõ 89 momnto aociado a ta carga d.5 N.m. A carga dnd da oição aial do itão d acordo com a função linar rrntada na figura 7.. Conidra- qu o itão tá alinhado com o cilindro na oição média do curo, não havndo carrgamnto obr o itão. Força [N] Força Momnto,,8,6,4,, -, -,4 -,6 -,8 Momnto [N.m] -5 -,,,4,6,8 Yi/Curo Figura 7. Carrgamnto obr o itão do comror linar m função da oição do itão Etudo da malha Ralizou- um novo tudo da malha ara a condição d funcionamnto ral do itão, uma vz qu o gradint d rão itnt no domínio dvm arntar bm maior, m virtud da rão na câmara d dcarga (too do itão) r variávl. Para o tudo do rfino da malha adotou- um ao d tmo na olução d /4 do ríodo d ocilação do comror, ralizando- um total d 6 ciclo ara obtr a convrgência da órbita. A ditribuição d volum obdcu ao mmo arâmtro dcrito na tabla 7.. o rultado obtido no tudo do rfino da malha ara um cao tíico ão motrado na tabla 7.6. Foram conidrado grandza d intr a órbita do itão, rrntado la cntricidad máima do too aia do itão a vazão máica d inuflamnto. O rro rcntuai o tmo comutacional ão arntado m rlação ao rultado com a malha mai rfinada.

106 Caítulo 7 Rultado dicuõ 9 O valor d cntricidad do itão rão adimnionalizado la folga radial média, atravé da rão ε / c. Tabla 7.6 Efito da malha obr alguma grandza d intr. Malha Vazão máica Tmo ε too ε aia Inuflamnto [kg/] Comutacional Má. Erro Má. Erro Médio Erro 88 5%,599-5,7%, -,6% 4, ,% 33 %,85-4,4%,343-5,% 4,73-6 -,4% 44 33%,854 -,3%,385 -,3% 4,74-6 -,% 5454 Rf.,898 Rf.,48,% 4,748-6 Rf. Em função do comromio itnt ntr rcião da variávi d intr tmo comutacional, dcidiu- utilizar malha d 44 ara o rtant do cao imulado no rnt tudo. S a variávl d intr fo omnt a vazão máica d inuflamnto a malha d 88 volum já odria r conidrada uficint ara a análi. Na figura 7. a 7.3 ão arntado a cntricidad do too aia do itão a taa d maa inuflada rctivamnt, ao longo d um ríodo d ocilação do comror ara difrnt malha comutacionai. O onto corrondnt ao PMI ocorr ara t.,,8 Ecntricidad too,6,4,, 88-4,8 33-4, ,4,,,4,6,8, Tmo / Príodo d ocilação Figura 7. Efito da malha na cntricidad do too ao longo d um ciclo d comrão.

107 Caítulo 7 Rultado dicuõ 9 Ecntricidad aia,6,4,,,8,6,4, ,,,,4,6,8, Tmo / Príodo d ocilação Figura 7. Efito da malha na cntricidad da aia ao longo d um ciclo d comrão. 5,5E-6 Vazão máica inuflamnto [kg/] 5,E-6 4,5E-6 4,E-6 3,5E ,E ,5E ,E-6,,,4,6,8, Tmo / Príodo d ocilação Figura 7.3 Efito da malha na vazão máica d inuflamnto ao longo d um ciclo d comrão.

108 Caítulo 7 Rultado dicuõ 9 Na figura é arntada a malha colhida ara a oiçõ do itão corrondnt ao onto morto infrior onto morto urior, rctivamnt. Fim cilindro / aia itão Too itão η ξ Figura 7.4 Malha 44 volum no onto morto infrior. Too cilindro Fim cilindro Saia itão η ξ Figura 7.5 Malha 44 volum no onto morto urior. Too itão / cilindro

109 7.3. Avaliação do intrvalo d tmo Caítulo 7 Rultado dicuõ 93 Outro fator imortant ara a otimização do dmnho do código comutacional é a avaliação do intrvalo d tmo mai adquado ara o avanço na oição do itão. E intrvalo dv r o maior oívl m qu haja comromtimnto da qualidad da olução. D forma a avaliar difrnt intrvalo d tmo, dfiniu- um númro d diviõ do ríodo (T) d ocilação do comror, conform arntado na tabla 7.7. Para todo o cao, utilizou- uma malha 44, conform dicutido no itm Tabla 7.7 Efito do intrvalo d tmo obr alguma grandza d intr. t Vazão máica Tmo ε too ε aia Inuflamnto [kg/] Comutacional Má. Erro Má. Erro Médio Erro T/5,,864,5%,386,6% 4, ,% T/,37,859,3%,387,% 4,74-6 <-,% T/4,58,854 <,%,385 -,% 4,74-6 <-,% T/6 3,67,854 Rf.,386 Rf Rf. Para intrvalo d tmo maior qu T/5 a olução não convrgiu. Tndo m vita qu o rultado difrm ouco ntr i, mmo o mnor intrvalo d tmo odria r utilizado, ma rocurando um intrvalo d tmo mai guro ara a convrgência m todo o cao, dcidiu- utilizar aqul corrondnt a T/ diviõ do ríodo d ocilação do comror. No Aêndic ão arntado ão arntado o camo d rão ara algun intant ao longo do ciclo do comror Rultado ara o comror linar Aó a dfinição da malha do intrvalo d tmo comutacional, fz- uma análi do rultado grado lo rograma d imulação do comror, conidrando o dado ara a dinâmica do itão atuador linar, o itma d válvula d ucção dcarga o arâmtro acútico.

