Luiz Albino Teixeira Júnior. Combinação Linear de Previsões com Ajuste MINIMAX. Monografia de Pós-graduação Lato sensu

Luiz Albino Teixeira Júnior Combinação Linear de Previsões com Ajuse MINIMAX Monografia de Pós-graduação Lao sensu Insiuo de Ciências Exaas Programa de Pós-graduação lao sensu em Méodos Esaísicos Compuacionais Juiz de Fora Agoso de 2011

Luiz Albino Teixeira Júnior Combinação Linear de Previsões com Ajuse MINIMAX Monografia de Pós-graduação Lao sensu Monografia apresenada como requisio parcial para obenção do grau de pós-graduado lao sensu pelo Programa de Pós-graduação Lao Sensu em Méodos Esaísicos Compuacionais da Universidade Federal de Juiz de Fora. Orienador: Prof. Reinaldo Casro Souza Juiz de Fora Agoso de 2011 2

Agradecimenos Agradeço a Deus primeiramene, pois é o maior responsável por chegar aé aqui; à minha mãe; à minha ia Irani, à minha esposa; bem como oda a minha família. Quero expressar ambém minha graidão àqueles que colaboraram direamene no meu curso: meu professor orienador e amigo Reinaldo Casro e a odos os professores do Deparameno de Esaísica da UFJF. 3

Resumo Teixeira Júnior, Luiz Albino; Souza, Reinaldo Casro (Orienador). Combinação Linear de Previsões com Ajuse MINIMAX. Juiz de Fora, 2011. 42p. Monografia de Pós-graduação Lao Sensu - Insiuo de Ciências Exaas, Universidade Federal de Juiz de Fora. Esa monografia propõe a combinação linear das previsões obidas por rês méodos prediivos de séries emporais (ARIMA, Amorecimeno Exponencial e Redes Neurais Arificiais) com pesos adapaivos deerminados por meio de um problema de programação muliobjeivo em que se busca minimizar, simulaneamene, as esaísicas: MAE, MAPE e MSE. Os resulados obidos são comparados com os méodos individuais. Palavras-Chave Previsão, Combinação de Previsões, Programação Muliobjeivo. 4

Absrac Teixeira Júnior, Luiz Albino; Souza, Reinaldo Casro (Orienador). Combinação Linear de Previsões com Ajuse MINIMAX. Juiz de Fora, 2011. 42p. Monograph of Posgraduae Lao Sensu - Insiuo de Ciências Exaas, Universidade Federal de Juiz de Fora. This monograph proposes a linear combinaion of hree mehods of predicing ime series (ARIMA, Exponenial Smoohing and Arificial Neural Neworks) wih adapive weighs deermined via a muli objecive programming problem in which one seek o minimize, simulaneously, he saisics: MAE, MAPE and MSE. The resuls are compared wih individual mehods. Keywords Forecasing, Forecasing Combinaion, Muli Objecive Programming. 5

Sumário 1. Inrodução 1.1 Conexualização e Definição da Pesquisa 7 8 2. Modelos Individuais 2.1. Conceios de Processos Esocásicos, Séries Temporais e Previsão 8 2.2. Méodos de Amorecimeno Exponencial 10 2.2.1. Méodo Muliplicaivo de Amorecimeno de Hol-Winers 10 2.3. Modelos de BOX & JENKINS 11 2.3.5. Modelo SARIMA 12 2.4. Méodo de Redes Neurais Arificiais 13 3. Combinação de Méodos 15 3.1. Combinação Linear de Previsões 16 3.2. Inervalo de Confiança do Méodo de Combinação Linear de 18 Previsões 4. Programação Maemáica 21 4.1 Programação MINIMAX 23 4.2 Programação por Meas 23 4.3 Programação Muliobjeivo 24 4.4 Programação de Meas via Desvio Mínimo 26 5 Aplicação à Série de Consumo Residencial de Energia Elérica 26 5.1 Aplicação do Modelo ARIMA 27 5.1.2 Modelagem 27 5.2 Aplicação do Modelo Hol-Winers 28 5.2.1 Modelagem 29 5.2.2 Previsões 29 5.3 Aplicação do Méodo de Redes Neurais Arificiais 29 5.4 Oimização do Méodo de Combinação Mulicriério 30 5.5 Comparação dos Méodos 33 5.5.1 Comparação dos Inervalos de Confiança dos Modelos 37 Combinados 6 Conclusões 40 6

1 Inrodução Em países em desenvolvimeno, como é o caso do Brasil, o crescimeno do consumo de energia elérica pode ser considerado uma variável relevane para a economia de um modo geral. Assim, a crescene demanda de energia requer uma correa projeção de seus níveis de consumo, sendo necessário, com isso, o esudo das condições os deerminam. A série emporal do consumo agregado de energia elérica é geralmene segmenada em classes de consumo: comercial, indusrial, residencial - sendo a úlima, a série emporal uilizada nessa pesquisa. Para a projeção dos níveis de consumo, são uilizadas séries hisóricas e informações (objeivas e subjeivas) sobre os micro e macro ambienes, bem como as de ouras variáveis que podem impacar o consumo. Assim, em-se que a projeção do consumo residencial é relevane ao seor elérico, desde o planejameno e conrole, aé a execução das demais ações, ais como: nível de invesimeno em infra-esruura, adequação dos graus de necessidades de capial, gesão dos níveis do reservaório, esoques, capacidade. Por isso, a necessidade de méodos prediivos cada vez mais eficienes, minimizando a incereza. Quano aos méodos esaísicos prediivos, exisem rês classes básicas: univariados (Amorecimeno Exponencial e Box & Jenkins); causais (Função de Transferência e Regressão Dinâmica) e os mulivariados (Veores Auo-Regressivos). Oura opção é a uilização dos méodos ineligenes, como, por exemplo, Redes Neurais Arificiais (RNA), Lógica Fuzzy e Algorimo Genéico. Exisem inúmeras abordagens para projeção das séries de empo, desde a uilização de modelos individuais aé a combinação deses. A combinação linear de previsões, proposa por GRANGER e BATES (1969), é uma meodologia alernaiva à modelagem de séries emporais. Aualmene, no seor elérico, geralmene não é uilizada. Os méodos de combinação linear possuem pesos (lineares) adapaivos associados às previsões dos méodos individuais que são esimados, em sua grande maioria, oimizando apenas uma função objeivo. O méodo proposo uiliza múliplas funções objeivo, buscando maior precisão da previsão combinada fora da amosra. 7

