Deixando de odiar Matemática Parte 6

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1 Deixando de odiar Matemática Parte 6 Restante 2 Produção x Tempo 4 Exercícios Propostos 0 Gabaritos dos exercícios propostos 2

2 Restante O conceito de fração restante é muito importante em vários tópicos de Matemática. É comum encontrarmos em Geometria, Porcentagem, Probabilidade e muito mais! A fração restante é o que falta para. Se você come 2/5 de um chocolate, significa que você dividiu o chocolate em 5 partes iguais e comeu 2 dessas partes. Em outras palavras, sobraram 3 das 5 partes. Assim, a fração restante é 3/5. Se você consumiu 4/7 de uma garrafa de leite, então sobram 3/7. Para calcular a fração restante, basta repetir o denominador e subtrair o denominador do numerador. Suponha que seu salário seja de R$ 8.000,00. Se você gasta 3/6 na conta luz, então o valor que sobra é igual a 3/6. Portanto, o valor que você ainda tem disponível é = = reais 6 É muito comum você precisar calcular a fração restante da fração restante. Neste caso, basta multiplicar tudo. Exemplo: O salário de João é R$ ,00. Ele gastou 2/5 com alimentação. Do dinheiro que sobrou, João gastou /4 na prestação de seu carro. Quanto João ainda tem disponível? Se João gastou 2/5 com alimentação, então sobraram 3/5 de seu salário. Do que restou, João gastou /4. Portanto, sobraram 3/4 do restante. O que João ainda tem disponível é = = = reais 20 2

3 (G.N. 206) Patrícia Quintão tinha R$ 800,00. Ela emprestou 2/5 dessa quantia para seu irmão. Quantos reais sobraram para ela? A) R$.080,00 B) R$ 90,00 C) R$ 9,00 D) R$ 902,00 E) R$ 95,00 Ora, se Patrícia emprestou 2/5 do seu dinheiro, então sobraram 3/5. Sobraram para ela Letra A = =.080 reais. 5 5 Vamos agora resolver de trás para frente. Vamos informar as frações que foram gastas, informar o valor final e perguntar quanto havia no início. (G.N. 206) Ricardo Gomes gastou inicialmente metade do dinheiro que tinha e, em seguida, mais um terço do que sobrou. Depois disso, ficou com R$ 40,00. Quanto dinheiro tinha Ricardo inicialmente? Vamos assumir que Ricardo tinha inicialmente x reais. Se ele gastou metade do seu dinheiro (/2), então ele ficou com a outra metade, ou seja, ½ de x. Em seguida, do dinheiro que sobrou, Ricardo gastou /3. Assim, ele ficou com 2/3 do restante. Ricardo agora tem 2/3 de /2 de x. Esta quantia é igual a 40 reais. 2 3 x = 40 2 Cortando 2 do numerador com 2 do denominador: x 3 = 40 x = 3 40 = 20 reais 3

4 Produção x Tempo Este é o tipo de problema que é mais velho que a fome, mas que atormenta a estudantada por aí. (ATA-MF 2009/ESAF) Existem duas torneiras para encher um tanque vazio. Se apenas a primeira torneira for aberta, ao máximo, o tanque encherá em 24 horas. Se apenas a segunda torneira for aberta, ao máximo, o tanque encherá em 48 horas. Se as duas torneiras forem abertas ao mesmo tempo, ao máximo, em quanto tempo o tanque encherá? a) 2 horas b) 30 horas c) 20 horas d) 24 horas e) 6 horas Existe uma tática muito boa para resolver problemas envolvendo produção e tempo: perguntar o que cada objeto produz na unidade de tempo. A primeira torneira enche o tanque em 24 horas. Isto significa que eu posso dividir o tanque em 24 partes iguais e a torneira enche cada parte em hora. O tanque foi dividido em 24 partes iguais. A torneira enche cada parte em hora, totalizando 24 horas. Cada parte representa! do tanque.!" 4

