MODELOS CONSTITUTIVOS

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1 Programa d Pó-Graduação m Engnharia Civil Univridad Fdral d Alagoa MODELOS CONSTITUTIVOS Pro. Svrino Prira Cavalcanti Marqu INTRODUÇÃO À TEORIA DA PLASTICIDADE

2 CONCEITOS BÁSICOS TENSOR TENSÃO E VETOR TENSÃO n P x x x ji Tnor tnão

3 x t C A P x t n B n vtor t x n unitário normal n n n vtor tnão no lano ABC ao lano n t t t ABC t t t n n n t i n j

4 TENSÕES E DIREÇÕES PRINCIPAIS x C A P x n B t n x vtor n calar na dirção d n j n i ( δ ) n δ j tnõ rinciai

5 Tnõ Princiai + I I I Equação caractrítica + + I + + I I Invariant do tado d tnão

6 TENSOR TENSÃO DESVIADOR E TENSOR TENSÃO HIDROSTÁTICO m m m + kkδ tnor kkδ + d tnão dviador tnor tnão hidrotático

7 Etado d Tnão Hidrotático m m m m m m + + I m Etado d Tnão Dviador kk δ

8 Um tado d tnão é ixo x x, x x Etado d Cialhamnto Puro tal qu dito r d cialhamnto uro xitm x x i j Condição ncária uicint ara um tado d tnão r d cialhamnto uro I ii

9 O tado d tnão dviador corrond a um tado d cialhamnto uro kk δ ii Exitm ixo x, x x tal qu

10 Tnõ Princiai do Etado d Tnão Dviador δ tnõ rinciai do tado d tnão dviador Equação Caractrítica do Etado Dviador J J J J J J Invariant do tnor d tnão dviador

11 Invariant do Tnor Tnão Dviador Primiro Invariant J Sgundo Invariant J ji ( ( ) ) Trciro Invariant J jk ki

12 Tnõ Octaédrica n Plano Octaédrico oct t oct Plano cuja normal orma ângulo iguai com o ixo rinciai d tnão τ oct oct,τ oct tnõ octaédrica T n t oct + oct τ oct

13 t oct Comonnt na dirção d n n t oct oct. + + oct I m oct Tnõ Octaédrica Invariant

14 Tnõ Octaédrica Comonnt d Cialhamnto oct τ t oct oct τ oct 9 ( ) + ( ) + ( ) 6J Invariant τ oct J

15 REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA DO ESTADO DE TENSÃO P(,, ) r N linha hidrotática Eaço da tnõ rinciai O ξ ON ξ. I ξ m oct ξ,, (, ), ( m, m, m)

16 P(,, ) r N linha hidrotática Eaço da tnõ rinciai O ξ r ξ r (,, ) ( m, m, m) (,, ) Invariant r + + J

17 P(,, ) r N linha ou ixo hidrotáti co OP (,, ) O ξ ξ ON r NP ( m, m, m) (,, ) ξ OP vtor d tnõ do tado original ON vtor d tnõ do tado hidrotático r NP vtor d tnõ do tado dviador

18 TEORIA DA PLASTICIDADE Matrial Elatolático Prito Potulado : Exit uma unção d coamnto ( ) tal qu: Matrial m rgim lático ( ) ou ( ) & ( ) < < Matrial m rgim lático ( ) ( & ) (,,,,, ) ou (,,, α, α, α) i tnõ rinciai α i ângulo qu dinm a dirçõ rinciai Suríci d Ecoamnto ( )

19 Potulado : O matrial é iótroo A unção d coamnto indnd da dirçõ não muda com a rmutação do ixo, ou ja, é imétrica com rlação à tnõ rinciai,, ),, ),, ) ( ( ( A unção d coamnto od r xra m unção do invariant ( I, I, I) Potulado : Tnõ hidrotática não rovocam coamnto,, ) ou J, J ) ( (

20 Potulado 4: O comortamnto à tração à ão idêntico comrão O valor da tnão d coamnto não muda quando o inal d toda a comonnt d tnão ão trocado ( ) ( )