Em suma, o méodo proposo consise em calcular o valor esperado das previsões univariadas uilizando pesos adapaivos esimados via Programação Maemáica não Linear Mulicriério MINIMAX, com programação por Meas, endo como funções objeivo (individuais): MAPE (mean absolue percenual error), MSE (mean square error) e MAE (mean absolue error). As esimaivas de pesos adapaivos são uilizadas para a combinação dos cenários fuuros dos méodos individuais, de modo a ober os inervalos de confiança do modelo proposo. 1.2 Objeivo O objeivo da pesquisa é propor uma abordagem alernaiva quano à combinação linear de méodos prediivos, uilizando o arcabouço conceiual dos modelos de séries de empo inegrados a conceios de Programação Maemáica, com o uso do sofware AIMMS. A uilização de méodos numéricos na oimização de vários objeivos facilia a esimação dos pesos, não necessiando da abordagem algébrica para obenção de esimadores dos pesos. Além disso, buscam-se aprimorar os méodos vigenes na lieraura de séries emporais conribuindo de forma a ornar mais eficienes suas projeções. Pequenos ganhos de em ermos de precisão podem conribuir de maneira significaiva em inúmeras aplicações, como nas do seor elérico. Em paricular, num horizone de curo prazo, a proposição de um algorimo alernaivo que gere projeções mais acuradas para a série de consumo residencial mensal de energia elérica, alernaivo aos méodos individuais. 2. Méodos Individuais 2.1 Conceio de Processos Esocásicos, Séries Temporais e Previsão A definição de série de empo esá direamene relacionado ao de processo esocásico (PE), onde ese pode ser inerpreado como um mecanismo probabilísico 8

gerador de dados cujo comporameno é descrio por uma equação esocásica. Em ouras palavras, uma série emporal é formalmene definida como uma realização de um processo esocásico. Seu comporameno fuuro, porano, é esudado somene em ermos probabilísicos. aleaória, Em ermos formais, um processo esocásico é definido como uma função y, indexada ao empo e / ou a evenos, onde seu valor y é uma variável aleaória. Assim, a coleção { y, T} é denoada de espaço de esados;, de parâmero; T, de espaço paramérico ou conjuno de índices e os valores de y, de esados do processo esocásico no insane. Assim o sendo, um processo esocásico pode ser classificado quano ao espaço paramérico e ao de esados. Em relação ao espaço paramérico, um processo esocásico é classificado como conínuo, se o conjuno T assume valores não conáveis (conínuos). Por ouro lado, se os mesmos assumem valores conáveis (discreos), em-se um PE discreo (MORETIN, 2006). O espaço de esados, por sua vez, pode ser conínuo ou discreo, caso as variáveis aleaórias sejam, respecivamene, conínuas ou discreas. A esruura probabilísica de um processo esocásico pode ser definida aravés da especificação da disribuição de probabilidade conjuna. No enano, sua especificação é complexa. Na práica, um PE é caracerizado por um modelo, a parir do qual se orna possível ober a evolução de seus momenos principais (média, variância, covariância), possibiliando a realização de projeções no empo. Segundo SOUZA & CAMARGO (1996), as séries de empo podem classificadas como discreas, conínuas, deerminísicas, esocásicas, mulivariadas e / ou mulidimensionais. Um processo esocásico pode ser inerpreado como uma família de rajeórias (ou realizações) de uma sequência de variáveis aleaórias. O conjuno com odas as rajeórias é denominado Ensemble. Em sua modelagem práica, observa-se uma única série emporal e, por seguine, esima-se um possível processo esocásico (geralmene um modelo) que a gerou, caracerizando-a. Tendo em visa a consrução dos modelos, previsões probabilísicas podem ser realizadas, com base em informações passadas e auais. A noação de previsão normalmene é dada por yˆ ( h ), sendo definida como a esperança condicional da variável aleaória T y h T, para h passos à frene. 9

Dessa maneira, em-se que E[ y / ˆ T h y0,..., yt ] yt ( h), onde ( y0,..., yt ) é a amosra observada, e h *. Por ouro lado, quando se uilizam sisemas ineligenes, represena-se apenas um valor como previsão, não abordando, geralmene, conexos probabilísicos. Uma previsão quaniaiva, porano, pode ser caracerizada aravés de um número ponual projeado k passos à frene por um modelo (ou um méodo, como no caso das RNA), associado uma medida de incereza (por exemplo, o MSE). 2.2 Méodos de Amorecimeno Exponencial As heurísicas de Amorecimeno Exponencial foram inicialmene desenvolvidas por Rober G. Brown, no período em que rabalhava para a marinha nore-americana, durane a II guerra Mundial. Porém ganhou desaque realmene em 1970. Os méodos de amorecimeno exponencial são classificados como sendo auomáicos e de validade local. Baseiam-se na premissa de que as observações mais recenes são mais informaivas que as mais anigas; com efeio, seu peso decresce exponencialmene, à medida que a observação orna-se mais aniga. 2.2.1 Méodo Muliplicaivo de Amorecimeno de Hol-Winers O méodo muliplicaivo de amorecimeno exponencial apresena endência adiiva em sua formulação. Capura informações das componenes simples e sazonais de alguma série de ineresse, conforme em (2.1). y ( a a ). (2.1) 1 2 x A resrição L represena o amanho do ciclo sazonal. De acordo com MORETIM (2006), os faores sazonais êm de obedecer ao somaório, descrio em (2.2). L j () L (2.2) j1 De acordo com MORETIM (2006), o procedimeno de aualização é dado pelas equações em (2.3). 10

yt Nível: aˆ 1 ( T) ( ) (1 ) [ a1 ( T 1) a2 ( T 1)] ; (2.3) ˆ ( T 1) mt ( ) Tendência: aˆ 2( T) ( a1 ( T) a1 ( T 1)) (1 ) [ a2 ( T 1)] ; e Sazonalidade: y ˆ ( T) [ ] (1 ) ˆ ( T 1). T m( T ) m( T ) aˆ 1( T) Sendo, e consanes de amorecimeno esimadas (denominadas hiperparâmeros) que visam à minimização da função objeivo MSE. A componene sazonal local ˆ mt ( )( T) é esimada pela razão do valor observado e o nível local a ( T ). 1 Assim sendo, a equação de previsão é dada pelo valor esperado condicional, iso yˆ ( h) [ aˆ ( T) a ( T) ( T h)] ˆ ( T). Em MONTGOMERY (1990) é: T 1 2 x m( T h) apud in JUNIOR (2009), em-se o procedimeno de esimação dos valores iniciais a ˆ 1(0), a ˆ 2(0) e i (0) - para i=1,..., L - os quais são obidos por meio da amosra. 2.3 Modelos de BOX & JENKINS A modelagem esaísica ARIMA foi inicialmene formulada por BOX & JENKINS, na década de 1970. Assumindo os pressuposos de esacionariedade de 2º ordem e ergodicidade de um processo esocásico subjacene, procura-se deecar o sisema probabilísico gerador da série emporal, aravés das informações nela conidas. Ainda, baseia-se na premissa de que uma série emporal não esacionária na média pode se ornar esacionária a parir de diferenciações, aravés da inclusão de um componene auo-regressivo inegrado de médias móveis. O mesmo raciocínio vale à sua componene sazonal. De acordo com SOUZA & CAMARGO (1996), a meodologia BOX & JENKINS em como base a Teoria Geral de Sisemas Lineares, na qual se mosra que a passagem de um ruído branco por um filro de memória infinia gera um processo esacionário de segunda ordem. A previsão h passos à frene é calculada aravés do valor esperado condicional à série emporal de ineresse. Iso é: E[ y / y,..., y ] y ( h), h * ˆ T h T 1 T. (2.4) 11