5 Desta maneira, a primeira torneira enche /24 do tanque em hora. A segunda torneira enche o tanque em 48 horas. Isto significa que eu posso dividir o tanque em 48 partes iguais e a torneira enche cada parte em hora. Como o tanque foi dividido em 48 partes, cada parte representa /48 do tanque. Ou seja, a segunda torneira enche /48 do tanque em hora. Ora, se a primeira torneira em hora enche /24 do tanque e a segunda torneira em hora enche /48 do tanque, então juntas em hora encherão: = = 3 48 = 6 Analogamente, se juntas as torneiras enchem o tanque completamente em x horas, em hora encherão /x. Assim: x = 6 x = 6 horas. Se você não gostou da montagem desta equação, poderíamos fazer uma regra de três. Horas /6 x Por que coloquei? Porque eu quero saber em quanto tempo encheremos o tanque todo, ou seja, 6/6 =. Como a regra de três é simples e direta, basta multiplicar cruzado. 6 x = x 6 = x = 6 horas Vamos agora criar uma resolução geral para problemas de produção e tempo? Considere que um objeto execute um serviço em a horas, outro objeto execute um serviço o mesmo serviço em b horas, outro objeto execute o mesmo serviço 5

6 em c horas e assim por diante. Considere ainda que juntos, os objetos executem o serviço em x horas. Temos a seguinte relação: a + b + = x No nosso caso, a primeira torneira enche o tanque em 24 horas e a segunda torneira enche o tanque em 48 horas. Elas enchem o tanque em x horas = x = x 3 48 = x Como o produto dos meios é igual ao produto dos extremos: 3 x = 48 x = 48 3 = 6 horas. (Oficial de Chancelaria MRE 2009/FCC) Certo dia, Alfeu e Gema foram incumbidos de, no dia seguinte, trabalharem juntos a fim de cumprir uma certa tarefa; entretanto, como Alfeu faltou ao serviço no dia marcado para a execução de tal tarefa, Gema cumpriu-a sozinha. Considerando que, juntos, eles executariam a tarefa em 3 horas e que, sozinho, Alfeu seria capaz de executá-la em 5 horas, o esperado é que, sozinha, Gema a tenha cumprido em a) 6 horas e 30 minutos. b) 7 horas e 30 minutos. c) 6 horas. d) 7 horas. e) 8 horas. Alfeu executa o serviço sozinho em 5 horas. Gema executa o serviço sozinha em g horas. Juntos, executariam o serviço em 3 horas. 5 + g = 3 g = 3 5 g =

7 g = 2 5 Como o produto dos meios é igual ao produto dos extremos: 2 g = 5 x = 5 2 = 7,5 horas = 7 horas e 30 minutos Letra B Vamos agora subir o nível destes problemas. Um tanque tem duas torneiras. A primeira enche o tanque em 5 horas, e a segunda, em 8 horas. Estando o tanque vazio e, abrindo-se as duas torneiras durante 5 horas, enche-se uma parte do tanque. Podemos afirmar que a segunda torneira sozinha encherá o restante do tanque em A) 4 horas. B) 0 horas. C) 7 horas. D) 8,5 horas. E) 8 horas. A primeira torneira enche, em uma hora, /5 do tanque. Em 5 horas, a primeira torneira enche 5/5 do tanque. A segunda torneira enche, em uma hora, /8 do tanque. Em 5 horas, a segunda torneira enche 5/8 do tanque. As duas torneiras, em 5 horas, enchem: = = = 8 do tanque Precisamos ainda encher 7/8 do tanque (fração restante). Sabemos que a segunda torneira enche, em uma hora, /8 do tanque. Em quanto tempo a segunda torneira encherá 7/8 do tanque? Podemos resolver com uma regra de três simples e direta. 7

