Valor nominal (Vn): capital titulado pela obrigação, i.e. base de cálculo dos juros (valor facial inscrito no título de dívida).

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1 Lieniatura de Finanças-ISCTE Apontamentos para a adeira de Investimentos Cap. I ANÁLISE E AVALIAÇÃO DE ORIGAÇÕES. Coneitos básios.. Definição Uma obrigação é um título de rédito representativo de uma fração de um empréstimo obrigaionista. obrigações Entidade emitente (finaniamento) $ Obrigaionista (apliação fin.).. Terminologia Valor nominal (Vn): apital titulado pela obrigação, i.e. base de álulo dos uros (valor faial insrito no título de dívida). Exemplo: as obrigações admitidas à otação na VL (merado seundário) são otadas em perentagem do par, ou sea Vn %. Valor de subsrição (Vs): valor pelo qual a obrigação é emitida (em merado primário). 3 situações são possíveis: a) Vs > Vn emissão aima do par; b) Vs Vn emissão ao par (regra geral); ) Vs < Vn emissão abaixo do par. Prémio de emissão Vs - Vn Valor de otação (V): preço da obrigação em bolsa. Valor de transação (VT): preço ao qual a obrigação é efetivamente transaionada em merado seundário: VT V Juros venidos (AI) Na data de transação, o omprador tem de pagar ao vendedor o valor orrespondente aos uros á venidos (arued interest) assoiados ao upão orrente visto ir reeber, na data de venimento do upão, a totalidade do valor do upão. I.e. o vendedor tem de ser remunerado pelo período do upão orrente durante o qual manteve a obrigação em arteira. OT 4.85% 3/4/3 Exemplo V (3/6/99; 4ª-feira) 3.3% (otação de feo); VT?

2 Lieniatura de Finanças-ISCTE Apontamentos para a adeira de Investimentos Para o álulo do número de dias de uros venidos na VL: i) Utiliza-se a base de alendário atual/atual; ii) Há que onsiderar 3 dias úteis de desfasamento entre as datas de transação (trade date) e de liquidação (settlement date). Settlement date: 3/6/99 5 dias 5/7/99. Nº dias de alendário entre 3/4/99 e 5/7/99: 73 dias Nº dias de alendário entre 3/4/99 e 3/4/: 366 dias AI 4.85% x 73/ % VT 3.3%.9599% 4.899% Valor de reembolso (Vr): apital restituído ao obrigaionista por ada obrigação detida em arteira; i.e. Vn mais ou menos um determinado Prémio de Reembolso (Vr Vn, regra geral igual a zero). O reembolso pode ser efetuado: i) No venimento da obrigação, i.e. bullet (regra geral); ii) Periodiamente (regra geral, por dedução ao valor nominal); iii) Nuna (obrigações perpétuas). Taxa do upão (): taxa (nominal anual) à qual a obrigação vene uros. Pode ser: i) Taxa fixa: a taxa de upão é fixada para toda a maturidade da obrigação (Exemplo: OTs). Consequentemente, é possível, a priori, determinar todos os as flows futuros a gerar pela obrigação. Todavia, tal não signifia que um investimento em obrigações de taxa fixa não estea exposto ao riso de taxa de uro: aso se pretenda vender a obrigação antes do seu venimento, o preço de venda a obter irá depender da evolução das taxas de uro; e, mesmo que a obrigação sea mantida em arteira até ao venimento, a taxa de rendibilidade de tal investimento irá depender das taxas de uro às quais serão reinvestidos os as flows vinendos. ii) Taxa variável: a taxa de upão é igual ao valor de um indexante (geralmente, alulado no iníio do período do upão) aresido ou deduzido de um dado spread (Exemplo: Euribor a 3 meses.%). De forma a minimizar o impato da evolução das taxas de uro sobre o preço da obrigação, o indexante de referênia é normalmente definido om um prazo igual à periodiidade do upão e om um nível de riso adequado ao perfil de riso do emitente (austado pelo spread). A periodiidade do upão varia de obrigação para obrigação. Em Portugal, o upão é geralmente semestral (por exemplo, OTRVs Obrigações do Tesouro de Rendimento Variável) ou anual (para a generalidade das OTs). Exepção feita às obrigações que ainda não tenam pago qualquer upão durante 999. Para estas obrigações, e até ao venimento do primeiro upão de 999, ontinua-se a utilizar a base de alendário 3/36.

3 Lieniatura de Finanças-ISCTE Apontamentos para a adeira de Investimentos Relativamente à forma de álulo do upão, as obrigações podem ser lassifiadas em: i) Obrigações lássias (a maioria): pagam uros periodiamente. ii) Obrigações de upão zero: não venem uros; são transaionadas abaixo do par, onstituindo a diferença para o valor nominal (par) o rendimento gerado pela obrigação. Exemplo Admita omprar, om data spot de /8/99, Ts (iletes do Tesouro) om um valor nominal de, ontos, om venimento em 4/9/99 e a uma otação de 99.75%. Preço de aquisição:, x 99.75% 99,75 ontos. -99,75, /8/99 4/9/99 35 dias (atual/atual) Taxa de rendibilidade (yield-to-maturity) obtida aso o T sea mantido em arteira até ao venimento y: % % 99.75% y.645% 35 ( y) % (taxa efetiva anual) iii) Obrigações de apitalização automátia: venem uros periodiamente, os quais são apitalizados e somente liquidados no venimento da obrigação (untamente om o valor nominal). Exemplo Admita omprar ao par uma obrigação de apitalização automátia om venimento a 3 anos e om um upão semestral de 4% (taxa nominal anual). Tal investimento envolve somente as flows: um as out flow de % no momento ; e, um as in flow, daqui a 3 anos, igual a 3 % ( 4% ).6%. -%.6% 3 anos Relativamente aos direitos atribuídos aos obrigaionistas, as obrigações podem-se lassifiar em: i) Obrigações lássias (a maioria): apenas onferem direito ao reebimento de uros e à amortização de apital (om eventuais prémios de reembolso). 3