Em sínese, de acordo com JUNIOR (2009), são necessárias seis eapas à modelagem BOX & JENKINS: 1. Idenificação dos valores sugeridos para p, d, q, P, D, Q, a parir das análises dos correlogramas; 2. Esimação dos parâmeros do modelo (OLS, máxima verossimilhança, OLS ineraivo); 3. Esaísicas de aderência (significância das esimaivas, análise residual e análise das esaísicas de desempenho); 4. Se saisfaório, realiza-se o procedimeno 5. Caso conrário, indica-se que ouros valores para p, d, q, P, D, Q (isso é, reorna-se ao procedimeno 2); 5. Tese de sobrefixação; e 6. Gerações das Previsões. 2.3.1 Modelo SARIMA O modelo SARIMA (p,d,q) x (P,D,Q) S, ambém conhecido como ARIMA muliplicaivo, possui duas pares: a simples e a sazonal, de modo que a sazonalidade da série emporal passa a ser considerada. O modelo SARIMA (p,d,q) * (P,D,Q) é d denoado por ( B S ) ( B) D y ( B S ) ( B) a, onde: S d d (1 B) : operador diferença não sazonal de ordem d; D (1 B S ) D : operador diferença sazonal de ordem D; S : operador não sazonal de médias móveis; 1 q ( B) (1 1 B... q B ) : operador não sazonal auo-regressivo; 1 q ( B) (1 1 B... q B ) : operador sazonal auo-regressivo; e 1 ( B S ) (1 1 B S... PS P B ) : operador sazonal de médias móveis. 1 ( B S ) (1 1 B S... PS P B ) Uma vez definido o amanho do período sazonal, analisam-se os correlogramas da ACF e PACF, a fim se de esimar os índices p, d e q, como ambém P, D e Q (relaivos à pare sazonal). O raciocínio para esimação do modelo é similar à pare 12

simples, mas realizada sob os períodos S, 2S, 3S,... - para mais dealhes, veja SOUZA & CAMARGO, 2004. 2.4 Méodo de Redes Neurais Arificiais As redes neurais arificiais (RNA) são sisemas paralelos composos por unidades de processamenos simples, conhecidas como neurônios ou processadores, que represenam funções lineares e não-lineares. Os referidos são disposos em uma ou mais camadas, sendo inerligados por um grande número de conexões (sinapses) que comumene esão associadas a pesos, responsáveis por ponderar os sinais (dados) de enrada recebidos por respecivo neurônio. De acordo com HAYKIN (2001), o funcionameno de uma RNA é inspirado nos neurônios biológicos e em sua esruura paralela de processameno, de forma que possui a capacidade de adquirir, armazenar e uilizar conhecimeno experimenal, podendo ser uilizada em problemas de reconhecimeno de padrões, agrupameno e previsão. Na figura 2.1, em-se a esruuração básica de um neurônio arificial, composo por dois módulos de processameno: Regra de propagação: execua uma soma ponderada das enradas muliplicadas pelos pesos sinápicos associados a cada enrada do neurônio; e Função de aivação: é uma função que é aplicada ao resulado da regra de propagação. O resulado da função aivação é a saída do neurônio arificial. Figura 2.1 - Arquieura de um Neurônio Arificial. 13

Não exise nenhum procedimeno deerminísico para se esruurar uma rede neural arificial, sendo sua esruuração realizada de forma heurísica. Seus parâmeros básicos principais são: represenação dos dados (I/O); amanho das amosras de reino, validação e ese; número de camadas (layers); número de neurônios por camada; funções de aivação e algorimo de aprendizado. Na figura 2.2, em-se a ilusração da opologia de uma rede neural arificial feedforward hipoéica com rês camadas (de enrada, inermediária e de saída). Figura 2.2 - Arquieura Neural Feedfoward com Três Camadas. O algorimo de reinameno de Levemberg-Marquard (LM) é considerado o méodo mais rápido para reinameno de redes feed-forward backpropagaion, desde que a rede possua uma quanidade moderada de pesos sinápicos. O algorimo LM uiliza uma aproximação do méodo de Newon, a qual é obida a parir da modificação do méodo de Gauss-Newon, inroduzindo-se o parâmero, conforme em (2.5). w ( J T J I ) 1 J T (2.5) Onde: w : diferença enre os pesos inicial e final; : escalar que conrola a derivação dos erros, permiindo que o ermo (J T J) possa ser inverido; J: jacobiano dos erros da camada de saída. Cada elemeno da mariz J represena uma derivada parcial de um elemeno da mariz de erros com o seu correspondene peso; 14

I: mariz idenidade muliplicada pela consane ; e : veor de erros da rede neural calculados. Exisem aualmene inúmeros algorimos de reinameno para as redes neurais MLP, sendo geralmene do ipo supervisionado. 3 Combinação de Méodos Considere uma siuação onde exise um número p (p > 2) de méodos prediivos plausíveis para modelagem de um processo de séries emporais { y }. Noe que exise incereza associada quano à escolha de qual uilizar. No enano, é de ineresse deerminar um méodo, de acordo com criérios, para realização de previsões. Exisem rês abordagens para deerminar um méodo prediivo: i. Escolher um modelo individual de um conjuno de méodos plausíveis {,..., }, baseado em algum criério de seleção, e uilizá-lo para M M1 M k previsão; ii. Combinar as previsões oriundas dos méodos individuais de um conjuno M e uilizar a previsão combinada; e iii. Combinar as densidades prediivas oriundas dos méodos do conjuno M e uilizar a prediiva combinada para ober-se a previsão. Sobre o iem i, exisem diferenes esaísicas de aderência (como, por exemplo, MAPE, MAE, MSE) que, em consonância com a abordagem, podem ser adoadas na escolha do melhor méodo, que são escolhidas de modo a se ober o méodo que melhor se ajusa à dinâmica emporal da série. Por sua vez, os iens ii e iii raam de abordagens disinas, embora raem de combinação de méodos. As medidas de aderência uilizadas para os méodos individuais ambém são uilizados para escolher o de combinação. Em se raando de combinações de previsões, FLORES & WHITE (1988), desacam duas dimensões a serem definidas: 15

Seleção dos méodos individuais a serem combinados; e Seleção do méodo de combinação. De acordo com FLORES & WHITE (1988), as componenes dos méodos de combinação são denoadas como previsões base e podem ser classificadas em rês caegorias: objeivas, subjeivas e misas (iso é, obidas aravés da uilização da combinação de previsões objeivas e subjeivas). A caegoria objeiva engloba os méodos de Amorecimeno Exponencial, ARIMA, de Redes Neurais Arificiais, bem como ouros procedimenos com base maemáica. A subjeiva inclui odas as abordagens que envolvem o julgameno humano, ais como grupo focado ou opinião de especialisas. A segunda dimensão concerne à maneira com a qual as écnicas devem ser combinadas. Esa é alvo de esudo há muio empo e, porano, uma lacuna a ser pesquisada. De acordo com CLEMEN (1989), apud in JUNIOR (2009), alguns méodos êm sido desenvolvidos com o objeivo de se enconrar a melhor forma de se combinar méodos individuais. Apesar da incereza quano à melhor combinação, a opinião dos pesquisadores no assuno é unânime: combinar previsões, em regra, conduz ao aumeno de acurácia da previsão combinada, em relação às oriundas de méodos individuais. A dimensão dos méodos de combinação envolve duas abordagens: objeiva ou subjeiva. A objeiva se refere aos méodos que fazem uso de ferramenas maemáicas, onde os resulados são passíveis de serem repeidos. A subjeiva, por sua, vez, inclui esforços inuiivos no processo de combinação dos méodos individuais, empregando conhecimeno humano ou opinião individual ou de grupo. 3.1 Combinação Linear de Méodos O arigo de GRANGER & BATES (1969) é considerado o arigo seminal em combinação de méodos prediivos. Nese, os auores propuseram a combinação linear de previsões não-viesadas oriundas de dois méodos esaísicos clássicos, conforme em (3.1). yˆ ˆ yˆ (1 ˆ ) yˆ (3.1) CL, T h 1, T h 2, T h 16

