MAT Cálculo Resolução parcial da Lista 0 de Cálculo

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1 MAT Cálculo Resolução parcial da Lista 0 de Cálculo 1. O imposto de renda mensal referente ao ano calendário 2017 (fonte: era calculado segundo a tabela: Base de cálculo mensal, em R$ Alíquota em % Parcela a deduzir do imposto Até 1.903, De 1.903,99 até 2.826,65 7,5 142,80 De 2.826,66 até 3.751,05 15,0 354,80 De 3.751,06 até 4.664,68 22,5 636,13 Acima de 4.664,68 27,5 869,36 O imposto a pagar I é função da base de cálculo (rendimento do mês) b. a) Escreva expressões algébricas que representam os valores da função I(b) para os valores de b em cada intervalo. b) Qual a diferença do imposto a pagar para b = 2.800, 00 e b = 2.900, 00? E entre b = 2.820, 00 e b = 2.830, 00? O que você observa? c) Esboce o gráfico de I em função de b. d) Determine o domínio e a imagem de I(b). O que se pode dizer sobre crescimento ou descrescimento da função I(b)? Resolução parcial (sem os gráficos): a) Para simplificar a resolução da questão, iremos considerar o domínio da função como um intervalo de R (no caso, um intervalo ilimitado superiormente, como discutiremos no item d). Note que, a rigor, não poderíamos fazer isso porque tanto a base de cálculo para imposto quanto o imposto pago é um valor monetário, cuja unidade mínima é 0,01 (1 centavo). Porém, é normal, na prática da modelagem matemática (isto é, quando se usa a Matemática para resolver um problema prático, convertendo-o para um problema matemático), usar funções com domínio e imagem que incluem números fracionários e irracionais em problemas cujos valores são, a princípio, números inteiros (por exemplo, problemas de crescimento populacional). Isso ocorre porque, ao contrário do que se pensa, funções cujos domínio e imagem são intervalos de R são muito mais fáceis de trabalhar do que funções discretas (com domínio contido em Z. São justamente os teoremas de cálculo, que veremos nesta disciplina, que tornam mais fáceis esse tipo de função. O uso de funções reais em lugar de funções discretas geralmente é feita quando no problema a unidade mínima está dentro da margem de erro tolerada (por exemplo, neste caso, erros de menos de 1 centavo são desprezados). Feita essa discussão, escrevemos a função algebricamente separando seu domínio em intervalos de números reais (o último deles ilimitado). Cada linha da tabela representa um desses intervalos.

2 I(b) = 0; se b < 1.903, 99 0, 075 b 142, 80; se 1.903, 99 b < 2.826, 66 0, 15 b 354, 80; se 2.826, 66 b < 3.751, 06 0, 225 b 636, 13; se 3.751, 06 b < 4.664, 69 0, 275 b 869, 36; se b 4.664, 69 b) Tomando o cuidado para usar a faixa correta em cada um desses valores, obtemos os seguintes valores: I(2800) = 67, 20; I(2900) = 80, 20; I(2820) = 68, 70; I(2830) = 69, 70. Observamos que pequenas alterações na base de cálculo do imposto causam alterações também pequenas no valor do imposto devido, mesmo quando ocorre uma mudança de uma faixa para outra. Veremos, durante a disciplina, que isso é a definição de função contínua, que, a grosso modo, significar que podemos desenhá-la sem tirar o lápis do papel (não dá saltos ). c) Para esboçar o gráfico de I precisamos calcular o valor de I(b) para cada valor de b em que ocorre uma mudança de faixa, e também para algum valor de b acima de 4.664,69, para observarmos como o gráfico se comporta a partir desse valor. Para conferirmos que o gráfico não dá saltos, precisamos calcular cada um desses valores de mudança de faixa usando ambas as expressões, correspondentes às duas faixas onde ocorre a transição. Fazendo isso, observamos que a diferença é menor que 1 centavo. Arredondando os valores, podemos apenas ligar os pontos, usando segmentos de retas. Os valores usados para completar o gráfico (com o arredondamento de 1 centavo) são: I(0) = 0. I(1.903, 99) = 0. I(2.826, 66) = 69, 20. I(3.751, 06) = 207, 86. I(4.664, 69) = 413, 43. I(5.600, 00) = 670, 64. d) Tanto o domínio quanto a imagem é R + também denotado por [0, [, ou seja, todos os reais não-negativos. Isso porque não estamos considerando um valor máximo possível (embora na prática esse valor existe) para a base de cálculo do imposto. No item (a) discutimos por que consideramos que o domínio possui valores fracionários e até irracionais, mesmo que, na prática, só consideramos múltiplos de centavos. Dessa forma, também é correto responder que o domínio de I são os múltiplos inteiros não-negativos de 0,01. Pelo gráfico percebemos que o valor pago também é ilimitado e pode assumir qualquer valor, porque o último trecho é uma reta crescente. Como o gráfico começa do 0 e não dá saltos, todos os valores reais não-negativos podem ser atingidos.