110 Caítulo 7 Rultado dicuõ 94 O diagrama PV obtido é arntado na figura 7.6. Pod- obrvar claramnt a da rda d otência na dcarga (ára do diagrama PV acima da rão d dcarga) também o rfluo d rfrigrant no final do roco d dcarga. 8 Prão cilindro [bar] 6 Prão dcarga Prão ucção,,5,,5,,5 3, 3,5 4, 4,5 5, Volum cilindro [cm³] Figura 7.6 Diagrama PV ara o comror linar. Uma outra forma d obrvar o rfluo é atravé d um diagrama qu motr a maa no cilindro v volum dlocado, conform ilutrado na figura 7.7. A linha aralla motram o roco d comrão anão a linha inclinada motram o roco d ucção dcarga. Pod- obrvar o rfluo tanto na válvula d ucção como na válvula d dcarga, cuja rdução od r obtida com o corrto dimnionamnto da válvula gomtria do orifício. Gráfico rfrnt à ulaçõ d ucção d dcarga m conjunto com o movimnto da rctiva válvula ão motrado na figura A rda aociada ao mancal numático ão dcorrnt do vazamnto la folga ntr o itão o cilindro, dvio d maa da dcarga ara inuflamnto no mancal do itão atrito vicoo na folga ntr o itão o cilindro, conform arntado na tabla 7.8. Na comaração com a outra rda itnt no comror linar od- dizr qu ta ão drzávi a órbita do itão rmancr távl m outra condiçõ d oração do comror od- dizr qu o rojto tá adquado.

111 Caítulo 7 Rultado dicuõ 95 3 Rfluo na ucção Maa no cilindro [g] Rfluo na dcarga 5,,5,,5,,5 3, 3,5 4, 4,5 5, Volum cilindro [cm³] Figura 7.7 Diagrama Maa Volum ara o comror linar. Tabla 7.8 Prda ara o comror linar. Prda na vazão máica Prda d nrgia Volum morto olitróico 56,6% Prda no ciclo,9% Aqucimnto cilindro 6,3% Prda no atuador linar 8,7% Rfluo dcarga,6% Prda na dcarga 6,% Rfluo ucção,7% Prda na ucção 4,8% Inuflamnto,3% Prda na folga,% Vazamnto folga,3% Prda na vazão máica m rlação à vazão d máica ral do comror. Prda d nrgia m rlação ao conumo total do comror. Normalmnt, no itõ com mancai a ólo, a rlação ntr o comrimnto o diâmtro do itão é da ordm d : ou até mnor, nquanto qu no itõ com mancai numático a rlação od r da ordm d,5:, garantindo um comrimnto d vdação muito maior, m qu o conumo d otência or atrito ja roibitivo.

112 Caítulo 7 Rultado dicuõ 96,4,,3,8,,6 Prão [bar],,,9,8,7,6,5 Volum da ucção Volum da ucção Abrtura válv. d ucção Abrtura,4,,,8,6,4, Dlocamnto [mm],4,,,,3,4,5,6,7,8,9 Tmo / Príodo d ocilação Figura 7.8 Pulação d rão no itma d ucção movimnto da válvula ara o comror linar. Prão [bar] 5,8 5,7 5,6 5,5 5,4 5,3 5, 5, 5, 4,9 4,8 Abrtura Volum da dcarga Volum da dcarga Abrtura válv. d dcarga,,,3,4,5,6,7,8,9 Tmo / Príodo d ocilação,,9,8,7,6,5,4,3,,, Dlocamnto [mm] Figura 7.9 Pulação d rão no itma d dcarga movimnto da válvula ara o comror linar.

113 7.3.4 Efito da condição d oração. Caítulo 7 Rultado dicuõ 97 O funcionamnto do itão numático no comror linar tá dirtamnt aociado à rão d inuflamnto ortanto é imortant invtigar m outra condiçõ d rão d condnação a tabilidad do itão tá garantida. Atravé do código numérico ão analiada outra condiçõ d oração, conform dcrito na tabla 7.9. Em todo o cao, o carrgamnto imoto foi o mmo, oi ntnd- qu l não dnd da condiçõ d oração ma im d rro d fabricação do comonnt alinhamnto durant a montagm. O rultado rfrnt à cntricidad máima ão rumido na tabla 7.9 a rctiva órbita na figura D uma forma gral, od- dizr qu a condiçõ d baia tmratura d condnação ão mai crítica ara o itão numático, m virtud da mnor rão d alimntação. Mmo ara o cao mai crítico, com tmratura d condnação baia, a cntricidad máima do itão ainda tá dntro d limit acitávi. Tabla 7.9 Condiçõ d oração do comror. Tmratura d Tmratura d Tmratura Condição vaoração ( C) condnação ( C) da ard do cilindro ( C) ε too ε aia máima máima Vazão máica d inuflamnto [kg/] -3,3, 7,338,866,3895E-6-3,3, 75,78,753,9537E-6 3-3,3 4,5 85,68,585 3,35E-6 4-3,3 54,4 9,859,387 4,744E-6 5 -, 7,,794,654 6,797E-6 O fito da tmratura d condnação é mai ronunciado na cntricidad do too itão do qu na cntricidad da aia do itão, atamnt orqu a rão d dcarga aftar dirtamnt na rão máima durant o roco d comrão no cilindro. Na figura 7. é motrado o fito da condiçõ d oração obr o inuflamnto d maa d rfrigrant na folga ntr o itão o cilindro. Com baia tmratura d condnação, o ico d obrrão do diagrama PV é mai arrdondado d mnor amlitud, conform indicado na figura 7.3. O inuflamnto d maa gu um rfil imilar ao ico do diagrama rão no cilindro v tmo, ma invrtido, ito é, o

114 Caítulo 7 Rultado dicuõ 98 inuflamnto d maa diminui no orifício à mdida qu a rão da câmara d comrão aumnta orqu diminui a difrnça d rão ntr o orifício a ua alimntação. Ecntricidad too,35,3,5,,5, -3.3/+. C -3.3/+. C -3.3/+4.5 C -3.3/+54.4 C -./+7. C,5,,,4,6,8, Tmo / Príodo d ocilação Figura 7. Ecntricidad do too do itão ao longo do ciclo d dlocamnto, ara vária condiçõ d oração. Ecntricidad aia,8,6,4,,,8,6,4, -3.3/+. C -3.3/+. C -3.3/+4.5 C -3.3/+54.4 C -./+7. C,,,,4,6,8, Tmo / Príodo d ocilação Figura 7. Ecntricidad da aia do itão ao longo do ciclo d dlocamnto, ara vária condiçõ d oração.