21 Gomtria da Suríci d Ecoamnto (,, ) ixo hidrotático P ξ r N Plano dviador r (,, ) o Equação do Plano Dviador r r r r r r ξ ( i + j + k ) i + j + k ξ ( + + ) ( + + ) ξ

22 B (,, ) é uma u nção imét rica C E N o 6 o 6 D A NAD NDB NEB NEC NCF NFA F

23 CRITÉRIO DE ESCOAMENTO DE TRESCA Critério da Máxima Tnão d Cialhamnto τ τ max (Matriai Dúcti) τ max τ max K τ max o 45 K Y Cao Tridimnional Max,, K

24 Rrntação Gométrica do Critério d Trca Tridimnional o,, ) Max,, K (

25 Rrntação Gométrica do Critério d Trca Bidimnional Y Y Y Y o Y Y τ max max min Y

26 CRITÉRIO DE ESCOAMENTO DE VON MISES Critério da Máxima Enrgia d Ditorção (Matriai Dúcti) ξ ξ ξ ξ ξ ξ + ξ ξ ξ ξ Etado Hidrotático Etado Dviador Dormação Volumétrica V V ν ε + ε + ε ( + + ) E

27 Etado Hidrotático d Tnão Etado Dviador d Tnão ( ) ) ( ) ( ν ν ξ + + E E V V Não gra ditorção r lano m qualqu ; γ τ ) ( + + ξ ν E V V Não gra variação d volum V V

28 Enrgia d Dormação Elática Ecíica Etado qualqur d tnão u ( ε + ε + ε ) Etado Hidrotático d tnão Etado dviador d tnão h h h ε + ε + ε ε ε ε ζ ε ε ε ε ε ε ζ ζ ζ

29 ) ( ) ( ) ( u ε ζ ε ζ ε ζ u V u D u + ( ) u ε ε ε ζ nrgia aociada à variação d volum nrgia aociada à mudança d orma ENERGIA DE DISTORÇÃO ) ( V u ( D ) u Enrgia Total

30 Critério d coamnto da Máxima Enrgia d Ditorção (Critério d von MISES) + ν 6E u D u lim ( ) + ( ) + ( ) ulim Y Obtnção xrimntal d u lim u lim + ν Y E

31 Exrão do Critério d von Mi ( Y ) + ( ) + ( ) Rrntação Gométrica do Critério d von Mi Tridimnional o lano octaédrico

32 Rrntação Gométrica do Critério d von Mi Bidimnional Y ( Y, Y ) Y o Y a ( Y, Y ) Y + Y

33 Comaração ntr o Critério d Trca d von Mi Cao Bidimnional Y ( Y, Y ) Y o Y ( Y, Y ) Y

34 Condição d Continuidad do Fluxo Plático Sja um onto ubmtido a um tado d tnão obr a uríci d coamnto,ou ja, ( ) Suonha qu ja alicado um incrmnto d m. Condição ara qu o onto continu m roco d coamnto ( d ) + d ( + d ) ( ) d d + d d O gradint d é rndicular ao vtor incrmnto d tnão

35 Condição d Continuidad do Fluxo Plático ( ) o d d d + d Grad Grad( () d T ) T (Condição d Conitência) Vtor Incrmnto d Tnão d d d Grad ()... Vtor Gradint da Função d...

36 Condição d Rtorno ao Rgim Elático ( ) o d d + d d < O Gradint d orma um ângulo obtuo com o vtor incrmnto d tnão

37 Potulado d Druckr Dado um coro m quilíbrio ob um tado d tnão inicial dinido lo vtor tnão gnralizado Q i ubmtido a um agnt xtrno qu alica lntamnt um conjunto d orça auto-quilibrada qu, m guida, ão rmovida. O trabalho ralizado lo agnt xtrno durant o ciclo alicação-rmoção da orça não é ngativo. W xt W tot W W xt trabalho ralizado W tot trabalho total W trabalho ito ralizado lo agnt xtrno or toda la tnõ iniciai a tnõ contant