3 A função é não-decrescente (isto é, não decresce em nenhum trecho) e, a partir do valor 1903,99, é estritamente crescente (isto é, sempre aumenta de valor: se x < y então I(x) < I(y)). 2. Uma determinada empresa paga o salário dos funcionários de acordo com a jornada semanal de trabalho. Até 40 horas semanais de trabalho o salário é de 20 reais por hora e o valor da hora extra é de 26 reais, sendo permitida no máximo uma carga horária semanal de 50 horas. Para efeito de cálculo do salário mensal, considera-se que um mês possui 4,5 semanas. Considere S o salário mensal (bruto) em função do número de horas trabalhadas por semana. a) Determine o domínio e a imagem de S. Você pode considerar que o número de horas trabalhadas é fracionário. b) Escreva as expressões algébricas da função S, separando por intervalos. Esboce o gráfico. c) Considere a função L = S I S, onde I é a função do exercício anterior. O que significa, em termos práticos, a função L? Qual é o seu domínio e imagem? d) Escreva algebricamente a função L, separando por intervalos, e esboce o gráfico. Resolução: a) O domínio é o intervalo [0, 50], visto que o enunciado diz explicitamente que o número máximo permitido de horas trabalhadas por semana é 50. A função é claramente crescente e, para o máximo de horas trabalhadas, o salário é de 4, 5 ( ), o que resulta em 4770, que é o salário máximo possível nas condições do enunciado. Logo, a imagem é [0, 4770]. b) Se o número de horas trabalhadas semanais x for menor ou igual a 40, a expressão do valor do salário mensal é 4, 5 20 x, que resulta em 90 x. Se x for maior que 40, o funcionário recebe 800 reais por semana pelas primeiras 40 horas e mais 26 reais por hora excedente, resultando em um salário mensal de 4, 5 ( (x 40)). Simplificando, a fórmula nessa segunda faixa é 117x Isto é, a função S(x) é dada por: S(x) = O gráfico é deixado para o(a) estudante. { 90x, se x x 1080, se 40 < x 50 c) A função L é o salário menos o imposto pago (considerando, hipoteticamente, que a base de cálculo é todo o salário, sem descontos) em funções das horas trabalhadas por semana. Ou seja, desconsiderando outros descontos (como previdência), é o salário líquido em função das horas trabalhadas semanalmente. Vimos no item (a) que o maior salário possível obtido nessa empresa é o de mensais, que corresponde à jornada de 50 horas semanais. Esse corresponde também ao valor que resulta no maior salário líquido. Para esse valor, aplicando

4 na função I do exercício 1, obtemos I(4770) = 442, 39. Logo, L(50) = , 39 = 4327, 61. Portanto, a imagem de L é [0; 4327, 61]. d) Como ambas as funções S e I são divididas por faixas, precisamos, primeiro, encontrar os pontos em que a expressão linear da função L altera. Vamos, então, dar nome às variáveis que queremos calcular. São elas: x 1, o número de horas em que começa a pagar a alíquota de 7,5% de imposto; x 2, o número de horas que faz o salário mudar da faixa que paga 7,5% de imposto para 15%; x 3, o número de horas que faz o salário mudar da faixa que paga 15% de imposto para 22,5%; x 4, o número de horas que faz o salário mudar da faixa que paga 22,5% de imposto para 27,5%. Outros pontos notáveis que usaremos para esboçar o gráfico e representar a função algebricamente são: 0, 40 e 50. Como S(40) = 3600, que está na faixa da alíquota de 15%, e S(50) = 4770, que está na última faixa, temos que: 0 < x 1 < x 2 < 40 < x 3 < x 4 < 50. É importante localizarmos onde se encaixa o número de 40 horas para sabermos qual fórmula usar em cada parte. Assim, para encontrarmos o valor x 1 resolvemos a equação S(x 1 ) = 1903, 99. Sabendo que x 1 < 40, substituímos S(x 1 ) pela primeira fórmula que a define, obtendo a equação: 90x 1 = 1903, 99, de onde obtemos x 1 = 21, 2, aproximadamente. Analogamente, obtemos x 2 = 31, 4, aproximadamente. Para x 3, sabendo que x 3 > 40, usamos a equação: 117x = 3751, 06, obtendo aproximadamente x 3 = 41, 3. Finalmente, x 4 = 49, 1 Se 0 x < 21, 2, a pessoa é isenta de imposto, e o salário líquido é o próprio salário. Ou seja, nessa faixa, L(x) = 90x. Se 21, 2 x < 31, 4, a função L(x) é dada por: L(x) = S(x) I(S(x)) = 90x (0, x 142, 8) = 83, 25x + 142, 8. Se 31, 4 x 40,