115 Vazão máica inuflamnto [kg/] 8E-6 7E-6 6E-6 5E-6 4E-6 3E-6 E-6 E-6 Caítulo 7 Rultado dicuõ /+. C -3.3/+. C -3.3/+4.5 C -3.3/+54.4 C -./+7. C E+,,,4,6,8, Tmo / Príodo d ocilação Figura 7. Inuflamnto d rfrigrant no itão ao longo do ciclo d dlocamnto, ara vária condiçõ d oração. Prão no cilindro [bar] /+7. C -3.3/+54.4 C -3.3/+4.5 C -3.3/+. C -3.3/+. C,,,4,6,8, Tmo / Príodo d ocilação Figura 7.3 Prão no cilindro ao longo do ciclo d dlocamnto, ara vária condiçõ d oração.

116 Caítulo 7 Rultado dicuõ Efito da folga radial. Era- qu o aumnto da folga radial ja rjudicial ao comror, tanto m rlação ao dmnho quanto à tabilidad do mancal. O comror linar foi imulado com divra folga ntr o itão o cilindro, dntro d limit razoávi ara a ua manufatura, conform dcrito na tabla 7.. Tabla 7. Efito da folga obr a tabilidad dinâmica do mancal. Folga radial [µm] ε too máima ε aia máima Vazão d inuflamnto [kg/] Prda Inufl. % Vazamnto too [kg/] Prda Vaz. %,5,38,86 4,44-6,3%,49-6,9% 3,5,859,387 4,74-6,33% 9, -6,6% 4,5,853,6 4,844-6,33% 6,3-6,43% 5,5,436,345 4,886-6,34%,5-5,7% 6,5,68,4658 4,897-6,34%,686-5,6% Prda rlativa à vazão máica ral do comror linar. A tabilidad do mancal é muito aftada lo aumnto da folga. Na figura ão arntada a órbita do ião ara vária folga radiai, conform od obrvar, o comortamnto da aia torna- batant intávl ara folga radiai maior.,7 Rlação d cntricidad z [/c],6,5,4,3,,, Folga 6,5 µm Folga 5,5 µm Folga 4,5 µm Folga 3,5 µm Folga,5 µm -, -,8 -,6 -,4 -,,,,4 Rlação d cntricidad [/c] Figura 7.4 Órbita do too do itão, ara vária folga radiai ntr o itão o cilindro.

117 Caítulo 7 Rultado dicuõ Rlação d cntricidad z [/c],4,3,,, -, -, -,3 Folga 6,5 µm Folga 5,5 µm Folga 4,5 µm Folga 3,5 µm Folga,5 µm -,4 -,8 -,5 -, -,9 -,6 -,3, Rlação d cntricidad [/c] Figura 7.5 Órbita da aia do itão, ara vária folga radiai ntr o itão o cilindro. O aumnto da folga radial lva a um aumnto da cntricidad média do itão da ua amlitud d ocilação dntro do cilindro. Na rgião da aia nota- uma rda da rigidz do mancal mai ronunciada do qu na rgião do too do itão, oi a amlitud do dlocamnto dntro do cilindro crc com o aumnto da folga radial. A rda or inuflamnto raticamnt indnd da folga radial, nquanto qu a rda or vazamnto la folga ntr o itão o cilindro aumnta com a folga radial, ma rmancndo dntro d nívi muito quno. Pod- dizr qu o fito da folga radial obr o dmnho do comror linar é muito quno, raticamnt drzávl Efito do diâmtro do canai d alimntação. Outro arâmtro d rojto do itão numático é o diâmtro do canai d alimntação, conform arntado no tudo obr o itão tático. O mmo diâmtro lorado antriormnt foram utilizada na imulação do comror linar, com o rultado arntado na tabla 7..

118 Caítulo 7 Rultado dicuõ Tabla 7. Efito do diâmtro do canai d alimntação obr a tabilidad dinâmica do mancal. Diâmtro canal [µm] ε too máima ε aia máima Vazão d inuflamnto [kg/] Prda Inufl. % Vazamnto too [kg/] Prda Vaz. % 35.5,59,85,54-6,% 4,5-6,8% 44.4,74,77,94-6,% 3,96-6,7% 53.,859,387 4,74-6,3% 3,779-6,6% 6.,43,67 7,77-6,49% 3,659-6,5% 7.9,7,4 9,974-6,68% 3,56-6,4% 79.8,985,59,364-5,94% 3,37-6,3% 88.6,867,9,743-5,3% 3,84-6,% Prda rlativa à vazão máica ral ntrgu lo comror. Rlação d cntricidad z [/c],6,5,4,3,,, Dh 35.5 µm Dh 44.4 µm Dh 53. µm Dh 7.9 µm Dh 88.6 µm -, -,5 -,4 -,3 -, -,,, Rlação d cntricidad [/c] Figura 7.6 Órbita do too do itão, ara vária diâmtro d canai d alimntação. Obrva- na figura um grand aumnto da rigidz do mancal com o aumnto do diâmtro do canai. A rda or inuflamnto vazamnto lo too do itão ainda mantém dntro d valor quno comarativamnt com o fluo d maa bombado lo comror. Para a rnt configuração do comror linar, a utntação do too do itão é mnor qu a aia. Io acontc orqu o too do itão tá mai ujito à rão

119 Caítulo 7 Rultado dicuõ 3 da câmara d comrão, qu rturba o camo d rão dntro da folga diminui a caacidad d inuflamnto da rimira ção d orifício. Uma altrnativa ara quilibrar o itão ria utilizar canai d alimntação mai rofundo ara o orifício da ção mai róima ao too do itão. Rlação d cntricidad z [/c],5,,5, -,5 -, -,5 Dh 35.5 µm Dh 44.4 µm Dh 53. µm Dh 7.9 µm Dh 88.6 µm -, -,9 -,7 -,5 -,3 -,, Rlação d cntricidad [/c] Figura 7.7 Órbita da aia do itão, ara vária diâmtro d canai d alimntação Efito do diâmtro do itão. No rojto d um comror od- utilizar divra rlaçõ curo diâmtro do itão ara obtr uma dtrminada vazão máica. Nta ção, um rojto altrnativo com maior diâmtro d itão mnor curo (comror ) rá comarado ao comror linar tíico (comror ) m trmo d dmnho nrgético, rda na vazão máica tabilidad do itão numático. Na tabla 7. ão comarado o arâmtro gométrico do doi comror. A caractrítica d rojto foram ajutada ara qu ambo o comror ntrgum raticamnt a mma caacidad d rfrigração. O arâmtro rlativo ao itma d alimntação do itão numático ão o mmo ara o doi cao. O dmnho do comror com itão é urior ao do comror com itão, rincialmnt dvido à mnor rda or anão do volum morto, rfluo no