4 Lieniatura de Finanças-ISCTE Apontamentos para a adeira de Investimentos ii) Obrigações om warrant: onferem também direito a omprar uma ou mais ações da soiedade emitente a um preço pré-estabeleido, e numa ou mais datas onvenionadas. Exemplo Considere uma obrigação om venimento daqui a 4 anos, om um valor nominal de euros e om um upão anual de 3%, a qual onfere o direito de omprar, no venimento, ações da soiedade emitente a 5 euros ada. O direito de ompra de ações orresponde ao warrant inluso na obrigação. Tal direito só será exerido pelo obrigaionista, daqui a 4 anos, se nessa data ada ação estiver otada a mais de 5 euros. Se, por exemplo, as ações estiverem otadas, daqui a 4 anos, a 6 euros, então registar-se-ão os seguintes fluxos finaneiros (no venimento da obrigação e na óptia do obrigaionista): a) Reebimento do valor nominal mais último upão, i.e. 3 euros; e b) Exeríio do warrant, ou sea, pagamento de x55 euros e reebimento de ações (as quais podem ser vendidas em merado por 6 euros ada, gerando um gano de euros). Os warrant podem também ser transaionados separadamente da obrigação. Cada warrant orresponde a uma opção de ompra sobre ações da entidade emitente (e geralmente de tipo Europeu). Todavia, o valor da orrespondente opção de ompra tem de ser orrigido pelo denominado efeito de diluição, pois o eventual exeríio dos warrant implia o aumento do número de ações em irulação iii) Obrigações onvertíveis: onferem também o direito a troar a obrigação por uma ou mais ações da soiedade emitente, numa ou em mais datas previamente estabeleidas. Exemplo Considere uma obrigação om venimento daqui a 4 anos, om um valor nominal de euros e om um upão anual de 3%, a qual onfere o direito de troar, no venimento, uma obrigação por 4 ações da soiedade emitente ( direito de onversão ). Tal direito de onversão só deverá ser exerído se, daqui a 4 anos, ada ação estiver otada a mais de /45 euros. Por exemplo, se as ações estiverem otadas, daqui a 4 anos, a 6 euros, então o direito de onversão deverá ser exerido e registar-se-ão os seguintes fluxos finaneiros (no venimento da obrigação e na óptia do obrigaionista): a) Reebimento do último upão: 3 euros; e b) Exeríio do direito de onversão: não reebimento do valor nominal de euros ontra a obtenção de 4 ações (as quais podem ser vendidas em merado por um valor superior e igual a 4x64 euros). Novamente, o direito de onversão traduz-se numa opção de ompra (geralmente de tipo Europeu) sobre as ações da soiedade emitente e também sueita ao efeito de diluição. 4

5 Lieniatura de Finanças-ISCTE Apontamentos para a adeira de Investimentos iv) Obrigações om láusula de resgate anteipado a favor do obrigaionista: onferem também o direito de o obrigaionista exigir o reembolso da obrigação antes do venimento (embora, geralmente, a um valor inferior ao par). Numa onuntura de subida de taxas de uro, o obrigaionista pode ter interesse em exerer tal direito, o qual não é mais do que uma opção de venda (put option) detida pelo obrigaionista sobre a obrigação. v) Obrigações om láusula de resgate anteipado a favor da soiedade emitente: onferem à soiedade emitente o direito de proeder ao reembolso da obrigação antes do venimento (embora, geralmente, a um valor superior ao par). Numa onuntura de desida de taxas de uro, a soiedade emitente pode ter interesse em exerer tal direito, o qual não é mais do que uma opção de ompra (all option) detida pela soiedade emitente sobre a obrigação. Dívida públia versus privada Atendendo ao emitente, as obrigações podem ser lassifiadas omo sendo: i) Títulos de dívida públia: tratam-se de obrigações emitidas pelo Estado e portanto sem riso de inumprimento (uma vez que para o Estado é sempre possível finaniar a dívida via riação de impostos ou emissão de moeda). ii) Títulos de dívida diversa: obrigações emitidas por empresas. A análise subsequente entrar-se-á sobre a avaliação de obrigações emitidas pelo Estado (a taxa fixa OT- ou a taxa variável OTRV). Numa segunda fase proeder-se-á à avaliação do riso de rédito assoiado à dívida privada. Outras lassifiações: Obrigações de aixa: só podem ser emitidas por instituições finaneiras. Obrigações garantidas: onferem ao obrigaionista o direito a uma determinada fração da propriedade da entidade emitente em aso de inumprimento desta última. 5

6 Lieniatura de Finanças-ISCTE Apontamentos para a adeira de Investimentos. Estrutura temporal de taxas de uro.. Definição A estrutura temporal de taxas de uro (ETTJ) onsiste num onunto de taxas de uro em vigor para investimentos de diferentes maturidades (e sem as flows intermédios), mas pertenentes à mesma lasse de riso. Não existe uma únia mas sim várias ETTJ: uma para ada lasse de riso. Por exemplo, existe uma ETTJ implíita aos preços de merado das obrigações do Tesouro e outra ETTJ assoiada aos intrumentos transaionados em merado interbanário (depósitos, FRAs, IRSs, ). A yield urve é simplesmente a representação gráfia da ETTJ. Por exemplo, SPOT YIELD CURVE 6.% 5.5% 5.% 4.5% 4.% 3.5% 3.%.5% 3-Jun-99 3-Jul-99.% Tempo para a Maturidade (anos) A ETTJ não é diretamente observável: tem de ser estimada (inferida) om base nas otações observadas em merado para ativos finaneiros dependentes da evolução das taxas de uro ( interest rate ontingent laims ) e pertenentes a idêntia lasse de riso (por exemplo, preços de merado de OT de taxa fixa). Geralmente utilizam-se os preços de obrigações do Tesouro - títulos om riso de rédito nulo, isto é, a probabilidade de oorrênia do estado da natureza no qual o desvio dos as flows gerados fae aos prometidos é zero. Vantagens: a) não depende de perepção subetiva do riso; b) liquidez elevada do merado de dívida públia. Normalmente apresentadas om apitalização anual. 6

7 Lieniatura de Finanças-ISCTE Apontamentos para a adeira de Investimentos É essenial oneer (estimar) a ETTJ: nomeadamente, para avaliar interest rate ontingent laims (tais omo obrigações, futuros e opções sobre taxas de uro, et.), para gerir o riso de taxa de uro assoiado a arteiras de ativos, para formular expetativas de evolução de variáveis maroeonómias (tal omo a taxa de inflação), et. A ETTJ pode ser desrita de 3 formas exatamente equivalentes: via taxas spot, via taxas forward ou via fatores de desonto. Mas nuna via yields-to-maturity... Taxas de uro spot A taxa spot a T ( > ) anos, r (,T), é a taxa de uro em vigor oe (momento ) na eonomia para um investimento om iníio imediato e om um únio as flow futuro no momento T. A taxa spot é também designada por zero-oupon yield na medida em que orresponde à taxa de rendibilidade gerada por uma obrigação de upão zero (zero-oupon bond) om venimento no momento T: onde (,T) P (,T), [ r(,t) ] T P designa o preço oe (momento ) de uma pure disount bond (PD) om venimento no momento T e om valor nominal unitário. De forma equivalente, r (,T) T P(,T). Note que seria extremamente fáil estimar a ETTJ spot aso fosse possível observar em merado preços de PDs (por exemplo, iletes do Tesouro) para diversas maturidades.3. Taxas de uro forward Uma taxa forward é uma taxa de uro, esperada oe, para vigorar numa data futura e por um determinado período de tempo. Em termos formais, a taxa forward, esperada no momento, para vigorar entre os momentos t ( > ) e T ( > t) é definida por f (, t,t) e é alulada om base nas taxas spot em vigor no momento : ou sea, [ ( )] t [ ( )] ( T r, t f, t,t t ) [ r(, T) ] T f (,t,t) [ r(,t) ] t [ r(,t) ] T ( T t ). Assumindo apitalização anual. 7