8 Tempo (horas) /8 7/8 x 8 x = 7 8 x 8 = 7 8 x = 7 Letra C (GN 206) Dois grupos de trabalhadores são empregados para construir uma parede. O primeiro grupo faz todo o trabalho em 24 dias; o segundo grupo em 30 dias. Se o primeiro grupo trabalhar durante 5 dias, em quanto tempo o segundo grupo terminará a obra? Aproxime para o inteiro mais próximo em dias. O primeiro grupo, em um dia, faz /24 da parede. Em 5 dias, construirá 5/24 da parede. Assim, ainda precisamos construir 9/24 da parede (fração restante). Quem irá construir esta fração restante? O segundo grupo. O segundo grupo faz a parede toda em 30 dias. Portanto, em um dia, o segundo grupo constrói /30 da parede. Queremos saber em quanto tempo o segundo grupo construirá 9/24 da parede. Dias /30 9/24 x 9 x = x 30 = x = x = 570 x = 23,75. O inteiro mais próximo é 24 dias. 8

9 (GN 206) Dois grupos de trabalhadores são empregados para colocar azulejos. O primeiro grupo faz todo o trabalho em 24 dias; o segundo grupo em 30 dias. Se os dois grupos trabalharem juntos durante 8 dias, após esses dias o primeiro grupo é dispensado. Em quanto tempo o segundo grupo terminará a obra? Os dois grupos trabalham juntos durante 8 dias. O primeiro grupo, em um dia, faz /24 do serviço. Em 8 dias, o primeiro grupo faz 8/24 = /3 do serviço. O segundo grupo, em um dia, faz /30 do serviço. Em 8 dias, o segundo grupo faz 8/30 = 4/5 do serviço. Os dois grupos, em 8 dias, juntos fazem: = = 9 5 = 3 5 Portanto, os dois grupos em 8 dias completaram 3/5 da tarefa. Ainda precisam ser feitos 2/5 do trabalho (fração restante). Quem será responsável para completar o serviço? O segundo grupo sozinho. Ora, o segundo grupo, em um dia, faz /30 do serviço. Em quanto tempo fará 2/5? Dias /30 2/5 x 30 x = 2 5 x 30 = 2 5 5x = x = 60 x = 2 dias 9

10 Exercícios Propostos 0. (G.N. 206) Gabi Knoblauch gastou inicialmente 4/5 do dinheiro que tinha comprando ingressos para o cinema e em seguida /3 do restante com pipoca, e depois disso ficou com R$ 40,00. Quanto dinheiro tinha inicialmente? 02. (G.N. 206) Dois grupos de trabalhadores são empregados para assentar placas de pisos. O primeiro grupo faz todo o trabalho em 36 horas. O segundo grupo em 60 horas. O primeiro grupo trabalha durante 4 horas. Após essas horas, o segundo grupo também é contratado. Em quanto tempo os dois grupos juntos terminarão a obra? 03. (G.N. 206) Duas torneiras de água enchem um tanque. A primeira se aberta sozinha enche o tanque em 9 horas e a segunda também aberta sozinha enche o tanque em 5 horas. Estando o tanque vazio e abrindo a primeira torneira durante 3 horas e em seguida fechando esta e abrindo a outra torneira, em quanto tempo o tanque estará cheio? 04. (G.N. 206) Três grupos de trabalhadores são empregados para lavar externamente um prédio. O primeiro grupo faz todo o trabalho em 4 dias; o segundo grupo em 6 dias e o terceiro grupo em 2 dias. Se os três grupos trabalharem juntos, em quantos dias o prédio estará lavado? 05. (G.N. 206) Três grupos de trabalhadores são empregados para levantar as paredes de uma casa. O primeiro grupo faz o trabalho todo em 2 dias; o segundo grupo em 8 dias e o terceiro grupo em 24 dias. Se os dois primeiros grupos trabalharem juntos durante 2 dias e após esses dias é contratado o terceiro grupo de trabalhadores, em quantos dias a obra estará terminada? 06. (G.N. 206) Duas torneiras de água enchem um tanque. A primeira se aberta sozinha enche o tanque em 8 horas e a segunda também aberta sozinha enche o tanque em 6 horas. Estando o tanque vazio e abrindo a primeira torneira durante 4 horas e meia, em seguida abrindo a outra torneira, em mais quanto tempo o tanque estará cheio? 07.(G.N. 206) Duas torneiras de água enchem um tanque. A primeira se aberta sozinha enche o tanque em 2 horas e a segunda também aberta sozinha enche o tanque em 8 horas. Estando o tanque com /4 de sua capacidade com água e abrindo as duas torneiras, em quanto tempo o tanque estará cheio? 08. (G.N. 206) Duas torneiras de água enchem um tanque. A primeira se aberta sozinha enche o tanque em 2 horas e a segunda também aberta sozinha enche o tanque em 5 horas. O tanque está com 3/20 de sua capacidade com água e abre-se a primeira torneira durante 3 horas. Em seguida, abre-se também a outra torneira. Em quanto tempo as duas torneiras encherão o resto do tanque? 09. (G.N. 206) Um tanque recebe água por duas torneiras e por um ralo a água do tanque é escoada. A primeira se aberta sozinha enche o tanque em 3 horas e a segunda também aberta sozinha enche o tanque em 4 horas e o ralo estando o tanque cheio consegue esvaziá-lo em 6 horas. Estando o tanque vazio e abrindo as duas torneiras e o ralo simultaneamente, em quanto tempo o tanque estará cheio? 0. (G.N. 206) Um tanque recebe água por duas torneiras e por um ralo a água do tanque é escoada. A primeira se aberta sozinha enche o tanque em 2 horas e a segunda também aberta sozinha enche o tanque em 5 horas e o ralo estando o tanque cheio consegue esvaziá-lo em 0 horas. Estando o tanque com metade de sua capacidade com água e abrindo as duas torneiras e o ralo ao mesmo tempo, em quanto tempo o tanque estará cheio? 0