120 Caítulo 7 Rultado dicuõ 4 itma d ucção dcarga no rndimnto do atuador linar, conform arntado na figura Tabla 7. Caractrítica gométrica d doi comror linar. Caractrítica Comror Comror Caacidad d rfrigração [W] 7,8 66, Diâmtro do cilindro / comrimnto do cilindro,3,478 Rlação in-to / comrimnto do cilindro,3,734 Rlação maa do cilindro / maa do itão 3,,8 Rlação rigidz da mola ronant / mola d unão 48 3 Comrimnto do itão / comrimnto do cilindro,8483 Númro d orifício or linha d inuflamnto 3 Arranjo do orifício d inuflamnto dfaado Diâmtro do orifício inuflamnto / comrimnto do cilindro,63 Poição da linha d inuflamnto do too / comrimnto do cilindro,45 Poição da linha d inuflamnto da aia / comrimnto do cilindro,783 Poição do cntro d maa do itão / comrimnto do itão,93 Folga radial / diâmtro quivalnt do canai d alimntação,658 Comrimnto / diâmtro quivalnt do canai d alimntação 6.85 In to é a ditância d rouo ntr o too do itão a laca válvula (ção 3.). A rincial contribuição na rda d maa ara o comror é aqula cauada la anão do volum morto, qu é maior lo maior diâmtro do itão. Vazamnto folga,3% Comror,3% Comror Inuflamnto,3%,3% Rfluo ucção,7%,6% Rfluo dcarga,6% 7,5% Aqucimnto cilindro 6,3% 5,8% Volum morto 56,6% 7,% % % % 3% 4% 5% 6% 7% 8% Figura 7.8 Prda d maa ara comror linar.

121 Caítulo 7 Rultado dicuõ 5 Prda na folga,% Comror,% Comror Prda ucção 4,8% 4,4% Prda dcarga Prda atuador 6,% 7,% 8,7% 6,% Prda ciclo 8,7%,9% % 5% % 5% % 5% Figura 7.9 Prda d nrgia ara comror linar. A rincial difrnça na rda d nrgia ntr o doi comror é a arcla rfrnt ao atuador linar. Na figura 7.3 tm- o rfil da corrnt létrica no atuador linar indicando maior ico d corrnt ara o comror. A rda aociada à corrnt araita ritência létrica da bobina ão roorcionai ao quadrado da otência, conform quaçõ (3.8) (3.9), lvando a um mnor rndimnto do atuador linar do comror.,5,,5 Comror Comror Corrnt [A],,5, -,5 -, -,5 -,,,4,6,8 Tmo / Príodo d dlocamnto Figura 7.3 Corrnt létrica no atuador linar ara comror linar.

122 Caítulo 7 Rultado dicuõ 6 A órbita do itõ do comror, arntada na figura 7.3, ão mlhant na forma, orém com mnor amlitud ara o comror., Rlação d cntricidad z [/c],5,,5, -,5 -, -,5 -, -,7 -,6 -,5 -,4 -,3 -, -,, Rlação d cntricidad [/c] Comror - Too Comror - Saia Comror - Too Comror - Saia Figura 7.3 Órbita do itõ ara comror linar.

123 CAPÍTULO 8 CONCLUSÕES No rnt trabalho foi dnvolvido um modlo numérico ara um comror altrnativo d acionamnto linar. Difrntmnt d um comror convncional altrnativo com acionamnto a bila manivla, o comror linar não arnta um curo dfinido, ndo o curo do comror rultant do quilíbrio dinâmico do itma ronant mcânico com o itma ronant létrico. Em conjunto com outro modlo matmático rrntando o dmai roco itnt no comror tm- um itma d quaçõ difrnciai ordinária qu é rolvido numricamnt no tmo, até qu condiçõ riódica jam tablcida. É dada cial atnção à modlagm do coamnto na folga ntr itão cilindro, or r ta a única urfíci d dlizamnto do comror. Mai ainda, o comror m tudo é caractrizado la auência d ólo utiliza um mancal lubrificado lo rório gá rfrigrant atravé do dvio do mmo da câmara d dcarga ara a folga ntr o itão o cilindro. Como rultado, a rda or fricção ão minimizada, rmitindo atingir nívi otnciai d ficiência urior ao comror convncionai. O modlo dinâmico ara lubrificação a gá do rfrigrant utilizou uma aroimação bidimnional ara o coamnto na folga ntr itão cilindro, ond a quação d Rynold foi rolvida numricamnt lo método do volum finito. O método numérico é rlativamnt iml d r imlmntado a gomtria do roblma é adquada ara a utilização d malha truturada móvi. O código comutacional rooto utiliza um modlo imlificado ara o coamnto comrívl do gá atravé do canai d rtrição. A trajtória do itão dntro da folga é dtrminada dconidrando a inércia do mmo. A rinciai imlificaçõ aroimaçõ uada na modlagm do roblma d lubrificação no rnt trabalho foram a guint: a) O fluido rfrigrant foi conidrado gá rfito. b) O coamnto no canai d rtrição foi conidrado laminar, unidimnional iotérmico. O canai foram aumido lio o fito d ntrada anão no orifício d inuflamnto foram drzado. c) O coamnto na folga foi conidrado iotérmico a vicoidad do rfrigrant foi avaliada la tmratura da ard do cilindro.