ˆ T Onde: y1, h, previsão do méodo 1; y2, h, previsão do méodo 2; yˆcl,, T h previsão do méodo de combinação linear e ˆ, esimaiva do peso adapaivo do méodo de combinação linear. NEWBOLD & GRANGER (1974) ampliaram o número de previsões individuais, manendo, porém, odas as suposições de GRANGER & BATES (1969). Aravés da combinação de rês previsões, conforme em (3.2), obida dos méodos (ARIMA, Hol-Winers e de auo-regressão Sepwise), concluíram que a combinação de méodos acarreou ganhos no processo prediivo. yˆ 3 CL, T h j j, T h j1 ˆ T ˆ yˆ (3.2) WINKLER & MAKRIDAKIS (1983), apud in JUNIOR (2009), analisaram combinações de previsões advindas de dez méodos individuais e os resulados obidos confirmaram as conclusões de NEWBOLD & GRANGER (1974). Eses resulados consisiram na comparação da esaísica MAPE de mil séries emporais, o que permiiu concluir ser melhor ignorar os efeios da correlação no cálculo de combinações ponderadas. GRANGER & RAMANATHAN (1984), apud in JUNIOR (2009), chamaram a aenção para o fao de que os méodos convencionais de combinação linear de previsões individuais podem ser inerpreados como uma forma esruurada de regressão. Argumenaram ainda que ese méodo de combinação é equivalene ao méodo de mínimos quadrados ordinários (MQO), considerando a previsão combinada como variável endógena e as individuais, como explicaivas. Os pesos lineares adapaivos podem ser fixos ou variáveis (não necessariamene posiivos) ou somar ou não uma unidade. Na abordagem clássica de GRANGER e NEWBOLD (1986), desaca-se que as previsões ponuais são de forma linear, sendo os pesos varianes no empo. De forma genérica, o méodo de combinação linear, h passos à frene, pode ser descrio conforme em (3.3). yˆ k ˆ yˆ (3.3) CL, T h j j, T h j1 17

Onde yˆcl, T h, a previsão combinada para o insane T+h; ˆ j, o peso esimado (não necessariamene posiivo ou normalizado) e, yˆ j T h, a previsão modelo j, para o insane T+h - considerando uma amosra ( y1,..., y T ). Oura abordagem é a combinação linear de densidades prediivas, na qual algumas propriedades merecem desaque. De acordo com MUBWANDARIKWA & FARIA (2008), a formulação geral desa abordagem pode ser descria por: ( y D ) ( y D ) (3.4) CL( 1,..., k ) CL, T h T j j j, T h T j1 k Onde: ( y D ), densidade prediiva resulane da combinação CL( 1,..., k ) CL, T h T linear de densidades, dadas as informações D ; j ( yj, T h DT ), densidade prediiva do T modelo j (j = 1,..., k) para o insane T+h,, dada a informação D T e j, peso adapaivo associado à densidade do méodo individual j. Especificamene à projeção de consumo residencial, a combinação linear de previsões é descria conforme a equação (3.5). yˆ ( BJ )* ˆ ( HW )* ˆ ( RNA )* ˆ (3.5) CL, T h T h 1 T h 2 T h 3 Onde: BJT h, previsão do modelo ARIMA para o insane T+h; HWT h, previsão do MAE para o insane T+h; RNAT h, previsão do méodo de RNA para o insane T+h; e 1 ˆ, ˆ 2, ˆ 3, pesos associados linearmene às respecivas previsões. 3.2 Inervalo de Confiança do Méodo de Combinação Linear de Previsões Uma vez escolhidos e esimados os modelos individuais, é possível gerar densidades prediivas aravés da uilização do méodo de Quase-Mone Carlo. O procedimeno de simulação uilizado para os modelos esaísicos, nesa disseração, inicia-se com a geração de uma sequência de números quase-aleaórios independenes 18

perencenes à disribuição U [0,1]. Poseriormene, eses são inseridos em um algorimo de inversão (Inversão de Moro) que os inerprea como probabilidades acumuladas, de forma a fornecer amosras independenes perencene à disribuição normal-padrão. Por seguine, as amosras normais padrão são filradas por Cholesky, gerando resíduos na escala da série emporal considerada (no caso, a de consumo residencial). Assim, para cada insane, realiza-se ese procedimeno n vezes. Mais dealhes sobre o algorimo de Moro, assim como as sequências de Quase-Mone-Carlo. O procedimeno uilizado para as redes neurais são explanados mais adiane. = ZDZ T (caso mulivariado) 2 ˆ ˆ 1 ˆ (caso univariado) A mariz Z (desvio-padrão) muliplicada pelo veor de erros consrói-se um veor normal-padrão u (n x 1) para o caso univariado, a cada insane. (JUNIOR, 2009) u (3.6) 1 Z A média de ainda é zero, pois os elemenos de u foram soreados de uma disribuição de normal-padrão e Z é uma consane. Desse modo, com a decomposição da variância fora da amosra ( ˆ ˆT i 2 ), foi possível ransformar um veor de choques normais padrão independenes u em um de choques na escala da série emporal supraciada no horizone de previsão considerado. A equação veorial (3.7) explicia, em ermos maemáicos, o salienado. y T i, cenário 1 yˆ Ti u1..... ˆ ˆ., i1,2..., h T i... y yˆ T i, cenário n T i u n (3.7) A cada soreio, os resíduos na escala da série são subsiuídos na equação (3.7), obendo, ao fim de n soreios, a respeciva densidade prediiva, para T+h. Alguns eses foram realizados, na presene pesquisa, a fim de verificar se houve convergência: hisograma, QQ-plo, PP-plo, ese de normalidade (sofware @Risk). Todos a 19