11 Gabaritos reais horas horas dias dias 06.,5horas = h30min 07. 5,4 horas = 5 h 24min horas 09. 2,4 horas = 2h24 min 0. 0 horas

12 dos exercícios propostos 0. (G.N. 206) Gabi Knoblauch gastou inicialmente 4/5 do dinheiro que tinha comprando ingressos para o cinema e em seguida /3 do restante com pipoca, e depois disso ficou com R$ 40,00. Quanto dinheiro tinha inicialmente? Vamos assumir que Gabi inicialmente possuía x reais. Se ela gastou 4/5 do dinheiro, ela possui agora /5 de x (fração restante). Em seguida, ela gastou /3 do restante. Portanto, ela ficou com 2/3 do restante. A quantia que Gabi agora possui é igual a 2/3 de /5 de x. O problema afirma que esta quantia é igual a 40 reais. 2 3 x = x 5 = 40 2x = x = 600 x = 300 reais 02. (G.N. 206) Dois grupos de trabalhadores são empregados para assentar placas de pisos. O primeiro grupo faz todo o trabalho em 36 horas. O segundo grupo em 60 horas. O primeiro grupo trabalha durante 4 horas. Após essas horas, o segundo grupo também é contratado. Em quanto tempo os dois grupos juntos terminarão a obra? O primeiro grupo, em uma hora, faz /36 do trabalho. Em 4 horas, o primeiro grupo faz 4/36 = /9 do trabalho. Como /9 do trabalho já foi executado, precisamos ainda fazer 8/9 (fração restante). Quem irá fazer esta tarefa? Os dois grupos juntos. 2

13 Sabemos que em hora o primeiro grupo faz /36 do serviço. O segundo grupo em hora faz /60 do serviço. Juntos, em uma hora, eles fazem = = 8 80 = 2 45 Vamos agora armar a regra de três. Os dois grupos em hora fazem 2/45 do serviço. Em quanto tempo farão 8/9? Horas 2/45 8/9 x 2 45 x = 8 9 2x 45 = 8 9 2x 9 = x = 360 x = 20 horas 03. (G.N. 206) Duas torneiras de água enchem um tanque. A primeira se aberta sozinha enche o tanque em 9 horas e a segunda também aberta sozinha enche o tanque em 5 horas. Estando o tanque vazio e abrindo a primeira torneira durante 3 horas e em seguida fechando esta e abrindo a outra torneira, em quanto tempo o tanque estará cheio? A primeira torneira, em uma hora, enche /9 do tanque. Em 3 horas, a primeira torneira enche 3/9 = /3 do tanque. Ainda precisamos encher 2/3 do tanque (fração restante). Quem irá encher esta fração restante? A segunda torneira sozinha. A segunda torneira enche o tanque em 5 horas. Assim, em uma hora, ela enche /5 do tanque. Em quanto tempo ela encherá 2/3 do tanque? Horas /5 2/3 x 3