8 Lieniatura de Finanças-ISCTE Apontamentos para a adeira de Investimentos A taxa forward (, t,t) f é a taxa de rendimento futura por (T-t) períodos que torna indiferente as seguintes estratégias de investimento: a) um investimento oe por t períodos renovado no momento t à taxa forward por mais (T-t) períodos; ou b) um investimento oe por T períodos..4. Fatores de desonto, orresponde ao valor atual de uma unidade monetária venível no momento T. Isto é, orresponde ao preço de uma PD om venimento no momento T e om valor nominal unitário: O fator de desonto para a maturidade T, δ ( T) ( T ) P(,T) δ..5. Teorias expliativas da estrutura temporal de taxas de uro As teorias expliativas da estrutura temporal de taxas de uro prouram expliar a oexistênia de diferentes taxas de uro para diferentes tempos para a maturidade (no âmbito de idêntia lasse de riso). i) Teoria das expetativas raionais puras ii) iii) Sustenta que as taxas forward implíitas igualam as taxas spot esperadas, ou sea, que não existem prémios nas taxas de uro. Teoria da preferênia por liquidez A teoria da preferênia por liquidez defende que as taxas forward implíitas exedem as taxas spot esperadas por um prémio de liquidez. O prémio de liquidez é positivo e resente om o tempo para a maturidade, visando remunerar os investidores do riso de taxa de uro (riso de preço) a que estão sueitos em investimentos om tempos para a maturidade maiores. Teoria da segmentação Introduz a possibilidade de o prémio de liquidez poder assumir sinal positivo ou negativo, pois o que é relevante para o investidor são as suas preferênias partiulares em termos de tempos para a maturidade e não o maior ou menor tempo que falta para a obrigação atingir a maturidade. Os preços das obrigações para diferentes tempos para a maturidade são determinados pelas preferênias de investidores, que são eterogéneas no que respeita a tempos para a maturidade, não existindo uma relação sistemátia entre taxas forward implíitas e as taxas spot esperadas. A prinipal impliação desta teoria é que obrigações para diferentes tempos para a maturidade são transaionadas em segmentos de merado distintos. 8

9 Lieniatura de Finanças-ISCTE Apontamentos para a adeira de Investimentos iv) Teoria do abitat preferido Parte do mesmo prinípio que a teoria da segmentação: os investidores tem preferênias partiulares em termos de tempos de para a maturidade (abitat preferido), mas introduz a possibilidade dos investidores abandonarem o seu abitat preferido em busa de remunerações mais altas. Em termos das respetivas impliações, a teoria da preferênia por liquidez pode ser onsiderada omo um aso partiular da teoria do abitat preferido em que todos os investidores tem por abitat preferido os tempos para a maturidade mais urtos. 9

10 Lieniatura de Finanças-ISCTE Apontamentos para a adeira de Investimentos 3. Avaliação de obrigações a taxa fixa Seguidamente apresenta-se a fórmula geral de avaliação de obrigações a taxa fixa. A avaliação de obrigações a taxa variável será obeto de análise posterior. Na análise subsequente assume-se o oneimento da ETTJ (estrutura temporal de taxas de uro). Os métodos de estimação da ETTJ serão obeto de análise posterior. O preço de equilíbrio de uma obrigação, ( ) as flows futuros:, orresponde ao somatório do valor atual dos seus sendo ( ) n CF t [ r(,t )] CF as flow a gerar pela obrigação no momento t (, K, n ); e r (,t ) taxa spot a t anos. A deisão de ompra ou venda da obrigação pode então ser formulada mediante a omparação do seu valor de equilíbrio, ( ), om o respetivo preço de merado Vs, em merado primário, ou VT, em merado seundário: Se ( ) Vs, VT Se ( ) Vs, VT > Comprar < Vender Note que uma obrigação om upões é avaliada omo sendo uma arteira de pure disount bonds: n ( ) CFP(, t ). Exemplo Obetivo: avaliar a obrigação OT 4.85% 3/4/3 Assuma ter estimado as seguintes taxas de uro spot à data de 3/6/99 (settlement date 5/7/99): O preço de equilíbrio da OT é então igual a: Data t r(,t ) 3/4/ % 3/4/ % 3/4/ % 3/4/ %

11 Lieniatura de Finanças-ISCTE Apontamentos para a adeira de Investimentos ( ) 4.85% (.63) (.375) (.357) 4.85% (.388) % 4.85% % > VT 4.9% Portanto, o investimento na OT em análise revela-se atrativo. Fisalidade: O exemplo anterior onsidera a avaliação de uma obrigação ignorando efeitos fisais. A avaliação de uma obrigação pode (deve) ser efetuada atendendo ao regime fisal do investidor. Para o efeito, á apenas que onsiderar a fórmula de avaliação anterior om as seguintes modifiações: a) Por um lado, os as flows CF vêm liquidos de impostos; b) Por outro lado, as taxas de atualização r (,t ) deverão ser estimadas utilizando idêntio regime fisal 4. Medidas de rentabilidade 4.. Yield-to-maturity A yield-to-maturity de uma obrigação é a taxa de atualização (flat) para a qual o valor atual dos as flows futuros vem igual ao preço de merado (invoie or gross prie). Ou sea, a yield-tomaturity pretende traduzir a taxa de rentabilidade assoiada ao investimento na obrigação, pressupondo a sua manutenção em arteira até à respetiva data de venimento. Em termos formais, a yield-to-maturity de uma obrigação om venimento no momento t n, om um preço de merado VT e que gera as flows CF nos momentos t (, K, n), é dada pela taxa y t n tal que: VT n CF t ( y ) tn Exemplo Obetivo: Calular a yield-to-maturity da OT 4.85% 3/4/3 Designando a yield-to-maturity desta OT por y,

12 Lieniatura de Finanças-ISCTE Apontamentos para a adeira de Investimentos y : 4.9% y % 4.85% ( y) ( y) ( y) 4.85% ( y) % 4.85%.874 A yield-to-maturity tenta traduzir a taxa de rendibilidade gerada pela obrigação, o que só é verdade aso duas ondições (improváveis) seam verifiadas: a) manutenção da obrigação em arteira até ao venimento; e b) reinvestimento de todos os as flows vinendos à mesma taxa y. A abordagem da yield-to-maturity só é onsistente om a equação geral de avaliação de obrigações aso se verifique, pelo menos uma das duas ondições seguintes: a) A estrutura temporal de taxas de uro é flat ( r (,t) r(,t ) K r(, t n )), pois para este perfil partiular temos que y t r(,t) para t ; ou b) Utilizarmos na onstrução da yield-to-maturity urve apenas obrigações de upão zero, pois neste y t r,t para t. aso temos que ( ) O oneito de yield-to-maturity não pode ser utilizado para definir a ETTJ, por duas razões: a) Tal oneito envolve o riso de reinvestimento de as flows intermédios; e b) Trata-se de um oneito ambíguo, na medida em que duas obrigações om igual maturidade e om idêntio nível de riso podem patentear diferentes yields-to-maturity. t n Riso de reinvestimento: O problema de utilizar a yield-to-maturity de obrigações om upão reside no fato desta assumir que os as flows intermédios são reinvestidos a uma taxa idêntia à própria yield to maturity só é verdade quando a estrutura temporal é flat; as obrigações de upão zero ultrapassam este problema porque não são neessários efetuar reivestimentos. Exemplo Retomemos o exemplo anterior e alulemos a taxa de efetivamente rentabilidade gerada pela obrigação assumindo dois enários distintos de reinvestimento dos as flows intemédios: Hipótese A) Taxa de reinvestimento % Neste enário, o valor aumulado de todos os as flows pagos pela obrigação, na sua data de venimento, é igual a % %.398. [( ) ( ) ( )] %