confirmaram. Especificamene para os dois modelos esaísicos adoados, para cada insane fora da amosra, o sofware esaísico forneceu o desvio-padrão esimado o qual foi muliplicado pela sequência de normal padrão, gerando os respecivos resíduos (no caso, geraram-se 1.000). Em seguida, eses foram somados a cada previsão, gerando os cenários (ou of sample). Para as redes neurais arificiais, adoou-se ouro procedimeno, quano à geração dos cenários. O problema deveu-se ao fao de as RNA não possuírem um modelo explício que possibilie a esimação do desvio padrão amosral fora da amosra, em função dos parâmeros, conforme os modelos esaísicos. Para o úlimo elemeno da validação, o procedimeno foi similar aos modelos esaísicos, ou seja, calculo-se o desvio-padrão amosra dos resíduos aé o insane relaivo à úlima observação da validação e, enão, aplicou-se a equação (3.7). Cada cenário foi inserido na janela da rede neural, gerando 1.000 cenários para o período poserior (no caso, para o primeiro elemeno da amosra de ese). Como a janela possui amanho 5, para o segundo elemeno da amosra de ese, uilizou-se o os quaro úlimos ponos da validação e o primeiro do ese. Isso possibiliou gerar o cenário seguine. Tano o primeiro pono de ese e quano o úlimo da validação são variáveis, ou seja, cada respecivo cenário de ambos os ponos foi inserido na janela da rede neural de forma a gerar o cenário para o insane seguine, onde os ouros rês são fixos. E assim sucessivamene aé o décimo segundo passo. Como foi observado um crescimeno da variância dos cenários (o que nauralmene ocorre), à medida que o horizone ficava maior, adoou-se ese procedimeno para os fins da pesquisa. Além disso, foram feios ese esaísicos para verificação de normalidade e odos (a 5% de significância) não rejeiaram a hipóese de normalidade, para odos os passos à frene projeados fora da amosra. Tendo em visa a geração de cenários para os rês méodos individuais, foi possível a combinação linear dos cenários, o que possibiliou a geração de inervalos de confiança dos méodos combinados, com 95% de credibilidade. Cada cenário individual foi linearmene combinado, gerando o combinado. Ao final, calculou-se a variância da densidade prediiva combinada e, enão, procedeu-se à consrução do inervalo de confiança, dada a previsão no respecivo insane. 20

4. Programação Maemáica A Programação Maemáica consise em enconrar uma ou mais soluções óimas que correspondem a valores exremos de um ou mais objeivos (represenadas por funções nominadas funções-objeivo). Os problemas de Programação Maemáica podem ser subdivididos em duas classes básicas: lineares e não lineares. Assim sendo, êm-se as: Lineares: se odas as resrições e a função objeivo são equações ou inequações lineares (ou do 1º grau), o problema é dio linear; e Não Lineares: se pelo menos uma equação ou inequação, no PPM, for não linear, o problema é dio não linear. O ermo Maemáica, nese conexo, é usado de em senido amplo, abrangendo não apenas seus os elemenos familiares, mas ambém os ópicos relacionados à Lógica Maemáica. O referido méodo é amplamene uilizado em inúmeras aplicações, paricularmene em problemas de omada de decisão. Três elemenos básicos êm de ser considerados: decisões, resrições e objeivo. As decisões de um problema maemáico geralmene são represenadas por símbolos X,..., 1 X n e são denoadas de variáveis de decisão, que, por sua vez, podem represenar quanidades de forma a maximizar ou minimizar deerminada função objeivo. (RAGSDALE, 2004) De acordo com RAGSDALE (2004), as resrições podem ser expressas de várias maneiras em um Problema de Programação Maemáica (PMM). Em linhas gerais, há rês maneiras de expressá-las: Resrição menor ou igual a: f ( X1,..., X n) b ; Resrição maior ou igual a: f ( X1,..., X n) b ; Resrição igual a: f ( X1,..., X n) b. 21

Em cada caso, a resrição é uma função das variáveis de decisão que deve ser menor ou igual, maior ou igual ou igual, a deerminado valor específico (represenado pela lera b). Por úlimo, o objeivo de um PPM é represenado por uma função no seguine formao: MAX ( ou MIN ) : f ( X1,..., X n). A formulação genérica de um PPM pode ser descria como: MAX ( ou MIN ) : f ( X,..., X ) 1 n f ( X,..., X ) b 1 n 1 f ( X,..., X ) b 1 n 2 É imporane salienar que não exisem méodos universais capazes de resolver com eficácia odos os problemas de oimização. Alguns podem ser indicados para uma classe de problemas, no enano podem não er desempenho saisfaório em ouras aplicações. Em problemas envolvendo mais de uma função-objeivo, a busca soluções óimas é conhecida como oimização muliobjeivo. Assim, endo em visa que esa abordagem envolve objeivos múliplos, pode-se paricularizar a oimização de objeivo único como um caso paricular da muliobjeivo. Teorias e algorimos aplicáveis em PPM com objeivo único ambém são usados em casos muliobjeivos, a parir de ransformações das funções em uma função de objeivo único. Em muios problemas muliobjeivo, surgem diferenes aplicações cieníficas, onde várias pesquisas visam a desenvolver méodos para solucioná-los. Exisem vários criérios que podem ser considerados para resolver ese problema complexo. Alguns são baseados em escalonar as funções, como sendo o veor função objeivo, ransformando-o em uma função escalar. Ouros, porém, as raam como novas resrições, endo como base a abordagem MINIMAX. Em paricular, desaca-se o Méodo da Programação de Meas, cuja ideia principal é enconrar uma solução que ainja meas predefinidas para cada uma das soluções objeivo. Caso esas soluções não exisam simulaneamene, é possível ober soluções que minimizem os desvios percenuais das funções em relação a esas meas. Ouros méodos podem ser ciados, como, por exemplo: Oimização Hierárquica, proposo por WALZ (1967); Méodo da Negociação, proposo por HAIMES e HALL (1974). 22

4.1 Programação MINIMAX O conceio do méodo do óimo MINIMAX é derivado da Teoria de Jogos, onde é necessário resolver siuações de conflio. A Meodologia MINIMAX compara os desvios relaivos obidos para cada função objeivo em relação à sua solução ideal e desejada (iso é, a mea). min x Q objeivo1 f1(.) 1 Q mea1... objeivon f1(.) n Q mean O objeivo MINIMAX pode ser usado para explorar os ponos nos limies da região viável - além dos ponos exremos. Assim, quando se minimiza Q, ocorre o mesmo com os desvios percenuais absoluos ponderados com relação às respecivas meas. Desse modo, o desvio máximo ponderado de qualquer mea assume um valor igual ou inferior a Q. 4.2 Programação por Meas Inicialmene a Programação de Meas foi uilizado em um problema de programação linear (PPL) com uma única função objeivo. De acordo com RAGSDALE (2004), a programação de meas ganhou popularidade depois do rabalho de IGNIZIO (1976), LEE (1972), denre ouros. Ainda segundo (RAGSDALE, 2004), ROMERO (1991) fez um levanameno do esado da are acerca desa meodologia, lisando várias aplicações, por exemplo, em Engenharia. Comumene as écnicas de oimização apresenam resrições invioláveis, porém esas podem ser, em algumas siuações, resriivas demais, ao passo de ornar o PMM 23