124 Caítulo 8 Concluõ 8 d) O rro d forma do comonnt foram dconidrado. Aar da imlificaçõ, od- dizr qu o rultado numérico ncontrado ão comarávi qualitativamnt com o dado hitórico dionívi na Whirlool S.A. O rinciai fito tudado foram a folga radial, rofundidad do canai d rtrição, condiçõ d oração do comror diâmtro do itão. No ntanto, a não contrução d uma bancada d tt cífica imdiu a validação do modlo m rlação à caractrítica dinâmica do itão. A rinciai concluõ do trabalho m rlação ao comror tudado ão numrada a guir: a) A rda aociada ao mancal numático ão drzávi m rlação à outra rda itnt no comror. Ito rmit dacolar a imulaçõ obr o dmnho do comror daqula voltada ara o tudo da tabilidad do mancal numático. b) O modlo utilizado rmitm rvr o comortamnto do comror m divra condiçõ d oração. c) Ecial atnção dv r dada à condiçõ d oração m baia tmratura, quando a rõ d dcarga do comror ão mnor, aftando a caacidad d carga do mancai. d) O diâmtro do canai d rtrição é um lmnto d rojto muito imortant dv r otimizado ara a faia d folga ntr o itão o cilindro djada. Uma otimização do rojto do mancal od r avaliada atravé do corrto balancamnto do fluo d alimntação d cada ção d orifício d inuflamnto. ) A rlação ntr a folga radial ntr o itão o cilindro o diâmtro do canai d rtrição tá bm dimnionada ara o comror tíico. Folga maior aftam a caacidad d carga do mancal, m rjudicar a rda do comror. f) O diâmtro do itão tm um imacto muito grand no dmnho do comror, rincialmnt no rndimnto do atuador linar. g) O modlo não conidra rro d forma no itão no cilindro, como ondulaçõ da urfíci, concavidad, conicidad circularidad, qu aftam a caacidad d carga do mancal. No ntanto, fator odm r imlmntado oi ão arâmtro gométrico qu aftam a gração da malha a rão ara a ura local do film h) A hiót d coamnto iotérmico na folga itão cilindro od r qutionada, oi não conhcm o fito qu a ntrada d gá da câmara d comrão na folga caua no coamnto caacidad d carga do mancal. Para avaliar t fito ria ncário rolvr imultanamnt a quação da nrgia com a quação d Rynold.

125 Caítulo 8 Concluõ 9 i) O coamnto no canai d rtrição conidra uma olução d rgim rmannt ara um rgim tranint drza o fito da comribilidad do volum d orifício d inuflamnto. Uma abordagm difrncial ara coamnto rmitiria a incluão d doi fito. j) A modlagm da dinâmica do itão drzando a ua maa é batant ficint do onto d vita da convrgência da órbita. Por outro lado, fito dinâmico como aarcimnto d órbita riódica irrgular, bifurcaçõ intabilidad talvz não jam contmlado.

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131 APÊNDICE MÉTODO DA QUADRATURA DIFERENCIAL Método numérico ara a olução d roblma d valor inicial ou d contorno m gral bucam tranformar a quaçõ difrnciai ou intgro-difrnciai m um conjunto d quaçõ algébrica m trmo d valor dicrto da variávi d intr m onto cífico do domínio d olução. No método da quadratura difrncial ito é obtido la rão m cada onto da malha do valor do orador d cálculo, m rlação a uma dada dirção do itma d coordnada, m função d uma oma ondrada do valor da função m todo o onto dicrto do domínio naqula dirção. A quadratura difrncial, como um método iml ficint ara a olução d quaçõ difrnciai arcial não linar foi introduzido or Blmann t al. (97). Doi dio, uma éri d trabalho na litratura tndu a alicação da técnica ara uma varidad d roblma nvolvndo fnômno d tranort (Shu t al., 998), análi trutural (Wang Brt, 993, Du t al., 994, Shu t al.,), mcânica do fluido (Shu Richard, 99), incluiv ara a toria da lubrificação (Malik Brt, ). Embora o método da quadratura difrncial, rfrnciado a guir como DQM, oa r alicado a roblma com gomtria curvilína (Brt Malik, 996), a arntação a guir rá mlificada ara um domínio rtangular a, y b, conform arntado na figura A.. Figura A. Malha DQM ara domínio rtangular. A rmia báica do DQM é a aroimação da drivada arciai d uma função m rlação a uma dirção coordnada m um onto qualqur do domínio como a oma

132 Aêndic Método da Quadratura Difrncial 6 ondrada do valor da função m todo o onto do domínio naqula mma dirção. Dta forma, a drivada arcial d ordm n d uma variávl ψψ(,y) no onto i ao longo d qualqur linha yy j aralla ao io od r crita como n ψ N n k i A ( n) ψ (, y) ik k i,, KN (A.) ; ond N é o númro d onto dicrto da variávl na dirção do domínio A (n) ik ão o coficint d ondração aociado com a drivada arcial d ordm n na dirção no onto i. D forma mlhant, a drivada arcial d ordm n no onto yy j ao longo d uma linha i aralla ao io y od r crita como n ψ N y n y y y k j B ( n) ψ (, y ) jl l ; j,, KN y (A.) ond N y é o númro d onto dicrto da variávl na dirção y do domínio B (n) jl ão o coficint d ondração aociado com a drivada arcial d ordm n na dirção y no onto y j. A quaçõ A. A. ão a rgra da quadratura ara a drivada da função no onto d intr do domínio a quaçõ fundamntai ara a imlmntação do DQM. Para roguir na imlmntação do método é ncário dtrminar o valor do coficint d ondração ito é conguido lo tablcimnto da função d aroimação na rctiva dirção. O rquiito báico ara a funçõ é a ua uavidad difrnciabilidad mínima até a ordm mai alta da quação difrncial. Uma éri d funçõ cumrm rquiito, ndo a mai óbvia uma função olinomial d ordm igual ao númro d onto m cada dirção mno. A função ψψ(,y) od ntão r crita como ψ (, y) F( ) G( y) (A.3)