13 Lieniatura de Finanças-ISCTE Apontamentos para a adeira de Investimentos Portanto, a taxa de rentabilidade gerada para este investimento a anos (e designada por TRR ) é dada por: TRR : 4.9% ( TRR ) % TRR.398% 4.9% % Tal omo esperado, obtém-se a própria yield-to-maturity. Hipótese ) Taxa de reinvestimento 3% (<3.8754%) Neste enário, o valor aumulado de todos os as flows pagos pela obrigação, na sua data de venimento, é igual a % %.337. [( ) ( ) ( )] % Portanto, a taxa de rentabilidade gerada para este investimento a anos (e designada por TRR ) é dada por: TRR : 4.9% ( TRR) %.337% TRR 4.9% % < % Conforme esperado, obtém-se uma rentabilidade inferior à yield-to-maturity visto a taxa de reinvestimento ser também mais baixa. A yield to maturity urve não está isenta de ambiguidade, visto que, o valor da yield depende do valor da taxa do upão da obrigação. Exemplo Consideremos as duas obrigações desritas no quadro seguinte e pertenentes a idêntia lasse de riso: Obrigação A Obrigação Maturidade anos anos Taxa de upão 7% 4% Periodiidade do upão anual anual Reembolso bullet bullet Admita que a atual estrutura temporal de taxas de uro spot, para a lasse de riso em análise, é dada por: Prazos.5 anos ano.5 anos anos Taxas 3% 3.5% 4% 4.5% Nota: Taxas de uro efetivas anuais. O preço de equilíbrio das obrigações, em perentagem do par, é dado por: 7% 7% A ( ) 5.% ( ) 3

14 Lieniatura de Finanças-ISCTE Apontamentos para a adeira de Investimentos ( ) 4%.35 4% (.45) 99.56% Assumindo que ambas as obrigações estão atualmente otadas a preços de equilíbrio, as respetivas yields-to-maturity são iguais a: y A : 7% y A 7% ( y ) A 5.% y A 4.35% y : 4% y 4% ( y ) 99.56% y 4.34% Portanto, não obstante as duas obrigações possuírem idêntia maturidade e pertenerem a igual lasse de riso, as diferenças de upão onduzem a diferentes yields 4.. Taxa de Rendimento Realizado (TRR) A TRR de uma obrigação orresponde à taxa de rendibilidade efetiva (anual) gerada (a posteriori) pelo investimento nessa mesma obrigação. Em termos formais, a taxa de rendimento realizada por uma obrigação ao fim de períodos ( TRR ) é dada pela solução da seguinte equação: ( ) t t t VT TRR CF CF [ TR( t, t )] VT designa o valor investido iniialmente na obrigação e ( t, ) onde reinvestimento do -ésimo as flow até ao período. Retomemos o exemplo da OT 4.85% 3/4/3 Exemplo TR representa a taxa de Estimemos a TRR gerada pela obrigação em 3/4/3, assumindo que onseguimos reinvestir os as flows futuros à taxa de 3.5%. TRR : 4.9% 4.85% TRR % ( TRR) 3 (.35) (.35) [.35] t 4.85% Neste aso, TRR<YTM pois assume-se uma taxa de reinvestimento inferior à YTM. 4

15 Lieniatura de Finanças-ISCTE Apontamentos para a adeira de Investimentos 5. Estimação da estrutura temporal de taxas de uro 5.. Motivação Regra geral, e exepto para as taxas de uro interbanárias (para maturidades até ano), as taxas de uro spot não são diretamente observáveis. Ao invés, o que se observa em merado são os preços de ativos finaneiros uo valor depende dessas mesmas taxas de uro (denominados por interest rate ontingent laims). Consequentemente, é neessário estimar/inferir as taxas de uro spot om base nos preços observados em merado. Por razões de liquidez, os ativos finaneiros mais utilizados para estimar as taxas spot são os preços das obrigações do Tesouro (a taxa fixa). Ou sea, regra geral, omeça-se por estimar a estrutura temporal de taxas de uro sem riso. Para obter a spot yield urve para outras lasses de riso, adiionam-se redit spreads Existem vários métodos para extrair taxas de uro spot a partir dos preços de obrigações. O quesito seguinte ilustra um desses métodos. 5.. Método de bootstrap O método bootstrap onsidera uma amostra de obrigações, de tal modo que exista, idealmente, para ada data de geração de as flows uma obrigação que atina a maturidade. Os fatores de desonto podem ser obtidos através de um proedimento iterativo:. alulamos δ () utilizando a obrigação om tempo para a maturidade de um período;. na equação de avaliação da obrigação om tempo para a maturidade no segundo período δ ; substituímos δ ( ) pelo valor obtido anteriormente e alulamos ( ) 3. na equação de avaliação da obrigação om tempo para a maturidade no tereiro período substituímos δ ( ) e δ ( ) pelos valores obtidos anteriormente e alulamos δ () 3 ; 4. e assim suessivamente para os tempos para a maturidade seguintes. Quando não é possível utilizar uma obrigação om maturidade exatamente igual ao próximo período de tempo, torna-se neessário proeder a uma interpolação linear de taxas de uro. Se existir mais do que uma obrigação a atingir no mesmo momento a maturidade pode-se onsiderar, por exemplo, a média dos fatores de desonto dessas obrigações. 5

16 Lieniatura de Finanças-ISCTE Apontamentos para a adeira de Investimentos Exemplo Considerem-se os dados que onstam do quadro seguinte relativos a uma amostra de biletes do Tesouro (T) e obrigações do Tesouro (OT). Todos os títulos têm valor nominal de % e pagamento do anualmente, om exepção dos T que não pagam upão. Título Tempo para maturidade (anos) Taxa do upão (%) Valor de otação T % T % T % OT-A.5 7% 4.8% OT-. 6% 3.3% OT-C 4. 5%.9% Na determinação das taxas spot onsidera-se omo onvenção um regime de apitalização anual e uma base de alendário Atual/Atual. Os preços dos T s permitem alular diretamente as taxas spot a.5 anos,.5 anos e ano, igualando o preço ao valor atualizado dos as flows (apenas o valor nominal na maturidade): % 99.6% r. 5 ( r(,.5) ) ( r(,.5) ) (,.5) 3% δ(.5). 996 % 98.44% r. 5 ( r(,) ) (,.5) 3.% δ(.5) % 96.39% r (,) 3.75% δ( ) Para os restantes tempos para a maturidade as taxas spot não são observáveis diretamente, pois apenas dispomos de obrigações om upão. Vamos omeçar pela obrigação om tempo para a maturidade mais urto e suessivamente por ordem resente de tempo para a maturidade, igualando o valor de transação ao valor atualizado dos as flows. Para a obrigação om tempo para a maturidade de.5 anos á oneemos o fator de desonto para o as flow a.5 anos e sabemos que o valor de transação (4.8%7%/) tem que igualar o valor atualizado dos as flows: 7% δ(.5) 7% (.5) 7.78% 7% % δ(.5) 7.78% δ Ou sea, são otados em perentagem do par. No merado obrigaionista europeu (om a exepção do inglês) a onvenção é de taxas om apitalização anual, enquanto que nos merados obrigaionistas norte-ameriano, inglês e aponês a onvenção é de taxas om apitalização semi-anual. 6