insolúvel. Por isso, orna-se facível relaxá-las para que seja possível resolver algum problema de ineresse. A programação de meas é aplicada em problemas de múliplas funçõesobjeivos. Esa écnica requer um procedimeno de solução ineraiva no qual o omador de decisão invesiga uma série de soluções viáveis a fim de enconrar a mais saisfaória. Na oimização MINIMAX, em-se a inegração das abordagens muliobjeiva e a de meas. Os objeivos no problema MINIMAX podem ser obidos oimizando individualmene cada função objeivo. Uma vez definidos, realiza-se a minimização da resrição Q. Em sínese, esa meodologia requer que meas sejam especificadas para que cada objeivo a sua respeciva mea. O objeivo principal da programação de meas é enconrar uma solução que ainja meas pré-definidas para cada uma das funções objeivo. Caso não exisa uma solução que ainja as meas pré-especificadas para odas as funções objeivo, objeiva-se enconrar soluções que minimizam desvios percenuais absoluos dos valores enconrados em relação às respecivas meas. As meas são inerpreadas como resrições adicionais. Com efeio, novas variáveis são acrescenadas para represenação dos desvios em relação às meas prédeerminadas. A função objeivo especifica os desvios em relação às meas e prioriza a realização (iso é, o sucesso) de cada mea, em ermos quaniaivos. Logo, o objeivo, nese caso, da programação de meas é minimizar os desvios percenuais absoluos. 4.3 Programação Muliobjeivo A abordagem de oimização muliobjeivo, ou veorial, ou mulicriério, pare do suposo de exisir, ao menos, duas funções objeivo em deerminado PPM que devem ser minimizadas (ou maximizadas), consoanes a resrições e parâmeros. Desse modo, suas soluções podem ser de dois ipos: Soluções que, sob odos os objeivos simulaneamene considerados, são suplanadas por ouras. Isso significa que há soluções que fornecem valores melhores de função objeivo para odos os k objeivos f i (.). Assim, esas devem ser descaradas; e 24

Soluções que, comparadas com ouras, são melhores em deerminados objeivos, porém piores em ouros. Isso significa que a escolha deve ser realizada com algum grau de subjeividade. No úlimo grupo, são denominadas soluções eficienes ou pareo-óimo. Ese conjuno é um objeo bem deerminado, poso um problema de oimização mulicriério. Sua deerminação é um dos problemas cenrais da abordagem muliobjeivo. Em linhas gerais, um PPM com mais de um objeivo ende a possuir um conjuno, geralmene limiado, de possíveis soluções. Dessa forma, em-se que o objeivo de resolver um deerminado PPM deve-se convergir para uma solução única. O conjuno pareo-óimo consiui um elenco de alernaivas, candidaas a se ornarem a solução final. Para viabilizar isso, a oimização muliobjeivo emprega ainda oura eapa, em que o conjuno de soluções candidaas é reduzido aé a deerminação de uma única solução, aravés de uma sisemáica; que, por sua vez, pressupõe a chamada função uilidade, implicando um padrão de preferências coerene e ordenado. O problema muliobjeivo (PMO) pode, enão, ser formulado como uma combinação de ais eapas de deerminação de soluções eficienes e de escolha da final (aplicação da função uilidade). Assim, formalizando, em-se que: Seja n x o veor dos parâmeros de um problema muliobjeivo (PMO) e x n, um subconjuno do espaço ao n m qual o veor x se enconra resrio. Seja ainda, f (.) :, o veor de funções-objeivo. Dados f (.) e x, o conjuno das soluções eficienes do PMO descrio por: * min x f( x ) Sujeio a: { x. x Onde f( x ), função objeivo; x, variável de decisão e x, região viável. Algorimos de deerminação das soluções eficienes de um PMO são formulados, a parir das propriedades do conjuno das soluções eficienes *. 25

4.4 Programação por Meas via Desvio Mínimo O objeivo MINIMAX, descrio anes, pode ser usado para explorar os ponos limies região viável - além dos ponos exremos. Esa meodologia é análoga à programação de mea ponderada, porém, em vez de minimizar a soma ponderada dos desvios em relação às meas, esa soma deve obedecer a um valor máximo de desvio Q, escrio na forma de resrição e ese desvio máximo é minimizado. Assim, o parâmero Q é o desvio máximo. Em ouras palavras, o objeivo é minimizar o desvio médio máximo pelo parâmero, ou seja, Q. Paricularmene, nese rabalho, assumiu-se valor igual a um para os valores de w e, para os dos desvios absoluos das meas com relação às funções objeivo, valor máximo igual a Q. FOMC d... d 1 k MIN Q mea FO FO 1 1 meak FO FO 1 k k Q Q 5. Aplicação à Série de Consumo Residencial de Energia Elérica Nese capíulo, são aplicados os méodos individuais e os combinados linearmene para projeção de curo prazo da série de consumo residencial mensal de energia elérica, endo como objeivo uma função mulicriério. A amosra coném ceno e cinquena e nove observações, sendo doze usadas para análise fora da amosra. Os sofwares uilizados foram: AIMMS, MATLAB, E-Views, R, SPSS, Excel (solver). 26

Após a exposição dos gráficos e abelas, seus resulados foram comenados. Seguem-se, nesa ordem, as meodologias abordadas: ARIMA, MAE, RNA e a combinação linear muliobjeivo deses méodos. 5.1 Aplicação do Modelo ARIMA A meodologia BOX & JENKINS impõe fores resrições à série subjacene: esacionariedade de 2º ordem, normalidade e a série de resíduos em de ser uma realização de um processo esocásico ruído branco. É fundamenal que as mesmas sejam observadas para que propriedades esaísicas imporanes e desejáveis do modelo não sejam perdidas. Os resulados desses eses foram omiidos, porém confirmam os pressuposos. 5.1.2 Modelagem O modelo ajusado foi o SARIMA (1,0,0) * (1,0,3). Inúmeras ordens de modelos ARIMA foram esadas. Tabela 5.1 Esimaivas dos Parâmeros e Esaísicas do Modelo ARIMA. Termo Coeficiene Erro padrão Esaísica P-valor ar [1] 0,8184 0,0498 16,414 0,0000 sar [12] 0,3681 0,0882 4,1716 0,0001 sar [24] 0,6320 0,0882 7,1600 0,0000 sma [12] -0,2720 0,1116-2,4374 0,0163 sma [24] -0,8959 0,0243-36,8597 0,0000 sma [36] 0,2581 0,1032 2,5010 0,0138 27

Noe, na abela 5.1, que odas as esimaivas apresenam significância esaísicas, ou seja, a hipóese de que são iguais a zero foi rejeiada a 5% de significância. Tabela 5.2 - Principais Esaísicas de Aderência. R 2 81,03% R 2 ajusado 80,02% DW 2,1395 Ljung-Box (p-valor) 76,81% MAPE 5,82% BIC 4,43E+004 Na abela 5.2, em-se que a esaísica Durbin-Wason apresena valor próximo a dois (valor eórico), evidenciando descorrelação de lag 1. A Ljung-Box mosra a mesma inferência, porém aé o lag 18. 5.2 Aplicação do Méodo de Hol-Winers Como não há resrições quano à sua uilização, consideraram-se as esaísicas R 2 e MAPE para a escolha do melhor ajuse. 5.2.1 Modelagem Tesou-se, inicialmene, o modelo com sazonalidade adiiva, uma vez que a série é homocedásica, porém não obiveram o melhor ajuse. O modelo com melhor ajusameno foi o Hol-Winers com sazonalidade muliplicaiva. A seguir, enconram-se as principais caracerísicas esaísicas do méodo esimado. 28