133 Aêndic Método da Quadratura Difrncial 7 ond a funçõ F() G(y) ão rctivamnt a funçõ tt na dirçõ y rctivamnt F( ) ; υ υ,, K N (A.4) G( y) y µ ; µ,, K N y (A.5) Subtituindo- a quaçõ A.3 a A.5 na quaçõ A. A. obtém- N k υ k A ( ) ( )( ) ( ) ( υ n n ) ik υ υ K υ n ; i, υ,, KN i (A.6) N y l y µ l B ( ) ( )( ) ( ) ( µ n n ) jl µ µ K µ n y ; j, µ,, KN y (A.7) j A quaçõ A.6 A.7 na vrdad formam N N y itma d quaçõ, cada conjunto forncndo o coficint d ondração ara a drivada arciai no onto d intr. É imortant raltar qu o coficint A (n) ik dndm omnt da localização do onto ao longo da dirção ão indndnt d y. Da mma forma, o coficint B (n) jl ão dndnt omnt da localização do onto na dirção y ão o mmo m qualqur linha contant. O itma d quaçõ formado or A.6 A.7 ão conhcido como itma d Vandrmond, muito comun m roblma d introlação olinomial aroimação or lin, tornam trmamnt mal-condicionado à mdida qu o númro d quaçõ crc. Método dirto odm r utilizado ara ua olução, mbora algoritmo cífico como o rooto or Björck Pryra (97) Eiinbrg Fdl (6) jam trmamnt ficint comutacionalmnt. A acuracidad da olução lo DQM tá dirtamnt ligada à acuracidad na dtrminação do coficint d ondração. Divro quiador dnvolvram fórmula lícita ara o cálculo do coficint, ntr l o método d Shu Richard (99), rroduzido aqui ara a coordnada. O trmo não rtncnt a diagonal da matriz do coficint d ondração ara a drivada d ordm odm r calculado or:

134 Aêndic Método da Quadratura Difrncial 8 ond ( ) ( i ) ik ( ) ( ) A ; i, k,, KN i k i N k k ( ) ( ) ; ( ) ( ) i υ, υ i i υ k N υ, υ k k υ (A.8) (A.9) O trmo da drivada d ordm maior qu odm r calculado la guint fórmula d rcorrência A na ( n) ( n ) ( ) ik ii A ik ( n ) Aik i k ; i k,, KN, i k (A.) O trmo da diagonal da matriz do coficint d ondração ara a drivada d qualqur ordm odm r calculado or N ( n) ( n) A ii A υ i,, KN (A.) ; iυ Outro fator imortant ara a alicação do DQM é a colha da localização do onto d intr no domínio. A colha d onto igualmnt açado dv r comarada a onto não igualmnt açado, rincialmnt gradint lvado tivrm rnt na olução. Gralmnt a oluçõ com malha não uniform ão mai acurada. Vário quma ara a localização do onto odm r rooto, como or mlo o zro do olinômio d Chbyhv dlocado ara um domínio normalizado <<. i ( i ) co π N ; i,3, K N (A.) O onto obr a frontira ão imlmnt fito N. Em função da atidão do ajut d uma função olinomial d ordm N- ara N onto, a colha d funçõ d tt olinomiai odm arcr a colha mai aroriada

135 Aêndic Método da Quadratura Difrncial 9 m qualqur ituação. Entrtanto, há cao m qu a variávl d intr arnta um comortamnto riódico m uma ou mai dirçõ do domínio a utilização d funçõ tt qu rroduzam t comortamnto rá vantajoa. Um mlo ão roblma aociado a lubrificação, ond o domínio m uma dirção é fchado obr i mmo. Para a dirção do domínio é rcomndávl utilizar- funçõ d tt harmônica, conform Malik Brt (994). A condição d contorno d riodicidad fica mbutida no rório coficint da quadratura difrncial. [ ( υ ) π] F( ) co ; υ,, KN / + [ ( υ N / ) ] F( ) n π ; υ N / +, N / + 3KN (A.3) Nt cao N é um númro ar d onto igualmnt açado. Maior dtalh obr a obtnção do coficint do DQM ara funçõ olinomiai outra funçõ tt odm r ncontrada m Shu (). Emlo d alicação I Equação d Poion A quação d Poion é utilizada ara modlar roblma d difuão ou condução d calor m uma laca amlha a quação d Rynold dconidrarmo o fito cunha d film rmido. Portanto, é um bom mlo ara tt do método da quadratura difrncial conform artigo d Civan Slicvich (983). Conidrando a quação d Poion alicada m um domínio quadrado, y, conform figura A. ψ ψ + + S y (A.4) Utilizando funçõ d aroimação olinomiai m amba a dirçõ, o coficint d aroimação da drivada arciai d gunda ordm A () ik B () jl odm r dtrminado a artir da quaçõ A.6 A.7:

136 Aêndic Método da Quadratura Difrncial ( ) ( )( ) 3 υ υ υ υ i N k ik k A ; i KN,,, υ (A.5) ( ) ( )( ) 3 µ µ µ µ j N l jl l y B y y ; y j KN,,, µ (A.6) A quaçõ A.5 A.6 ão crita ara cada coordnada i y j, indndntmnt uma da outra. Logo rão formado N + N y itma d quaçõ, qu odm r rrntado na forma matricial, conform mlificado ara i na quação (A.7). D manira análoga dv- rocdr ara a dirção y. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) N N N N N N N N N N A A A A M M L M O M M M L L L (A.7) Alicando a quadratura difrncial a quação A.4 tm- ( ) ( ) ij N l il jl N k kj ik S B A y + ψ ψ (A.8) Para cada coordnada ( i,y j ) crv- uma quação m qu aarcm não omnt o valor da variávl adjacnt, ma todo aqul ituado na mma linha coluna do domínio. A alicação da condiçõ d contorno também é batant iml. Para condiçõ d contorno d Dirichlt, ou ja, cificando o valor da variávl no contorno, o coficint do outro onto ão zrado omnt o coficint do rório onto é utilizado. Para condiçõ d contorno d Numann, com a cificação d um fluo no contorno, utiliza- a aroimação da drivada rimira da função la quadratura. Por mlo, uma condição d iolamnto (fluo zro) na fac lt do domínio ria crita

137 Aêndic Método da Quadratura Difrncial ψ i N N k A ( ) Nk ψ kj (A.9) O itma d quaçõ rrntado la quação (A.8) com a dvida modificaçõ imota la condiçõ d contorno od r rolvido or método tradicionai obtndo- aim o valor da função no onto d intr do domínio. Alicou- ntão o DQM obr uma malha com onto localizado conform quação (A.) m amba a dirçõ, com S ψ no contorno do domínio, com boa convrgência. Admitindo- qu S é quivalnt a uma gração d calor intrna, a drivada rimira na fac rrnta o fluo d calor qu ai la borda. Um rro imortant ara vrificar é it uma conrvação ntr o calor grado na laca aqul qu ai la borda. Et rro é dfinido or ψ ψ ψ + ψ rro dy dy d y y y y d (A.) ond a drivada qu aarcm na rão (A.) ão avaliada numricamnt atravé do rório coficint da quadratura difrncial. ψ,8,7,6,5,4,3,,, Malha 55 Malha 33 Malha Malha 99,,4,6,8 Figura A. Prfil da variávl ψ ao longo da linha média.