17 Lieniatura de Finanças-ISCTE Apontamentos para a adeira de Investimentos δ (.5).949 r(,.5 ) 4% Para a obrigação a anos o proedimento é idêntio, 6% % ( ) δ( ).9 r(,) 4.5% 3.3% δ.9 Finalmente, para a obrigação a 4 anos temos pagamento de as flows nos momentos orrespondentes aos tempo para maturidade,, 3 e 4 anos. Os fatores de desonto para e anos á foram determinados. As taxa spot a 3 e 4 anos têm que ser aluladas através de um proedimento numério, utilizando a seguinte equação: ( 3) 5% ( 4).9% 5% %.9 5% δ δ Temos, portanto, uma equação para duas inógnitas, ou sea, uma indeterminação. Para resolver tal indeterminação, podemos expressar a taxa spot a 3 anos omo sendo uma função da taxa spot na 4 anos, mediante a utilização de interpolação linear: r(,) r(,3) 3 r, r,4 Apliando uma regra de 3-simples, r ( ) ( ) 4 (,) r(,3) [ r(,) r(,4) ] r r 3 4 (,3) r(,) [ r(,4) r(,) ] 3 4 (,3) 4.5% [ r(,4) 4.5% ]. 5 Utilizando o proedimento de Newton-Rapson obtemos a seguinte solução: r(,4) 4.99% r (,3) 4.5% ( 4.99% 4.5% ).5 4.6% O quadro seguinte resume e ompara as taxas spot estimadas om as yield-to-maturity para as orrespondentes maturidades: Título Tempo para maturidade (anos) Yield to maturity Taxa spot OT-A % 4% OT-. 4.3% 4.5% OT-C % 4.99% Função solver do Exel. 7

18 Lieniatura de Finanças-ISCTE Apontamentos para a adeira de Investimentos 6. Rating e riso de rédito Tal omo enuniado na seção deste texto, o preço de equilíbrio de uma obrigação, ( ) orresponde ao somatório do valor atual dos seus as flows futuros:, sendo ( ) n CF t [ r(,t )] CF as flow a gerar pela obrigação no momento t (, K, n ); e r (,t ) taxa spot a t anos. Resta agora aresentar que tais taxas de uro spot, utilizadas omo taxas de atualização dos as flows futuros, têm de estar austadas para a lasse de riso de rédito da obrigação em análise. Isto é, quanto maior o riso de rédito da obrigação, mais elevada deverá ser a taxa de uro spot a utilizar. Em termos genérios, e onsiderando redit spreads aditivos, r (,t ) taxa spot sem riso a t anos redit spread. O redit spread pode ser assim entendido omo onstituindo o adiional de remuneração (ou sea, prémio de riso), fae a um investimento alternativo sem riso, a exigir em virtude do nível de riso de rédito da obrigação em análise. Como alular tal redit spread? Com base numa notação de rating. Uma notação de rating é uma lassifiação atribuída por uma empresa espeializada ( empresa de rating ) a um determinado empréstimo obrigaionista, a qual qualifia o nível de riso de rédito assoiado a uma determinada emissão. Quanto maior (menor) é o nível de riso de rédito, pior (melor) é o rating obtido. O quadro seguinte resume o sistema de lassifiação utilizado por duas das mais oneidas empresas de rating a operar à esala mundial: a Moody s e a Standard & Poors (S&P). Moody s S&P Nível de riso de rédito Aaa AAA muito reduzido Aa AA Aa AA Aa3 AA- A A A A A3 A- aa intermédio aa C C muito elevado Em rigor, a lassifiação é dada não à empresa emitente mas sim à emissão em apreço. Obviamente, a situação eonómiofinaneira da soiedade emitente é preponderante para estimar a probabilidade de inumprimento por parte da empresa emitente. 8

19 Lieniatura de Finanças-ISCTE Apontamentos para a adeira de Investimentos Com base nas notação de rating, é possível onstruir matrizes de riso de rédito. Uma matriz de riso de rédito permite determinar qual o redit spread a utilizar na avaliação de uma dada obrigação, em função da sua notação de rating (e atendendo também à sua maturidade). Um exemplo de uma matriz de riso de rédito, baseada na notação da S&P, é dado pela seguinte tabela: anos 3 anos 4 anos 5 anos anos AAA 5 AA AA AA Nota: Diferenial fae a taxas sem riso em basis points. Deste modo, para avaliar uma obrigação om venimento a 5 anos e om uma notação de rating (S&P) igual a AA, as taxas de atualização deverão ser dadas pelas taxas spot sem riso estimadas (via preços de obrigações do Tesouro) aresidas de.8%. 9

20 Lieniatura de Finanças-ISCTE Apontamentos para a adeira de Investimentos 7. Floating rate bonds De seguida proede-se à análise de obrigações a taxa variável puras, ou sea, obrigações em que o upão é dado por um determinado indexante (austado ao nível de riso do emitente). Caso sea definido um spread (aditivo ou subtrativo) sobre o indexante de referênia, é sempre possível deompor o valor da obrigação em duas partes: a) o valor da obrigação a taxa variável pura ; mais ou menos b) o valor atual dos spreads. 7.. Avaliação no iniio do período do upão Tratando-se de obrigações de taxa variável (sem riso), o seu valor atual ontinua a ser dado pela soma atualizada do valor nominal e dos upões vinendos, mas o valor dos upões é agora variável. Representando por L( t, t ) o valor da taxa variável para o período [, t ] i i t i i (valor oneido no momento ti ), então o valor no momento t (data de avaliação) de uma obrigação (sem riso), om um valor nominal unitário, om venimento no momento t n, e om upões pagos nos momentos ti t i δ (i,,n ), em que δ é o período do upão expresso em anos, é dado por: [ ] onde E ( Y) { } n n t i t i i ( t ) P( t,t ) PV E [ δ L( t, )] PV t representa o valor atual do valor esperado, no momento t, da variável aleatória Y. O problema onsiste em alular o valor esperado dos valores futuros a registar pelo indexante. No entanto, o edging do pagamento de L( t, t ) δ i i no momento i t - om base: a) Na venda de uma PD (i.e., pure disount bond) om venimento em t i ; e b) Na ompra de uma PD om venimento em ti. No momento i será utilizado para omprar ( ), t, pode ser feito no momento t, o valor nominal então reebido P ti, ti unidades da PD om venimento em t i. De fato, Posição time t time t i time t i P t, - (a) ( t i ) (b) - ( t, ) P t i P t, t P t Σ P ( t, t i ) - ( t, ) P t i P( t ) i, ti - ( i i ) ( i, t i ) δ L( t, t ) Voltando ao iníio, o valor da floating rate bond no momento t é igual a: Desenvolvendo o somatório (surpresa ): n ( t ) P( t,tn ) [ P( t, ti ) P( t, ti )] i i i