38 Vtor tnão gnralizada Vtor taxa d dormação gnralizada Q W & Q i q & i Potência &q & ε & ε & ε & ε & ε & ε W& & ε comonnt lática q & q& + i i q& i comonnt lática

39 Suríci d Ecoamnto m tt +δt Q + δq t t + δt Q t t t Q o Q Suríci d coamnto m t W tot Trabalho Total no Ciclo Alicação-Rmoção d Tnõ Wdt & t t t t Q q& dt + δ i i Qi q& i q& i dt + ( + ) + t t + δt Q q& i i dt

40 Trabalho ralizado no ciclo chado nvolvndo dormaçõ lática é nulo W tot t t +δ Q q& t i i dt δw Incrmnto d trabalho lático Trabalho ralizado la tnõ gnralizada Q i durant o ciclo chado t t + δt t + i t t + δt W Q q& i i dt + Qi q& i + q& ( i ) dt Q i q& i dt W t +δ Q t t i q& i dt δw W δw δw xt

41 Plo Potulado d Druckr: W xt ( ) Q Q q& δw δw + dt t δt i i t i δt arbitrariamnt quno Digualdad d Druckr ( ) Q Q q& i i ( ) & ε i OBS.: Foi uado o índic m Q i ara indicar qu tai tnõ corrondm a um onto obr a uríci d coamnto

42 ( ) Q Q q& i i i O vtor taxa d dormação lática gnralizada orma um ângulo não maior qu 9 o com o vtor d incrmnto d tnõ gnralizada Em orma incrmntal, a digualdad acima od r crita na orma ( ) Q Q dq i i i

43 A, B Ponto obr a uríci d coamnto q& A P uríci d coamnto S A P B P B q& P Li ou Princíio da Normalidad O vtor q& é normal à uríci d coamnto aonta ara ora

44 Suríci d coamnto côncava viola o otulado d Druckr O ângulo ntr q& dq od rultar > 9 q& Suríci d coamnto Q + dq dq Q Li da Convxidad A uríci d coamnto é convxa Um matrial qu atiaz o Potulado d Druckr é dito ESTÁVEL ou work-wardning matrial

45 Função Potncial Plático Rgra d Fluxo Rgra d Fluxo Hiót cinmática otulada ara a dormação lática ou luxo lático Função Potncial Plático Função calar da tnõ d λ dε g( ) Rgra d Fluxo Plático dε g dλ ator d roorcionalidad calar não ngativo incrmnto d dorma ção láti ca

46 Rgra d Fluxo Plático Rrntação Gométrica dε g dλ g( ) g dε Rgra d Fluxo Aociada g( ) ( ) dε dλ o Rgra d Fluxo Não Aociada g( ) ( )

47 Rgra d Fluxo Gral Aociada ( J, J ) Li da Normalidad: ( J, J ) J J P jk ki dε d dλ dλ J J + J J ε J dε J i j dλ J q q δ r + J r

48 Rgra d Fluxo Aociada d von Mi A unção d coamnto d von Mi od r crita como: Rgra d Fluxo Aociada Como J Y ( J ) J dε dε dλ J J d λ dε dε dε dε dε dε dλ Equaçõ d Prandtl-Ru

49 Matriai Elatolático com Endurcimnto Endurcimnto (train hardning) roridad dinida lo aumnto contínuo da tnão axial com a volução da dormação axial aó o onto d coamnto. Y Y Y carga Y εy Cao Uniaxial dcarga () carga () Y ε > ε Y d > dε Trajtória carga-dcarga raticamnt rta coincidnt, aralla ao ramo lático linar inicial Aó dcarga carga concutiva, ocorr um aumnto da tnão d coamnto dcarga () carga () Y ε

50 Matriai Elatolático com Endurcimnto Cao Tridimnional Endurcimnto (train hardning) a uríci d coamnto muda com a ocorrência d dormaçõ lática adicionai (,, k) ε k arâmtro ε d ndurcimnto comonnt d dormação lática Rgra d ndurcimnto (?) Din a volução da uríci d coamnto com o luxo lático