Tabela 5.3 - Valores dos Hiperparâmeros das Componenes Componene Hiperparâmero Nível 0.51347 Sazonalidade 0.49758 5.2.2 Previsões Na abela 5.4, em-se os valores de MAPE denro e fora da amosra obidos do Méodo de Hol-Winers muliplicaivo. Tabela 5.4 - MAPE s do Méodo Hol-Winers Denro da Amosra Fora da Amosra 5,82% 5,40% 5.3 Aplicação do Méodo de Redes Neurais Arificiais Os criérios de escolha da RNA foram: MAPE, MAE e MSE. A melhor RNA possui as seguines caracerísicas: Tamanho da janela: 5; Padrão de enrada: premnmx: Número de camadas escondidas: 1; Algorimo de reinameno: Levenberg-Marquard (rainlm); e Número de neurônios na camada escondida: 5. Tabela 5.5 - MAPE s da RNA Treino Validação Tese 4,36% 5,39% 7,01% 29

5.4 Oimização do Méodo de Combinação Mulicriério Para a oimização do méodo proposo, foram necessários nove passos, para que, finalmene, fosse possível a esimação de seus pesos adapaivos. 1. Idenificar as variáveis de decisão no problema; 2. Idenificar os objeivos e formulá-los; 3. Idenificar as resrições e formulá-las; 4. Resolver o problema uma vez para cada um dos objeivos adoados, conforme o passo 2, a fim de idenificar o óimo para cada função objeivo; 5. Declarar as meas de cada objeivo como os valores óimos enconrados no passo 4; 6. Para cada mea, criar uma função desvio que deermine a quanidade na qual qualquer solução deixe de aender a mea. Adoou-se a função desvio percenual absoluo; 7. Para cada função desvio do passo 6, aribuir um peso e criar uma resrição que demande o valor da função desvio absolua ponderada fosse inferior à variável Q do MINIMAX; 8. Resolver o PMM resulane a fim de minimizar Q; e 9. Verificar a solução do problema. Se facível, erminar; caso não; reornar ao passo 7. A esimação se deu considerando a amosra de reino, combinando linearmene as previsões ponuais advindas dos rês méodos base. Como aneriormene ciado, as funções objeivo uilizadas foram: MAPE, MSE e MAE. Assim, definiram-se as meas uilizando o oimizador solver (aplicaivo Excel). A formulação simbólica da programação de cada meas é dada a seguir. Mea 1 FO : MIN MAPE 30

MAPE T 1 Z CL, observação observação 1 T BJ HW RNA 0 0 0 BJ HW RNA 1 Z, * Z ** Z * Z CL BJ BJ HW HW RNA RNA Mea 2: FO : MIN MAE MAE T 1 Z CL, observação T BJ HW RNA 0 0 0 BJ HW RNA 1 Z, * Z ** Z * Z CL BJ BJ HW HW RNA RNA Mea 3: FO : MIN MSE MSE BJ HW RNA 0 0 0 T 1 Z 2 CL, observação T BJ HW RNA 1 Z, * Z ** Z * Z CL BJ BJ HW HW RNA RNA 31

Uma vez definidas as meas, a formulação simbólica do PPM MINIMAX é dada a seguir. MIN Q META1 MAPE Q MAPE META2 MAE Q MAE META1 MSE MSE Z * Z * Z * Z CL, BJ BJ, HW HW, RNA RNA, MAPE T 1 Z CL, observação observação 1 T MSE T 1 Z 2 CL, observação T MAE T 1 Z CL, observação T BJ HW RNA 0 0 0 BJ HW RNA 1 A formulação no formao AIMMS, para esimação dos pesos adapaivos, bem como sua idenificação na implemenação é dada a seguir. Resrições : MAPE() e MSE() e MAE() e Conjunos : Períodos( p) Méodos( m) Méricas() e Parâmeros : Meas() e Consumo( p) previsão( m, p) 32

Banco de Dados : dados _ período _ consumo _ previsão _ meas Variáveis : peso( m) precomb( p) MAPE MSE MAE desviomax Tabela 5.6 Esimaivas dos Pesos Adapaivos do Modelo Linear Mulicriério (fone: AIMMS) Méodos Pesos ARIMA 0,363874889 HOLT-WINTERS 0,090287294 REDES NEURAIS 0,545837817 Uma vez esimados os pesos, foram geradas as previsões combinadas advindas do modelo proposo. Por conseguine, de posse das esimaivas dos pesos, os cenários de Quase- Mone-Carlo dos méodos base foram combinados, gerando uma densidade prediiva do modelo linear mulicriério (suposamene gaussiana, viso que foi assumido normalidade para as densidades geradas pelos modelos base) e, por consequência, um inervalo de confiança com 95% de credibilidade (predição inervalar) para o horizone considerado fora da amosra. 5.5 Comparação dos Modelos Os modelos base e o linear mulicriério foram comparados em relação às observações fora da amosra. As células em desaque (em amarelo) desacam a previsão que mais próxima ficou do valor verdadeiro. 33

Tabela 5.7 - Previsões do Modelo Combinado Mulicriério, Modelos Base e Valores Hisóricos Daa ARIMA Hol- Winers Redes Neurais Combinação Linear Hisórico 2007-12 731.885,13 699.882,19 681.354,08 701.413,91 708.970,08 2008-01 665.182,63 631.601,56 609.663,26 631.846,11 621.971,26 2008-02 619.608,13 587.424,94 506.204,20 554.802,24 531.089,20 2008-03 605.697,81 554.449,69 452.994,08 517.719,29 514.755,08 2008-04 598.781,13 542.600,25 538.311,12 560.701,89 527.584,12 2008-05 608.940,13 555.763,69 581.931,51 589.396,64 570.372,51 2008-06 622.141,81 587.499,38 567.888,81 589.400,70 585.272,81 2008-07 631.551,69 601.305,00 625.303,37 625.410,23 626.854,77 2008-08 666.884,25 651.478,75 540.935,50 596.745,74 596.979,50 2008-09 659.990,38 667.880,69 813.151,02 744.303,64 717.862,02 2008-10 649.974,50 685.670,44 601.256,68 626.605,36 649.547,68 2008-11 678.997,25 740.296,50 737.147,17 716.272,22 659.867,17 Conrapondo os méodos, percebe-se que o modelo linear mulicriério obeve maior acurácia em cinco insanes. A abela 5.8 mosra em ermos percenuais a evolução emporal de cada méodo. Em 5.9 e 5.10, expõem-se as méricas de aderência MAE e R 2, respecivamene. Tabela 5.8 Erro Percenual Absoluo (APE) dos Modelos Combinados Daa ARIMA MAE RNA Combinação Linear 2007-12 3,23% 1,28% 3,90% 1,07% 2008-01 6,95% 1,55% 1,98% 1,59% 2008-02 16,67% 10,61% 4,69% 4,46% 2008-03 17,67% 7,71% 12,00% 0,58% 2008-04 13,49% 2,85% 2,03% 6,28% 34