21 Lieniatura de Finanças-ISCTE Apontamentos para a adeira de Investimentos ( t ) I.e. o valor de uma floating rate bond no iniio de um período de upão é sempre igual ao valor nominal (ainda não reembolsado)! 7.. Avaliação entre oupon payment dates Considere agora que pretende avaliar a anterior floating rate note no momento t* ] t, t[ ( {,..., n} ), i.e. antes do pagamento do -ésimo upão. No momento Mais, o upão vinendo no momento Consequentemente, t (imediatamente após a liquidação do -ésimo upão), á sabemos que: ( t ) t é á oneido no momento t* e é igual a: δ L( t, t ). ( t *) P( t*,t ) [ δ L( t,t ) ]. Em síntese, entre oupon payment dates o valor da floating rate note é dado pelo valor atual do próximo upão e do valor nominal (ainda não reembolsado). Exemplo Considere uma obrigação de dívida privada om venimento no dia //, om uma notação de rating (S&P) e om uma taxa de upão igual à Euribor a 3 meses mais 9 basis points (upão trimestral na base de alendário 3/36). A taxa do próximo upão é igual a 5.% e o redit spread de equilíbrio da lasse de riso (S&P) é igual a.% (fae a taxas interbanárias). Atualmente, o número de dias de uros venidos é igual a 6 dias (3/36) e a obrigação está otada a 99.9%(bid)/99.95%(offer) para a trade date de 9/7/ (ª feira). Formulemos uma deisão de trading, sabendo que vigoram atualmente as seguintes taxas Euribor (onvertidas para a base de alendário 3/36): 4.5% a mês, 4.75% a 4 meses e 5% a 7 meses. Com efeito: Settlement date 9/7/ 3 dias de alendário /7/. Taxa do próximo upão 5.% Euribor a 3 meses no dia /5/ 5.%-.9% 4.%. Pretende-se avaliar uma FRN om os seguintes as flows futuros:? (4.%.9%)x9/36 [E 3M (/8/).9%]/4 % [E 3M (//).9%]/ Last oupon date Settl. Date Next oupon date Data de venimento mês 4 meses 7 meses 6 dias

22 Lieniatura de Finanças-ISCTE Apontamentos para a adeira de Investimentos Tal é equivalente a onsiderar a seguinte deomposição de as flows futuros: % %? (4.%.%)x9/36 [E 3M (/8/).%]/4 [E 3M (//).%]/ Settl. Date Next oupon date Data de venimento mês 4 meses 7 meses (.9%-.%)x9/36 (.9%-.%)/4 (.9%-.%)/4 Portanto, 4.%.% % 4 ( 4.5%.% ).9%.% 5.6% 4.85%.5%.7%. 4 ( 4.75%.% ) ( 5%.% ) 7 6 AI 5.%.85%. 36 Deisão: bid VT 99.9%.85%.75% > Vender; as VT 99.95%.54%.8% > Não omprar.

23 Lieniatura de Finanças-ISCTE Apontamentos para a adeira de Investimentos 8. Medidas de riso de taxa de uro 8.. Duration 8... Definição A duração de uma obrigação traduz o tempo médio em que o seu valor é gerado. Prinipais oneitos de duration:.duração de Maaulay (DM) yield urve orizontal.duração de Fiser-Weil (DFW) yield urve orizontal ou não Duração de Maaulay: DM n t ( r) CF t sendo: n nº de períodos de tempo em falta para o venimento da obrigação; CF as flow a gerar pela obrigação no período ; r taxa de uro spot para a lasse de riso da obrigação ; e n CF valor atual da obrigação. t r ( ) Duração de Fiser-Weil: DFW n t ( r ) sendo, r taxa de uro spot, a períodos, para a lasse de riso da obrigação; e n CF valor atual da obrigação. t r ( ) CF t Portanto, a DM é um aso partiular da DFW: DFW DM quando r r,. Caso r sea substituído pela yield-to-maturity da obrigação, obtém-se a denominada duração de Redington. 3

24 Lieniatura de Finanças-ISCTE Apontamentos para a adeira de Investimentos Exemplo OT(A) OT() Valor nominal,$,$ Taxa upão % % Periodiidade upão anual semestral Reembolso a anos a anos.5 anos ano.5 anos anos Taxa spot %.5%.5% % ( A),$,$.5 (.),7$.,$,$.5 ( ) (.) DFW A.89 anos.,7$ I.e. a obrigação A demora, em média.89 anos a gerar o seu valor. ( ) 5$ 5$ 5$,5$ ( ).5.5 (.) (.5) (.5) (.) 5$.5 DFW.859 anos 5$.5 9,79$ (.) (.5) (.5) (.) 9,79$3 5$,5$ Apesar de as obrigações possuírem a mesma maturidade, a obrigação apresenta uma maior liquidez, i.e., gera, em média, mais rapidamente o seu valor. Alguns asos partiulares: i) Para uma PD om venimento a n períodos, DM DFW n. Demonstração: CFn n n ( rn ) DFW n CF n ( r ) n n ii) Obrigações perpétuas (maturidade ) Assumindo uma yield urve orizontal, para uma onsol bond om um upão (anual) igual a C unidades monetárias: C e DM r r 4

25 Lieniatura de Finanças-ISCTE Apontamentos para a adeira de Investimentos 8... Caraterístias da duration D D A duration aumenta om a maturidade, mas a uma taxa deresente. I.e. >, mas <. n n DM Quanto mais elevado o nível de taxas de uro, menor a duration. I.e. <, pois os fatores de r desonto deresem mais para os prazos longos do que para os prazos urtos. Quanto maior a taxa de upão, menor a duration de uma obrigação a taxa fixa Duração de uma arteira de obrigações ( D) sendo, p nº de obrigações que integram a arteira; D DM ou DFW da -ésima obrigação; valor atual da -ésima obrigação; e p valor atual da arteira D p D Exemplo CARTEIRA OT(A) OT() Nº de obrigações, 3, Preço,7$ 9,79$3 Duração Valor atual,44.4 ontos 9,576.9 ontos Valor atual da arteira,44.49, ,7.3 ontos D,44.4 9, anos 49,7.3 49,7.3 Ou sea, 3,. 5,. 3,. 5 3,. 5,. 3, x ( ) ( 5. ) (. ) 49, 73. 5