138 Aêndic Método da Quadratura Difrncial Conform od r vito na figura A. A.3, aar do rfil d tmratura ao longo da linha média da laca motrar um comortamnto convrgnt, a drivada rimira na fac, avaliada lo coficint da quadratura difrncial arnta um comortamnto com um onto mínimo d rro, aando a arntar rro crcnt ara malha muito rfinada. Io dv ao aumnto do rro numérico na olução do itma d Vandrmond grado, mmo utilizando- o algortimo d Björk Pryra.,E+3,E+,E+,E+ Erro,E-,E-,E-3,E-4,E Figura A.3 Erro drivada rimira variávl ψ na fac. Emlo d alicação II Mancal numático lano, com inuflamnto cntral. A alicação do DQM na olução d roblma d lubrificação aociado a mancai radiai comrívi foi dmontrada or Malik Brt m u trabalho d Como ao inicial ara tndr a mtodologia a mancai comrívi arotático foi tudado o roblma d uma laca quadrada, com um orifício d inuflamnto cntral ligado a um rrvatório d rão atravé d canal rtritor, conform motrado na figura A.4.

139 Aêndic Método da Quadratura Difrncial 3 Figura A.4 Placa com inuflamnto cntral. S h << a,b od- conidrar o coamnto bidimnional, a quação d Rynold od r alicada ao roblma. Simlificando a quação (4.3) ara o cao m qu h é contant a laca é tacionária tm-, ara a rgião d inuflamnto, + y + µ 3 y h y y m& A furo (A.) (A.) ara a outra rgiõ da laca. O coamnto no canal d alimntação do orifício d inuflamnto é conidrado comrívl iotérmico modlado atravé da quaçõ (4.34) a (4.36). m& RT A ca γrt γ 4 ln + fl D ca ca (A.3) variávi auiliar Subtituindo a quação (A.3) na quação (A.) utilizando a guint X ; a y Y Q b (A.4) tm-:

140 Aêndic Método da Quadratura Difrncial 4 Q Q Q + λ + α X Y ln β Q (A.5) ond, λ a b α 4 a µ RT 3 h A A ca furo (A.6) β 4 fl D ca ca Para a olução da quação (4.5) rá alicado o método d Nwton, conform mlificado m Malik Brt (994). Primiramnt, o método itrativo é dfinido or Q ( n+) ( n) ( n) Q + η (A.7) ond n é a itração corrnt a corrção η (n) é obtida da olução da quação η ( ) ( Q ) + L( Q ) ( n) ( n) L n (A.8) Na quação (A.8), L(Q) é o trmo qurdo da quação (A.5) L (Q) é a drivada d Frtcht d L(Q) dfinida como ηl η ( Q) L( Q + ) (A.9) Eftuando a oração dfinida m (A.9) ubtituindo a quação (A.5) na quação (A.8), a quação ara a corrção da variávl Q é dada or: η η α β lnq + λ X Y Q + β lnq Q ( β lnq) η Q Q Q Q + λ + α X Y β lnq (A.3)

141 Alicando a quadratura difrncial à quação (A.3) tm- Aêndic Método da Quadratura Difrncial 5 N k N ( ) ( ) ij Q ij ik ηkj + λ B jl l ij ( β ln Qij ) A α β ln Q η il δij Qij β lnq N N Aik Qkj + λ B k l ( ) ( ) jl Q il η ij Qij Qij + δ ijα β lnq ij (A.3) Na quação (A.3) a função δ val ara o onto d inuflamnto ara o dmai onto. O roblma foi imulado ara vária malha, com λ β4. O arâmtro α dnd da malha, vito qu a ára d inuflamnto é aroimada la ára d influência do onto cntral, conform figura A.5. A dioição do onto na malha gu o quma da raíz do olinômio dlocado d Chbyhv, quação (A.) na dirçõ y. Figura A.5 Rgião d influência do onto d inuflamnto. A variávi d intr ão a vazão máica d inuflamnto, a vazão máica qu ai la borda da laca, a força d utntação da laca a rão no onto cntral. O rultado ão arntado na figura A.6. A razão ntr a rão do rrvatório é 3 vz a rão ambint. Como od r obrvado, aar d havr uma tndência d convrgência ara a rão a força d utntação até a malha d 55 onto, não é oívl tablcr qual o valor final ara arâmtro d intr. O comortamnto ara a vazão máica la borda da laca é ocilant, altrnando valor ngativo oitivo, com uma média róima ao valor da vazão máica inuflada lo canal d alimntação. Na figura A.7 é motrado o rfil d rão ao longo da linha cntral da laca. O camo d rão ara a malha

142 Aêndic Método da Quadratura Difrncial arntam um comortamnto úrio, rovavlmnt dvido a rro na dtrminação do coficint da DQM.,,5 5 Vazão máica [g/],5,,5, Inufl. Borda Prão orifício [bar],3,,9,7 Força d utntação laca [kn ,5, Númro d volum Númro d volum Númro d volum Figura A.6 Rultado da laca com inuflamnto cntral atravé do DQM. Prão [bar],3,,9,7,5,3,,9,7 Malha 77 Malha 55 Malha 33 Malha 55 Malha 77,,4,6,8 Figura A.7 Prão ao longo da linha cntral da laca.

