Equação de Primeiro Grau

Transcrição

1 } Equação de Primeiro Grau } Rene Freire M Φ c Matemática e Física

2 A teoria de equação de primeiro grau é extremamente simples. Porém muitas pessoas têm dificuldade em resolver os problemas de equação de primeiro grau, pois isso envolve interpretar um problema e traduzi-lo para uma linguagem matemática. A importância de se saber trabalhar com equações de primeiro grau é inegável e difícil de ser exagerada: desde os problemas do ENEM, que exigem raciocínios se não para problemas de equações de primeiro grau então muito parecidos, até o fundamento de investimentos, cálculos para todo tipo de comercio, etc. Em suma, quem quer passar em um vestibular, sobreviver no mundo ou ganhar dinheiro (ou tem todos esses propositos) deve saber resolver esse tipo de equação, que é, em verdade, a base. Definição Uma equação de primeiro grau nada mais é que uma equação algébrica com uma incógnita, ou seja, ela é uma igualdade que envolve apenas operações algébricas básicas (soma, multiplicação, etc.) com apenas um valor a se determinar. Escrevemos: ax + b = 0, onde x, a, b R e a e b são conhecidos e quer-se determinar x. Note que se a = 0 então b = 0 e obtemos um resultado trivial: 0 = 0. Então desconsideramos o caso a = 0. É muito fácil encontrarmos a solução para a equação de primeiro grau: basta somar b e dividir a em toda a equação: ax + b b = b = ax x = b a. De forma mais genérica uma equação de primeiro grau é uma modificação linear da incógnita. Dizemos que é linear pois não é feita nenhuma modificação à incógnita x, por exemplo, multiplicando-a por x novamente, etc. 1

3 Damos essa definição mais genérica pois em muitos problemas não será pedido para simplesmente encontrarmos x já dada a equação, mas teremos que deduzir qual é a equação do problema sabendo que as variações são lineares. Daremos alguns exemplos a seguir para ficar mais claro. Em outro post nos concentraremos em resolver problemas de equações de primeiro grau. Problemas de Equação de Primeiro Grau Exemplo 1 - Fatec-SP João tinha B balas. Comeu uma e deu metade do que sobrou para Mário. Depois de comer mais uma, deu metade do que sobrou para Felipe e ainda ficou com 7 balas. O número B é tal que... Resolução: Em suma o que se pede é qual o valor de B, que é a quantidade de balas que João tinha originalmente. Primeiro, então, ele toma uma bala e dá metade do que restou pra Mário: chamemos de Y a quantidade de balas originais menos o que Mário recebeu: B 1 = Y. Desta nova quantidade Y ele tomou mais uma e deu metade do que restou para Felipe. Disso sabemos que sobraram apenas 7 balas: Y 1 Substituindo Y da fórmula anterior: = 7. 7 = Y 1 = Y 1 ( B = 1 1 ) 1 = = 1 [ B 1 ] 1 = 7 B 3 = 7. Então, B = 31. Exemplo - UFG Uma pequena empresa, especializada em fabricar cintos e bolsas, produz mensalmente 100 peças. Em um determinado mês, a produção de bolsas foi três vezes maior que a produção de cintos. Nesse caso, a quantidade de bolsas produzidas nesse mês foi...

4 Resolução: Queremos saber a quantidade de bolsas feitas no mês em que a quantidade de bolsas foi 3 vezes mais que a quantidade de cintos, sabendo que a soma é fixa em 100. Seja, então, b a quantidade de bolsas e c a quantidade de cintos. Então sabemos que b + c = 100. No mês em questão: b = 3c. Portanto, c = b/3. Substituindo isso na equação acima: b + b 3 = 100 = 4b 3 b = 400. Exemplo 3 - FUVEST Os estudantes de uma classe organizaram sua festa de final de ano, devendo cada um contribuir com 135,00 para as despesas. Como 7 alunos deixaram a escola antes da arrecadação cada um dos estudantes restantes teria de pagar 7,00 a mais. No entanto, o diretor, para ajudar, colaborou com 630,00. Quanto pagou cada aluno participante da festa? Resolução: Neste exercício precisamos saber de duas coisas: o preço da festa e a quantidade de alunos, para então podermos calcular quanto cada aluno deverá pagar. Vamos chamar a quantidade de alunos de A e o preço total da festa de T. Sabemos que, originalmente, cada aluno pagaria 135 reais e o preço total T seria atingido: 135A = T. No entanto, 7 alunos saíram antes e agora a quantidade de alunos restante deve pagar mais 7 para que T seja atingido: ( )(A 7) = T. Destas duas equações já podemos determinar A e T : multiplicamos a primeira por -1 e somamos à segunda: ( )(A 7) 135A = 0 = 135A + 7A A = 0 3

5 A = Então o preço total é ( )7 7 A = (5 + 1)7 = = T = Como o diretor irá contribuir com 630 e há apenas A 7 = 4 7 alunos, cada aluno deverá pagar: =