14 5 x = 2 3 x 5 = 2 3 3x = 2 5 3x = 30 x = 0 horas 04. (G.N. 206) Três grupos de trabalhadores são empregados para lavar externamente um prédio. O primeiro grupo faz todo o trabalho em 4 dias; o segundo grupo em 6 dias e o terceiro grupo em 2 dias. Se os três grupos trabalharem juntos, em quantos dias o prédio estará lavado? O primeiro grupo, em um dia, faz /4 do trabalho. O segundo grupo, em um dia, faz /6 do trabalho. O terceiro grupo, em um dia, faz /2 do trabalho. Juntos, em um dia, eles fazem: = = = 2 Em um dia eles lavam metade do prédio. Assim, eles lavam o prédio todo em 2 dias. Outra maneira seria utilizar a fórmula que mostrei anteriormente. Seja x o tempo que eles levam para lavar o prédio juntos. Assim, = x 2 = x x = 2 4

15 05. (G.N. 206) Três grupos de trabalhadores são empregados para levantar as paredes de uma casa. O primeiro grupo faz o trabalho todo em 2 dias; o segundo grupo em 8 dias e o terceiro grupo em 24 dias. Se os dois primeiros grupos trabalharem juntos durante 2 dias e após esses dias é contratado o terceiro grupo de trabalhadores, em quantos dias a obra estará terminada? O primeiro grupo, em um dia, executa /2 do trabalho. O segundo grupo, em um dia, executa /8 do trabalho. O terceiro grupo, em um dia, executa /24 do trabalho. Os dois primeiros grupos, em um dia, executam = = 5 36 Só que os dois primeiros grupos trabalharam juntos durante dois dias. Assim, eles executaram = 5 8 do serviço Ainda precisamos executar 3/8 do serviço. Quem executará este serviço? Os três grupos juntos. Os três grupos, em um dia, executam = = Vamos armar a regra de três. Os três grupos, em um dia, executam 3/72 do trabalho. Em quanto tempo executarão 3/8? Dias 3/72 3/8 x 3 3 x = x 72 = 3 8 5

16 Uma dica sobre simplificação. Quando temos uma proporção, ou seja, uma igualdade entre duas frações, como é o caso acima, podemos simplificar os numeradores em lados opostos da equação. Também podemos simplificar os denominadores que estão em lados opostos. Assim, podemos cortar 3 com 3. Podemos, se quisermos, também simplificar 8 com 72. x 72 = 8 8x = 72 x = 4 dias 06. (G.N. 206) Duas torneiras de água enchem um tanque. A primeira se aberta sozinha enche o tanque em 8 horas e a segunda também aberta sozinha enche o tanque em 6 horas. Estando o tanque vazio e abrindo a primeira torneira durante 4 horas e meia, em seguida abrindo a outra torneira, em mais quanto tempo o tanque estará cheio? A primeira torneira, em hora, enche /8 do tanque. A segunda torneira, em hora, enche /6 do tanque. Juntas, em hora, enchem Pois bem. Voltemos ao enunciado = = 7 24 A primeira torneira trabalhou sozinha durante 4 horas e meia. Assim, ela encheu 4,5/8 do tanque. Ainda precisamos encher 3,5/8 do tanque (fração restante). Quem encherá esta fração restante? As duas torneiras juntas. As duas torneiras, em uma hora, enchem 7/24 do tanque. Em quanto tempo encherão 3,5/8? Vamos armar a regra de três. Horas 7/24 3,5/8 x 6