26 Lieniatura de Finanças-ISCTE Apontamentos para a adeira de Investimentos Utilidade da duration Avaliação do grau de liquidez de uma obrigação: Quanto menor a duration maior o grau de liquidez Avaliar a sensibilidade da obrigação (arteira) fae à variação das taxas de uro: Quanto maior a duration maior o riso de taxa de uro Imunizar arteiras de ativos e/ou responsabilidades Duration e sensibilidade fae a variações das taxas de uro Desenvolvendo em série de Taylor a variação do valor de uma obrigação deorrente de um oque sobre a urva (flat) de taxas de uro, r r! r 3! 3 3 r 3 ( r) ( r) % r ( r) ( r)... (*) 3 r! r 3! r Considerando somente o primeiro termo da série de Taylor, e omo r CF r r r DM ( r), então r r % DM (**) r Portanto, quanto maior (menor) for a duração, maior (menor) é a variação do valor da obrigação ou arteira fae a uma dada variação, de sinal ontrário, das taxas de uro. A expressão (**) é muitas vezes apresentada da seguinte forma: % MD r DM, onde MD é designada por modified duration. r Mais ainda, a expressão (**) pode também ser reesrita omo % r DM. r r r Mede a variação perentual induzida sobre o valor da obrigação por uma variação de % na taxa de uro. 6

27 Lieniatura de Finanças-ISCTE Apontamentos para a adeira de Investimentos I.e. a duration é proporional à elastiidade preço-taxa de uro. A duration é portanto uma medida de sensibilidade do preço fae a variações das taxas de uro. A expressão (**) é apenas uma aproximação, pois despreza todos os termos da série de Taylor de ordem superior à primeira (i.e. onsidera somente a inlinação da função (,r)). Consequentemente, é apenas válida para pequenas variações de taxa de uro. Mais ainda, a expressão (**) subavalia subidas de preço (resultantes de desidas de taxa) e sobreavalia desidas de preço (resultantes de subidas de taxa). Tal deorre da existênia de onvexidade 8.. Convexidade (C) Desenvolvendo o segundo termo da série (*), CF! r r CF i r r em que, ( r) ( ) ( r) ( ) ( ) ( ) C t r C (***) r ( t ) ( r ) t O oneimento do valor da onvexidade de uma obrigação é importante na medida em que, quanto maior for C : maior é o aumento do seu valor em resultado de uma desida das taxas de uro; e menor é a desida do seu valor em resultado de uma subida das taxas de uro. Tal aontee pois C>. Caso a yield urve não sea flat, a fórmula anterior é failmente generalizável: CF C t ( t ) ( r ) CF t A onvexidade está relaionada om a segunda derivada da relação entre o valor da obrigação e as taxas de uro. 7

28 Lieniatura de Finanças-ISCTE Apontamentos para a adeira de Investimentos Exemplo ( ) C A,$,$ 3.5 (.),7$ ( ) C 9,79$3,5$ 3 (.) $.5.5 5$ 5$ (.) (.5) (.5).5 Para uma arteira de obrigações, a onvexidade orresponde a uma média ponderada pelo peso relativo de ada título na arteira: sendo, p nº de obrigações que integram a arteira; C onvexidade da -ésima obrigação; valor atual da -ésima obrigação; e p valor atual da arteira C p C Exemplo,44.4 9,577.9 C ,7.3 49,7.3 ou sea, 49,7.3 3,.5,. 3,x (.5) (.) 3,.5,. 3, (.).5 8

29 Lieniatura de Finanças-ISCTE Apontamentos para a adeira de Investimentos Se na série de Taylor (*) desprezarmos os termos de ordem superior à segunda, obtemos uma fórmula simples de aproximar a variação do valor de uma obrigação (ou arteira de obrigações) induzida por uma alteração das taxas de uro: r r % DM C r r Generalizando para yield urves não flat, % DFW λ C λ r sendo, λ. r No entanto, a fórmula anterior somente é utilizável desde que o parâmetro λ sea onstante para toda a estrutura temporal de taxas de uro. I.e. a yield urve pode não ser flat, mas tem de se desloar paralelamente! Ora, tal signifia admitir que a estrutura temporal de taxas de uro se altera om base em oques multipliativos de magnitude onstante e igual a λ : r ' λ r ( r ) λ r r ( r ) λ r om, r taxa de uro spot a períodos, após a alteração da estrutura temporal de taxas de uro. ' ' r r ' ( r ) λ r r ( r ) λ ' ( r ) ( r ) ( λ) Exemplo Estimemos o impato de um oque multipliativo de.% sobre o valor da arteira de obrigações: % (.).869% Novo valor da arteira 49,7.3 49,7.3 x (-.869%) 49,8. ontos. De fato, as taxas de uro spot após o oque passam a ser dadas por: n r Para n grande, torna-se desprezível. r Pelo fato de desprezarmos termos da série, o resultado obtido nuna será exato. 9

30 Lieniatura de Finanças-ISCTE Apontamentos para a adeira de Investimentos ' ' '. r : ( r ).. r.% ; ' ' '. r : ( r ).5. r.365% ; ' ' '. r : ( r ).5. r.65% ; e.5.5 ' ' '. r : ( r ).. r.%. Assim, o preço de equilíbrio das obrigações passa a ser dado por: ( A),$,$.365 ' ( ) 5$ (.) 5$ 9,988$3. 5$,5$ '.5.5 (.) (.365) (.65) (.) 9,7$9. E portanto, o novo valor da arteira vem pratiamente igual ao estimado: Novo valor da arteira, x 9,988$3 3, x 9,7$9 49,8. ontos. 3

31 Lieniatura de Finanças-ISCTE Apontamentos para a adeira de Investimentos 9. Imunização do riso de taxa de uro 9.. Imunização (lássia) uniperíodo 9... Definição Visa assegurar, no momento presente (momento ), que no final de um determinado orizonte temporal de investimento ( períodos) e independentemente da evolução que se vena a verifiar ao nível das taxas de uro, o valor futuro da arteira de obrigações é pelo menos igual ao valor que se obteria aso as taxas de uro não variassem, ou sea, a TRR da arteira é pelo menos igual à rendibilidade que se obteria num enário de estabilidade das taxas de uro. Sea, S valor futuro da arteira daqui a períodos engloba omponentes: i) os as flows venidos desde o momento e reinvestidos até ao momento ; e ii) o preço das obrigações omponentes no momento ( ). Admitindo que a estrutura temporal de taxas de uro não sofre alterações até ao momento, então: [ CF ( i ) CF ( i )... CF ] S CF S [ CF ( i ) CF ( i )... CF ] > ( ) i CF CF [ CF ( i ) CF ( i )... CF ] ( i ) ( i ) S ( i ) ( i ) ( i ) e ( i ) ( i ) ( i )... CF CF CF CF CF ( i ) i ( i ) ( i ) ( i ) ( i ) S Conluindo, num enário de estabilidade das taxas de uro, ( i ) S Isto é, que as futuras taxas spot irão orresponder às atuais taxas forward. 3