143 Aêndic Método da Quadratura Difrncial 7 Na figura A.8 é arntado o rfil d rão na rgião róima a borda da laca (amliação). O comortamnto da olução não é adquado, incluiv ara a malha 55 a rão do onto adjacnt à borda é mnor qu a rória rão ambint, o qu é inconitnt. O método da quadratura arc tr dificuldad m tratar o fito aociado a um trmo font concntrado dntro do domínio. Io faz ntido, oi ao aroimar a drivada m um onto como ndo a oma ondrada do valor da variávl ao longo da mma linha or todo o domínio é imortant qu a quação govrnant ja a mma. Evntuai dicontinuidad odm aftar riamnt a avaliação da drivada. Prão [bar],,9,6,3 Malha 77 Malha 55 Malha 33 Malha 55 Malha 77,,97,,,3,4,5 Figura A.8 Prão ao longo da linha cntral da laca rgião róima a borda. Uma nova rvião na litratura confirmou a limitação, como or mlo m Chn t al. (), Liu () Zong t al. (5), artigo na ára d análi trutural ubdividindo o domínio ara tratar carga concntrada ou outra dicontinuidad no domínio. Striz t al. (997) Zhong H(998) já tinham rooto uma técnica mita chamada mtodo do lmnto d quadratura (QEM) qu combina a quadratura difrncial com o método d lmnto finito. Para a alicação d quma m mancai comrívi com inuflamnto o númro d lmnto uniform crcria autadoramnt, inviabilizando o método na rática.

144 Aêndic Método da Quadratura Difrncial 8 Uma outra roota d contornar a dificuldad foi roota or Rvlli t al. (4), ond o trmo font aociado à injção d um contaminant m um coamnto foi aroimado como uma função uav obr todo o domínio, ou ja, aroimar a função δ ij or uma função contínua. No ntanto, um rro é introduzido na olução oi maa ria inuflada m outro locai qu não omnt o onto d inuflamnto. Et rocdimnto foi alicado ao roblma da laca com inuflamnto cntral, atravé da aroimação δ ( r) cr ( r d ) ( d r) (A.3) ond r ( ) + ( y y ) c c r d > r + d < ; c > (A.33) A contant c d ão colhida d forma a imular a função δ. No cao, d.4 c, 5. O rfil da função dlta od r vita na figura A.9.,,, ,,, ,,, ,6,6,6,4,4,4,,,,,,,5,5,5 (a) c (b) c5 (c) c Figura A.9 Função δ(r) m função do arâmtro c ara vária malha. O rro dcorrnt do inuflamnto d maa atravé do onto róimo ao onto d inuflamnto ral od r timado lo omatório da função δ(r) obr todo o onto do domínio. Para c a função δ(r) continua ndo dcontínua na rática, rincialmnt na malha mai ara.

145 Aêndic Método da Quadratura Difrncial 9 Na tabla A. ão arntado o rultado numérico obtido com a DQM com trmo font ditribuído na tabla A. o mmo roblma rolvido lo método do volum finito com inuflamnto omnt no onto cntral ara comaração do rultado. O rultado continuam inconitnt, mmo conidrando o adicional d maa inuflado no domínio. À mdida qu a malha vai ndo rfinada o inuflamnto torna mai ditribuído há uma tndência do inuflamnto corrigido a vazão máica la borda aroimarm. No ntanto, o camo d rão grado dvia muito daqul corrondnt ao modlo original d inuflamnto concntrado, conform motrado na figura A.. Tabla A. Rultado numérico ara DQM + trmo font ditribuído. c Malha δ ( r) 5 Vazão máica inuflado [kg/] Cntro Corrigido Vazão máica borda [kg/] Carga laca [N] Prão onto cntral [Pa] 55, 3, ,7-4,33-3 3, 4, ,5553,67-4 9,486-4,77-3 4,9 4, ,97,6-4,99-3,37-3 4,77 4, ,35 3, ,56-4,4 4, ,446 3, ,97-4 8,559-4,76 4, ,698 3,36-4 5,4-4 9,83-4,675 4, , 3,85-4 3,85-4 8,59-4,36 4, ,59 3,74-4 3,76-4 8,59-4,985 4,4 5 33,8786 3, , ,89-4,6 4,69 5 Tabla A. Rultado numérico ara volum finito + trmo font concntrado. Malha Vazão inuflada Vazão borda Prão onto Carga laca [N] [kg/] [kg/] cntral [Pa] 55 3, ,587-4,845 4, ,5-4 3,5-4,8 4, , ,469-4,799 4, ,3-4 3,3-4,734 4,58 5 Ainda ja oívl dconidrar a vazão la borda atravé no DQM, a outra variávi rota não arntam concordância ou convrgência ara o rultado obtido atravé do método do volum finito.

146 Aêndic Método da Quadratura Difrncial 3 E rultado rliminar motram claramnt a limitação do DQM quando dcontinuidad no modlo tão rnt nt cao modlo d baia ordm como volum finito ou lmnto finito arntam mlhor rultado. D qualqur forma, o DQM toda uma cla d método numérico conhcido como método d colocação ainda tá m franco dnvolvimnto ua otncialidad limitaçõ rão cada vz mai conhcida. Prão [bar] 3,,8,6,4,,,8,6,4,, 33 DQM Ditr. c 33 DQM Ditr. c5 33 DQM Concntrado 44 Vol Fin Concntrado,,4,6,8 Figura A. Prão na linha cntral, comarativo DQM volum finito.

147 APÊNDICE CAMPOS DE PRESSÃO DO PISTÃO PNEUMÁTICO Nta ção ão arntado o camo d rão na folga lanificada ntr o itão o cilindro m vário intant d tmo ao longo do ríodo d dcolamnto do itão no cilindro do comror linar. É intrant obrvar o rfil d rão no orifício d inuflamnto na ção mai róima ao too do itão (η η ), rincialmnt quando a rão no cilindro ating o valor máimo. N intant, ao rdor do t/t.5, a rõ no orifício d inuflamnto ão amortcida lo gradint d rão no ntido aial. P/Pma η ξ Figura A. Camo d rão na folga lanificada ara t/t,.

148 Aêndic Camo d rão do itão numático 3 P/Pma η ξ Figura A. Camo d rão na folga lanificada ara t/t,5. P/Pma η ξ Figura A.3 Camo d rão na folga lanificada ara t/t,5.

149 Aêndic Camo d rão do itão numático 33 P/Pma η ξ Figura A.4 Camo d rão na folga lanificada ara t/t,375. P/Pma η ξ Figura A.5 Camo d rão na folga lanificada ara t/t,5.

150 Aêndic Camo d rão do itão numático 34 P/Pma η ξ Figura A.6 Camo d rão na folga lanificada ara t/t,65. P/Pma η ξ Figura A.7 Camo d rão na folga lanificada ara t/t,75.