17 7 3,5 x = x 24 = 3,5 8 7x 8 = 24 3,5 56x = 84 x =,5 horas = h30min 07.(G.N. 206) Duas torneiras de água enchem um tanque. A primeira se aberta sozinha enche o tanque em 2 horas e a segunda também aberta sozinha enche o tanque em 8 horas. Estando o tanque com /4 de sua capacidade com água e abrindo as duas torneiras, em quanto tempo o tanque estará cheio? O tanque já está com /4 de sua capacidade. Portanto, ainda precisamos encher 3/4 do tanque (fração restante). A primeira torneira, em uma hora, enche /2 do tanque. A segunda torneira, em uma hora, enche /8 do tanque. Juntas, em uma hora, enchem = = 5 36 Queremos sabem em quanto tempo elas encherão 3/4 do tanque. Horas 5/36 3/4 x 5 36 x = 3 4 5x 36 = 3 4 5x 4 = x = 08 7

18 x = 5,4 horas x = 5 horas + 0,4 60min = 5 h 24min 08. (G.N. 206) Duas torneiras de água enchem um tanque. A primeira se aberta sozinha enche o tanque em 2 horas e a segunda também aberta sozinha enche o tanque em 5 horas. O tanque está com 3/20 de sua capacidade com água e abre-se a primeira torneira durante 3 horas. Em seguida, abre-se também a outra torneira. Em quanto tempo as duas torneiras encherão o resto do tanque? A primeira torneira, em uma hora, enche /2 do tanque. Em 3 horas, a primeira torneira enche 3/2 = /4 do tanque. O tanque já possuía 3/20 da sua capacidade com água. Agora o tanque possui = = 8 20 = 2 5 da capacidade com água Ainda precisamos encher 3/5 do tanque (fração restante). Quem irá encher esta fração restante? As duas torneiras juntas. As duas torneiras, em uma hora, enchem juntas Em quanto tempo encherão 3/5? Vamos armar a regra de três = = 9 60 = 3 20 do tanque Horas 3/20 3/5 x 3 20 x = 3 5 3x 20 = 3 5 3x 5 = x = 60 8

19 x = 4 horas 09. (G.N. 206) Um tanque recebe água por duas torneiras e por um ralo a água do tanque é escoada. A primeira se aberta sozinha enche o tanque em 3 horas e a segunda também aberta sozinha enche o tanque em 4 horas e o ralo estando o tanque cheio consegue esvaziá-lo em 6 horas. Estando o tanque vazio e abrindo as duas torneiras e o ralo simultaneamente, em quanto tempo o tanque estará cheio? Em hora, a primeira torneira enche /3 do tanque. Em hora, a segunda torneira enche /4 do tanque. Em hora, o ralo esvazia /6 do tanque. Juntos, em hora, as duas torneiras e o ralo enchem = = Em quanto tempo encherão um tanque todo? do tanque Horas 5/2 x 5 2 x = 5x = 2 x = 2,4 horas x = 2 horas + 0,4 60min = 2h 24 min Podemos usar aquela fórmula geral para resolver esta questão. Lembre-se apenas que o ralo está prejudicando o trabalho. Portanto, colocaremos um sinal negativo no serviço do ralo. Seja x o tempo necessário para encher o tanque = x 9

20 = x 5x = 2 = x x = 2,4 horas x = 2 horas + 0,4 60min = 2h 24 min 0. (G.N. 206) Um tanque recebe água por duas torneiras e por um ralo a água do tanque é escoada. A primeira se aberta sozinha enche o tanque em 2 horas e a segunda também aberta sozinha enche o tanque em 5 horas e o ralo estando o tanque cheio consegue esvaziá-lo em 0 horas. Estando o tanque com metade de sua capacidade com água e abrindo as duas torneiras e o ralo ao mesmo tempo, em quanto tempo o tanque estará cheio? Em hora, a primeira torneira enche /2 do tanque. Em hora, a segunda torneira enche /5 do tanque. Em hora, o ralo esvazia /0 do tanque. Juntos, em hora, as duas torneiras e o ralo enchem = = = 20 do tanque O tanque já tem metade (/2) da sua capacidade com água. Precisamos encher a outra metade (fração restante). Vamos armar a regra de três. Horas /20 /2 x 20 x = 2 x 20 = 2 2x = 20 20

21 x = 0 horas 2