5 L(x) = 90x (0, 15 90x 354, 8) = 76, 5x + 354, 8. Se 40 < x < 41, 3, mantemos a mesma expressão do cálculo do imposto, mas a expressão da base de cálculo em função das horas muda: L(x) = (117x 1080) ((0, 15 (117x 1080)) 354, 8) = 99, 45x 563, 2. Se 41, 3 x < 49, 1 temos a expressão: L(x) = (117x 1080) ((0, 225 (117x 1080)) 636, 13) = 90, 675x 200, 87. Finalmente, nesse pequeno intervalo em que 49, 1 x 50 temos: L(x) = (117x 1080) ((0, 275 (117x 1080)) 869, 36) = 84, 825x + 86, 36. Resumindo: L(x) = 90x; se 0 x < 21, 2 83, 25x + 142, 8; se 21, 2 x < 31, 4 76, 5x + 354, 8; se 31, 4 x 40 99, 45x 563, 2; se 40 < x < 41, 3 90, 675x 200, 87; se 41, 3 x < 49, 1 84, 825x + 86, 36; se 49, 1 x Uma xícara de café contém cerca de 100mg de cafeína. A meia-vida da cafeína no corpo é de cerca de 4 horas. Isto significa que a cafeína decai a uma taxa de 16% por hora. (a) Confirme que a meia vida de uma substância decai a uma taxa de 16% por hora é de cerca de 4 horas. (b) Escreva uma fórmula para a quantidade de cafeína P no corpo como função do número de horas t, desde que o café foi tomado. (c) Quanta cafeína permanece no corpo depois de 2 horas? (d) Quanto tempo levará até que o nível de cafeína no corpo atinja 20mg? OBS: Chama-se meia-vida de uma substância o tempo necessário para que a quantidade desta substância se reduza pela metade. Resolução:

6 (a) Se a substância decai a uma taxa de 16% por hora, isso significa que a cada hora a quantidade da substância é multiplicada por (1 16 ), que é igual a 0, 84. Logo, se a 100 quantidade inicial da substância é Q, daqui a t horas a quantidade será t 0, 84 t. Em particular, para t = 4 obtemos que a quantidade da substância daqui a 4 horas será de aproximadamente Q 0, 498, o que é aproximadamente metade da quantidade inicial. (b) Como feito no item (a), obtemos a expressão: onde t é dada em horas e P (t) em mg. P (t) = 100 (0, 84) t, (c) P (2) = 100 (0, 84) 2 = 70, 56. Portanto, a resposta é 70, 56mg. (d) Precisamos resolver a equação isto é: que é equivalente a Logo, P (t) = 20, 100 (0, 84) t = 20, 0, 84 t = 0, 2 t = log 0,84 2, que é aproximadamente 9, 23. Ou seja, levará aproximadamente 9h14min para a cafeína ser reduzida a 20mg no corpo. 4. Um fenômeno bastante importante e intrigante é o das marés. A altura da maré é uma função periódica, pois oscila regularmente entre maré alta e baixa. Jornais paulistas publicam regularmente a altura das marés no porto de Santos. A altura (em metros) no porto de Boston é aproximada pela fórmula ( π ) f(t) = 1, 5 + 1, 4cos 6 t onde t é o tempo em horas desde a meia-noite de 10 de fevereiro de (a) Esboce o gráfico da função f ao longo do dia 10 de fevereiro de (b) Qual era a altura da água à maré alta? (c) Quando foi a maré baixa e qual era a altura da água neste momento? (d) Qual é o período desta função e o que ele representa em termos das marés?