2008-05 6,76% 2,56% 2,03% 3,34% 2008-06 6,30% 0,38% 2,97% 0,71% 2008-07 0,75% 4,08% 0,25% 0,23% 2008-08 11,71% 9,13% 9,39% 0,04% 2008-09 8,06% 6,96% 13,27% 3,68% 2008-10 0,07% 5,56% 7,43% 3,53% 2008-11 2,90% 12,19% 11,71% 8,78% Na abela 5.9, o valor de MAPE do modelo linear mulicriério foi inferior em seis insanes em relação às ouras meodologias (fora da amosra). Além disso, quaro previsões obiveram valores de APE inferior a 1%, como ambém menor APE máximo. Comparando-o com o Hol-Winers, quano à mérica MAPE, o resulado fora da amosra foi 2,54% mais preciso em média. Desaca-se que eve pouca perda de desempenho fora da amosra (0,51%). Tabela 5.9 - MAPE s dos Modelos Esimados Méodos Denro da Fora Amosra da Amosra ARIMA 5,66% 7,88% Hol-Winers 5,82% 5,40% RNA 4,36% 7,02% Combinação Linear 2,35% 2,86% Tabela 5.10 - MAE s dos Modelos Esimados Méodos Denro da Amosra Fora da Amosra ARIMA 32.684,26 45.354,33 Hol-Winers 32.760,43 32.765,21 RNA 26.801,18 37.057,95 Combinação Linear 13.502,32 17.320,45 35

O modelo linear possui menor valor de MAE, fora da amosra, mosrando maior capacidade de generalização, consoane al mérica. Verifica-se que, em relação ao melhor modelo, o ganho de ajuse foi superior a 100%. O mesmo pode ser inferido fora da amosra. Tabela 5.11 Coeficiene de Explicação (R 2 ) dos Modelos Esimados Méodos Denro da Amosra Fora da Amosra ARIMA Hol-Winers RNA Combinação Linear 81,03% 38,40% 79,11% 66,13% 85,13% 53,54% 95,47% 86,87% Considerando o coeficiene de explicação, em-se que o modelo linear foi superior. Assim, foi capaz de explicar 86,87% da variabilidade que não foi uilizada na esimação do modelo mulicriério. Analisando-se os gráficos 5.1 e 5.2, verifica-se que o modelo proposo obeve melhor desempenho que os modelos base, quano à esaísica MAPE, denro e fora da amosra. Visualmene percebe-se que o ganho em ermos de previsão foi considerável. Gráfico 5.1 - Valores dos MAPE`s dos Méodos (Denro da Amosra). 36

Gráfico 5.2 - Valores dos MAPE`s dos Méodos (Fora da Amosra). 5.5.1 Comparação dos Inervalos de Confiança dos Modelos Combinados Os modelos base uilizados iveram, em cada insane, cenários gerados a parir do méodo de Quase-Mone-Carlo. Dado que, na maioria dos períodos, as variâncias do modelo proposo foram menores que os individuais, foi realizado a comparação somene com o melhor nese aspeco, no caso, o Hol-Winers. A abela 5.20 explicia os resulados auferidos. Desaca-se que odos os valores reais se enconram denro do inervalo de confiança, endo em visa o horizone considerado fora da amosra. Além do mais, o inervalo de confiança da combinação linear, na maioria dos lag s (fora da amosra), obeve ampliudes menores que os modelos individuais. 37

Tabela 5.12 - Ampliudes dos Limies do Inervalo de Confiança dos Modelos Combinados em Valores Absoluos. Insane Hol-Winers Linear 1 198.175,25 103.739,45 2 205.764,00 138.098,86 3 215.531,75 161.559,40 4 225.231,88 181.610,13 5 237.035,03 199.705,52 6 252.127,91 219.223,04 7 270.197,66 235.528,21 8 285.690,25 251.694,19 9 307.086,00 268.104,71 10 324.050,59 282.638,12 11 341.128,66 313.702,47 12 364.077,63 346.614,51 O modelo linear mulicriério gera cenários com menor variância (medida de incereza), em odos os insanes considerados, viso as ampliudes absoluas dos limies inferior e superior do inervalo de confiança. Gráfico 5.3 Valores Reais e as Previsões Ponuais (in sample). 38

Gráfico 5.4 Valores Reais e as Previsões Ponuais e Inervalares do Modelo de Combinação Geomérica. Noe, no gráfico 5.3, que o méodo proposo possui bom desempenho quano à dinâmica passada da série considerada, pois as curvas enconram-se, a maior pare do empo sobreposas à das observações. Analisando visualmene o gráfico 5.4, em-se que: i. Noa-se que os ponos dos valores reais se enconram sobreposos ao das previsões ponuais durane boa pare do horizone considerado, mosrando novamene acurácia das previsões ponuais geoméricas; ii. Quano aos inervalos de confiança, verifica-se que a ampliude dos mesmos não cresce de maneira exacerbada, ou seja, a variância (incereza) não possui um crescimeno exagerado, à medida que se aumenam os lag s; e iii. Ainda segundo os inervalos de confiança, os mesmos mosram cera simeria enre os valores reais e os limies, superior e inferior - que é sempre desejável. Isso indica que a densidade prediiva gaussiana do modelo linear coném valores reais muio próximos seu cenro de massa, ou seja, o eveno que possui probabilidade máxima de aconecer, segundo o modelo, é muio próximo ao valor real, confirmando i. Pode-se dizer ambém que o valor real enconra-se enre os valores mais prováveis desa densidade prediiva, mosrando que os cenários produzidos são eficienes. 39

6 Conclusões No presene rabalho, combinaram-se linearmene previsões oriundas dos modelos univariados ARIMA, Hol-Winers e Redes Neuronais Arificiais, com aplicação à série de consumo residencial de energia elérica. Para a esimação dos pesos adapaivos fixos, uilizou-se a abordagem mulicriério MINIMAX, endo como funções objeivo: MAPE, MAE e MSE. As mesmas foram individualmene oimizadas e uilizadas na análise mulicriério sob forma de meas. Em sínese, calculou-se o valor esperado das previsões univariadas, uilizando uma abordagem alernaiva para esimação de pesos, gerando a previsão combinada mulicriério. Os resulados do modelo de combinação linear mulicriério foram superiores aos individuais, em odas as méricas de aderência consideradas. A conribuição de cada méodo individual no méodo proposo fornece informações disinas acerca da dinâmica emporal da série analisada, de maneira que cada méodo individual funciona como uma componene do modelo combinado, logo a série é analisada de várias formas disinas. A abordagem mulicriério se mosrou eficiene, podendo ser uilizada em ouras aplicações. Umas das caracerísicas marcanes no esudo de caso proposo, foi o fao de os valores de resíduos do modelo proposo, em grande maioria, se enconrarem abaixo de um deerminado nível. Em ouras palavras, além de os valores de endência cenral dos erros erem sido baixos, a evolução emporal deses apresenou comporameno esável. Nese aspeco, em relação ao segundo melhor méodo (Hol Winers), foi consideravelmene melhor. Devido às caracerísicas dos modelos, as esruuras lineares e não lineares foram bem capuradas pelo modelo mulicriério. Porano, uma ponderação adequada pode fornecer melhores previsões. Como as esimaivas dos pesos se mosraram plausíveis, em ermos probabilísicos, as previsões foram mais acuradas em relação aos méodos base. Por fim, o modelo proposo obeve bom desempenho fora da amosra, o que caraceriza seu poder de generalização, no esudo proposo. Com relação à função 40