51 Critério d Continuidad d Fluxo Plático Matrial com Endurcimnto d > dε d dε (,, k ) ε o d + d < 9 o α d α dε

52 Rgra d Endurcimnto ara Matriai Elatolático (, ε, k) F(, ε ) k ( ε ) orma da uríci tamanho da uríci Diniçõ J ε ε ε Tnão Etiva Dormação Plática Etiva

53 Tnão Dormação lática tiva - Cao d Tnão Uniaxial J ( ) + ( ) + ( ) Tnão tiva Tnão uniaxial ε ε ε ε ( ε ) + ( ε ) + ( ε ) ε ε ε Matrial Plático Incomrívl ε ε Dormação lática tiva Dormação lática uniaxial

54 Modlo d Endurcimnto Iótroo A uríci inicial xand uniormmnt m ditorção m tranlação quando ocorr o luxo lático F ( ) k ( ε ) k F F k k > k o

55 Modlo d Endurcimnto Iotróo Função d von Mi ( ), k J k ( ε ) J 6 ( ) + ( ) + ( ) k ( ε ) Parâmtro k(ε ) k( ε ) k ( ε ) J J

56 Modlo d Endurcimnto Cinmático Durant o luxo lático, a uríci d coamnto dloca como um coro rígido no aço da tnõ, mantndo a orma, o tamanho a orintação da uríci inicial. (, ε, k) F ( α ) k B F ( ) k A F ( α ) k o AB - lático BAO lático o α coordnada d O α α (ε )

57 Modlo d Endurcimnto Mito Durant o luxo lático, a uríci d coamnto or uma tranlação dinida or α uma xanão uniorm mdida or k, mantndo a ua orma original. (, ε, k) F ( α ) k ( ε ) F ( α ) k F ( ) k k > k o o α α (ε )

58 Rlação Contitutiva Incrmntal (Matrial Elatolático Prito) d d d ε ε ε + ( ) d d C d C d ε ε ε Vtor d Incrmnto d Dormação Vtor d Incrmnto d Tnão Li da Normalidad λ ε d d C matriz d rigidz lática do matrial

59 λ ε d d C d Condição d Conitência λ ε C d d C T T d T λ ε C d d C T Alicando a li da normalidad

60 ε ε C d C d C d T T ε λ C d C d T T Fator d roorcionalidad Rlação Contitutiva Elatolática do Matrial

61 ε d C C I C d T T C C I C C T T Matriz d Rigidz Elatolática do Matrial

62 APLICAÇÃO: Matriz d Rigidz d uma Barra Condição d latiicação d uma ção tranvral ψ ( N, V, V, M, M, M ) x y z x y z Matrial távl d Druckr: U & Λ & G Li da normalidad U & vtor taxa d dlocamnto G vtor gradint da unçãoψ Λ & ator d roorcionalidad lático A uríciψ é convxa

63 z y x z y x T M M M V V N G ψ ψ ψ ψ ψ ψ orça taxa d dlocamnto F vtor &,,,,, z y x z y x T M M M V V N F Condição d Conitência F G T & Sção Platiicada Rotula Plática ψ

64 Elmnto d Barra Elmnto com uma rótula lática no xtrmo lático lático U U U & & & Vtor taxa d dlocamnto nodai Vtor taxa d orça nodai F F F & & &

65 U U K K K K F F & & & & U K F & & lática da barra K matriz d rigidz incrmntal U U U & & & Vtor d taxa d dlocamnto lático no xtrmo G U Λ & & Li da normalidad Sção do Extrmo Condição d Conitência F G T &

66 Λ + G K G U K G U K G T T T & & & Λ U U K G K G G K G T T T & & & Λ G K K K K U U K K K K F F & & & & & U U K K K K G G c I K K K K F F & & & & B K B c T

67 Matriz d Rigidz Elatolática do Elmnto T K K I G G K EP c T G T G