7 (e) Qual é a amplitude desta função e o que ele representa em termos das marés? Resolução: (b) A imagem da função cosseno é [ 1, 1]. Portanto, o valor máximo atingido pela função f é 1, 5 + 1, 4 = 2, 8. Ou seja, a altura da água à maré alta era de 2,8m. (c) O primeiro valor positivo de x para o qual cos(x) = 1 é π. Para os outros valores, basta somar um múltiplo inteiro de 2π. Resolvendo a equação π t = π obtemos t = 6 e, para 6 π t = 3π, obtemos t = 18. Para esses valores temos f(t) = 1, 5 1, 4 = 0, 1. Logo, a maré 6 baixa ocorreu às 6h e às 18h daquele dia, e a altura da água nesses horários era de 10cm. (d) O período é de 12 horas, que é o tempo do ciclo completo da maré (o intervalo de tempo entre duas marés altas ou entre duas marés baixas). (e) A amplitude é a diferença entre o máximo e mínimo atingido pela função. No caso, a diferença entre a altura da água na maré alta e a altura da água na maré baixa. Pelos itens (b) e (c), esse valor é de 2,7m. 5. Expresse a área da superfície de um cubo como função de seu volume. Dê o domínio e a imagem da função. Resolução: Como o volume de um cubo de aresta l é l 3, um cubo de volume v tem aresta medindo 3 v. Como o cubo tem 6 faces quadradas, cada uma com área igual ao quadrado do lado, a função A(v) da área da superfície em função do volume v do cubo é dada por: A(v) = 6 3 v 2. Note que tanto a área da superfície quanto o volume precisam ser valores reais positivos, e podem assumir qualquer valor real positivo. Algebricamente, observamos que a expressão A(v) está bem definida para todo v R + e que a equação A(v) = r sempre tem solução real, para qualquer r > 0. Isso significa que tanto o domínio quanto a imagem de A é ]0, [. 6. Esboce o gráfico das seguintes funções, determinando o maior domínio possível para o qual a função está definida. Estude cada uma com relação a crescimento e descrescimento. (a) f(x) = (1 x) 2 (b) f(x) = 1 x 2 (c) f(x) = 1 x (d) f(x) = 1 x (e) f(x) = 3x + 5 (f) g(x) = x x (g) f(x) = x 3 (h) f(x) = sen (x + π/2) (i) f(x) = x 3 9 (j) g(x) = 1 x+5 (k) f(x) = x (l) f(x) = 3 x (m) f(x) = x (n) f(x) = 3 1 x 2 (o) f(x) = 3 x 2 4 (p) g(y) = y 2 1 y 2 4

8 7. Um aluno resolveu uma inequação da seguinte forma: x 1 < 3 2x ( x 1) 2 < ( 3 2x) 2 x 1 < 3 2x x < 4/3 No entanto percebeu que a solução estava errada, pois x = 0 não é solução. Qual o erro do aluno? 8. Decida quais afirmações são verdadeiras ou falsas e justifique a resposta. a) se x 1 < 3 então (x 1) 2 < 9 b) se (x 1) 2 < 9 então x 1 < 3 c) se 1 x < 3 e x 0 então x > 1 3 d) se x 2, x 2 + x + 1 x 2 > 3 então (x 2 + x + 1) > 3(x 2) 9. Sejam f : A B e g : B C funções. Decida quais afirmações são verdadeiras ou falsas. Justifique a resposta. Pode usar diagramas para ilustrar a justificativa. a) Se f e g são injetoras, então g f é injetora; b) Se g f é injetora, então g é injetora; c) Se g f é injetora, então f é injetora; d) Se f e g são sobrejetoras, então g f é sobrejetora; e) Se g f é sobrejetora, então g é sobrejetora; f) Se g f é sobrejetora, então f é sobrejetora; g) g f é bijetora se, e somente se, f e g são bijetoras. 10. Represente, no plano cartesiano, o conjunto dos pares (x, y) pertencentes a R 2 que satisfazem cada uma das seguintes condições: a) x + y 1; b) x y + x y 2; c) x 1 3; d) x + 1 y 2.