32 Lieniatura de Finanças-ISCTE Apontamentos para a adeira de Investimentos Ora, a imunização lássia de uma arteira de obrigações onsiste preisamente em assegurar que o valor futuro da arteira sea mínimo para o enário de estabilidade das taxas de uro, o que aontee desde que: S Min S ( ) i i... S i DFW I.e., uma arteira de obrigações enontra-se imunizada fae a uma variação INSTANTÂNEA das taxas de uro desde que a sua duração sea igual ao orizonte temporal de investimento Ou sea, ( i ) DFW S Dito de outro modo, DFW om, TRR : TRR S o ( ) TRR i 9... Justifiação teória O impato de uma variação das taxas de uro sobre o valor futuro de uma arteira de obrigações engloba dois efeitos de sentido oposto: a) Efeito de Reinvestimento (ER) ( i ER positivo) impato sobre o valor aumulado dos as flows venidos e reinvestidos b) Efeito Preço (EP) ( i EP negativo) impato sobre o preço de merado da arteira no final do orizonte temporal de investimento Ora, quando DFW os dois efeitos possuem igual magnitude, e sendo de sinais ontrários, anulam-se mutuamente. Vide gráfio seguinte. 3

33 Lieniatura de Finanças-ISCTE Apontamentos para a adeira de Investimentos S S (i ) S (i) S (i - ) (i - ) (i) (i ) DFW < DFW ER < EP > DFW ER > EP DFW ER EP Limitações da imunização ) Neessidade de reaustamento ontínuo da arteira de obrigações (de modo a garantir a manutenção da ondição de imunização: DFW ) pois: a própria DFW altera-se om a variação das taxas de uro; e mesmo que as taxas de uro não variem, om a passagem do tempo a lentamente do que o. DFW derese mais ) A existênia de ustos de transação faz baixar o valor da arteira sempre que se proede ao seu reaustamento 3) Existênia de riso de proesso estoástio, pois omo a DFW pressupõe que a estrutura temporal de taxas de uro evolui de aordo om oques multipliativos, a arteira de obrigações não está imunizada ontra quaisquer outros tipos de oques Assim, na prátia o proesso de reaustamento imunizante terá de ser periódio e não ontínuo. Por esta razão, têm sido desenvolvidos vários modelos de imunização baseados em durações estoástias. Todavia, a sua efiáia imunizante não é substanialmente diferente da patenteada pelos modelos de duração determinístia 33

34 Lieniatura de Finanças-ISCTE Apontamentos para a adeira de Investimentos Exemplo O Fundo de Pensões GN pretende garantir o umprimento de uma responsabilidade no valor de milões de ontos, daqui a.5 anos, através da transação das obrigações A, Y e Z. Atualmente, são as seguintes as ondições de merado:.5 anos ano.5 anos anos Taxa spot %.5%.5% % OT(A) OT(Z) OCZ(Y) Valor nominal,$,$,$ Taxa upão % % % Periodiidade upão anual semestral Reembolso a anos a.5 anos a ano Preço de equilíbrio,7$ 9,84$ 8,988$76 Duração.89 anos.49 anos ano Valor de otação,7$ 9,845$ 8,988$ Em primeiro lugar, temos de determinar o valor da arteira de obrigações a onstituir de modo a imunizar a responsabilidade futura. Se as taxas de uro não variassem durante os próximos.5 anos, bastaria investir um valor :.5,, ( i.5 ),,. 5 (.5) 8,493,5 ontos. Mas, mesmo que as taxas de uro variem, desde que o montante anterior sea investido numa arteira de obrigações om uma duration igual a.5 anos, garante-se uma TRR superior a.5% e portanto garante-se um valor aumulado superior ao montante da responsabilidade a obrir. Em segundo lugar, é neessário definir o número de obrigações a omprar de modo a que a duração da arteira sea igual a.5 anos. Para que, em média, a duração da arteira sea igual a.5 anos, á que ombinar as obrigações: A e Z, A e Y, ou A Z e Y. Não obstante existirem várias possibilidades, devemos tentar integrar na nossa arteira obrigação o mais atrativas possível (i.e., om a maior diferença positiva possível entre o seu preço de equilíbrio e o seu valor de transação). Neste aso, á que exluir a obrigação Z e portanto estabeleer uma ombinação entre os títulos A e Y :.89 x x.5 A Y DFW.5 x A x Y om, A x A peso relativo das obrigações A na arteira; e x x A Z 56.4% 43.96% Outro ritério (função obetivo) onsiste em maximizar a onvexidade da arteira imunizante. 34

35 Lieniatura de Finanças-ISCTE Apontamentos para a adeira de Investimentos Y x Y peso relativo das obrigações Y na arteira. Título Peso relativo Valor Número Investimento A 56.4% 4,759,87 475,648 4,759,8 Y 43.96% 3,733,73 45,4 3,733,74 Σ 8,493,5 Σ 8,493,54 Imagine agora que, passado um ano, as ondições de merado orrespondiam a: K.5 anos ano Taxa spot.4%.868% OT(A) OT(Z) Preço de equilíbrio 9,93$ 9,96$54 Duração ano.5 anos Valor de otação 9,93$ 9,96$ Assim sendo, o valor da nossa atual arteira de obrigações asende a: Cas flows A. ontos x 475,648 57,778 ontos reebidos Y ontos x 45,4 4,54, ontos Valor de venda A 9.93 ontos x 475,648 4,79,855 ontos Σ 9,444,743 ontos No entanto, torna-se neessário reaustar a omposição da arteira, na medida em que o orizonte temporal de investimento passou a ser igual a.5 anos. Ora, para que a duração da arteira vena igual a.5 anos, basta investir todo o seu valor nas obrigações Z : 9,444,743 Número de OT(Z) a omprar 95, , Deste modo, o valor da arteira daqui a.5 anos (final do orizonte temporal de investimento) será igual a: 95,475 x.5 ontos,,988 ontos. I.e, apesar de as taxas de uro terem subido, é possível obrir a responsabilidade no valor de milões de ontos. Dito de outro modo, a arteira gerou uma TRR superior à taxa spot iniial a.5 anos:.5 TRR : 8,493,54 TRR,,988.5 TRR ( ) % >.5% Em termos exatos, 475,647.7 obrigações. Caso os títulos fossem divisíveis, 45,4.9 obrigações. 35

36 Lieniatura de Finanças-ISCTE Apontamentos para a adeira de Investimentos 9.. Imunização multi-período 9... Definição Visa assegurar, no momento presente, independentemente da evolução futura das taxas de uro e através da gestão de uma únia arteira de obrigações, que o valor futuro da arteira será sempre maior ou igual do que o valor de toda e qualquer responsabilidade futura. Fala-se em imunização multiperíodo pois pretende-se que a gestão de uma só arteira de obrigações permita obrir mais do que uma responsabilidade futura Proesso de imunização Para garantir a obertura das responsabilidades futuras basta assegurar que: a) partindo-se de uma situação de mating perfeito, i.e, Valor atual dos ativos (VA) Valor atual das responsabilidades (VL), b) a diferença VA-VL sea mínima no enário de estabilidade das taxas de uro. Ou sea, é neessário garantir que: sendo, VA VL Λ Min( VA VL) i A VA t ( i ) om, A as flow gerado pela arteira de ativos no período e L VL t ( i ) om, L valor da responsabilidade a obrir no período Ora, tal é equivalente a exigir que: Para que a diferença sea positiva na ipótese de as taxas de uro variarem. Esta ondição garante a obertura das responsabilidades se as taxas de uro não variarem. Aresentando esta ondição, garante-se a obertura das responsabilidades mesmo que as taxas de uro variem. 36